3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL"

Transcripción

1 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción Límites y continuidd Derivción de funciones vectoriles y sus propieddes Integrción de funciones vectoriles Longitud de rco Vector tngente, norml y inorml Curvtur Aplicciones.7 1

2 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción. Un función vectoril es un función que trnsform un número rel en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llmds funciones componentes de vrile rel del prámetro t. Así, se dice que F es continu, derivle o integrle, si lo son x(t), y(t) y z(t). L función vectoril tmién se puede encontrr representd como f(t). Por tnto, se llm función vectoril culquier función de l form: r t = f t, g t. Plno r t = f t, g t, t. Espcio DOMINIO El dominio de un función vectoril está ddo por l intersección de los dominios de cd un de ls funciones componentes, es decir: Si f t = f 1 t, f 2 t, f 3 t f n t es Df = Df 1 Df 2 Df 3.. Df n REPRESENTACIÓN GRÁFICA L representción grfic de un función vectoril es quell curv C que descrien los puntos finles de los vectores que formn prte de l función pr tod t que pertenece l dominio de l función. Un punto de l curv C tiene l representción crtesin (x,y,z) donde: x = f 1 t y = f 2 (t) z = f 3 (t) Ls cules se llmn ecuciones prmetrics de C. Al signr números reles t se elimin el prámetro y se otienen ecuciones crtesins de C. 2

3 3.2. Límites y continuidd. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Dd un función vectoril F t = (x t, y t, z(t) lim t F t = lim t x t, lim t y t, lim z t = t l Esto signific que cundo t tiende l vlor de, el vector F(t) se cerc más y más l vector l. Pr que exist el límite de l función, dee existir el límite de cd un de ls funciones componentes. CONTINUIDAD Se F t : A R n y un punto de cumulcion de A R. Análogmente l definición utilizd pr funciones esclres diremos que F t es continu en sí y sólo si: - Existe el vector F - Existe el lim t F t - lim t F t = F Teorem: Un función con vlores vectoriles r(t) es continu en t = si y sólo si sus funciones componentes f,g y h son continus en t = Derivción de funciones vectoriles y sus propieddes. Se l función vectoril F t entonces diremos que F t es l derivd de dich función y se define medinte: F (t) = lim t 0 F t + t F(t) t Pr vlores culesquier de t pr los que existe el límite. Cundo el límite existe pr t = se dice que F t es derivle en t =. Teorem Se F t un función vectoril y supongmos que sus funciones componentes f,g y h son tods derivles pr lgún vlor de t, entonces F t es derivle en ese vlor de t y su derivd está dd por: F t = (f t, g t, (t)) PROPIEDADES Supongmos que r(t) y s(t) son funciones vectoriles derivles, que f(t) es un función esclr tmién derivle y que c es un esclr culquier, entonces: 3

4 Cundo un función vectoril definid en un intervlo ierto de R es derivle indefinidmente y su primer derivd no es nul, decimos que se trt de un curv regulr. Al vector F(t) se le llm vector de posición de l curv y los vectores F (t) y F (t) se les llm, respectivmente, vectores velocidd y celerción. De modo que l rpidez en un instnte t es F t, es importnte oservr que l rpidez es un esclr, mientrs que l velocidd un vector. Al vector F (t) tmién se le llm vector tngente l curv F(t) en t, y el vector T t = F (t), es el vector tngente unitrio F t 3.4. Integrción de funciones vectoriles. L función vectoril F(t) es un ntiderivd de l función vectoril f(t), siempre y cundo F t = f(t) INTEGRAL INDEFINIDA Si F(t) es culquier ntiderivd de f(t), l integrl indefinid de est se define como f(t) dt = F t + c Donde c es un vector constnte ritrrio. INTEGRAL DEFINIDA Pr l función vectoril f(t), se define l integrl definid de l mism f(t) dt = (f t, g t, t ) dt = f(t) dt, g(t) dt, (t) dt 4

5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regl de Brrow) Supongmos que F(t) es un ntiderivd de f(t) en el intervlo [,] diremos: f(t) dt = F F() 3.5. Longitud de rco Teorem. Si C es l gráfic de un función F en un intervlo [,] y si F es continu en dicho intervlo, entonces C tiene un longitud L y L = 1 + [F x ] dx = 1 + ( dy dx )2 Ejemplo: Encuentre l longitud de l prte de l práol con ecución y = 4 x 2 que está en l prte superior del eje x. Solución: L curv que se dese determinr es l grfic de F = x, y y = 4 x 2, x [ 2,2] Como F x = 4 x 2, F x = 2x, vemos que F es continu en [-2,2]; por tnto se puede plicr el teorem nterior y tenemos: 2 L = 1 + 4x 2 2 dx dx = ln( ) 2 Ocsionlmente se expres l longitud de un curv C por l ecución: L = B ds A B(,d) = (dx) 2 + (dy) 2 A(,c) L formul nterior sugiere que si l curv C tiene l representción prmétric x = G t, y = H t, t [t 1, t 2 ] Donde = G t 1, = G t 2, c = H t 1, d = H t 2, entonces, como dx = G t dt y dy = H t dt, l longitud L de C se puede otener por: t 2 L = [G t ] 2 + [H t ] 2 dt t 1 L formul nterior se puede plicr pr cundo l ecución de l curv está dd por un función vectoril, por lo que, l longitud de rco de curv entre dos puntos F() y F() viene dd por l fórmul: L F,, = F t dt = x (t) 2 +y (t) 2 + z (t) 2 dt 5

6 3.6. Vector tngente, norml y inorml VECTOR TANGENTE Como y lo vimos nteriormente, l vector F (t) tmién se le llm vector tngente l curv F(t) en t, F t = (f t, g t, (t)) y el vector T t = F (t), es el vector tngente unitrio F t VECTOR NORMAL VECTOR BINORMAL N t = B(t) T(t) = [F t F t ] F (t) F t F t F t B = T t N t = F t F t F t F t Estos tres vectores son unitrios y perpendiculres entre sí, juntos formn un sistem de referenci móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret Curvtur Dd un curv regulr F(t) se puede reprmetrizr, de mner que l longitud de l curv entre dos puntos y coincid con l longitud del intervlo con origen en y extremo en ; en este cso se dice que l curv está prmetrizd por l longitud de rco, que llmmos s. En este cso el vector tngente siempre es unitrio. Se define l curvtur k como l vrición del vector tngente respecto l longitud de rco. k = dt ds L curvtur viene medir como se tuerce l curv respecto de su longitud. Est definición es stnte intuitiv, pero no es fácil de clculr. Pr curvs, no necesrimente prmetrizds por el rco, se puede clculr como T t k = F ; o ien t k = F (t) F (t) F (t) 3 Si l curv está en el espcio, tmién se retuerce y pr medir esto de define l torsión T como T = det (F t, F t, F t ) F (t) F (t) 6

7 3.8. Aplicciones EN ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Pr determinr completmente un función vectoril necesitmos clculr tnto su rotcionl como su divergenci, demás de ls condiciones de contorno. Por ello ls ecuciones fundmentles del electromgnetismo (ecuciones de Mxwell) se expresn en términos de l divergenci y el rotcionl de los cmpos eléctrico y mgnético. Empezremos clculndo l divergenci del cmpo mgnético trvés de l ley de Biot-Svrt: El integrndo de est ecución puede descomponerse según ls regls del cálculo vectoril en l form: donde los dos términos dn un resultdo nulo. Por lo tnto se otiene: que constituye un de ls leyes generles del Electromgnetismo que estlece que el cmpo de inducción mgnétic es solenoidl, es decir tiene divergenci nul en todos los puntos. Esto signific dicho cmpo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tnto, como resltremos posteriormente, ls línes de fuerz del cmpo mgnético siempre son cerrds. Los polos mgnéticos, equivlentes en este cso ls crgs eléctrics, no existen independientemente; siempre que hy un polo Norte h de precer un polo Sur. Otr de ls implicciones del crácter solenoidl del cmpo de inducción es l de que existe un función vectoril de l que deriv: puesto que pr culquier vector A. Este vector sí definido recie el nomre de potencil vector, y su unidd en el S.I. es el W/m. Al igul de lo que ocurre en el cso del potencil electrostático V, el potencil vector no está 7

8 unívocmente determindo puesto que si le ñde culquier mgnitud vectoril de rotcionl nulo se lleg l mismo cmpo mgnético B. EN EL CÁLCULO DE MOVIMIENTO DE UNA PROYECTIL Cundo se lnz un ojeto en presenci solmente de un cmpo grvittorio, como el de l tierr, se oserv que dicho ojeto se elev, lcnz un determind ltur y ce. Ls ecuciones vectoriles que descrien este tipo de movimientos son: Este movimiento ocurre en un plno y pr su estudio se puede descomponer en un movimiento en l dirección horizontl y otro en l dirección verticl. En l dirección horizontl, el movimiento es uniforme con velocidd constnte y ls ecuciones que lo descrien son: donde x 0 es l componente horizontl de l posición inicil y es l componente horizontl del vector velocidd inicil. 0xxv0 En l dirección verticl, el movimiento es uniformemente celerdo, donde l celerción es deid l cmpo grvittorio. Ls ecuciones que lo descrien son: donde y 0 es l componente verticl de l posición inicil, v 0y es l componente verticl de l velocidd inicil y es l componente verticl de l celerción. 8

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas 5. INTEGRAL DE LÍNEA 5.1 Introducción Nos proponemos mplir l noción de integrl, que y conocemos pr el cso de funciones de un vrile rel, cmpos de vris vriles. Cundo se definí l integrl definid pr un función

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL. TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente.

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente. 1.6. Integrl de líne de un mpo Vectoril Grdiente. n Definición. Se l función esclr f definid por f : D R R, un función continumente diferencible, y se l curv, un curv prcilmente suve definid prmétricmente

Más detalles

2 Funciones vectoriales

2 Funciones vectoriales 2 Funciones vectoriles 2.1. Definición, dominio, imgen, gráfic Definición de función Un función de vlor vectoril o simplemente un función vectoril (en R n ) vectoril es un función cuyo dominio es un conjunto

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

VECTORES PLANO Y ESPACIO

VECTORES PLANO Y ESPACIO TETO º 3 ECTOES PLAO ESPACIO Conceptos Básicos Ejercicios esueltos Ejercicios Propuestos Edict Arrigd D. ictor Perlt A Diciemre 008 Sede Mipú, Sntigo de Chile Introducción Este mteril h sido construido

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e.

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e. MsMtescom Integrles Selectividd CCNN Murci [] [EXT-A] ) Clcule l integrl indefinid rctgd, donde rctg denot l función rco-tngente de ) De tods ls primitivs de l función f() = rctg, encuentre l que ps por

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Qué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa.

Qué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa. Qué es el movimiento rectilíneo uniformemente vrido? Es un movimiento mecánico que experiment un móvil donde l tryectori es rectilíne y l celerción es constnte. Qué es l celerción? Es un mgnitud vectoril

Más detalles

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL Práctics Mtlb Práctic Objetivos Profundizr en l comprensión del concepto de integrción. Aplicr l integrl l cálculo de áres y volúmenes Comndos de Mtlb int Clcul de

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

Un vector es simplemente un segmento orientado. sentido. módulo a

Un vector es simplemente un segmento orientado. sentido. módulo a 1 1-MAGNITUDES ESCALARES Y ECTORIALES. CÁLCULO ECTORIAL BÁSICO -CINEMÁTICA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DEL MOIMIENTO. 3-CLASIFICACIÓN DE MOIMIENTOS. 4-COMPOSICIÓN DE MOIMIENTOS. PROYECTILES.

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

Suma de DOS vectores angulares o concurrentes

Suma de DOS vectores angulares o concurrentes Suma de DOS vectores angulares o concurrentes y F 2 o a q=? F 1 x Suma de DOS vectores angulares o concurrentes Trángulo oblcuo: aquel que no tene nngún ángulo recto Ley de los Senos Ley de los Cosenos

Más detalles

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Cálculo Integral. Métodos de integración

Cálculo Integral. Métodos de integración Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS

INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN l CÁLCULO de ÁREAS Isc Brrow (60-677), teólogo y mtemático inglés, mestro de Newton y precursor de l regl que llev su nomre. MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES

Más detalles

Vectores en R 2 y R 3

Vectores en R 2 y R 3 Vectores en R R 3 Vectores en R R 3 Mgnitudes esclres vectoriles H mgnitudes que quedn determinds dndo un solo número rel. Por ejemplo: l longitud de un regl, l ms de un cuerpo o el tiempo trnscurrido

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr un

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Vectores. Dr. Rogerio Enríquez

Vectores. Dr. Rogerio Enríquez Vectores Dr. Rogerio Enríquez Objetivo Eductivo Reflexión sobre lo que y se sbe Dominr los conceptos como mestros Unir l geometrí con el álgebr Deducir lógicmente el álgebr Explorr el dominio mtemático

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Contenidos. Tema 1. Geometría Diferencial. Producto Escalar y Vectorial Producto escalar.

Contenidos. Tema 1. Geometría Diferencial. Producto Escalar y Vectorial Producto escalar. Contenidos Tem 1. Geometrí Diferencil Curvs en el espcio Análisis Vectoril y Estdístico Preliminres Operciones con vectores en R 3 Producto esclr Producto Vectoril Deprtmento de Mtemátic Aplicd E.P.S.

Más detalles

Circuitos de Corriente Continua

Circuitos de Corriente Continua Fundmentos Físicos y Tecnológicos de l nformátic Circuitos de Corriente Continu -Corriente eléctric, densidd e intensidd de corriente. - Conductnci y resistenci eléctric. - Ley de Ohm. Asocición de resistencis.

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo 2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones

Fundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones Fundmentos mtemáticos Grdo en Ingenierí grícol y del medio rurl Tem 7 Integrción. Aplicciones José Brrios Grcí Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de L Lgun jrrios@ull.es 16 Licenci Cretive Commons

Más detalles

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por Operdor nbl El operdor nbl es: = xˆ x + ŷ y + ẑ z Definimos el grdiente de un cmpo esclr ϕ(x ) por: ϕ =xˆ ϕ x + ŷ ϕ y + ẑ ϕ z e A (x ) =A x (x )xˆ +A y (x )ŷ +A z (x )ẑ un cmpo vectorl. L divergenci de

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Guía Semana 4 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Guía Semana 4 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática . RESUMEN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Vris Vriles 08- Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Guí Semn 4 Grdiente. Sen Ω Ê N un ierto, f

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

r = 1 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESPLAZAMIENTO Y VECTORES

r = 1 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESPLAZAMIENTO Y VECTORES 1 Introducción l Físic Prlelos 10 13. Profesor RodrigoVergr R DPLAZAMIT Y VCTR 1) Repso de trigonometrí Definir plicr ls 3 funciones trigonométrics ásics en triángulos rectángulos. Definir ls funciones

Más detalles

Integración en el plano complejo

Integración en el plano complejo Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles