Aplicaciones Lineales (Curso )

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1 ÁLGEBRA Práctica 6 Aplicaciones Lineales (Curso ) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales determinar cuáles son homomorfismos monomorfismos epimorfismos o isomorfismos. Obtener también con respecto a bases que se definirán la expresión matricial base y ecuaciones del núcleo y la imagen de todos los homomorfismos. (a) f : IR IR f(x) = 3x + 2 (b) g : IR 2 IR 3 g(x y) = (x y x + y) (c) h : IR 2 IR 2 h(x y) = (xy x 2y) (d) u : P 3 (IR) P 2 (IR) (e) v : M 2 3 S 3 2. Dada la matriz u(p(x)) = p (x) a b c v = d e f a + b a b c a b d e + f c e + f e f A = ( ) y las bases B 1 = {(2 1) (1 1)} en IR 2 y B 2 = {(0 1 1) (1 1 1) ( 1 2 0)} en IR 3 se pide hallar las matrices en las bases canónicas respectivas de las siguientes aplicaciones lineales f : IR 2 IR 3 : (a) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la base B 1 y en IR 3 la canónica (b) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la canónica y en IR 3 la base B 2 (c) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la base B 1 y en IR 3 la base B Sea P 2 (IR) el espacio de polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Consideramos la siguiente aplicación: f : P 2 (IR) IR 3 f(p(x)) = (p( 1) p(0) p(1)) (a) Probar que f es lineal. (b) Calcular la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. (c) Probar que los polinomios: B = { forman una base de P 2 (IR). x(x 1) (1 x)(1 + x) 2 x(x + 1) } 2 (d) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base B y la base canónica de IR 3. (e) Hallar un polinomio p(x) de grado menor o igual que 2 verificando: p( 1) = y 1 p(0) = y 2 p(1) = y 3.

2 (Examen extraordinario septiembre 2008) 4. Sea el espacio vectorial V de las funciones reales de una variable definidas sobre IR con las operaciones habituales de suma de funciones y producto por un escalar. Si φ es la aplicación que hace corresponder a cada terna de números reales (a b c) la función f (abc) definida por: f (abc) (x) = asen 2 x + bcos 2 x + c x IR Se pide: a) Probar que φ es una aplicación lineal de IR 3 en V. b) Hallar una base de la imagen y otra del núcleo analizando si φ es inyectiva o sobreyectiva. c) Comprobar que el conjunto U formado por las funciones constantes es un subespacio vectorial de V. Hallar su dimensión y una base. d) Hallar el conjunto origen de U si es un subespacio vectorial dar una base. (Primer parcial febrero 1999) 5. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales M 2 2 (IR) se consideran los subconjuntos U = {A M 2 2 (IR) traza(a) = 0} V = L{Id} (c) Calcular la matriz asociada respecto a la base canónica de la aplicación proyección sobre U paralelamente a V : p : M 2 2 (IR) M 2 2 (IR). (d) Calcular la proyección de la matriz (Primer parcial enero de 2008) sobre V paralelamente a U (a) Decidir si existe alguna aplicación lineal f : IR 3 IR 4 tal que ker f = {(x 1 x 2 x 3 ) IR 3 : x 1 x 3 = x 2 = 0} Im f = {(y 1 y 2 y 3 y 4 ) IR 4 : y 1 y 2 = y 2 y 3 = 0}. Si existe dar la matriz (con respecto a las bases canónicas de IR 3 y IR 4 ) de una que verifique estas condiciones. Si no existe demostrarlo. (b) Idem para ker f = {(x 1 x 2 x 3 ) IR 3 : 2x 1 x 2 + x 3 = 0} Im f = {(y 1 y 2 y 3 y 4 ) IR 4 : y 1 + 2y 2 = y 1 y 3 = 0}. (Primer parcial febrero 2001)

3 7. Sea U un espacio vectorial y f g endomorfismos de U. Discutir la veracidad de las siguientes afirmaciones probando aquellas que sean ciertas y descartando las falsas con un contraejemplo. (a) Ker(f) + Ker(g) Ker(f + g). (b) Ker(f + g) Ker(f) + Ker(g). (c) Ker(f) Ker(g) Ker(f + g). (Examen extraordinario diciembre 2007) 8. Sea V un espacio vectorial real de dimensión 3. Sean U y W dos subespacios suplementarios de V de dimensiones 2 y 1 respectivamente. Llamamos f : V V a la aplicación proyección sobre U paralelamente a W. Sea B una base de V. Probar que la matriz asociada a f respecto a la base B cumple: F BB n = F BB para cualquier n 1. (Primer parcial enero 2006) 9. En el espacio vectorial IR 3 consideramos las bases C = {ē 1 ē 2 ē 3 } y B = {ū 1 ū 2 ū 3 }. ē 1 = (1 0 0); ē 2 = (0 1 0); ē 3 = (0 0 1). ū 1 = (1 1 0); ū 2 = (1 0 0); ū 3 = ( 1 0 1). Consideramos la aplicación lineal f : IR 3 IR 3 dada por: Calcular: f(ē 1 ) = ū 1 + ū 2 ; f(ē 2 ) = ū 3 ū 1 ; f(ē 3 ) = ū 2 + ū 3. (a) La matriz asociada a f respecto a la base canónica C. (b) La matriz asociada a f respecto a la base B. (c) Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas del núcleo y de la imagen de f respecto a las bases B y C. (Examen final septiembre 2006) 10. Para cada k IN sea P k el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que k y coeficientes reales. Sabemos que es una base de P k. Se pide: (a) Fijado un n IN se define la aplicación B k = {1 x 1 (x 1) 2 (x 1) 3... (x 1) k } f : P n P n+1 f(p(x)) = (x 1)p(x) Demostrar que f es una aplicación lineal. (b) Determinar el núcleo de f. Es f inyectiva?

4 (c) Demostrar que la imagen de f coincide con el conjunto de los polinomios de P n+1 que se anulan en x = 1. Encontrar la dimensión y una base de dicho subespacio. (d) Dar la matriz que representa a f en las bases B n = {1 x 1 (x 1) 2 (x 1) 3... (x 1) n } en P n B n+1 = {1 x 1 (x 1) 2 (x 1) 3... (x 1) n+1 } en P n+1 (e) Para n = 3 existe alguna aplicación lineal g : P 4 P 3 tal que g f sea la identidad de P 3? Si existe dar su matriz en las bases B 4 y B 3. Si no existe justificarlo. 11. En IR 2 se definen los endomorfismos f g : IR 2 IR 2 como: f(u 1 ) = 2u 1 u 2 f(u 2 ) = e 1 e 2 ; g(e 1 ) = u 1 + u 2 ; g(e 2 ) = e 1 e 2 donde {e 1 e 2 } son los vectores de la base canónica y u 1 = (1 2) u 2 = (2 3). (a) Calcular las matrices asociadas a f y g respecto a la base canónica. (b) Calcular la matriz asociada respecto a la base {u 1 u 2 } de f g. (Prime parcial enero 2008) 12. Sea M 2 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales 2 2. Consideramos la aplicación: donde P = f : M 2 2 (IR) M 2 2 (IR). 1 2 (a) Probar que f es una aplicación lineal. (b) Probar que las matrices: B = son una base de M 2 2 (IR). { (c) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base B. f(a) = A AP. } (d) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen de f con respecto a la base B. (e) Sea S 2 el subespacio vectorial de matrices simétricas. Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de S 2 Im(f) con respecto a la base canónica. Son subespacios suplementarios?. (Examen final junio 2007) 13. En el espacio vectorial IR 3 dados dos valores reales a b R se definen los subespacios: U = L{(1 a 1) (b 1 a)} V = L{(0 1 1) (a 1 1 b)}. (c) Para a = 1 y b = 1 y respecto de la base canónica calcular las matrices asociadas a la aplicación proyección sobre U paralelamente a V y a la aplicación proyección sobre V paralelamente a U. (Examen final septiembre 2008)

5 14. En IR 3 y con respecto a la base canónica se dan los subespacios vectoriales: U = L{(1 0 1) ( 1 1 0)} V = {(x y z) IR 3 x + y + z = 0 x y + z = 0 }. a) Demostrar que U y V son subespacios suplementarios. b) Calcular la matriz respecto de la base canónica de la proyección sobre V paralelamente a U. c) Descomponer el vector (2 2 2) como suma de un vector de U y otro de V. Es única esta descomposición? (Examen septiembre 2007) 15. Encontrar la (única) respuesta correcta de entre las indicadas a las siguientes cuestiones: (a) Dado un espacio vectorial real V de dimensión n y en él un endomorfismo f que cumple que f 2 = f f = θ (homomorfismo nulo) Ker f Img f. Img f Ker f. Ker f = V. Ker f Img f = V. (Primer parcial febrero 1997) (b) De las aplicaciones lineales de IR 3 en IR 4 Todas son inyectivas. Ninguna es sobreyectiva. Algunas son biyectivas. Ninguna de las restantes respuestas es correcta. (Primer parcial enero 2004) (c) Sea f : V V un endomorfismo de un espacio vectorial V tal que f f = f Kerf = Imf. (f id) (f id) = f. (f id) (f id) = f id. (id f) (id f) = id f. (Primer parcial enero 2008) (d) Sean B 1 = { v 1 v 2 } y B 2 = { v 2 ( v 1 } dos ) bases de un espacio vectorial V. Sea f : V V 1 2 un endomorfismo de V. Si A = es la matriz de f respecto a la base B entonces la matriz de f respecto a la base B 2 es: 4 3 F B2 B 2 = F B2 B 2 = F B2 B 2 = F B2 B 2 = (Primer parcial enero 2006) 1 2

6 (e) Sean U y V espacios vectoriales reales tales que dim(u) = 15 dim(v ) = 10. Sea f : U V un aplicación lineal de U en V : dim(ker(f)) 5. f siempre es sobreyectiva. f puede ser inyectiva. dim(ker(f)) 5. (Primer parcial enero 2006)

7 ÁLGEBRA Problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso ) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin término independiente se transforman por f en sí mismos. (2) El núcleo de f es el subespacio de los polinomios de P 2 (IR) que tienen los tres coeficientes iguales. Se pide: (a) Matriz del homomorfismo f en la base canónica de P 2 (IR) B = {1 x x 2 }. (b) Base del subespacio transformado del de ecuaciones paramétricas a 0 = λ + ρ a 1 = λ ρ a 2 = λ (c) Dar una determinación de la restricción de f al subespacio { a0 2a 1 = 0 a 1 + a 2 = 0 (d) Sea g : P 2 (IR) P 1 (IR) definido así: g(p(x)) = p(x) p(x 1). Encontrar la matriz de la aplicación g f (1) en las bases canónicas de P 2 (IR) y P 1 (IR) (2) en la base {1 + x + x x 1} en P 2 (IR) y la canónica en P 1 (IR) (3) en la base canónica en P 2 (IR) y la {1 + x 1 x} en P 1 (IR) (4) en las bases {1 + x + x x 1} en P 2 (IR) y {1 + x 1 x} en P 1 (IR). II. Sean U V y W tres espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K f y g aplicaciones lineales f : U V y g : V W. Demostrar que: (Primer parcial enero de 2002) Ker(g f) = f 1 (Kerg Imf) III. Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y f g : E E dos endomorfismos tales que f + g = i E y g f = θ (i E denota el endomorfismo identidad; θ el endomorfismo cero). Demostrar que E = Imf Img. (Primer parcial febrero 2001)

8 IV. Sea f una aplicación lineal del espacio vectorial real S 2 de las matrices simétricas de dimensión 2 en el espacio vectorial real M 2 2 de las matrices cuadradas de dimensión 2 siendo: f = f = f = Se pide: (a) Matriz de f indicando las bases en las que está definida. (b) {( Ecuaciones) paramétricas ( de la imagen ) ( de f en )} la base { 2 2 (c) Ecuaciones cartesianas del núcleo de f en la base } 2 1. (d) Encontrar un subespacio de S 2 y otro de M 2 2 ambos de dimensión 2 entre los que la restricción de f a ellos sea biyectiva. (Primer parcial enero de 2002) V. Sea V un espacio vectorial y V 1 y V 2 dos subespacios vectoriales suyos. Se define la aplicación lineal: f : V 1 V 2 V ; f( x 1 x 2 ) = x 1 + x 2 Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que V 1 y V 2 sean suplementarios es que f sea biyectiva. (Primer parcial enero 2005) VI. Sean S 1 y S 2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Considérense las aplicaciones f g S 1 S 2 S 1 S 2 V (a) Demostrar que f y g son homomorfismos. (b) Calcular el núcleo y la imagen de f y g. (c) Deducir que si V es de dimensión finita (Primer parcial febrero 1996) f( x) = ( x x) g( x 1 x 2 ) = x 1 + x 2 dim(s 1 + S 2 ) + dim(s 1 S 2 ) = dims 1 + dims 2. VII. Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grados menor o igual que 2; sean: p(x) = 1 + x + x 2 ; q(x) = 1 + 2x 2 ; r(x) = x + x 2 y sean u = (2 0 1); v = (3 1 0); w = (1 2 3). Considérese la aplicación lineal f : V IR 3 definida por: f(p(x)) = u; f(q(x)) = v; f(r(x)) = w.

9 (a) Hallar la matriz de f respecto de las bases canónicas de V y IR 3. (b) Hallar una base B de V y otra base C de IR 3 tales que respecto de ellas la matriz de f sea la identidad I 3. (Examen extraordinario diciembre 2005) VIII. Se considera el endomorfismo f : P 2 P 2 definido por: f(1) = 1; f(x 1) = x + 1; f((x 1) 2 ) = 2x + 3. (a) Hallar la matriz de f respecto a la base canónica de P 2. (b) Probar que los polinomios B = {1 x 1 (x 1) 2 } forman una base de P 2. Hallar la matriz de f respecto a esta base. (c) Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del núcleo Ker(f) con respecto a la base canónica y a la base B. (d) Calcular una base de polinomios de la imagen Im(f). (Primer parcial enero 2006) IX. Sea S 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales simétricas 2 2. Sea P 2 (IR) el espacio de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Definimos la aplicación: ( p f : P 2 (IR) S 2 (IR); f(p(x)) = (0) p ) (1) p (1) p ( 1) (a) Probar que f es una aplicación lineal y escribir la matriz asociada a f con respecto a las bases canónicas de P 2 (IR) y S 2 (IR). (b) Probar que B = {x 2 (x 1) 2 (x + 1) 2 } es base de P 2 (IR). (c) Calcular las ecuaciones cartesianas del núcleo de f expresadas en coordenadas en la base B. (d) Calcular una base de la imagen de f y escribir las ecuaciones cartesianas de un espacio suplementario. (e) Sea U = {A S 2 (IR)/traza(A) = 0}. Probar que U es un subespacio vectorial de S 2 (IR). Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de U U Im(f) y U + Im(f). X. Sea P 3 (IR) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3. siguiente aplicación: Definimos la f : P 3 (IR) P 3 (IR) f(p(x)) = p(x + 1) p(x). a) Probar que f es lineal. b) Probar que los polinomios B = {q 0 (x) q 1 (x) q 2 (x) q 3 (x)} definidos como: q 0 (x) = 1; q 1 (x) = x 1; q 2 (x) = (x 1)(x 2) ; q 3 (x) = 2 (x 1)(x 2)(x 3) ; 6

10 son una base de P 3 (IR). c) Calcular la matriz asociada a f con respecto a la base B. d) Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de la imagen y del núcleo de f con respecto a la base B y a la base canónica. (Examen extraordinario diciembre 2006) XI. En IR 4 consideramos los subespacios vectoriales: U = L{(b b 1 1) ( ) ( )} V = L{( ) (0 a 1 1) ( )} (b) Para los valores de a b para los cuales tenga sentido calcular la matriz asociada respecto de la base canónica de la aplicación p : IR 4 IR 4 proyección sobre U paralelamente a V. (Examen final junio 2008) XII. Sean f : IR 5 IR 4 y g : IR 4 IR 5 aplicaciones lineales no nulas tales que g f es idénticamente cero y dim Img = 3. Calcular dim Kerf. (Examen final septiembre 2007) XIII. Sea P 2 (IR) el espacio vectorial real de los polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que 2. Sean α β γ tres números reales. Definimos la aplicación f : P 2 IR 3 f(p(x)) = (p(α) p(β) p(γ)) (a) Demostrar que f es una aplicación lineal. (b) Demostrar que f es un isomorfismo si y sólo si los números α β γ son todos distintos. (c) Para α = 1 β = 1 γ = 1 encontrar bases de Ker f e Im f. (d) Sean α = 0 β = 2 γ = 1. Encontrar si es que existen una base en P 2 (IR) y otra en IR 3 con respecto a las cuales la matriz de f sea la identidad. Si no existen tales bases justificarlo. (Examen final julio 2002) XIV. Encontrar la (única) respuesta correcta de entre las indicadas a las siguientes cuestiones: (a) En el espacio vectorial real de las funciones derivables f : IR IR se considera el subespacio V generado por las funciones senx y cosx. La aplicación t : V V que lleva cada función de V a su derivada no está bien definida porque su imagen no está contenida en V. es inyectiva pero no sobreyectiva. es sobreyectiva pero no inyectiva. es un automorfismo. (Examen final junio 2000) (b) Sean dos espacios vectoriales reales U y V y dos homomorfismos f : U V y g : V U que cumplen g f = θ

11 Imf Kerg Img Kerf Kerf Img Kerg Imf (Primer parcial enero 2004) (c) Si U es un espacio vectorial y f g endomorfismos de U entonces. Ker(f) + Ker(g) Ker(f + g). Ker(f) Ker(g) Ker(f + g). Ker(f) Ker(g) Ker(f + g). Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. (Primer parcial enero 2006) (d) Entre dos espacios vectoriales reales de dimensión finita V y W se define una aplicación lineal f : V W. Si V = W entonces Ker(f) Im(f). Si Ker(f) = V entonces W = { 0}. Si W = { 0} entonces Ker(f) = V. Si V = W e Im(f) Ker(f) entonces f = θ. (Primer parcial enero 2005)