GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22

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1 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 132 GUIS DE CTIIDDES Y TJO PCTICO Nº 22 OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la nformacón de un vector. Opere con vectores en el plano. esuelva operacones problemas que nvolucren magntudes vectorales CONTENIDOS: Proeccón de vectores. Componentes de un vector Suma de aros ectores: Método de la Polgonal plcacones de ectores a Cnemátca Operacones con vectores: analítcamente gráfcamente plcacones NOT: o Los ejerccos ndcados con (EO) son ejerccos oblgatoros formaran la carpeta de trabajos práctcos. o Es requsto para los alumnos asprantes al égmen de Promocón de la sgnatura que han presentado la prmera segunda parte de la carpeta completa, presentar esta guía de trabajos práctcos con todos los ejerccos (EO) desarrollados hasta el día sguente al tercer parcal. o Los ejerccos de aplcacón ológca se ndcan con (). CTIIDDES Proeccón de un vector sobre otro: Componentes de un vector La proeccón de un vector sobre otro, denotado por Pro, es otro vector: Pro = cos θ e donde ( cos θ ) es la magntud o módulo, θ es el ángulo que los vectores forman e es un vector untaro en la dreccón sentdo de, fgura 1. La componente de un vector a lo largo de otro vector no nulo, se denota como un escalar que es el módulo del vector proeccón. e θ Pro Fg. 1: ector Proeccón Componentes rectangulares Cualquer vector puede consderarse como la suma de dos o más vectores, sendo el número de posbldades, nfnto. cualquer conjunto de vectores que al sumarse resulte, se les llama componentes de. Las componentes más comúnmente usadas son las rectangulares, es decr, el vector se epresa como la suma de vectores perpendculares entre sí, fgura 2. En el plano, puede epresarse: = +

2 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 133 con = u, = u o ben: = cos α ; = sen α sendo u u, vectores untaros. Por lo tanto: Y = u + u Esta ecuacón epresa un vector en funcón de sus componentes rectangulares en dos dmensones. sí: = cos α u + sen α u u α u Fg.2.Descomposcón rectangular de un vector X Es mportante rescatar que las componentes de un vector en una dreccón partcular son guales a la proeccón del vector en aquella dreccón. EJECICIOS: 1.- (EO) Sendo un vector de 6 undades con ángulo de 65 respecto del semeje +X, halle las componentes respecto de los ejes coordenadas. 2.- (EO) Encontrar las componentes ortogonales de un vector de 12 undades de longtud, cuando éste forma con respecto al eje postvo de las X un ángulo de: a)40 b)60 c)120 d)250. dcón de varos vectores: Método de la Polgonal Para sumar varos vectores 1, 2, 3,..., etendemos el procedmento ndcado para el caso de dos vectores. El método gráfco para tres o más vectores se muestra en la fg. 3, se lo denomna método de la polgonal. s, dbujamos un vector después de otro, o sea consecutvo, ndcando la suma del vector por la línea que va del orgen del prmero al etremo del últmo. Luego: = La forma de epresar en térmnos de los vectores sumandos es a través del uso de las componentes rectangulares Fg.3.Suma de varos vectores de cada vector. Consderemos que todos los vectores están en un msmo plano, de esta forma esten sólo dos componentes de cada vector. El método que usaremos

3 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 134 es el llamado método de descomposcón rectangular, que convene aparte de la gráfca de la descomposcón de cada uno de los vectores dados, emplear el sguente desarrollo algebraco. Entonces = (u 1 + u 1 ) + (u 2 + u 2 ) + (u 3 + u 3 ) +... = u ( ) + u ( ) Por consguente esten para la resultante dos componentes que son las sumas de las componentes de cada vector según las dstntas proeccones: = = cos α = = sen α [1] donde α es el ángulo que cada vector hace con el semeje postvo X.Conocdo estas componentes resultantes se halla. Ejemplo 1:Dados cuatro vectores coplanares de 8,12,10 6 undades de longtud respectvamente; los tres últmos hacen con el prmer vector ángulos de 70º, 150º 200º. Encontrar la magntud la dreccón del vector resultante. Solucón: ealzaremos la descomposcón rectangular de los vectores dados. En forma paralela se realzará dos métodos que resultan apropados, uno geométrco, que permte vsualzar los vectores dados, las componentes de ellos en las dreccones de los ejes X e Y, que fnalmente permtrá comparar verfcar con el resultado que se obtenga a través del otro método, el algebraco, el cuál es nmedato por la fórmula [1]. Calculamos las resultantes de las proeccones de los vectores sobre el eje X sobre el eje Y por separados, según [1], posterormente reconocendo a éstas como las componentes del vector suma, comparamos con la gráfca correspondente del método de la polgonal: =8cos0 +12cos70 +10cos150 +6cos200 =8 + 4,104 + (-8,66) + (-5,638) = -2,194 =8sen0 +12sen70 +10sen sen200 = , (-2,052) = 14,224 sí, la magntud del vector resultante según sus componentes está dado por: 2 2 = + = 14,3922 Por últmo, calculamos el ángulo del vector resultante respecto al eje X: α = arctg = -81º Ejemplo 2: Hallar la suma de los vectores: 1 = 5 u + 6 u 2 = -3 u + 8 u 3 = 2 u + (-5) u 4 = 9 u + u 5 = -4 u + (-2) u Solucón: plcando la ecuacón [1], tenemos:

4 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 135 = 5 + (-3) (-4) = 9 = (-5) (-2) = 8 es decr : = 9 u + 8 u La magntud de es = = 145 =12,04 undades. La dreccón se halla a partr de: tg α = = 0,889, es decr α = 41º38, que es el ángulo que hace con el eje X. EJECICIOS: 3.- (EO) Tres vectores stuados en un msmo plano tenen 8, 3 6 undades de longtud. El prmero el segundo forman un ángulo de 60, mentras que el segundo con el tercero forman un ángulo de 50. Encontrar la magntud del vector resultante de la suma de los tres vectores dados su dreccón con respecto al prmero de ellos. 4.- (EO) Tres vectores stuados en un msmo plano tenen 6, 7 5 undades de longtud. Los ángulos que forman con respecto del prmero de ellos son de Hallar la suma de los vectores dados. 5.-Cuatro vectores coplanares tenen 4,7,10 12 undades respectvamente sus ángulos respecto del sem eje postvo de las X es de Encuentre el vector suma de los dados. plcacones a problemas de Cnemátca Como una aplcacón de los vectores en stuacones problemátcas puede consderarse el uso en planteos Físcos, tales como la cnemátca, estátca dnámca. En estos casos la suposcón Físca es el reconocer que la velocdad, la aceleracón, la fuerza entre otras son cantdades vectorales. Supongamos que tenemos un pez movéndose con una velocdad P relatva al agua. S el agua esta queta P es tambén la velocdad del pez medda con relacón a un observador en la orlla. Pero s el agua flue a una certa velocdad, esto ntroduce un factor de arrastre que afecta a la velocdad del pez. s la velocdad resultante del pez, medda por el pescador en la orlla, es la suma vectoral de la velocdad del pez p relatva al agua la velocdad de arrastre c debda a la corrente del agua. Esto es, = p + c. En forma análoga se pueden presentar ejemplos con objetos (aves) que vuelan con vento. Ejemplo 3: Un barco navega haca el este a 12 metros por segundo. Un pasajero se mueve en la cuberta del barco a 5 m/s en dreccón perpendcular al del movmento de éste haca el norte. Cuál es la velocdad del pasajero respecto al mar?. Solucón: El pasajero tene dos velocdades smultáneas. Debdo a encontrarse a bordo del barco, se está movendo haca el este a razón de 12m/s. Posee además una velocdad de 5m/s sobre la cuberta del barco. Su velocdad real, respecto al mar, es la suma de estas dos velocdades. La suma aparece representada en la fgura 4. La su-

5 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 136 ma vectoral de la velocdad del barco, de la velocdad C del pasajero respecto al barco, es el vector C que une el orgen lbre con el etremo lbre. En este caso el trángulo es rectángulo, según el teorema de Ptágoras: C = + C 2 2 ( + 5 ) m m = 12 = 169 s s m/s 22º37 12m/s Fg.4.epresentacón del ejemplo 3 C 5m/s sí, el valor de la velocdad del pasajero respecto al mar es de 13m/s. Para hallar la dreccón de esta velocdad se tene: 5 tg θ = = 0,4167, por lo 12 tanto: θ = 22º37 al norte del este. POLEMS 6.- (EO) Una lancha de motor va cruzando en línea recta un río, pero es arrastrada por la corrente. Sn la corrente, la velocdad del bote sería de 5km/hora cruzando el río drectamente, sn el motor la lancha sería arrastrada por la corrente a una velocdad de 3 km/hora río abajo. Encuentre la velocdad de la lancha de motor al cruzar el río. 7.-En forma gráfca determne cada uno de los desplazamentos sguentes, posterormente halle la ubcacón fnal luego de los tres desplazamentos, grafca analítcamente: I) 20 m a 30 II) 16 m a 97 III) 12 m a (EO) Un automóvl recorre 80km al oeste después 30km al suroeste a 45 de la dreccón anteror. Cuál es la dstanca del punto de partda luego de efectuar los dos desplazamentos?

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