4. Cuáles son los dos números?

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1 Problemas algebraicos 1 PROBLEMAS (SISTEMAS LINEALES) 1.1 PROBLEMAS (SISTEMAS NO LINEALES) 1.- La razón de dos números es tres quintos y si aumentamos el denominador una unidad y disminuimos el numerador en 2 unidades la nueva razón es Cuáles son los dos números? 2.- En un monedero hay un total de 50 monedas con un valor de 7 euros. Si las monedas son de 5 y 20 céntimos, cuántas hay de cada clase? 3.- Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad de otro y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros. 4.- El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en dos unidades el cociente aumenta en una unidad y el nuevo resto es 1. Hallar el dividendo y el divisor. 5. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro. 6. Un inversor compra dos cuadros por Al cabo de dos años, los vende por 3124 ganando en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%. Cuánto le costó cada cuadro? 7. Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 95%. Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86% de pureza? 8. Un comerciante compra dos motocicletas por 3000 y las vende por Calcula cuánto pagó por cada una si en la venta de la primera ganó un 25% y en la de la segunda perdió un 10%. 9. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca he pagado 69. Calcula el precio de un kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el precio de la mezcla sería La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Cuál es ese número? 11. Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es 1,2. Cuál es el número?

2 Problemas algebraicos La razón de dos números es tres quintos y. Cuáles son los dos números? Sean x e y, ambos números: La razón entre ambos números es 3 5 x = 3 y 5 4 x 2 4 Si aumentamos y en una unidad y disminuimos x en 2 unidades la nueva razón es = 11 y Planteamos el siguiente sistema: x 3 = 20x + 12y = 0 y 5 5x = 3y 5x 3y = 0 x x 22 = 4y x 4y = 26 33x 12y = 78 x = 6 30 = 3y y = 10 = y x = 78 Luego, los dos números son 10 y En un monedero hay un total de 50 monedas con un valor de 7 euros. Si las monedas son de 5 y 20 céntimos, cuántas hay de cada clase? Definimos como x = nº de monedas de 5 céntimos y = nº de monedas de 20 céntimos Hay un total de 50 monedas : x + y = 50 Se tiene 7 = 700 céntimos : 5x + 20y = 700 Planteamos el siguiente sistema: x + y = 50 5x + 20y = 700 5x 5y = 250 5x + 20y = y = 450 y = 30 x = 20 Hay 20 monedas de 5 céntimos y 30 monedas de 20 céntimos 3.- Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad de otro y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros. x y = 2 x + y z = 4 x = 2y 2y + y 3y z = = 4 4 La suma de los tres es 180º : x + y + z = 180º 3y 2y + y + = 180 8y + 4y + 3y = y = 720 y = 48 x = 96, z = z = = El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en dos unidades el cociente aumenta en una unidad y el nuevo resto es 1. Hallar el dividendo y el divisor. Sea x = dividendo Sabemos que D = d c + r y = divisor El cociente de una división es 3 y el resto 5 : x = 3y + 5 Si el divisor disminuye en 2 el cociente aumenta en 1 y el nuevo resto es 1: x = 4(y 2) + 1 x = 3y + 5 3y + 5 = 4y 7 y = 12 x = = 41 x = 4(y 2) + 1

3 Problemas algebraicos 3 El dividendo es 41 y el cociente es Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro. Sea x = nº días y = nº Km recorridos Si paga 160 por 3 días y 400 km: 3x + 400y = 160 Si paga 175 por 5 días y 300 km: 5x + 300y = 175 3x + 400y = 160 5x + 300y = x y = x 900y = y = 275 y = 0,25 Si y = 0,25 3x = 160 3x = 60 x = 20 Solución: Cobran 20 por día y 0,25 por cada km. 6.- Un inversor compra dos cuadros por Al cabo de dos años, los vende por 3124 ganando en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%. Cuánto le costó cada cuadro? Sea x = precio de un cuadro y = precio del 2º cuadro Compra dos cuadros por 2650 : x + y = 2650 Vende por 3124 ganando en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%: 1,2x + 1,15y = 3124 x + y = ,2x + 1,15y = 3124 x = 2650 y 1,2 ( 2650 y) + 1,15y = ,2y + 1,15y = ,05y = 56 y = 1120 Si y = 1120 x = = 1530 Solución: Los cuadros costaron 1530 y Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 95%. Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86% de pureza? x = nº kg de lingote con un 80% pureza Se obtiene un lingote de 5 kg: x + y = 5 y = nº kg de lingote con un 95% pureza Con los dos lingotes se obtiene uno con un 86% pureza:0,8x + 0,95y = 0,86(x + y) x + y = 5 0,8x + 0,95y = 0,86(x + y) x + y = 5 0,06x + 0,09y = 0 0,06x + 0,06y = 0,3 0,06x + 0,09y = 0 0,15y = 0,3 y = 2 Si y = 2 x = 5 2 = 3 Solución: Debe fundir 3 kg del de 80% de pureza con 2 kg del lingote que tiene un 95% de pureza.

4 Problemas algebraicos Un comerciante compra dos motocicletas por 3000 y las vende por Calcula cuánto pagó por cada una si en la venta de la primera ganó un 25% y en la de la segunda perdió un 10%. x = precio de la primera moto Compra dos motocicletas por 3000 : x + y = 3000 y = precio de la segunda moto En la venta de la 1ª ganó un 25% y en la de la 2ª perdió un 10%: 1,25x + 0,9y = 3330 x + y = ,25x + 0,9y = ,9x 0,9y = ,25x + 0,9y = ,35x = 630 x = 1800 Si x = 1800 y = = 1200 Solución: Por una pagó 1 800, y por la otra, Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca he pagado 69. Calcula el precio de un kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el precio de la mezcla sería 15. x = precio pintura verde y = precio pintura blanca Compra de 5 kg de verde y 3 de blanca por 69 : 5x + 3y = 69 La mezcla de un kilote cada una cuesta 15 : x + y = 15 x + y = 15 5x + 3y = 69 3x 3y = 45 5x + 3y = 69 2x = 24 x = 12 Si x = 12 y = = 3 Solución: La pintura verde cuesta 12 el kilogramo, y la blanca, La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Cuál es ese número? x = nº decenas Suma de las dos cifras es 8: x + y = 8 y = nº unidades Si se añade 18 unidades, se invierte sus cifras: 10x + y + 18 = 10y + x x + y = 8 10x + y + 18 = 10y + x 9x 9y = 18 x + y = 8 x y = 2 2x = 6 x = 3 y = 8 3 = 5 Solución: El número es 35

5 Problemas algebraicos Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es 1,2. Cuál es el número? x = nº decenas Diferencia de las dos cifras es 1: x y = 1 División es 1,2: 10x + y = 1,2 10y + x y = nº unidades x y = 1 10x + y = 1,2 10x + y = 12y + 1,2x 8,8x 11y = 0 10y + x 11x + 11y = 11 8,8x 11y = 0 2,2x = 11 x = 5 y = 4 Solución: El número es 54

6 Problemas algebraicos 6

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