Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1

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1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1 Instrucciones: Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba con bolígrafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes, cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos. Question Points Score Total: 50 Chequee su sección en la tabla Nombre: Código: Firma: Sección Profesor 01 Mauricio Velasco Grigori 06 Mikhail Malakhaltsev 11 Paul Bressler 16 Marco Boggi 21 Alexander Cardona Guio 26 Jean Carlos Cortissoz Iriarte Bogotá, Marzo 8, 2014 Mi sección 1 El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad

2 Código: Tema B Pág. 2 de (10 points) Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Sea Σ la superficie de gráfico de la función f(x,y) = x 2 +y 2. Hallar todos los puntos de la superficie Σ donde el plano tangente a la superficie sea paralelo al plano 2x 4y z = 0. Respuesta: Solution: La superficie Σ es dada por la ecuación F(x,y,z) = x 2 +y 2 z, entonces el vector normal al plano tangente es F = (2x,2y, 1). Como el vector normal al plano α : 2x 4y z = 0 es N = (2, 4, 1), el plano tangente es paralelo al plano α si y sólo si 2x = 2λ, 2y = 4λ, 1 = λ. Entonces λ = 1 y por lo tanto x = 1, y = 2 y luego z = 5. Respuesta: Pautas de corrección: Reglas generales: (1, -2, 5) Cada error en cálculo Cada error aritmético...-1 El camino sin solución correcta...0 Créditos parciales: De un total de 10 puntos: Vector normal al plano...3 Vector normal a la superficie en (x,y,z)...3 Plantear que los vectores son paralelos ssi uno se obtiene del otro multiplicando por alguna constante λ (-1 si se pide que los vectores normales sean iguales y no paralelos) o por plantear que el producto cruz entre los dos vectores normales debe ser cero...2 Solucion correcta de la ecuacion de paralelismo planteada anteriormente...2 Problema 1 continúa en la página siguiente...

3 Prob. 1 cont... Código: Tema B Pág. 3 de 15

4 Código: Tema B Pág. 4 de Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Suponga que T(x,y,z) = e ( 3x2 2y 2 z 2) es la temperatura en grados de un punto (x,y,z) R 3 (x, y, z están medido en centímetros). Suponga que tenemos una partícula en el punto (1, 1,1). (a) (5 points) En qué dirección (unitaria) debería moverse la partícula para disminuir su temperatura lo más rápidamente posible? (b) (5 points) Si la partícula avanza a una velocidad de e 6 cm/seg en la dirección determinada en la parte (a), con que rapidez decrecerá la temperatura? Respuesta: (a) (b) Solution: a) Sea A(1, 1,1). La partícula debe moverse en la dirección del vector T(A). Como T = 2e ( 3x2 2y 2 z 2) (3x,2y,z), entonces T(A) = 2e 6 (3, 2,1) = 2e 6 ( 3,2, 1). Entonces la partícula debe moverse en la dirección determinada por el vector unitario u = ( 3/ 14, 2/ 14,1/ 14 ). b) La rapidez es igual a ( e 6 T(A) u = 2( 3,2, 1) 3/ 14, 2/ 14,1/ ) 14 = Respuesta: (a) (b) ( 3/ 14, 2/ 14,1/ 14 ) 2 14 Problema 2 continúa en la página siguiente...

5 Prob. 2 cont... Código: Tema B Pág. 5 de 15 Pautas de corrección: Reglas generales: Cada error en cálculo Cada error aritmético...-1 El camino sin solución correcta...0 Créditos parciales: El vector gradiente T...2 El valor de vector gradiente T(A)...1 El vector de la dirección no es unitario...-1 La formula e 6 T(A) u...4 La formula T(A) u (sin e 6 )...2 Problema 2 continúa en la página siguiente...

6 Prob. 2 cont... Código: Tema B Pág. 6 de 15

7 Código: Tema B Pág. 7 de Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. (a) (4 points) (a) Demostrar que la ecuación x+2z+3y = sin(x 2 z) define una función z = f(x,y) en una vecindad del punto (1, 1) tal que f(1, 1) = 1. (b) (4 points) (b) Hallarlosvaloresdelasderivadasparciales f f (1, 1)y (1, 1),donde x y la función f(x,y) es definida en la parte a). (c) (2 points) (c) Hallar la recta normal al gráfico de la función z = f(x,y) definida en la parte a) en el punto (1, 1,1). Respuesta: (b) (c) Solution: a) Tomemos F(x,y,z) = x+2z +3y sin(x 2 z). F(1, 1,1) = 0, luego F z (x,y,z) = 2 + cos(x 2 z) implica F z (1, 1,1) = 3 0. Entonces el teorema de función implícita implica la afirmación. b) Encontraremos las derivadas f x (1, 1) y f y (1, 1). Derivamos la identidad x + 2f(x,y) + 3y sin(x 2 f(x,y)) = 0 con respecto a x y después ponemos x = 1, y = 1, f(1, 1) = 1: x : 1+2f x(x,y) cos(x 2 f(x,y))(2x f x (x,y)) = 0 1+2f x (1, 1) (2 f x (1, 1)) = 0 f x (1, 1) = 1/3. y : 2f y(x,y)+3 cos(x 2 f(x,y))( f y (x,y)) = 0 c) x = 1+t/3, y = 1 t, z = 1 t. Respuesta: (b) (c) 2f y (1, 1)+3+f y (1, 1)) = 0 f y (1, 1) = 1. f x (1, 1) = 1/3, f y (1, 1) = 1 x = 1+t/3, y = 1 t, z = 1 t Problema 3 continúa en la página siguiente...

8 Prob. 3 cont... Código: Tema B Pág. 8 de 15 Pautas de corrección: Reglas generales: Cada error en cálculo Cada error aritmético...-1 El camino sin solución correcta...0 Créditos parciales: En a): La función F(x,y,z) y verificación que F(x 0,y 0,z 0 ) = Verificación que F(x z 0,y 0,z 0 ) Referencia al teorema de la función implícita...1 En c): El vector normal a la superficie... 1 Problema 3 continúa en la página siguiente...

9 Prob. 3 cont... Código: Tema B Pág. 9 de 15

10 Código: Tema B Pág. 10 de Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. SeaΓlacurvaenelplanodadaporlaecuaciónparamétrica r(t) = (1+sin(2t),t 2 sin(t) 1), t ( π/2,π/2). (a) (5 points) Hallar la recta normal a la curva Γ en el punto (1, 1). (b) (5 points) Hallar la curvatura de la curva Γ en el punto (1, 1). Respuesta: a) b) Solution: a) Si (1+sin(2t),t 2 sin(t) 1) = (1, 1), entonces bajo la condición que t ( π/2,π/2) tenemos que t = 0. Tenemos que r (t) = (2cos(2t),2t cos(t)), entonces r (0) = (2, 1). Por lo tanto la recta normal es dada por la ecuación 2(x 1) (y +1) = 0 o 2x y 3 = 0. b) Como r (t) = ( 4sin(2t),2 + sin(t)), r (0) = (0,2), entonces la curvatura de la curva en este punto es ( ) k(0) = r 2 1 (0) r (0) det 0 2 = r (0) 3 = ( 1) Respuesta: a) b) Pautas de corrección: Reglas generales: 2x y 3 = 0 Cada error en cálculo Problema 4 continúa en la página siguiente...

11 Prob. 4 cont... Código: Tema B Pág. 11 de 15 Cada error aritmético...-1 El camino sin solución correcta...0 Créditos parciales: En a): El punto t = El vector tangente en t = La ecuación de la recta tangente...2 En b): La formula para la curvatura...1 Problema 4 continúa en la página siguiente...

12 Prob. 4 cont... Código: Tema B Pág. 12 de 15

13 Código: Tema B Pág. 13 de No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas. Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso. (a) (2 points) En el plano la recta l 1 dada por la ecuación x y 1 = 0 y la recta l 2 dada por la ecuación: x = 2+t y y = t son paralelas.... (b) (2 points) La función f(x,y) = e x cosy es una solución de la ecuación diferencial 2 f 2 f x 2 y 2 = (c) (2 points) La longitud de la curva parametrizada r(t) = (cost,2sint,2t), 0 t 1, es major que (d) (2 points) Si r(t), t (a, b), es una función vectorial diferenciable tal que para cada t (a,b) tenemos r(t) = 9, entonces los vectores r(t) y r (t) son perpendiculares para cada t (a,b).... (e) (2 points) La Figura 1 muestra las curvas de nivel de la función f(x,y) = 2x 2 y 2 correspondientes a los valores 0,2,4,,40 de f(x,y).... Figure 1. Las curvas de nivel de la función f(x,y) Solution: (a) En el plano la recta l 1 dada por la ecuación x y 1 = 0 y la recta l 2 dada por la ecuación: x = 2+t y y = t son paralelas.... (b) La función f(x,y) = e x cosy es una solución de la ecuación diferencial 2 f x 2 2 f y 2 = (c) Lalongituddela curva parametrizada r(t) = (cost,2sint,2t),0 t 1, esmajor que Problema 5 continúa en la página siguiente... V F F

14 Prob. 5 cont... Código: Tema B Pág. 14 de 15 (d) Si r(t), t (a,b), es una función vectorial diferenciable tal que para cada t (a,b) tenemos r(t) = 9, entonces los vectores r(t) y r (t) son perpendiculares para cada t (a,b).... (e) La Figura 1 muestra las curvas de nivel de la función f(x,y) = 2x 2 y 2 correspondientes a los valores 0,2,4,,40 de f(x,y).... Problema 5 continúa en la página siguiente... V F

15 Prob. 5 cont... Código: Tema B Pág. 15 de 15