TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

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1 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

2 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Concepto de tendencia Decimos que " tiende a " si toma los valores de una sucesión que se aproima a. Se simboliza por medio de. Decimos que " tiende a por la izquierda" si toma valores menores que que se aproiman cada vez más a. Se simboliza por medio de. Diremos que " tiende a por la derecha" si toma valores mayores que que se aproiman cada vez más a. Se simboliza mediante. EJEMPLO: La sucesión de valores de la variable : 1,8, 1,7, 1,6, 1,5, 1,4, 1,, 1,, 1,1, 1,1, 1,1, 1,1, Es una sucesión de valores que se aproima al valor 1 para valores mayores que 1. Diremos que tiende a 1 por la derecha y se denota como 1. Sea una sucesión de valores que toma la variable :,7,,8,,9,,91,,9,,94,,95,,98, Esta sucesión de valores de se aproima a 1 para valores menores que 1; diremos que tiende a 1 por la izquierda y se denota como 1

3 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites laterales. Concepto de límite. 1/ Sea la función f. Consideremos una secuencia de valores de que se aproiman a por la izquierda así como sus imágenes. 1,9 1,9 1,96 1,98 1,99 1,998 f,61,686,84,9,96,99 Podemos observar que las imágenes se aproiman a 4. Diremos que f 4. Consideremos ahora una secuencia de valores de que se aproiman a por la derecha así como sus imágenes.,,,1,1,1,1 f 5,9 4,84 4,41 4,4 4,4 4,4 Podemos observar que las imágenes se aproiman a 4. Diremos que f 4. El ejemplo que hemos considerado define los límites laterales de la función cuadrática punto =. f en el

4 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites laterales. Concepto de límite / Diremos que f M si, cuando la variable se aproima a con valores menores que dicho número, entonces los valores de sus imágenes se aproiman al número M. A dicho límite se le denomina límite lateral por la izquierda de f en el punto. Diremos que f N si, cuando la variable se aproima a con valores mayores que dicho número, entonces los valores de sus imágenes se aproiman al número N. A dicho límite se le denomina límite lateral por la derecha de f en el punto. Diremos que f L si eisten sus dos límites laterales y además coinciden.

5 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites laterales. Concepto de límite. / EJEMPLO: Sea la función 1 f. Si deseamos calcular f, calcularemos los dos límites laterales: f y f. Con la siguiente tabla analizamos la tendencia de la función a la izquierda de y obtenemos que f 5 :,5,7,9,91,9,95,97,99,995,999 f 4 4,4 4,8 4,8 4,86 4,9 4,94 4,98 4,99 4,998 5 Para el estudio de la tendencia de la función a la derecha de consideramos la siguiente tabla:,5,4,,1,5,,1,5,,1 f Se deduce que f

6 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites laterales cuyo resultado es infinito. 1/ EJEMPLO. Consideremos la función f 1/. Analicemos por medio de tablas las tendencias por la izquierda y por la derecha de =. f : -, -, -,1 -,5 -,1 -,5 -,1 -,5 -,1 -,1 f -, f Si tiende a por la derecha observamos en la tabla que la imagen se hace cada vez más grande; diríamos que f.,,,1,5,1,5,1,5,1,1 f, f

7 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites laterales cuyo resultado es infinito / Diremos que f si cuando la variable se aproima a con valores menores que dicho número, entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente grandes. Diremos que f si cuando la variable se aproima a con valores menores que dicho número, entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente pequeñas. Diremos que f si cuando la variable se aproima a con valores mayores que dicho número, entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente grandes. Diremos que f si cuando la variable se aproima a con valores mayores que dicho número, entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente pequeñas. Diremos que f L si eisten sus dos límites laterales y además coinciden. Si f f f f diremos que f. Y de igual forma si entonces diremos que f.

8 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Significado geométrico de los límites laterales M f f f N f f f TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 8

9 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO EJERCICIOS 1/ Sea la función: f Representa su gráfica y, a partir de ella, calcula los siguientes límites: a f b f c f d f 1 e f 1 1 f f 1 g f h f. Interpreta gráficamente el significado de los siguientes límites: a f b f c f 1 d f 5 g f e f h f f f

10 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Reglas básicas del cálculo de límites Función constante Función identidad f K K K f Función eponencial f a, a, a 1 Función potencial de eponente natural Función potencial de eponente entero negativo n f, n 1 n f, n n Función logarítmica log, a 1 a a n n 1 1, n n 1, si n es par n 1 n, si n es impar 1 n si n es impar log a log a, log f a f log a, a 1 log a log a, log a a

11 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Reglas básicas del cálculo de límites. Ejemplos EJEMPLO. Calcula los límites que se indican: a 5 b c 1 f 5 g 5 h k l 9 p m log 5 q 7 r d 1 i 5 n log 1/ 5 5 s log 1/ 8 e 1 j o log t 1 5 u 1 4

12 9.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Propiedades algebraicas de los límites. Si A f y B g, con B A, finitos, entonces se verifica: a B A g f b B A g f c si, k R k, A k f k d B A g f e B A g f / / si B f si R A B, B g A f g A f f a a a log log log si A EJEMPLO: Calcula los siguientes límites: a b c 4 log 5 d TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1

13 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO EJERCICIOS. Calcula los siguientes límites: 5 4 a 4 1 b 1 1 c 4 1 d 4 e log 4 4 f 4 1 g 5 h 4 1 i 5 e 1 6 j 1 k m log 4 7

14 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CÁLCULO DE LÍMITES Cálculo de límites infinitos 1/. Para calcular el límite 1 1. Calculamos los límites del numerador y denominador obtenemos: 1 y 1. Sin embargo no podemos efectuar la operación 1, ya que no es una operación definida. Para determinar si eiste límite estudiamos los dos límites laterales: a Si tomamos una secuencia de valores que se aproiman a 1 por la izquierda,7,8,9,99,999 Numerador,1,4,7,97, Denominador -,51 -,6 -,19 -, -, b Si tomamos una secuencia de valores que se aproiman a 1 por la derecha: X 1, 1, 1,1 1,1 1,1 Numerador,9,6,,, 1 1 Denominador,69,44,1,1, EJEMPLOS: Determina la eistencia de los siguientes límites analizando los límites laterales, y realiza una interpretación gráfica del resultado obtenido: a 1 b 1 4

15 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CÁLCULO DE LÍMITES Comportamiento de una función en el infinito 1/ EJEMPLO: Dada la función f 1 Si consideramos una secuencia de valores crecientes cada vez más grandes obtendríamos f los valores de f son cada vez más grandes, esto se traduce en. f. Si consideramos una secuencia de valores decrecientes negativos cada vez más pequeños obtendríamos que los valores de f son cada vez más grandes circunstancia que se traduce en: f.

16 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CÁLCULO DE LÍMITES Comportamiento de una función en el infinito / - Si cuando los valores de sus imágenes se hacen infinitamente grandes, entonces se verifica que f. - Si cuando los valores de sus imágenes se hacen infinitamente pequeñas, entonces se verifica que f. - Si cuando los valores de sus imágenes se hacen infinitamente grandes, entonces se verifica que f. - Si cuando los valores de sus imágenes se hacen infinitamente pequeñas, entonces se verifica que f. f f f L f f f M

17 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CÁLCULO DE LÍMITES Cálculo de límites en el infinito: funciones polinómicas n n1 Si p an an 1... a1 a es un polinomio se verifica siempre que y p a n n, siendo Donde n si an an y si an n si an a n n par, y si an n a n el monomio de mayor grado de p. n si an a n n impar si an p a n n EJEMPLOS: Calcula los siguientes límites: 4 4 a b 1 1 c 4 5 d

18 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CÁLCULO DE LÍMITES 9... Cálculo de límites en el infinito. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Se verifican: a 1 a a 1, PROPIEDADES DE LOS LÍMITES EN EL INFINITO Si a 1 a y a 1 f A y g B, con A,B R {, },entonces se verifica: f g A b f g A B a B a 1 log a a 1 g B c f g A B d f / g A/ B e f A teniendo en cuenta las reglas k k k, si k k, si k k, si k k, si k k si k k, si k 1 k, si k 1 k,

19 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CÁLCULO DE LÍMITES 9... Cálculo de límites en el infinito EJEMPLOS Calcula los siguientes límites: a log 1/ b EJERCICIOS 1. Calcula los siguientes límites: 4 a 5 b 4 5 d 5. Calcula los siguientes límites: 7 a 1 b 5 d 1 e g 5 7 h 1 c 4 e d, 1/ c f c f

20 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.. CÁLCULO DE LÍMITES Indeterminaciones a Indeterminación : En gran parte de los casos basta realizar las operaciones indicadas. Ejemplo: =. Operando queda: = = = = 4 En otros casos, sobre todo en los que intervienen radicales, basta multiplicar y dividir por la epresión radical conjugada. Ejemplo: = = = = = = = b Indeterminación : En gran parte de los casos basta realizar las operaciones indicadas. Ejemplo: = = = -1 c Indeterminación : Cuando solo aparecen funciones racionales, basta descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo: = = = Si intervienen radicales, se multiplica y divide por la epresión radical conjugada. Ejemplo: = = = = = d Indeterminación : En muchos casos basta dividir el numerador y el denominador por la mayor potencia de la variable, tanto si las epresiones son racionales como radicales.

21 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 Ejemplo: = = = 4 En el caso más simple que es el de las funciones racionales cocientes de polinomios se puede resumir en tres casos: - Grado del numerador mayor que el del denominador, límite infinito. - Grado del numerador menor que el del denominador, límite cero. - Grados iguales, el límite coincide con el cociente de los coeficientes principales. e Indeterminaciones : Para resolver estos límites deberá tenerse en cuenta que, de donde resulta que. Asi se transforma en un producto. En el caso de la indeterminación, o sea si también es cierto que Ejemplo: = = = = = e En el tema 4 se estudiará la regla de L Hôpital-Bernoulli que permitirá, utilizando las derivadas de las funciones que intervienen en el límite, la resolución de cualquiera de los 7 casos de indeterminación.

22 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.4. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES Continuidad de una función en un punto EJEMPLO: Sea la función si 1/ si f 4 si cuya gráfica es 4 si 4 si La gráfica está compuesta por varias curvas separadas, y con varios saltos en su representación en los puntos =, = y =. En estos puntos diremos que la función no es continua, es decir, que la función tiene discontinuidades en =, = y =. Cuál es la razón analítica de estas discontinuidades?

23 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.4. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES Continuidad de una función en un punto. Definición Sea f : R R una función real de variable real, y sea un punto del dominio de la función, diremos que la función f es continua en si se verifica: 1 eiste f L con L un valor finito y f L. EJEMPLO: Determina si la siguiente función f 1 5/ es continua en =1, = y =. si si si 1 1

24 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES Tipos de discontinuidades. discontinuidad inevitable de salto finito: Eisten tres tipos de discontinuidades: Una función f tiene una discontinuidad evitable en si eiste f L pero f L. En el ejemplo inicial la función tiene una discontinuidad evitable en =. Una función f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en si no eiste f pero f y f son finitos. En el ejemplo inicial la función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en =. Una función f tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en si no eiste f y uno de los dos límites laterales no es finito. En el ejemplo inicial la función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en = discontinuidad inevitable de salto infinito: discontinuidad evitable de salto finito

25 9.4. EJERCICIOS 1. Averigua si las siguientes funciones son continuas en =, y caso de no serlo determina su tipo de discontinuidad: a f b 1 e g c 1 h d log 4 i. Estudia para qué valores de a son continuas las siguientes funciones son continuas en = a a f b 1 a g. Determina si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican: a e f 5 en =5 b e g en =1 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 5

26 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO RAMAS INFINITAS Y ASÍNTOTAS RAMAS INFINITAS. Se dice que una función y f tiene una RAMA INFINITA cuando, f o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto, f se aleja infinitamente. Podríamos distinguir tres posibilidades de ramas infinitas: a, f = infinito, finito 1 Es el caso de la función f que cuando, entonces f. 1 b, f = finito, infinito 1 Tenemos la función f que cuando 1 f y cuando 1 1 f. c, f = infinito, infinito Es el caso de la función 4 f ASÍNTOTAS. Algunas de estas ramas infinitas se aproiman a unas rectas determinadas que reciben el nombre de ASÍNTOTAS. En consecuencia, podemos decir que las asíntotas son rectas tangentes a la gráfica de la función en el infinito, son rectas cuya distancia a la curva tiende a cero cuando la distancia al origen tiende a infinito. Eisten tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas. ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Si lím f l, la recta y = l es asíntota, pues la distancia recta tiende a cero cuando nos alejamos del origen. f l de la curva a la La situación de la curva respecto de la asíntota la podemos estudiar calculando los límites lím f l y lím f l que nos dicen si la curva está por encima + o por debajo. Una función puede tener como máimo dos asíntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los límites en + y en : tendríamos una asíntota hacia la izquierda y otra hacia la derecha aunque frecuentemente la misma recta es asíntota por la izquierda y por la derecha. En funciones racionales, si hay asíntota para, la misma recta es asíntota para. Sin embargo, en funciones con radicales suelen ser distintas. La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos, aunque en la mayoría de las funciones elementales la gráfica está por encima o por debajo de la asíntota.

27 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 7 Ejemplos. Calcular las asíntotas horizontales, si eisten, de la función Veamos si eiste el límite de la función cuando Al eistir el límite de la función cuando será la recta y = 1. lím 5 1 lím 1 lím f 1 y ser finito, eiste asíntota horizontal. Ésta Para estudiar la posición de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal, calculamos la diferencia f 1 Entonces: f Si ya que el 1 denominador crece más rápidamente que el numerador y éste es negativo. Esto nos indica que en la gráfica de la función está por debajo de la asíntota horizontal. y 1 5 Si ya que el denominador crece más rápidamente que el 1 numerador y éste es positivo. Esto nos indica que en la gráfica de la función está por encima de la asíntota horizontal. ASÍNTOTAS VERTICALES. La recta = a es una asíntota vertical de la función y = f si se verifica que lím f a o lím f Así pues, para calcular las asíntotas verticales de una función, si es que tiene, hay que localizar los valores finitos de la variable que hacen tender la función a + o a. Podríamos establecer las siguientes observaciones sobre las asíntotas verticales: a Una función puede tener infinitas asíntotas verticales, como la función tangente. La gráfica de la función no corta nunca a la asíntota vertical, ya que en los puntos donde eiste asíntota no está definida la función. En las funciones racionales, las asíntotas verticales se hallan tomando los puntos que anulan el denominador.

28 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 8 La situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical = a se obtiene calculando los límites laterales en = a y viendo si valen + o. También puede hacerse estudiando el signo de la función en las regiones en las que eiste. Ejemplo. Encontrar las asíntotas verticales de la función: f 1 Para encontrar las asíntotas verticales de una función, buscaremos aquellos puntos donde la función tienda a infinito: por tratarse, en nuestro caso, de una función racional, para que la imagen tienda a infinito tendremos que anular el denominador. lím a 1 1 Por tanto, tendremos dos asíntotas verticales: 1 y 1. 1 Veamos la posición de la gráfica de la función respecto a cada una de las asíntotas: para ello calcularemos los límites laterales de la función en cada una de los puntos. En = 1: 1 lím lím t=1, yt=t t=-1, yt=t 1 lím lím En = 1: ASÍNTOTAS OBLICUAS. La recta y m n,, m, es una asíntota oblicua de la función y f si eiste alguno de los límites siguientes: 1. lím f m n. lím f m n

29 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9 En el primer caso se dice que la función tiene asíntota en +, y en el segundo en. Una determinada función puede tener asíntotas oblicuas de ambos tipos, de alguno o de ninguno de ellos, dependiendo de que eistan los dos límites, sólo uno o ninguno. La asíntota oblicua y m n,, m, quedará completamente determinada cuando conozcamos los valores de m y n. Cálculo de la pendiente. Para obtener la pendiente m de la recta, se calcula el valor hacia el que tiende el cociente de f por cuando : casos: m lím f Según el valor de m obtenido al calcular el límite en ± pueden darse los siguientes a Si m es un número real no nulo, la función tiene una asíntota oblicua en +. b Si m, la función no tiene asíntota oblicua en + y la rama correspondiente de la misma tiene la forma de la parábola vertical y. c Si m =, la función no tiene asíntota oblicua en +. La rama correspondiente tiene la forma de la parábola y. Cálculo de la ordenada en el origen n. Si m es un número real no nulo, se calcula n de la forma: n lím f m Si n es finito, eiste asíntota oblicua de ecuación y m n. Si n no es finito, hay una rama parabólica en la dirección y m. En las funciones racionales no es necesario utilizar límites para calcular los valores de m y n ya que se puede calcular directamente la asíntota mediante el siguiente procedimiento: Las funciones racionales, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, pueden epresarse de la forma: sin más que hacer la división entera. P R f C Q Q Para que el grado de C sea uno, la diferencia de grados entre numerador y denominador debe ser uno. Al tender, la fracción R Q y C. y tendríamos que la asíntota oblicua sería

30 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones: Una función puede tener como máimo dos asíntotas oblicuas correspondientes a cada uno de los límites. Las asíntotas horizontales y las oblicuas son mutuamente ecluyentes. La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios puntos. La situación de la gráfica respecto de la asíntota oblicua se hace estudiando el signo de f m n para valores grandes de. EJEMPLO Retomamos la función f y vamos a calcular sus asíntotas oblicuas, si eisten. 1 Primeramente, calculamos el límite de la función en asíntotas horizontales: lím lím 1 para estudiar la eistencia o no de lím Al ser este límite infinito, no eisten asíntotas horizontales. Veamos si eisten oblicuas: Calculamos el valor de la pendiente m: lím f lím 1 m lím lím 1 1 Calculamos el valor de la pendiente n: lím 1 n f m lím lím lím lím lím Por tanto, eiste asíntota oblicua para nuestra función que sería la recta de ecuación y =. 1 Veamos la posición de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical: Calculamos la diferencia entre la función y la asíntota, y estudiamos el signo para valores grandes de, tanto positivos como negativos. f m n 1 1 Si ya que tanto el numerador como el denominador 1 son positivos, pero el denominador crece más rápidamente que el numerador. Si ya que tanto el numerador es negativo y el 1 denominador es positivo, pero el denominador crece más rápidamente que el numerador.

31 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 Gráficamente la situación de la curva con las asíntotas verticales incluidas sería: EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcular las asíntotas de la función respecto a ellas. Calcular las asíntotas de la función respecto a ellas. Calcular las asíntotas de la función respecto a ellas. 5 1 f y estudiar la posición de la curva 1 f y estudiar la posición de la curva 1 f y estudiar la posición de la curva 4 4 Calcular las asíntotas de la función f 1 y estudiar la posición de la curva respecto a ellas. Se considera en el plano la recta =. Encontrara dos funciones cuyas gráficas admitan a dicha recta como asíntota y tengan distintas posiciones respecto a ella. Representar dichas posiciones. Calcular las asíntotas de la función respecto a ellas. Calcular las asíntotas de la función respecto a ellas. f y estudiar la posición de la curva f y estudiar la posición de la curva Determinar el valor de la constante k sabiendo que la curva de ecuación posee una asíntota que pasa por el punto 1,. y k 1 1

32 TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO Se considera la función f definida para 1 por f. Calcula los límites de f 1 cuando tiende a + y cuando tiende a Tiene la gráfica de la función f asíntotas horizontales? Cuáles son? Se considera la función f definida por 1, f 1 L 1, donde L denota el logaritmo neperiano de. 1. Determinar el dominio de definición de f.. Determinar las asíntotas de f. si si 1 1