Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso

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1 Matemáticas I E.I.I Tema 2 Aplicacioes Lieales y Matrices Curso

2 Itroducció 2 Como requisitos previos para maejar todos lo que e este tema se itroduce se tiee que recordar de cursos ateriores los coceptos de, vectores, depedecia e idepedecia lieal, matrices operacioes, determiates, sistemas de ecuacioes lieales. El programa poe:. Espacio Vectorial. Cambios de bases. Espacios afies. Cambios de sistemas de referecia. Producto escalar, ormas y distacias. 2. Aplicacioes lieales y matrices. 3. Matrices equivaletes y semejates. Operacioes y matrices elemetales, aplicació al cálculo del rago y de la matriz iversa. Determiates: propiedades y aplicacioes Bibliografia.- De Burgos, J Álgebra Lieal. J.. Ed. Mc. Graw Hill. López Pellicer y García García Álgebra lieal y Geometría. Ed. Marfil. De la Villa A. Problemas de Álgebra Lieal Tébar Flores Problemas de Álgebra Lieal.

3 Guió del tema 3 Espacio Vectorial Defiició e R o e C Ejemplos. Propiedades. Sistemas de vectores. Depedecia e idepedecia lieal. Rago de u cojuto de vectores. Subespacio vectorial, defiició, C N y S. Subespacio geerado. Sistema geerador. Bases. Coordeadas. Dimesió. Ecuacioes de los subespacios. Cambios de bases, ecuacioes. Aplicació lieal etre e.v. Cocepto, ejemplos. Alguas propiedades. Núcleo e image. Tª de las dimesioes. Matriz de ua aplicació lieal Cambio de bases e ua aplicació lieal, matrices equivaletes y semejates. Espacios vectoriales afies. Defiició. Sistemas de referecia. Cambios del Sistema de Referecia. Espacios vectoriales co producto escalar. Defiició, ormas distacias, águlos, ortogoalidad.. Expresió matricial del p.e. Operacioes elemetales sobre matrices, Recordatorio sobre determiates, SEL etc

4 Defiició de E.V. 4 Defiició U espacio vectorial es u cojuto V dotado de dos operacioes, ua itera + (lci), y otra extera. (lce) Co la lci es u grupo esto es: Comutativa, asociativa, e.eutro, e. opuesto Y co la lce cumple las propiedades:. α (x + y) = α x + α y 2. ( α+ β) x = α x + β x x, y V αβ, K 3. α ( β x) = ( αβ ) x 4..x = x elemeto uidad de K Al cojuto (V,+, K) se le llama ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo K, o tambié K-espacio vectorial. A los elemetos de V los llamaremos vectores; a los del cuerpo K, escalares y los habitualmete los escribiremos co letras griegas α, γ, λ, µ,...

5 Ejemplos de E.V. 5.- R 2.- El cojuto de los poliomios co coeficietes reales co grado 3 (P (x), +, R) 3. Las matrices M p,q co la suma y producto por úmeros reales. 4.- Las sucesioes reales. 3 (x,..., x ) + (y,..., y ) = (x + y,..., x + y ) α (x,..., x ) = ( α x,..., α x ) α R y (x, x,..., x ),(y, y..., y ) R 2 2, { 2 } P (x) = a + a x + a x / a R i { x} + { y} = { x + y} { } { } { } { } a x = ax a R y x, y Sucesioes de º reales

6 Propiedades.c.l, sistema geerador 6 Otras propiedades que se cumple e u e.v.. 0 x = 0; x V 0 R 5. si α 0 y α x = α y x = y 2. α 0 = 0; α k 6. a) α ( x) = ( α x) = ( α) x 3. α x = 0 α = 0 ó x = 0 b) ( α) ( x) = α x 4. x V, x 0 y α x = β x α = β 7. α (x y) = α x α y; α R, x, y V Sea (V,+, K) u espacio vectorial sobre K y S V, decimos que S es subespacio vectorial cuado (S,+, K) es tambié u e.v. sobre K. S es subespacio de V α, β K, x, y S : α x + β y S Ejemplos:. S={(-a,a)/a R}, es u subespacio vectorial de R P 2 (x) es u subespacio vectorial de P 3 (x). 3.- S={(-a+,a)/a R}, NO es u subespacio vectorial de R 2.

7 Operacioes co subespacios 7 Itersecció.- Teorema: Sea (V,+, K) u K-espacio vectorial y sea S y S 2 dos subespacios vectoriales de V, etoces S S2 S = { x / x S y x 2} es tambié subespacio vectorial de V. Suma de subespacios.- Defiició: Sea S, S 2 dos subespacios vectoriales del K-espacio vectorial (V,+, K) se defie la suma: S S = x V / x = x + x, 2 x i S ; i,2 { } + 2 i = Teorema: S +S 2 es tambié subespacio vectorial.

8 Operacioes co subespacios 8 Teorema de las dimesioes.- Si L y M so subespacios de V, etoces: dim(l+m) = dim(l) + dim(m) dim (L M) Ejemplo: M ={ (x,0): x R} subesapcio de R 2.. L ={ (o,y) : x R} subespacio de R 2. M L No es subespacio de R 2. Pues (,0) M y (0,) L y (,0) + (0,)=(,) M L. Ejercicio: Sea M geerado por {(,0,); (0,,)} y L geerado por {(,,); (2,0,)}. Hallar S + L y S L.

9 Combiacioes lieales, sistema geerador 9 A cualquier cojuto de vectores se le suele llamar Sistema de vectores x es combiació lieal de x, x,..., x : α, α,..., α K / x = α x 2 2 i i i= Al cojuto de todas las c.l. de x, x,..., x se le llama geerada o subespacio geerado 2 { } a los vectores x i se le llama sistema geerador (s.g.) x, x 2,..., x = αi x i / αi K i= Ejemplos.-.- E R 3 u sistema geerador es (,0,0),(0,,0),(0,0,) Y tambié lo es (,0,0),(0,,0),(0,0,), (6,7,8), (4,5,6) variedad lieal 2.- E R 3 L={(a+b, b,2a)/a,b R} es u subespacio geerado por los vectores ((,0,2) y (,,0) 3.- P 3 (x) esta geerado por {,x,x 2,x 3 }, tambié está geerado por {, +x, +x+x 2, +x+x 2 +x 3 }

10 Depedecia e idepedecia lieal rago 0 { }...Se dice que x, x,..., x so vectores liealmete idepedietes (l.i.) 2 o tambie familia libre cuado se verifica Si α x = 0 α = 0 i 2 i= i i i { 2 } ( ) i= i i i...el cojuto de vectores x, x,..., x se dice que es u cojuto de vectores liealmete depedietes l.d. o tambie familia ligada cuado Si α x = 0 α 0 para cierto i... Esta defiicio es equivalete a: Ejemplos: { } x, x,..., x es l.d. uo de ellos es c.l. de los demás 2. E R 2, (,-2)(2,-4) so l.d. 2. E R 3 a)(,2,3), (,,0), (,0,0) so l.i. b) (,2,3), (,,0), (,3,6) so ld 3. E P 3 (x) {+x+x 3, 2x+x 2, 2-x 2 +2x 3 } so l.d. Llamamos RANGO de u sistema de vectores: al úmero máximo de vectores libres

11 Defiició { } Bases, dimesió. : Base de u E.V. es u sistema de vectores { v,..., v } que a) so l.i b) sistema geerador Todas las bases de u E.V. tiee el mismo úmero de vectores. Ese úmero es la dimesió del E.V. { } = ( ) = ( ) 2.- E R ua base es e,e 2 co e,0 y e2 0, llamada base caóica = = 2 El cojuto v, v2 dode v (,2), v 2 (3, 4) tambie es base de R 2.- E ( P 3 (x), +, R) teemos {, x, x 2, x 3 } es base. Tambié es base el cojuto {, +x, +x+x 2, +x+x 2 +x 3 } 3.- E las matrices M 2,3 las matrices A,B,C,D,E,F so ua base del E.V A=, B= C=, D=, E=, F=, { } α i α i i i= Si B= v,..., v es ua base de u e.v. etoces si x V x = v K A los escalares ( α, α,..., α ) le llamamos coordeadas de x e la base B 2 lo expresaremos co x B Las coordeadas de u vector so úicas...si se cambia la base cambia las coordeadas...

12 Cambios de bases e e.v. 2 { } { } α 2 Sea B = x, x,..., x y B = y, y,..., y dos bases de V y sea x V / x = y =x i i B i= queremos obteer las coordeadas e la base B, que llamamos γ K / x = γ x =x i i i B i= Supoemos que os da las coordeadas de los vectores de la base B e la base B 2 y = β x β x... y = β x β x... y = β x β x Las ecs. del cambio bases so: γ = α β + α β α β... γ = α β + α β α β γ = α β + α β α β... o e forma matricial β β2... β β2 β22... β = X B = X B.(B 2 2) B β β2... β o simplificadamete podremos... X = X.P X las coordeadas del vector e la base primera, ( γ γ γ ) ( α α α ) X las coordeadas del vector e la base seguda y P la matriz de la seguda base respecto la primera Ates ecs. Subespacios

13 Aplicacioes Lieales. 3 Ates Defiició: Sea dos e.v. E y F, sobre u cuerpo K, decimos que la aplicació f: E F es ua aplicació lieal u homomorfismo cuado: f (x + y) = f(x) + f(y) f(α x) = α f(x) α K, x,y E Nota: Cuado F = K se llama forma lieal. Ejemplos:.- f: R R f(x)=3x es ua aplicació lieal de (R,+, R) e si mismo. 2.- f: P 2 (x) P (x) / p(x) P 2 f(p(x)) = p (x) 3.- f: R 2 R 3 f(x,y)=(x-y,2x,x+y) 4.- f: V V f(x)= k x k K (se llama homotecia) 5.- V = {fucioes reales itegrables} F: V W = R F(φ) = a b φdx. Y o lieales???? Teorema. (Codició ecesaria y suficiete de aplicacioes lieales). Sea E, F e. v. sobre K: f es aplicació lieal f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) α,β K y x,y V

14 Aplicacioes Lieales. 4 Alguas propiedades: f(0 E )=0 F f(-x)=-f(x).. f(x-y)=f(x)-f(y) Hay dos cojutos importates e toda aplicació lieal Sea f:(e,+,.k) (F,+,.K) Defiició : llamamos Image de la aplicació lieal y lo deotamos por Im(f) al cojuto: f(e) = Im (f) = {y F / x E, f(x) = y} F Defiició 2: llamamos úcleo del homomorfismo, y lo deotamos por Ker(f) a: Ker(f) = N(f) = { x E / f(x) = 0 F } E» Siempre hay al meos u vector pues f(0 E )=0 F Ambos so subespacios vectoriales y se cumple: Teorema de las dimesioes» dim E = dim(ker(f)) + dim (Im(f)).

15 Matriz de ua aplicació lieal 5 Sea f:e F y sea uas bases e E y F que llamamos B y B p q E F { } { } B = u,u,u,...,u y B v, v, v,..., v llamamos matriz de f referida a las bases E 2 3 p F 2 3 q B y B a la matriz que tiee por filas las imágees de los vectores de la base de B E F a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v M(f) = M = dode a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v 2 3 q 2 2 q q q q q p p2 p3 pq pxq Se prueba que si X=(x, x, x,..., x ) a a2 a 3... aq a2 a22 a a2q (y, y 2, y 3,..., y q) = (x, x 2, x 3,..., x p) a a a... a p p p2 2 pq q y f(x)=y=(y, y, y,..., y ) etoces 2 3 p 2 3 q p p2 p3 pq pxq las matrices traspuestas o sea covirtiedo filas e columas E Y = X.M tambie podría expresarse co t t t Y = M.X Obsérvese que la matriz de ua aplicació depede de las bases elegidas B E y B F

16 Matrices equivaletes y semejates 6 Cambio de bases e la ecuació de ua aplicació lieal. Matrices equivaletes: Si A, B Є M pq decimos que A es equivalete a B (A B) si P Є M p y Q Є M q / B= PAQ - ( P y Q regulares) Veamos que ocurre e la ecuació de ua aplicació lieal si se cambia las bases Sea f: E F de ecuació Y=X M co M = matriz de f referida a B E y B F. Supogamos que se cambia las bases: Sea el cambio e E: B E B E X = X P P matriz del cambio de bases e E Sea el cambio e F B F B F Y = Y Q Q matriz del cambio de bases e F Etoces si Y=X.M Y Q = (X P).M.. Y = X (PMQ - ) Y = X H O sea la ueva matriz de f (referida a B E y B F es H = PMQ -» Segú la defiició aterior so matrices equivaletes Por tato, tambié podemos defiir: Dos matrices so equivaletes si so matrices de ua misma aplicació lieal referida a bases distitas Matrices semejates : Si A, B Є M p A es semejate a B P Є M p regular / B = PAP - (es el caso aterior co E = F ó P=Q)

17 E resume 7

18 Espacio Afí 8 Sea Π u cojuto de putos y sea V u e. v., llamaremos espacio afí asociado al e.v. V a la tera formada por: ( ) ( ) ( ) ( ) A ) ϕ P,Q =ϕ P,R +ϕ R, Q P,Q,R Π Π, V, ϕ A. Siedo ϕπ Π : V/ A Π A 2) B Π / ϕ ( A,B) = v v V A los elemetos de Π les llamaremos putos del espacio afí. El vector ϕ ( ) a) A Π, ϕ A,A = 0 A,B se desigará habitualmete por AB Al puto B le llamaremos extremo y a A, orige. + PROPIEDADES. Ejemplos.- Plao afí A 2= (R 2, V 2, φ) Espacio afí tridimesioal A 3 =(R 3, V 3, φ) Siedo φ(p,q)=(q -p,q 2 -p 2,...) y P=(p,p 2,.. ) y Q=(q,q 2,.. ) ( ) ( ) = ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) A,B Π, ϕ A,B B, A c) A,B,C Πse cumple ϕ A,B =ϕc,d ϕ A, C =ϕb,d

19 Sistemas de referecia..coordeadas 9 { OU } OU ( ) { } Sea u esp. afí A = Π, V, φ y sea R= O, U,..., U ( + pu t os) { OU } OU se dice que R es u sistema de referecia cuado,..., es base del e.v. V A,..., le llamaremos base vectorial asociada al sist. de { } referecia afí OU,,..., U { OU } U Habitualmete u SR afi R se suele expresar como,,..., dode U = OU,..., U = OU Es decir u SR so + putos ó u puto y ua base del e.v Dado u puto del espacio afi llamaremos vector de posició al vector OP siedo O el puto fijo del S.R. Existe ua biyecció etre los putos de u EAfi y sus vectores de posició. Llamamos rdeadas afies de u puto P(p,p,...p ) a las coordeadas vectoriales coo 2 de su vector de posició OP = p U +p U +...+p U 2 2

20 Sistemas de referecia..coordeadas 20 Defiició: Llamamos dimesió del espacio afí a la dimesió del e.v. asociado. Ejemplos E el plao R ={O,E,E 2 } co O=(0,0), E =(,0),E 2 =(0,) es u S.R. E el plao R 2 ={A,P,P 2 } co A=(,), E =(2,3), E 2 =(4,6) es otro S.R. E el espacio R ={0,E,E 2,E 3 } co O=(0,0,0), E =(,0,0), E 2 =(0,,0) E 3 =(0,0,) es u S.R. E el espacio R 2 ={A,P,P 2,P 3 } co A=(,,0), P =(,2,3), P 2 =(2,4,6) P 3 =(4,5,8) es otro S.R. Ejercicios.- Obteer las coordeadas del puto P(8,9) del plao afí e el sistema R 2 Obteer las coordeadas del puto P(6,7,8) del espacio afí e el sistema R 2

21 Cambios de sistemas de referecia 2 ( φ) { } { } Sea el EAfi A=Π,V, y los S.R. R= O,u,...,u R'= O',v,...,v Sea ( ) X = X = x,..., x OX = x u x u R ( ) ( ) Sea X=X = x',...,x' O'X= x' v y sea OO'= a,...,a = a u R' i i i i i= i= = v aiui i = Sea... P = aij co P "matriz del cambio de bases" v = a iui etoces sustituyedo obteemos las ecs. del cambio de S.R. x = a + x' a x' a... que e forma matricial sería x = + ' a x a x' a

22 Cambios de sistemas de referecia 22 ( x,..., x ) = ( a,..., a ) + ( x',..., x' ) ( X=A+X.P) ( x x ) ( x x ) a a 0,,..., =, ',..., ' simplificadamete X=X.B P 0 ( ) ( ) (siedo la matriz B y X=,x,...,x y X =,x',...,x' ) a a a a Ejercicios.. Buscar las ecs. de los cambios de sistemas de referecia e el plao y e el espacio de los ejemplos ateriores. 2. Obteer las ecuacioes de algua variedad afí.

23 Producto Escalar 23 Defiició.- Sea V u espacio vectorial, llamaremos ( pe..) de los vectores V, a toda aplicació f : V xv R que cumple:.- x.y = y.x 2.- x.(y+z) = x.y+x.z x, y,z V, 3.- ( α.x)= α.(x.y) 4.- x.x > 0 x 0 El e.v. V co el p.e. se le llama producto escalar α K Espacio vectorial euclídeo e.v.e. Ejemplos : x.y = x.y + x y es u p.e. 2 2 { } = ( ) = ( ).- E el e.v V = (x,y)/ x,y R si x x,x y y,y = + ( + 2) ( 2) ( ) 2.- E el mismo e.v. a) x.y x y x x y +y tambie es p.e. b) x.y == x y + 2x y + 3 x y + y es otro p.e { } 3.- Si Fc a,b = fucioes cotiuas defiidas e el itervalo real a,b ( ) y sea φ: F xf R defiida φ f, g = f(x)g(x)dx f, g F es u p.e. c c a c b

24 Norma y águlo e el e.v.e. 24 E u e.v.e. E se defie orma de u vector como x = x x La orma cumple las propiedades:.- x 0 x E x = 0 x = λ x = λ x λ R 3.- x + y x + y x, y E A partir de la orma se defie la distacia como : d(x, y) = x y siedo x, y E... Y el águlo formado por dos vectores como: xy= θ como el úico θ [0, π] tal que cos( θ)= x.y x y

25 Ortogoalidad e u e.v.e Se dice que x es ortogoal y x y = 0 se expresa x y { } i p - U sistema de vectores u se dice ortogoales dos a dos { } e i ortogoal ei ej = 0 i j { } i i j e e = 0 i j ei ei = i = j cuado: ui uj = 0, para i j - U vector a es ortogoal a u subespacio S cuado es ortogoal a todos los vectores de S: a S a y = 0 y S - Para que a sea ortogoal a S basta co que lo sea a ua cualquiera de sus bases. - Ua base de u e.v. se dice ORTOGONAL cuado sus vectores so ortogoales dos a dos - Ua base de u e.v. se dice ORTONORMAL cuado sus vectores so ortogoales dos a dos y uitarios (de orma ) e ortoormal

26 Ortogoalidad e u e.v.e Expresió matricial de u p.e. 26 Esta defiició se extiede a las matrices. Ua matriz se dice ORTOGONAL cuado sus vectores filas (o columas) so ua base ortoormal. Esto es equivalete a que M.M t =I M=M - Por último recordaremos que u p.e. se puede expresar como : EXPRESIÓN ANALÍTICA del producto escalar ( ) { } i i i i toces : Si E = V,. = e.v. euclídeo y B= u,u, _,u ua base de V 2 y sea x = x u e y = y u e x.y = ( x,..., x )((g ij))... dode g ij es la matriz cuadrada defiida por gij = u i.u j ( ij ) ( ) ij y y A la matriz G g le llamamos matriz del producto escalar G es simétrica pues g = ( MATRIZ DE GRAMM) = > t g ji i,j y defiida positiva (xgx ) 0 x

27 Fi Tema APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Volver

28 Fució Aplicació 28 Fució f: A B Origial x Image f(x) Domiio o campo de existecia. Cojuto Image Aplicacioes Iyectiva Suprayectiva..Biyectiva EJERCICIOS Estudiar f: R R = = = x = x + 2 f(x) x... f(x) x... f(x)...f(x) l(x)... = + = = x x 2 2 f(x) x...f(x) x 4...f(x)... Volver

29 29 Fució Aplicació Volver

30 Ecuacioes de los Subespacios 30

31 3

32 32

33 33

34 34 Volver

35 Itroducció a la expresió matricial 36 * Sea f: R 2 R 2 defiida por f(a,b)=(a+b, 2.a) Para todo (a,b) de R 2 Expresarla e forma matricial * Idem co Sea f: R 2 R 3 defiida por f(a,b)=(a+b,a-b, 2.a) Para todo (a,b) de R 2 Volver

36 37

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