IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode A, X y B so matrices cuadradas de la misma dimesió. (1 puto) Despeje la matriz X e la igualdad aterior, sabiedo que A tiee iversa ( putos) Obtega la matriz X e la igualdad aterior, siedo A = y B = Solució ( Despeja la matriz X de AX + B = A, de dode AX = A B. De AX + B = A, obteemos AX = A B. Si A tiee iversa podemos multiplicar por la izquierda la epresió AX = A B por la iversa A -1 quedádoos. A -1.AX = A -1.A A -1.B, es decir X = I - A -1.B co I la matriz uidad de orde. ( Obtega la matriz X e la igualdad aterior, siedo Si A tiee iversa mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la epresió (I B), dode B = A F1-.F (-1).F (I A) = Cambio F +3.F F 1 por F , por tato A = Tambié se puede calcular co determiates, A -1 = (1/ A ).Adj(A t ) siempre que A 0. 5 A = ; A = 6-5 = 1; A t 1 = ; Adj(A t ) = 3-5 ; luego A -1 = (1/ A ).Adj(A t ) = X = I - A -1.B = = = EJERCICIO + si < 0 Sea la fució f() =. si 0 +1 ( putos) Aalice la cotiuidad y la derivabilidad de la fució e su domiio. (0 5 putos) Determie la asítota horizotal, si la tiee. (0 5 putos) Determie la asítota vertical, si la tiee. Solució ( Aalice la cotiuidad y la derivabilidad de la fució e su domiio. + si < 0 f() =, si es ua fució poliómica, luego cotiua y derivable e tofo R, e particular e < 0. es ua fució racioal, luego cotiua y derivable e R - {solucioes +1 = 0} = R - {-1}, e particular +1 e > 0. Por ahora teemos que f() es cotiua y derivable e R-{0}. Nos falta ver la cotiuidad y derivabilidad e = 0. f() es cotiua e = 0 si f(0) = lim f() = lim f() 0 0+ f(0) = = 0; lim f() = lim ( + )= (0) +(0) = 0; 0 0 iguales, la fució f() es cotiua e = 0. lim f() = lim = 0 = 0. Como los tres valores so 0+1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ + si < 0 +1 si < 0 +1 si < 0 f() =, f () = (+1)- = 1, si 0 si > 0 si > 0 +1 (+1) (+1) f() es derivable e = 0 si lim f () = lim f (), estamos viedo la cotiuidad de la derivada lim f () = lim (+1) = 0+1 = 1; lim f () = lim = 1/1 = 1, como ambos valores coicide la (+1) +1 si < 0 fució f() es derivable e = 0. Luego f() = 1. si 0 (+1) Determie la asítota horizotal, si la tiee. La fució f() tiee ua asítota horizotal e +, porque lim + f() = lim + térmios de mayor grado de } = lim + asítota horizotal de f() e +. Determie la asítota horizotal, si la tiee. = {os quedamos co los +1 = { simplifico las } = lim 1= 1, luego la recta y = 1 es la + Si tuviese asítota vertical, la tedría e = -1 para la rama +1, pero dicha rama sólo está defiida +1 par 0, por tato f() o tiee asítota vertical. EJERCICIO 3 Parte I U turista que realiza u crucero tiee u 50% de probabilidad de visitar Cádiz, u 40% de visitar Sevilla y u 30% de visitar ambas ciudades. Calcule la probabilidad de que: (0 5 putos) Visite al meos ua de las dos ciudades. (0 5 putos) Visite úicamete ua de las dos ciudades. (0 5 putos) Visite Cádiz pero o visite Sevilla. d) (0 5 putos) Visite Sevilla, sabiedo que ha visitado Cádiz. Solució Llamemos C y S a los sucesos siguietes, visitar Cádiz y " visitar Sevilla, respectivamete. De u turista tiee u 50% de probabilidad de visitar Cádiz, teemos p(c) = 50% = 0 5. De u turista tiee u 40% de probabilidad de visitar Sevilla, teemos p(s) = 40% = 0 4. De u turista tiee u 30% de probabilidad de visitar ambas, teemos p(c y S) = p(c S) = 30% = 0 3. Visite al meos ua de las dos ciudades. Me está pidiedo p(c ó S) = p(c S) = p(c) + p(s) - p(c S) = = 0 6. Visite úicamete ua de las dos ciudades. Me está pidiedo p(c y os) ó p(oc y S) = p(c S C ) + p(c C S) = = p(c) - p(c S) + p(s) - p(c S) = = 0 3. Visite Cádiz pero o visite Sevilla. Me está pidiedo p(c y os) = p(c S C ) = p(c) - p(c S) = = 0. d) Visite Sevilla, sabiedo que ha visitado Cádiz. p(s C) Me está pidiedo p(s/c) = = (0 3)/(0 5) = 0 6. p(c) EJERCICIO 3 Parte II El tiempo (e horas) que permaece los coches e u determiado taller de reparació es ua variable aleatoria co distribució Normal de desviació típica 4 horas. (1 puto) Se eligiero, al azar, 16 coches del taller y se comprobó que, etre todos, estuviero 136 horas e reparació. Determie u itervalo de cofiaza, al 98 5%, para la media del tiempo que permaece los coches e ese taller.

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ (1 puto) Determie el tamaño míimo que debe teer ua muestra que permita estimar la media del tiempo que permaece e reparació los coches e ese taller co u error e la estimació o superior a ua hora y media y co el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior. Solució Sabemos que si X sigue ua N(µ,), la distribució muestral de medias X sigue ua N(µ, ), y que el itervalo de cofiaza para estimar la media µ, al ivel de cofiaza 1-α, es I(µ) = - z 1 α/., + z 1 α/. para estimar µ. Dode z 1 - α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p(z z 1-α/ ) = =1-α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Que el Error máimo es E = z 1 α /., para el itervalo de la media (radio del itervalo). z 1-α/. De E = z 1 α /., obteemos el tamaño de la muestra es = e N(µ, ),. E Se eligiero, al azar, 16 coches del taller y se comprobó que, etre todos, estuviero 136 horas e reparació. Determie u itervalo de cofiaza, al 98.5%, para la media del tiempo que permaece los coches e ese taller. Datos del problema: = 16; = 4; 1-α = 98 5% = 0 985, de dode α = 0 015; = 136/16 = 8 5. Sabemos que de 1-α = 0 97, teemos α = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = / = 0 995, que miramos e la tabla de la N(0,1) y correspode a u puto crítico z 1 - α/ = 43. Sabemos que el itervalo de cofiaza es I(µ) = - z 1 α/., + z 1 α/. = 4 4 = 8'5 - '43.,8'5 + '43. = (6 07, 10 93) Determie el tamaño míimo que debe teer ua muestra que permita estimar la media del tiempo que permaece e reparació los coches e ese taller co u error e la estimació o superior a ua hora y media y co el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior. Datos E < 1 5; = 4; 1-α = 98 5% = 0 985, ques el mismo del apartado( y hemos obteido z 1 - α/ = 43. z 1-α/. De E < z 1 α /., obteemos el tamaño de la muestra es > E = '43.4 1'5 = , luego el tamaño míimo de la muestra es = 4. OPCIÓN B EJERCICIO 1 (1 5 putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes restriccioes: + y, - y 0, y 4, 0. (1 puto) Determie el máimo y el míimo de la fució F(,y) = + y e el recito aterior y los putos dode se alcaza. (0 5 putos) Perteece el puto (1/3,4/3) al recito aterior? Justifique la respuesta. Solució Dibuje el recito defiido por las siguietes restriccioes: + y, - y 0, y 4, 0. Primeramete trasformamos las desigualdades + y 1; - y 0; y 4; 0 ; e igualdades, y ya su gráfica es ua recta, + y = ; - y = 0; y = 4; = 0, Despejamos la y, y dibujamos las rectas correspodietes: y = -+; y = ; y = 4; = 0. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ Fijádoos e las desigualdades: y -+; y ; y 4; 0, el recito pedido y sus vértices A, B y C so: Calculamos los vértices A, B, C y D resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos: y = -+; y = ; y = 4; = 0 De y = -+ e y =, teemos -+ =, de dode =, luego = 1 e y = 1, y el puto de corte es A(1,1). De y = -+ y = 0, teemos y =, luego = 0 e y =, y el puto de corte es B(0,). De y = 4 y = 0, teemos el puto de corte es C(0,4). De y = e y = 4, teemos = 4, de dode = 4 e y = 4, y el puto de corte es D(4,4). Los vértices de la regió so A(1,1), B(0,) C(0,4)y D(4,4). Determie el máimo y el míimo de la fució F(,y) = + y e el recito aterior y los putos dode se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal, afirma que la fució F alcaza su máimo y su míimo absoluto e la regió acotada, y que este etremo debe de estar situado e algú vértice del recito (si coicide e dos vértices cosecutivos, la solució es todo el segmeto que los ue), por lo que evaluamos la fució F(,y) = + y e los putos ateriores: F(1,1) = =, F(0,) = 0 + =, F(0,4) = = 4, F(4,4) = = 8. Teiedo e cueta lo aterior vemos el míimo absoluto de la fució F e la regió es (el valor meor e los vértices) y se alcaza e los putos (1,1) y (0,), por tato se alcaza e todo el segmeto que ue los putos (1,1) y (0,); y el máimo absoluto de la fució F e la regió es 8 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto (4,4). Perteece el puto (1/3,4/3) al recito aterior? Justifique la respuesta. Para que el puto (1/3,4/3) esté e el recito, debe verificar todas las iecuacioes +y, -y 0, y 4, 0. De +y, teemos 1/3 + 4/3 = 5/ que o es mayor de, luego (1/3,4/3) o esté e el recito. EJERCICIO U estudio acerca de la presecia de gases cotamiates e la atmósfera de ua ciudad idica que el ivel de cotamiació viee dado por la fució: C(t) = -0 t + 4t + 5, 0 t 5 (t = años trascurridos desde el año 000). (1 puto) E qué año se alcazará u máimo e el ivel de cotamiació? (1 puto) E qué año se alcazará el ivel de cotamiació cero? (1 puto) Calcule la pediete de la recta tagete a la gráfica de la fució C(t) e t = 8. Iterprete el resultado aterior relacioádolo co el crecimieto o decrecimieto. Solució E qué año se alcazará u máimo e el ivel de cotamiació? Me está pidiedo el máimo de la fució C(t) = -0 t + 4t + 5, 0 t 5. La gráfica de la fució C(t) = -0 t + 4t + 5 (a = -0, b = 4, c = 5) es ua parábola co las ramas hacia 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ abajo ( ),porque a = -0 < 0, por tato la abscisa del máimo (que es su vértice) aula la primera derivada. C(t) = -0 t + 4t + 5. C (t) = -0 4t + 4. De C (t) = 0, teemos -0 4t + 4 = 0, de dode t = 10. Como empezamos e el año 000, el año de mayor cotamiació es el = 010. E qué año se alcazará el ivel de cotamiació cero? Me está pidiedo que resuelva la ecuació C(t) = 0, 1 elija las solucioes e 0 t 5 C(t) = -0 t + 4t + 5 = 0 0 t 4± ±6-4t 5 = 0 t = =, de dode t = 5 y t = -5. Sólo os 0'4 0'4 sirve t = 5, por tato como empezamos e el año 000, el año de cotamiació cero es el = =05. Calcule la pediete de la recta tagete a la gráfica de la fució C(t) e t = 8. Iterprete el resultado aterior relacioádolo co el crecimieto o decrecimieto. Sabemos que la pediete de C(t) e t = 8 es C (8). Hemos calculado ya C (t) = -0 4t + 4, luego C (8) = -0 4(8) + 4 = 0 8. Tambié sabemos que si la primera derivada es mayor que cero la fució es estrictamete creciete. Como C (8) = 0 8 > 0, la fució cotamiació es estrictamete creciete e t = 8 (puto dode hemos calculado la pediete), por tato e el año = 008 la cotamiació es estrictamete creciete. EJERCICIO 3 Parte I E u cetro escolar, los alumos de de Bachillerato puede cursar, como asigaturas optativas, Estadística o Diseño Asistido por Ordeador (DAO). El 70% de los alumos estudia Estadística y el resto DAO. Además, el 60% de los alumos que estudia Estadística so mujeres y, de los alumos que estudia DAD so hombres el 70%. (1 puto) Elegido u alumo al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre? (1 puto) Sabiedo que se ha seleccioado ua mujer, cuál es la probabilidad de que estudie Estadística? Solució Llamemos Es, DAO, H y M a los sucesos siguietes, estudiar Estadística, estudiar DAO, "ser hombre" y "ser mujer, respectivamete. De el 70% de los alumos estudia Estadística, teemos p(es) = 70% = 0 7, y por el suceso cotrario teemos p(dao) = 1- p(es) = = 0 3. De el 60% de los alumos que estudia Estadística so mujeres, teemos p(m/es) = 60% = 0 6. De los alumos que estudia DAD so hombres el 70%, teemos p(h/dao) = 70% = 0 7. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Elegido u alumo al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que dé positivo (+) es: p(h) = p(es).p(h/es) + p(dao).p(h/dao) = = 0 ' 49. Sabiedo que se ha seleccioado ua mujer, cuál es la probabilidad de que estudie Estadística? 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ Aplicado el teorema de Bayes y la probabilidad del suceso cotrario, teemos: p( Es M ) p( Es).p(M/Es ) 0'7.0'6 p(es/m) = = = 0 84 p(m) 1-p(H) 1-0'49 Parte II E u estudio de mercado del automóvil e ua ciudad se ha tomado ua muestra aleatoria de 300 turismos, y se ha ecotrado que 75 de ellos tiee motor diesel. Para u ivel de cofiaza del 94%: (1 5 putos) Determie u itervalo de cofiaza de la proporció de turismos que tiee motor diesel e esa ciudad. (0 5 putos) Cuál es el error máimo de la estimació de la proporció? Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes ˆP cuado el tamaño de la muestra es p(1 ˆ p) ˆ suficietemete grade sigue ua N( ˆp, ), que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p, al ivel de cofiaza 1-α, es p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. para estimar p Dode z 1 - α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p(z z 1-α/ )=1- α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. p(1 ˆ p) ˆ p.q ˆˆ Que el Error máimo es E = z 1 α /. = z 1 α /., para el itervalo de la proporció (radio del itervalo). p(1 ˆ p) ˆ (z 1-α/ ).p.q ˆˆ p.q ˆˆ Que de E = z 1 α /., obteemos el tamaño de la muestra es = e N( ˆp ; E ). Determie u itervalo de cofiaza de la proporció de turismos que tiee motor diesel e esa ciudad. Datos del problema: = 300; ˆp = 75/300 = 0 5, de dode ˆq = ; 1-α = 95% = Sabemos que de 1-α = 0 95, teemos α = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = / = 0 975, que miramos e la tabla de la N(0,1) y le correspode u puto crítico z 1 - α/ = p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ Sabemos que el itervalo de cofiaza es I(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = 0'5.0'75 0'5.0'75 = 0'5-1'96.,0'5 + 1'96. (0 01, 0 99) Cuál es el error máimo de la estimació de la proporció? Sabemos que el Error máimo es E = z 1 α /. p.q ˆˆ = 1'96. 0'5.0'

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