Gestión de Carteras I: Selección de Carteras

Transcripción

1 Gestó de Carteras I: Seleccó de Carteras Uversdad Complutese de Madrd Jua Mascareñas Uversdad Complutese de Madrd Versó orgal: ee-86; Últma versó: feb-07 - Itroduccó, - La retabldad y el resgo de u actvo facero, 3 - El redmeto y el resgo de ua cartera, 6 - El Modelo de Seleccó de Carteras de Harry Markowtz, - Mejorado la utldad del modelo: el modelo dagoal de Wllam Sharpe, 6 - La dversfcacó del resgo, 0

2 . Itroduccó La versó e valores moblaros etra detro de lo que se deoma comúmete versoes faceras. Cuado ua persoa, o empresa, adquere dversas catdades de dferetes tpos de valores moblaros se dce que está e posesó de ua cartera de valores, es decr, de ua combacó de actvos faceros. Las versoes faceras, como cualquer proyecto de versó, se compoe de u desembolso cal y de uos flujos de caja (dvdedos, tereses, derechos de suscrpcó preferetes, o los gresos de la veta de la totaldad o de parte de la cartera), por lo que el aálss de dcho tpo de versó segurá el msmo procedmeto que el de cualquer otra. Es precso teer e cueta que ua versó facera se dfereca de ua productva e que: a) Es fraccoable b) Tee mayor lqudez c) Es dversfcable. d) Tee ua mayor flexbldad temporal Etre los objetvos que ua persoa puede teer a la hora de formar ua cartera de valores podemos destacar, los sguetes; a) cotrolar ua empresa, b) cosegur ua certa retabldad, c) evtar e lo posble la erosó flacoara sobre el dero ahorrado, d) cosegur ua certa lqudez, etc. Supogamos que dcho versor tee ua suma determada de dero que desea vertr e el mometo actual e ua sere de actvos faceros. Este dero deberá permaecer vertdo durate certo tempo (el horzote temporal de la versó) al fal del cual vederá los títulos, procededo a cosumr o a revertr el dero recbdo. Por lo tato, podemos deomar al mometo cal de la versó como t=0, e este state es cuado hay que elegr qué actvos faceros hay que comprar y cuáles o, los prmeros deberá ser matedos hasta el mometo fal, al que deomaremos como t=. Dado que ua cartera es ua coleccó de actvos faceros, esta decsó equvale a seleccoar ua cartera óptma de etre ua sere de posbles carteras de actvos, por lo que desde ahora os referremos a este tpo de decsó como u problema de seleccó de carteras. E el mometo cal el versor sabe que, durate el horzote temporal cosderado, el redmeto del actvo, y por ede el de la cartera, es descoocdo. S be es certo que se podría estmar el redmeto esperado (o meda) de varos actvos e vertr e aquél que tuvese el mayor redmeto esperado, ello o sería ua buea dea puesto que los versores tede a preferr las versoes más retables pero també las más seguras o certas. Precsamete la aportacó de Markowtz radca e haber recogdo e su modelo la coducta racoal del versor de forma explícta es decr, el versor persgue maxmzar el redmeto esperado y, al msmo tempo, mmzar su certdumbre o resgo. Por lo que el versor persegurá cosegur ua cartera que opt-

3 mce la combacó redmeto-resgo medda a través de la esperaza matemátca de gaaca y de la varaza (o desvacó típca) de la msma. Ua cosecueca de teer dos objetvos cotrapuestos (resgo y redmeto) es que el versor deberá dversfcar co objeto de adqurr o sólo u actvo facero so varos. Por ello, prevamete deberemos aalzar cómo se obtee la retabldad y el resgo de u actvo e partcular, para más adelate aalzar lo msmo pero aplcado a ua cartera de actvos.. La retabldad y el resgo de u actvo facero S tratamos de comparar dferetes versoes e otros tatos actvos faceros, deberemos calcular de la forma más aproxmada posble el redmeto de cada uo de ellos. S os ecotramos e u ambete de certeza, el redmeto que esperamos obteer para cada actvo cocdrá co el que realmete obtedremos y, por lo tato, aquél título que proporcoe la mayor gaaca esperada será el elegdo. Por desgraca, la exsteca de la certdumbre mplca que el redmeto de la versó raramete cocdrá co su valor esperado. Todos los actvos faceros cotzados e el mercado de valores está sujetos a u resgo; claro que a dferetes tpos de actvos correspoderá dferetes tpos de resgo. S embargo, el efecto del resgo, sea cuál sea su tpo, es sempre el msmo, los redmetos obtedos e la actualdad será dferetes de los esperados por el versor. sí que el versor ecesta poder cuatfcar para cada actvo tato el redmeto certo coro el vel de dcha certdumbre, ates de tomar ua decsó sobre la versó a efectuar. Ua vez realzado lo ateror, segú sea su acttud haca las dferetes combacoes redmeto-resgo, elegrá aquélla que mejor se adapte a sus deseos.. El cálculo del redmeto El redmeto del título durate u período de tempo t, vedrá defdo por la sguete expresó: La dversfcacó se resume e el coocdo aforsmo o poer todos los huevos e la msma cesta que, curosamete los aglosajoes achaca a Sacho Paza porque e las prmeras traduccoes de El Qujote al glés aparecía e el Capítulo XXIII, auque e el orgal castellao o aparece. Mark Twa, que seguramete leyó ua de esas traduccoes, cotraataca e el capítulo XV de su ovela The Tragedy of Pudd head Wlso: -No poer todos los huevos e ua cesta- que es lo msmo que decr -dspersa tu dero y tu atecó- pero el hombre sabo dce -po todos los huevos e ua cesta y VIGIL L CEST- (esta últma frase se la oyó decr Twa a drew Carege). 3

4 dode P t dca el preco del actvo facero al fal del período t; P t- es el preco del actvo al comezo del período t; R t el redmeto del título e el período t; y d t el dvdedo recbdo durate el período. El redmeto de u título o actvo s es calculado ex-post (R t ), será coocdo co certeza, lo que o ocurrrá s se obtee ex-ate (E t ) debdo, a la ya cometada, aparcó del resgo, el cual se refleja e la varabldad de los redmetos esperados. sí que para cuatfcar el redmeto de u título e codcoes de certdumbre tedremos que echar mao de las probabldades, ya sea éstas objetvas o subjetvas. Ua vez que dspoemos de la dstrbucó de probabldad de los posbles redmetos de u título determado, calcularemos su valor esperado utlzado la esperaza matemátca o meda: [ec.] E t = p R Ejemplo: Después de calcular el redmeto de dos empresas, y, a través de sus respectvas seres de precos durate u período de tempo determado. Los prcpales valores del msmo se ha agrupado co arreglo a sus probabldades de ocurreca tal y como fgura e la tabla sguete Redmeto (probabldad) 5% 50% 5% Empresa 0% 0% 0% Empresa 45% 5% 5% El redmeto esperado del título será: E = 0% x 0,5 + 0% x 0,50 + 0% x 0,5 = 0% El redmeto esperado del título será: E = 45% x 0,5 + 5% x 0,50 + 5% x 0,5 = 5%. El cálculo del resgo El resgo que puede afectar a los títulos puede ser de varas clases como, por ejemplo: a) Icertdumbre de los dvdedos (afecta a las accoes). b) Resgo de solveca (afecta a las oblgacoes). c) La flacó y los cambos de terés. d) Varabldad de los precos de mercado. La dea de resgo egloba dos ocoes: a) certdumbre ate el resultado y b) la posbldad de obteer u resultado egatvo. Por lo tato, ua buea def- 4

5 có de resgo debería clur ua medda de ambas ocoes. Estrctamete hablado, la desvacó típca cumple sólo la prmera de las msmas, pero s la dstrbucó de probabldad es smétrca respecto a la meda (como la dstrbucó ormal, por ejemplo), cuato mayor sea la desvacó típca mayor será el resgo de la versó. Por ello, a pesar de sus lmtacoes, la herrameta estadístca utlzada para medr el resgo de u título va a ser la desvacó típca (o la varaza), debdo a tres razoes:. El redmeto esperado y su desvacó típca so las dos meddas ecesaras para descrbr ua dstrbucó ormal de probabldad de los títulos (s estos se ajusta a dcha dstrbucó).. Los estudos empírcos realzados demuestra que las dstrbucoes de frecueca de la mayoría de los títulos sgue ua dstrbucó ormal o muy próxma a la msma. 3. Es fácl de calcular De esta forma cuato mayor sea la desvacó típca o la varaza del redmeto de u título mayor será su resgo. La varaza es la suma de los cuadrados de las dspersoes alrededor de u redmeto esperado E(R ), poderadas por sus probabldades. Los cuadrados se usa debdo a que s las dspersoes actuales se sumase, se aularía etre ellas y sumaría cero. La desvacó típca es gual a la raíz cuadrada postva de la varaza. [ec.3] (R ) = [R - E(R )] p S la dstrbucó es ormal sabemos que la probabldad de que el redmeto obtedo caga e el tervalo formado por la meda más, o meos, ua vez su desvacó típca es del 68%; será del 95% s el tervalo se agrada a dos veces la desvacó típca y al 99,7% s a tres veces. Ejemplo: Sguedo co el ejemplo ateror de las empresas y podemos calcular el resgo de sus accoes. El resgo del título es: (R ) = [0% - 0%] x 0,5 + [0% - 0%] x 0,50 + [0 0%] x 0,5 (R ) = 50%oo (R )= 7,% El resgo del título es: (R ) = [45% - 5%] x 0,5 + [5% - 5%] x 0,50 + [5% 5%] x 0,5 (R ) = 00%oo (R ) = 4,% 5

6 3. El redmeto y el resgo de ua cartera Ua vez que el versor ya ha obtedo el redmeto y el resgo de cada valor e partcular, podrá pasar a calcular el redmeto y el resgo de las dversas combacoes que haga de los msmos, es decr, de las carteras que pueda formar. 3. El redmeto de ua cartera Muestra la retabldad obteda por térmo medo por cada udad moetara vertda e la cartera durate u determado período de tempo. Y vedrá dado por ua meda artmétca poderada calculada de las sguetes formas: [ec. 4] Ex-post (certeza) R p = X R + X R X R [ec. 5] Ex-ate (certdumbre) E p = X E + X E X E dode las X dca la fraccó del presupuesto de versó destada a la versó, como es lógco su suma deberá ser gual a la udad;, es el úmero de valores; R el redmeto ex-post del título, metras que E es la esperaza del redmeto del msmo título. sí, para calcular el redmeto esperado de ua cartera compuesta por N actvos faceros podremos utlzar el deomado vector de redmetos esperados. Éste cosste e ua columa de úmeros dode cada fla represeta el redmeto esperado de u actvo de la cartera. sí, por ejemplo, para ua cartera de tres títulos: E E = E E 3 = 6,% 4,6%,8% Debdo a que el redmeto esperado de ua cartera es ua meda poderada de los redmetos esperados de los actvos, la cotrbucó de cada uo de estos al redmeto esperado de la cartera depederá de su redmeto esperado y de la parte proporcoal del valor de mercado cal de la cartera. Nada más es relevate. sí que s u versor desea el mayor redmeto posble deberá vertr todo su presupuesto úcamete e el actvo que proporcoe el mayor redmeto esperado (el del ejemplo ateror, que proporcoa u 4,6%). uque, como veremos más adelate, esta polítca es muy arresgada puesto que los versores deberá dversfcar sus carteras, esto es, adqurr más de u actvo co objeto de reducr su resgo. 3. El resgo de ua cartera El resgo de ua cartera se medrá. a través de la varaza del redmeto E p de la msma (obvamete sempre ex-ate, puesto que s os movéramos e ua ambete de certeza o habría resgo), de la sguete forma: 6

7 [ec. 6] = x + x +...x + x x + x x x p p = x x j j x (-) dode j es la covaraza del redmeto del actvo co el del redmeto del actvo j. Recuerde que la covaraza es ua medda estadístca de la relacó etre dos varables aleatoras cualesquera, esto es, mde de qué maera dos varables aleatoras, tales como los redmetos de dos actvos se mueve cojutamete. U valor postvo de la covaraza dcará que ambos redmetos tede a moverse e el msmo setdo, metras que uo egatvo dcará que se mueve e setdos opuestos. Por otro lado, u valor próxmo a cero dcará ua posble auseca de relacó etre ambos redmetos. La covaraza es gual al producto de las desvacoes típcas de los redmetos multplcado por el coefcete de correlacó etre ambos títulos ( = ρ ). El coefcete de correlacó reescala la covaraza para facltar la comparacó co los valores correspodetes de otros pares de varables aleatoras. Su valor osclará etre - (correlacó perfecta egatva) y (correlacó perfecta postva). Lo msmo que e el caso del redmeto exstía u vector de redmetos esperados, e el caso del resgo de ua cartera se puede hablar de ua matrz de covarazas tal como la que se puede observar a cotuacó para el caso de tres actvos: j = dode las dagoales so las varazas de cada título metras que las covarazas que se ecuetra ecma de dcha dagoal so las msmas que las que está debajo de ella, es decr, los dos lados de la matrz so smétrcos (puesto que 3 = 3 ); por ello, o hará falta calcular las ses covarazas so sólo tres de ellas. E cojuto, para calcular la combacó redmeto-resgo de ua cartera, segú el procedmeto aquí empleado, hace falta esperazas matemátcas del redmeto, varazas y ( -)/ covarazas. Por ejemplo, para formar ua cartera que tegre a uas 50 accoes ordaras cotzadas e u mercado será ecesaro estmar.35 valores. 3.3 Tpos de correlacoes asádoos e los datos del ejemplo del epígrafe, calcularemos la cartera formada por los títulos y repartedo el presupuesto de versó por gual etre ambos (50% para cada uo). alzaremos varos casos segú sea el grado de correlacó etre ambos. 7

8 ) Correlacó perfecta postva S el coefcete de correlacó es gual a la udad (ρ jj =), como puede ocurrr cuado, por ejemplo, hablamos de títulos de la msma empresa o de dsttas empresas que ha comezado u proceso de fusó, el cálculo del redmeto esperado de la cartera (que o depede del grado de correlacó) y de su resgo meddo por la desvacó típca será los sguetes: E p = x E + x E = 0,50 x 0% + 0,50 x 5% = 7,5% [ x + x ] p = x + x + x x = = [0,50 x 7,% + 0,50 x 4,%] =,50%00 p = 0,6% 30% Ep 5% 0% P 5% 0% 5% 0% 0,00%,00% 4,00% 6,00% 8,00% 0,00%,00% 4,00% 6,00% Fg. p E la fgura se muestra las posbles combacoes redmeto-resgo para todo tpo de carteras formadas por los títulos y que está perfectamete correlacoados. Como se apreca dchas combacoes tee forma de líea recta, lo que dca que tato el redmeto como el resgo so uas medas poderadas del redmeto y resgo de los títulos dvduales. Como cosecueca de ello o se obtee gua vetaja, de cara a la reduccó del resgo, al combarlos cuado el coefcete de correlacó es gual a la udad. E este caso o hay gua vetaja e dversfcar la cartera etre ambos títulos. ) useca de correlacó S el coefcete de correlacó etre ambos títulos es gual a cero (ρ jj =0), lo que deota que los redmetos de ambos títulos so depedetes etre sí al o estar afectados por factores comues y que cualquer comportameto smlar será debdo al azar. El redmeto y resgo de ua cartera formada por los títulos y será etoces gual a: 8

9 E p = x E + x E = 0,50 x 0% + 0,50 x 5% = 7,5% = x + x + x x = x + x = [0,50 x 7,% + 0,50 x 4,% ] p = 6,50%00 p = 7,9% Como se apreca el redmeto de la cartera es el msmo que e el caso ateror, pero su resgo es bastate meor, de hecho e la fgura se puede aprecar como la combacó de todas las carteras posbles tee ua forma de curva cócava (se dce que es cócava cuado al ur dos carteras cualesquera, la y la, co ua líea recta, ésta últma queda por debajo del cojuto de combacoes posbles, P por ejemplo). 30% Ep 5% 0% P 5% 0% 5% 0% 0,00%,00% 4,00% 6,00% 8,00% 0,00%,00% 4,00% 6,00% p Fg. Combacó de dos actvos depedetes Curosamete, s ambos títulos tuvese la msma desvacó típca y la msma poderacó (X=O,5) el resgo de la cartera sería: p = x + x = x = = p = 4 co lo que se demuestra que la desvacó típca (o resgo) de la cartera es meor que la de cada actvo tomado dvdualmete, cuado todos ellos tee la msma desvacó típca. Como coclusó, señalaremos que cuado dos títulos o está correlacoados etre sí o se debería vertr todo el presupuesto e el título de meor resgo y meor redmeto. La razó es que, como se apreca e la fgura, hay combacoes de ambos títulos que proporcoa más redmeto y el msmo resgo que el título (60% e y 40% e proporcoa u redmeto del 6% y u resgo cas détco al de ). 9

10 C) Correlacó perfecta egatva S la correlacó etre ambos títulos es perfectamete egatva (ρ jj =-), querrá decr que el comportameto del redmeto de cada título es opuesto al del otro. uque este es u caso que dfíclmete se dará e la práctca su utldad teórca es grade como veremos segudamete. El redmeto y resgo de la cartera será: E p = x E + x E = 0,50 x 0% + 0,50 x 5% = 7,5% [ x x ] p = x + x x x = = [0,50 x 7,% - 0,50 x 4,%] =,5%00 p = 3,5% 30,0% Ep 5,0% 0,0% P 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 0,00%,00% 4,00% 6,00% 8,00% 0,00%,00% 4,00% 6,00% p Fg.3 Combacó de carteras de dos títulos que está perfectamete correlacoados egatvamete Como se apreca el redmeto de la cartera es el msmo que e los dos casos aterores, o así su resgo cuyo valor es sesblemete feror al del ttulo de meor resgo, el. De hecho e la fgura 3 se puede observar el cojuto de combacoes posbles y se observa que hay ua combacó de los títulos y que produce u resgo cero. Esa combacó se puede calcular: [ x x ] 0 x = x x 7,% = (-x ) 4,% p = = x = 67% x = 33% cuyo redmeto será (ver també la fgura 3): E p = x E + x E = 0,67 x 0% + 0,33 x 5% = 5% Esto quere decr que el versor que se ecuetre ate ua combacó de carteras como ésta sabe que deberá vertr como mucho u 67% de su cartera e, puesto que s verte más de dcha catdad (la recta que ue la cartera co el eje de ordeadas) sempre habrá otra combacó que le proporcoe u red- 0

11 meto superor a gualdad de resgo (la recta que ue co el eje de ordeadas). Nuevamete, podemos decr que e esta stuacó uca se debería vertr todo el presupuesto e el título que tee la meor combacó redmeto-resgo. D) Correlacó postva El caso más geeral es cuado os efretamos a la combacó de dos títulos que está correlacoados postvamete. E esta stuacó la gráfca de las dferetes combacoes de los msmos o será ta cócava como la de la fgura, tampoco ua recta como la de la fgura. Se aproxmará a ésta últma s el coefcete de correlacó está cercao a la udad, y coforme se aproxme a cero su cocavdad aumetará. Veamos u caso e el que la correlacó será de 0,3. E p = x E + x E = 0,50 x 0% + 0,50 x 5% = 7,5% p = x + x + x x = 0,50 x 7,% - 0,50 x 4,% + x 0,50 x 0,50 x 7,% x 4,% x 0,3 = 78%00 p = 8,8% E resume, cuado los redmetos de los actvos o está perfectamete correlacoados postvamete, la dversfcacó puede aumetar el rato del redmeto esperado de la cartera co respecto a su resgo. Esto es, la dversfcacó puede alterar el equlbro redmeto-resgo de las posbles versoes segú os movamos a lo largo de la curva de la fgura 4. lo largo de este epígrafe hemos vsto, como a través de la combacó de dos títulos co objeto de formar ua cartera, podemos sacar alguas coclusoes: a) Hemos observado que cuato meor sea el coefcete de correlacó etre los actvos, mayor será el beefco de la dversfcacó b) Las combacoes de dos actvos uca puede teer más resgo que el que se ecuetra e la líea recta que coecta ambos. Co arreglo a esto, ahora estamos e dsposcó de aalzar la forma de la curva redmeto-resgo óptma a lo largo de la que se ecuetra las combacoes de más de dos actvos.

12 30,0% Ep 5,0% 0,0% P 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 0,00%,00% 4,00% 6,00% 8,00% 0,00%,00% 4,00% 6,00% Fg. 4 Combacoes de los actvos y co correlacó postva p 4. El modelo de Seleccó de Carteras de Harry Markowtz E el epígrafe ateror hemos aalzado el caso de ua cartera formada por dos títulos cualesquera que tee dferetes combacoes redmeto-resgo. E éste vamos a aalzar el caso geeral que cosste e que dspoedo de ua gra catdad de títulos co dsttos redmetos y resgos podamos elegr las mejores combacoes de los msmos, es decr, las mejores carteras. Y ello lo haremos a través de la deomada Teoría de Seleccó de Carteras (Portfolo Selecto Theory) que fue desarrollada por Harry Markowtz (premo Nobel de 990) durate la década de los ccueta. Su trabajo es la prmera formalzacó matemátca de la dea de la dversfcacó de versoes, es decr, el resgo puede reducrse s cambar el redmeto esperado de la cartera. Para ello se parte de los sguetes supuestos báscos e su modelo:. El redmeto de cualquer título o cartera es descrto por ua varable aleatora subjetva, cuya dstrbucó de probabldad para el período de refereca es coocda por el versor. El redmeto del título o cartera será meddo a través de su esperaza matemátca. º. El resgo de u título, o cartera, vee meddo por la varaza (o desvacó típca) de la varable aleatora represetatva de su redmeto 3. 3º. El versor preferrá aquellos actvos faceros que tega u mayor redmeto para u resgo dado, o u meor resgo para u redmeto coocdo. esta regla de decsó se la deoma coducta racoal del versor. Harry Markowtz publcó su artículo Portfolo Selecto, Joural of Face 7 º. pp: 77-9 e marzo de 95 a la edad de 5 años, la comudad académca tardó dez años e darse cueta de sus mplcacoes. 38 años después de su publcacó, e 990, Markowtz obtuvo el Premo Nobel. 3 Debdo a que se utlza el redmeto esperado y la varaza de los títulos y carteras a este modelo també se le cooce como modelo meda-varaza

13 Segú esta teoría, se trata de buscar prmeramete cuáles so las carteras que proporcoa el mayor redmeto para u resgo dado, al msmo tempo que soporta el mímo resgo para u redmeto coocdo. estas carteras se las deoma efcetes 4. El cojuto de carteras efcetes se puede determar resolvedo los programas cuadrátcos y paramétrcos, que se muestra e el cuadro de la fgura 5. Fg.5 Programas cuadrátcos y paramétrcos de la Teoría de Seleccó de Carteras E dcha fgura E* y V* so los parámetros que varía (de ahí el que la programacó se deome paramétrca), lo que mplca r dádole valores a ambas varables para que el programa os dga e todo mometo cuál es la mejor cartera para cada valor de ambas varables. Por lo tato, el resultado de ambos programas será el cojuto de carteras efcetes, que tee forma de curva cócava y que recbe el ombre de frotera efcete (effcet set) por estar formada por la totaldad de las carteras efcetes (fg.6). E la frotera efcete, pues, está todas las carteras que proporcoa el máxmo redmeto co u resgo mímo. Fg.6 La frotera efcete (cojuto de carteras que proporcoa el máxmo redmeto y soporta el mímo resgo) 4 Porque efceca sgfca maxmzar el output para u put dado o mmzar éste últmo para u output dado. quí el output es el redmeto esperado y el put el resgo. 3

14 Para determar la cartera óptma de u versor e partcular ecestaremos especfcar sus curvas de dfereca 5 etre el redmeto y el resgo asocado, cuya forma depederá de su fucó de utldad y ésta será, aturalmete, dstta para cada versor. Por ejemplo, e la fgura 7 zquerda, al versor le será dferete elegr etre el puto o el puto e la curva de dfereca I, pues, auque promete u mayor redmeto que la cartera, su resgo es superor al de ésta últma. S embargo, s tee que elegr etre las carteras y elegrá ésta últma, debdo a que co el msmo resgo obtee u mayor redmeto ( >). Fg.7 Curvas de dfereca E la fgura de la derecha se observa las gráfcas de las curvas de dfereca de dferetes versores: el adverso al resgo, que es el caso más correte (por cada udad de resgo adcoal hay que prometerle u redmeto margal cada vez más grade); el dferete (por cada udad de resgo adcoal hay que prometerle el msmo redmeto margal); y, por últmo, el propeso al resgo, que por u mímo redmeto margal está dspuesto a correr cada vez mayores resgos. Expresado de otra forma. S asumr más resgo es el preco que debemos pagar por la oportudad de ser más rcos, etoces el versor puede utlzar el cocepto de utldad margal para decdr qué cartera de la frotera efcete debe seleccoar. El versor ascede por la curva de dfereca buscado mayores redmetos esperados hasta que el resgo adcoal para gaar u euro más sea u preco demasado alto para él o ella. La sesbldad del versor a las varacoes de la rqueza y el resgo se cooce como la fucó de utldad. S ahora superpoemos el gráfco represetatvo de la frotera efcete (la fgura 6) co el de las curvas de dfereca de u versor determado (la fgura 7 zquerda) obtedremos la cartera óptma del msmo, que vedrá dada por el puto de tageca de ua de las líeas de dfereca co la frotera efcete (fg.8). Obsérvese que las curvas de dfereca de los adversos al resgo so covexas metras que la frotera efcete tee forma cócava. 5 Las curvas de dfereca so el lugar geométrco que descrbe todas las combacoes posbles de las catdades de dos bees que le proporcoa al cosumdor el msmo vel de utldad o satsfaccó. 4

15 Susttuyedo ahora Eo y Vo e los correspodetes programas cuadrátcos y paramétrcos (fgura 5), obtedremos los valores de las proporcoes e las que teemos que dstrbur el presupuesto de versó para obteer la cartera óptma del versor al que hemos hecho refereca aterormete. No olvdemos que la frotera efcete es algo objetvo, metras que las curvas de dfereca so de tpo subjetvo; dcho de otra forma: la frotera efcete es gual para todos los versores o así la cartera óptma, que será dstta para cada versor. Fg.8 Determacó de la cartera óptma sí, por ejemplo, supogamos que teemos cco empresas co los cosguetes redmetos y resgos asocados (supodremos que sus redmetos so depedetes etre sí, es decr, o hay correlacó etre ellos): E aco 0% % Electrcdad 0% % Petróleo % 4% Trasportes 5% 7% Idustral 8% 8% Itroducedo estos datos e los programas cuadrátcos y paramétrcos vstos aterormete obtedremos los valores represetatvos de la frotera efcete, oce de los cuales fgura a cotuacó: Por últmo, supogamos que u versor determado desea saber cuál sería la composcó de su cartera óptma e dos escearos dsttos: a) co u redmeto esperado del %, y b) co u redmeto esperado del 5%. Los resultados se muestra a cotuacó: 5

16 X X aco 58,50% 4,08% Eléctrca 5,07% 5,66% Petrolera 9,37% 6,50% Trasportes 8,65% 9,9% Idustral 8,40% 3,86% Ep =,00% 5,00% p =,76% 3,% Probablemete el aspecto más mportate del trabajo de Markowtz fue mostrar que o es el resgo de u título (meddo por la varaza de sus redmetos) lo que debe mportar al versor so la cotrbucó que dcho título hace al resgo (varaza) de la cartera. Esto es ua cuestó de su covaraza co respecto al resto de los títulos que compoe la cartera. De hecho, el resgo de ua cartera depede de la covaraza de los actvos que la compoe y o del resgo promedo de los msmos. De esta maera la decsó de poseer u título o actvo facero o debe tomarse úcamete comparado su redmeto esperado y su varaza co respecto a los otros, so que depede de los otros actvos que desee poseer. E resume, los actvos o debe valorarse de forma aslada so e cojuto. Esta dea es hoy algo aceptado uversalmete por los gestores de fodos. 5. Mejorado la utldad del modelo. El modelo dagoal de Sharpe El prcpal problema del modelo meda-varaza de Markowtz, de cara a su utldad práctca, radcaba e la catdad de cálculos que era ecesaro hacer para llevarlo a cabo 6. Recordemos que s queremos aalzar las carteras efcetes formadas por.500 actvos faceros (algo ormal) ecestamos estmar prevamete.500 redmetos esperados,.500 varazas y = covarazas. uscado facltar la aplcacó práctca de su modelo, Markowtz, ecargó a uo de sus doctorados Wllam F. Sharpe que vestgara sobre las correlacoes que parecía teer los títulos del mercado etre sí. Efectvamete, Sharpe, observó que los títulos que compoe las carteras de valores parecía estar sujetos a fluecas comues, por lo que postuló que los redmetos de los títulos suele estar postvamete correlacoados. Esto le llevó a troducr ua mportate smplfcacó, al cosderar que los redmetos de los dferetes valores está relacoados co u ídce geeral (el de la olsa, el ídce geeral de precos, etc.) y que la correlacó etre los redmetos de los dversos valores se derva de su relacó 6 Sobre todo e los años 50 a 80 del pasado sglo XX. S el modelo hubera sdo desarrollado hoy e día posblemete o hubera tedo tatos problemas de mplemetacó gracas a la gra poteca de cálculo de los computadores actuales. Pero e aquellos tempos su vabldad era muy certa. 6

17 co dcho ídce. El modelo así dseñado recbe el ombre de modelo dagoal 7, y se expresa de la sguete forma: R = a + b I + ε R = Redmeto del actvo a = Redmeto del actvo que es depedete del mercado (parámetro a estmar) b = Coefcete de regresó a estmar, que expresa la varacó de R, que depede de la varacó del ídce I I = Ídce de la olsa ε = Perturbacó aleatora, que expresa la varacó de R, que depede de las característcas especfcas del ttulo, sedo depedete del mercado. E palabras de Sharpe, la prcpal característca del modelo dagoal es el supuesto de que los redmetos de varos actvos está relacoados etre sí úcamete a través de su comú relacó co algú factor subyacete básco. Este factor puede ser u ídce geeral de la bolsa, el PN, el IPC, etcétera, pero debe represetar la prcpal flueca sobre el redmeto de los actvos (el ídce geeral de la bolsa es, ormalmete, el factor que más fluye e los redmetos de los actvos). El procedmeto de Sharpe elma el tedoso cálculo etre las covarazas de cada pareja de actvos. El aalsta sólo ecesta calcular las relacoes etre cada uo de los actvos y el factor domate. S el preco de u actvo es más volátl que los movmetos de dcho factor, ese actvo hará la cartera más varable y. por ede, más arresgada; y lo cotraro. E ua cartera be dversfcada la meda smple de estas relacoes servrá para estmar la volatldad de la cartera como u todo. sí, s dspoemos de.500 actvos, habrá que calcular.500 parámetros a,.500 parámetros b,.500 varazas, la esperaza matemátca del ídce y su varaza. E total 3 x = 4.50 estmacoes ( 500 veces meos que los ecesaros segú el modelo meda-varaza de Markowtz!). Las mplcacoes de esta dea so muy mportates. S el versor desea adqurr u actvo determado o podrá evtar el resgo de poseer actvos e geeral. Es decr, s usted adquere úcamete accoes del V, s hacerlo, está vrtedo també e el ídce geeral de la bolsa española. 5. Cómo se obtee el modelo dagoal Los parámetros del modelo dagoal (a, b ) se obtee a través de ua regresó leal por el método de mímos cuadrados. De esta forma, el redmeto esperado 7 SHRPE, Wllam (96): Smplfed Model for Portfolo alyss" Maagemet Sceces 9, º, eero, pp.: Sharpe teía 6 años cuado escrbó este artículo que de por sí ya le hubera hecho ser uo de los académcos faceros que más ha fludo e los mercados de valores al posbltar el desarrollo práctco de la teoría de seleccó de carteras. Pero fue su posteror desarrollo del CPM lo que le llevó a compartr co su maestro el Nobel e 990. El ombre de modelo dagoal hace refereca a que e la matrz de varazas-covarazas, éstas últmas so guales a cero, e el modelo de Sharpe, quedado úcamete las varazas que forma la dagoal de dcha matrz (vea el subepígrafe 3.). 7

18 de u actvo cualquera (E ) y su resgo ( ) vee dados por las sguetes expresoes: E = a + b E[I] = b I + ε Observe la seguda expresó. l resgo del título ( ) també se le cooce como resgo total de dcho título. l producto b I se le cooce como resgo sstemátco del título, metras que a ε se le deoma resgo específco o propo del título. E el caso de calcular el redmeto esperado (E p ) y el resgo de ua cartera ( p), tedremos: E p = = X a + E[I] = X b = a p + E[I] b p p = b p I + = X ε Ejemplo: Vamos a aplcar el modelo dagoal a Edesa y Gas Natural durate los doce días hábles que va desde el 3 de eero al 6 de febrero de 007. Tomamos sólo trece valores para facltar la exposcó. E la tabla aparece los precos de ambas compañías juto al valor del Ídce Geeral de la olsa de Madrd (IGM). E las columas 5 y 6 aparece los redmetos daros de ambas compañías calculados segú P t /P t- -. E las dos últmas columas aparece las covarazas de ambas compañías co respecto al IGM; este cálculo se hace así: (R ed t E ed ) x (R g t E g ). El valor medo de este producto es la covaraza. bajo aparece los valores medos del Ídce y de los redmetos de las empresas juto a sus varazas. Para calcular b se dvde la covaraza etre la varaza del mercado: b ed = ed,igm / IGM = 0,07845 / 73,33 = 0, b g = g,igm / IGM = -0,0568 / 73,33 = -0, Los valores del parámetro a se obtee por dfereca: a ed = E ed b ed E(I) = -0,0874% - 0, x.644,55 = -0,65076 a g = E g b g E(I) = 0,733% - (-0,000978) x.644,55 = 0,

19 Días Edesa GN IGM Rdto END Rdto GN Cov END-I Cov GN-I 3-ee 38,57 30,65.6, 0-feb 38,4 30,66.66,35-0,448% 0,036% 0,0939-0, feb 39,04 30,85.63,67,640% 0,697% -0, , feb 38,0 3,60.63,7 -,4078%,43% 0, , feb 37,90 3,33.634,70-0,549%,30% 0, , feb 37,99 3,97.65,0 0,375%,9796% 0,008 0, feb 38,0 3,7.646,96 0,056% -0,7583% 0, , feb 38,0 33,0.65,7 0,0000%,4670% 0, ,8433 -feb 38,03 33,0.650,00 0,056% 0,0000% 0, , feb 38, 33,.648,53 0,367% -0,7% 0,0896-0, feb 38,5 33,4.65,04 0,0787% 0,396% 0,0078 0,035 5-feb 38, 33,.656,03-0,0786% -0,060% 0,0000 0, feb 38,5 33,43.65, 0,0787% 0,63% 0,074 0,05585 Meda:.644,55-0,0874% 0,733% 0, ,0568 Varaza: 73,33 0, ,00004 D típca 3,7 0,865%,003% b 0, , a -0, , Resgo sstemátco 0, ,00005 Resgo específco 0, , Co estos datos podemos calcular el redmeto esperado y el resgo de la cartera formada por ambas compañías a través de las sguetes expresoes: E p = -0,0874% X ed + 0,733% X g p = [(0, X ed + (-0,000978) X g ) x 73,33] + [0,00007 X ed + 0, X g ] Ua vez que dspoemos de las ecuacoes que modelza las combacoes del redmeto y del resgo de la cartera formada por Edesa y Gas Natural, podemos r dado valores a las poderacoes de dcha cartera (X ed e X g ) y dbujar la curva que aparece e la fgura 9. S, por ejemplo usted desea elegr aquella combacó que le proporcoa el meor resgo verá que la combacó 58% de Edesa y 4% de Gas Natural es la adecuada (su resgo meddo por la desvacó típca es del 0,6789% daro) que le proporcoa u redmeto medo daro del 0,56%. demás co arreglo a esta formacó usted sabe que las mejores combacoes (las carteras efcetes) se compoe co u mímo de u 4% de Gas Natural (y, por tato, u máxmo del 58% de Edesa) hasta el 00% de ésta. Estas combacoes le proporcoa el mayor redmeto para u resgo dado. Cualquer otra que tega más del 58% de Edesa le proporcoará, a gualdad de resgo, u meor redmeto. 9

20 Fg.9 Combacoes redmeto-resgo de Edesa y Gas Natural 6. La dversfcacó del resgo Hemos vsto que la expresó geeral del resgo total de ua cartera de valores segú el modelo dagoal de Sharpe es gual a: p = b p I + = X ε hora cocetrémoos e la expresó del resgo específco: = X ε e magémoos que vertmos por gual uestro presupuesto de versó e.000 actvos dferetes. Como vamos a vertr la msma catdad e cada actvo dedcaremos u X = /.000 de uestro dero a cada uo de ellos. Observe que e la expresó ateror X está elevada al cuadrado lo que sgfca que, sacado factor comú, la suma de las varazas de los errores de los ml actvos estará multplcada por 0,00000 hacedo cas desprecable el resultado fal. S aumetamos a actvos el resultado será aú más pequeño. sí que cocluyamos, s tede a fto X tede a valer cero, lo msmo que el resgo específco. Matemátcamete expresado y supoedo que todas las X so guales a X e gual a su vez a / ( es el úmero de actvos), el resgo específco quedaría así: 0

21 Resgo específco = = X ε = ε = ε = = = K dode K es el valor de la suma de los resgos específcos de los valores meddos por la varaza. S el resgo específco 0. E la fgura 0 se puede observar esto msmo. E ella se ha represetado el valor del resgo total de ua cartera formada por actvos co détcas poderacoes (/). Coforme aumetamos el úmero de actvos (es decr, aumetamos la dversfcacó), el resgo total va descededo hasta alcazar u valor determado, por debajo del que es mposble reducr el resgo medate dversfcacó. Este valor del resgo que es mposble de reducr medate la dversfcacó se deoma resgo sstemátco o resgo de mercado. Recaptulemos, los resgos se puede clasfcar e: a) Resgos dversfcables o específcos, s a través de la dversfcacó puede llegar a ser práctcamete desprecables como, por ejemplo, el resgo del proyecto (project rsk), dcatvo de la posbldad de equvocarse al calcular la demada esperada de u producto; el resgo compettvo (compettve rsk), dcatvo de la dfcultad de calcular la fuerza de la competeca; o el resgo del sector (sector rsk), que dca las varacoes del redmeto debdas a varables que afecte exclusvamete al sector e el que opera la compañía. b) Resgos o dversfcables o sstemátcos, que puede reducrse algo a través de la dversfcacó pero uca elmarse y a los que també se cooce como resgos de mercado (market rsk) como, por ejemplo, ua recesó eco-

22 ómca, ua caída bursátl o ua subda de los tpos de terés afecta egatvamete a cas todas las empresas. El cocepto de que ua parte del resgo se puede elmar medate ua adecuada dversfcacó es u cocepto básco de las fazas porque mplca que s u versor corre u resgo dversfcable lo corre porque él o ella lo desea, luego o tedrá gua compesacó por ello. Sólo se compesa el resgo sstemátco o o dversfcable medate u aumeto del redmeto esperado (la prma de resgo). sí que se dce que ua persoa es u dversfcador efcete cuado ha vertdo e el sufcete úmero de actvos tal que el resgo específco de su cartera es desprecable 8. blografía ERNSTEIN, Peter (005): Captal Ideas. Joh Wley. Hoboke (NJ) ODIE, Zv; KNE, lex y MRCUS, la (999): Ivestmets. McGraw Hll. osto. 4ª ed. RELEY, Rchard y MYERS, Stewart (003): Prcpos de Fazas Corporatvas. McGraw Hll. Madrd. 7ª Ed. ELTON, Edw y GRUER, Mart (99): Moder Portfolo Theory ad Ivestmet alyss. Joh Wley. Nueva York. (4ª ed.) EMERY, Douglas y FINNERTY, Joh (99): Prcples of Face. West. Nueva York. FOZZI, Frak (995): Ivestmet Maagemet. Pretce Hall. Nueva Jersey. FRRELL, James (997): Portfolo Maagemet. McGraw Hll. Nueva York GOMEZ-EZRES, Ferado (993): Gestó de Carteras. DD bloteca de Gestó. lbao RUINSTEIN, Mark (006): Hstory of the Theory of Ivestmets. Joh Wley. Hoboke (NJ) RUTTERFORD, Jaette (983): Itroducto to Stock Exchage Ivestmets. MacMlla. Lodres. SHRPE, Wllam; LEXNDER, Gordo; y ILEY, Jeffery (998): Ivestmets. Pretce Hall. Eglewood Clffs (NJ). (6ª ed.) SUREZ, drés (004): Decsoes Óptmas de Iversó y Facacó e la Empresa. Prámde. Madrd. 0ª ed. 8 E realdad o hace falta adqurr más allá de 0 actvos, que esté poco correlacoados etre sí, para dversfcar adecuadamete ua cartera