Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso 2012-2013"

Transcripción

1 Matemáticas I E.I.I Tema 2 Aplicacioes Lieales y Matrices Curso

2 Itroducció 2 Como requisitos previos para maejar todos lo que e este tema se itroduce se tiee que recordar de cursos ateriores los coceptos de, vectores, depedecia e idepedecia lieal, matrices operacioes, determiates, sistemas de ecuacioes lieales. El programa poe:. Espacio Vectorial. Cambios de bases. Espacios afies. Cambios de sistemas de referecia. Producto escalar, ormas y distacias. 2. Aplicacioes lieales y matrices. 3. Matrices equivaletes y semejates. Operacioes y matrices elemetales, aplicació al cálculo del rago y de la matriz iversa. Determiates: propiedades y aplicacioes Bibliografia.- De Burgos, J Álgebra Lieal. J.. Ed. Mc. Graw Hill. López Pellicer y García García Álgebra lieal y Geometría. Ed. Marfil. De la Villa A. Problemas de Álgebra Lieal Tébar Flores Problemas de Álgebra Lieal.

3 Guió del tema 3 Espacio Vectorial Defiició e R o e C Ejemplos. Propiedades. Sistemas de vectores. Depedecia e idepedecia lieal. Rago de u cojuto de vectores. Subespacio vectorial, defiició, C N y S. Subespacio geerado. Sistema geerador. Bases. Coordeadas. Dimesió. Ecuacioes de los subespacios. Cambios de bases, ecuacioes. Aplicació lieal etre e.v. Cocepto, ejemplos. Alguas propiedades. Núcleo e image. Tª de las dimesioes. Matriz de ua aplicació lieal Cambio de bases e ua aplicació lieal, matrices equivaletes y semejates. Espacios vectoriales afies. Defiició. Sistemas de referecia. Cambios del Sistema de Referecia. Espacios vectoriales co producto escalar. Defiició, ormas distacias, águlos, ortogoalidad.. Expresió matricial del p.e. Operacioes elemetales sobre matrices, Recordatorio sobre determiates, SEL etc

4 Defiició de E.V. 4 Defiició U espacio vectorial es u cojuto V dotado de dos operacioes, ua itera + (lci), y otra extera. (lce) Co la lci es u grupo esto es: Comutativa, asociativa, e.eutro, e. opuesto Y co la lce cumple las propiedades:. α (x + y) = α x + α y 2. ( α+ β) x = α x + β x x, y V αβ, K 3. α ( β x) = ( αβ ) x 4..x = x elemeto uidad de K Al cojuto (V,+, K) se le llama ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo K, o tambié K-espacio vectorial. A los elemetos de V los llamaremos vectores; a los del cuerpo K, escalares y los habitualmete los escribiremos co letras griegas α, γ, λ, µ,...

5 Ejemplos de E.V. 5.- R 2.- El cojuto de los poliomios co coeficietes reales co grado 3 (P (x), +, R) 3. Las matrices M p,q co la suma y producto por úmeros reales. 4.- Las sucesioes reales. 3 (x,..., x ) + (y,..., y ) = (x + y,..., x + y ) α (x,..., x ) = ( α x,..., α x ) α R y (x, x,..., x ),(y, y..., y ) R 2 2, { 2 } P (x) = a + a x + a x / a R i { x} + { y} = { x + y} { } { } { } { } a x = ax a R y x, y Sucesioes de º reales

6 Propiedades.c.l, sistema geerador 6 Otras propiedades que se cumple e u e.v.. 0 x = 0; x V 0 R 5. si α 0 y α x = α y x = y 2. α 0 = 0; α k 6. a) α ( x) = ( α x) = ( α) x 3. α x = 0 α = 0 ó x = 0 b) ( α) ( x) = α x 4. x V, x 0 y α x = β x α = β 7. α (x y) = α x α y; α R, x, y V Sea (V,+, K) u espacio vectorial sobre K y S V, decimos que S es subespacio vectorial cuado (S,+, K) es tambié u e.v. sobre K. S es subespacio de V α, β K, x, y S : α x + β y S Ejemplos:. S={(-a,a)/a R}, es u subespacio vectorial de R P 2 (x) es u subespacio vectorial de P 3 (x). 3.- S={(-a+,a)/a R}, NO es u subespacio vectorial de R 2.

7 Operacioes co subespacios 7 Itersecció.- Teorema: Sea (V,+, K) u K-espacio vectorial y sea S y S 2 dos subespacios vectoriales de V, etoces S S2 S = { x / x S y x 2} es tambié subespacio vectorial de V. Suma de subespacios.- Defiició: Sea S, S 2 dos subespacios vectoriales del K-espacio vectorial (V,+, K) se defie la suma: S S = x V / x = x + x, 2 x i S ; i,2 { } + 2 i = Teorema: S +S 2 es tambié subespacio vectorial.

8 Operacioes co subespacios 8 Teorema de las dimesioes.- Si L y M so subespacios de V, etoces: dim(l+m) = dim(l) + dim(m) dim (L M) Ejemplo: M ={ (x,0): x R} subesapcio de R 2.. L ={ (o,y) : x R} subespacio de R 2. M L No es subespacio de R 2. Pues (,0) M y (0,) L y (,0) + (0,)=(,) M L. Ejercicio: Sea M geerado por {(,0,); (0,,)} y L geerado por {(,,); (2,0,)}. Hallar S + L y S L.

9 Combiacioes lieales, sistema geerador 9 A cualquier cojuto de vectores se le suele llamar Sistema de vectores x es combiació lieal de x, x,..., x : α, α,..., α K / x = α x 2 2 i i i= Al cojuto de todas las c.l. de x, x,..., x se le llama geerada o subespacio geerado 2 { } a los vectores x i se le llama sistema geerador (s.g.) x, x 2,..., x = αi x i / αi K i= Ejemplos.-.- E R 3 u sistema geerador es (,0,0),(0,,0),(0,0,) Y tambié lo es (,0,0),(0,,0),(0,0,), (6,7,8), (4,5,6) variedad lieal 2.- E R 3 L={(a+b, b,2a)/a,b R} es u subespacio geerado por los vectores ((,0,2) y (,,0) 3.- P 3 (x) esta geerado por {,x,x 2,x 3 }, tambié está geerado por {, +x, +x+x 2, +x+x 2 +x 3 }

10 Depedecia e idepedecia lieal rago 0 { }...Se dice que x, x,..., x so vectores liealmete idepedietes (l.i.) 2 o tambie familia libre cuado se verifica Si α x = 0 α = 0 i 2 i= i i i { 2 } ( ) i= i i i...el cojuto de vectores x, x,..., x se dice que es u cojuto de vectores liealmete depedietes l.d. o tambie familia ligada cuado Si α x = 0 α 0 para cierto i... Esta defiicio es equivalete a: Ejemplos: { } x, x,..., x es l.d. uo de ellos es c.l. de los demás 2. E R 2, (,-2)(2,-4) so l.d. 2. E R 3 a)(,2,3), (,,0), (,0,0) so l.i. b) (,2,3), (,,0), (,3,6) so ld 3. E P 3 (x) {+x+x 3, 2x+x 2, 2-x 2 +2x 3 } so l.d. Llamamos RANGO de u sistema de vectores: al úmero máximo de vectores libres

11 Defiició { } Bases, dimesió. : Base de u E.V. es u sistema de vectores { v,..., v } que a) so l.i b) sistema geerador Todas las bases de u E.V. tiee el mismo úmero de vectores. Ese úmero es la dimesió del E.V. { } = ( ) = ( ) 2.- E R ua base es e,e 2 co e,0 y e2 0, llamada base caóica = = 2 El cojuto v, v2 dode v (,2), v 2 (3, 4) tambie es base de R 2.- E ( P 3 (x), +, R) teemos {, x, x 2, x 3 } es base. Tambié es base el cojuto {, +x, +x+x 2, +x+x 2 +x 3 } 3.- E las matrices M 2,3 las matrices A,B,C,D,E,F so ua base del E.V A=, B= C=, D=, E=, F=, { } α i α i i i= Si B= v,..., v es ua base de u e.v. etoces si x V x = v K A los escalares ( α, α,..., α ) le llamamos coordeadas de x e la base B 2 lo expresaremos co x B Las coordeadas de u vector so úicas...si se cambia la base cambia las coordeadas...

12 Cambios de bases e e.v. 2 { } { } α 2 Sea B = x, x,..., x y B = y, y,..., y dos bases de V y sea x V / x = y =x i i B i= queremos obteer las coordeadas e la base B, que llamamos γ K / x = γ x =x i i i B i= Supoemos que os da las coordeadas de los vectores de la base B e la base B 2 y = β x β x... y = β x β x... y = β x β x Las ecs. del cambio bases so: γ = α β + α β α β... γ = α β + α β α β γ = α β + α β α β... o e forma matricial β β2... β β2 β22... β = X B = X B.(B 2 2) B β β2... β o simplificadamete podremos... X = X.P X las coordeadas del vector e la base primera, ( γ γ γ ) ( α α α ) X las coordeadas del vector e la base seguda y P la matriz de la seguda base respecto la primera Ates ecs. Subespacios

13 Aplicacioes Lieales. 3 Ates Defiició: Sea dos e.v. E y F, sobre u cuerpo K, decimos que la aplicació f: E F es ua aplicació lieal u homomorfismo cuado: f (x + y) = f(x) + f(y) f(α x) = α f(x) α K, x,y E Nota: Cuado F = K se llama forma lieal. Ejemplos:.- f: R R f(x)=3x es ua aplicació lieal de (R,+, R) e si mismo. 2.- f: P 2 (x) P (x) / p(x) P 2 f(p(x)) = p (x) 3.- f: R 2 R 3 f(x,y)=(x-y,2x,x+y) 4.- f: V V f(x)= k x k K (se llama homotecia) 5.- V = {fucioes reales itegrables} F: V W = R F(φ) = a b φdx. Y o lieales???? Teorema. (Codició ecesaria y suficiete de aplicacioes lieales). Sea E, F e. v. sobre K: f es aplicació lieal f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) α,β K y x,y V

14 Aplicacioes Lieales. 4 Alguas propiedades: f(0 E )=0 F f(-x)=-f(x).. f(x-y)=f(x)-f(y) Hay dos cojutos importates e toda aplicació lieal Sea f:(e,+,.k) (F,+,.K) Defiició : llamamos Image de la aplicació lieal y lo deotamos por Im(f) al cojuto: f(e) = Im (f) = {y F / x E, f(x) = y} F Defiició 2: llamamos úcleo del homomorfismo, y lo deotamos por Ker(f) a: Ker(f) = N(f) = { x E / f(x) = 0 F } E» Siempre hay al meos u vector pues f(0 E )=0 F Ambos so subespacios vectoriales y se cumple: Teorema de las dimesioes» dim E = dim(ker(f)) + dim (Im(f)).

15 Matriz de ua aplicació lieal 5 Sea f:e F y sea uas bases e E y F que llamamos B y B p q E F { } { } B = u,u,u,...,u y B v, v, v,..., v llamamos matriz de f referida a las bases E 2 3 p F 2 3 q B y B a la matriz que tiee por filas las imágees de los vectores de la base de B E F a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v M(f) = M = dode a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v 2 3 q 2 2 q q q q q p p2 p3 pq pxq Se prueba que si X=(x, x, x,..., x ) a a2 a 3... aq a2 a22 a a2q (y, y 2, y 3,..., y q) = (x, x 2, x 3,..., x p) a a a... a p p p2 2 pq q y f(x)=y=(y, y, y,..., y ) etoces 2 3 p 2 3 q p p2 p3 pq pxq las matrices traspuestas o sea covirtiedo filas e columas E Y = X.M tambie podría expresarse co t t t Y = M.X Obsérvese que la matriz de ua aplicació depede de las bases elegidas B E y B F

16 Matrices equivaletes y semejates 6 Cambio de bases e la ecuació de ua aplicació lieal. Matrices equivaletes: Si A, B Є M pq decimos que A es equivalete a B (A B) si P Є M p y Q Є M q / B= PAQ - ( P y Q regulares) Veamos que ocurre e la ecuació de ua aplicació lieal si se cambia las bases Sea f: E F de ecuació Y=X M co M = matriz de f referida a B E y B F. Supogamos que se cambia las bases: Sea el cambio e E: B E B E X = X P P matriz del cambio de bases e E Sea el cambio e F B F B F Y = Y Q Q matriz del cambio de bases e F Etoces si Y=X.M Y Q = (X P).M.. Y = X (PMQ - ) Y = X H O sea la ueva matriz de f (referida a B E y B F es H = PMQ -» Segú la defiició aterior so matrices equivaletes Por tato, tambié podemos defiir: Dos matrices so equivaletes si so matrices de ua misma aplicació lieal referida a bases distitas Matrices semejates : Si A, B Є M p A es semejate a B P Є M p regular / B = PAP - (es el caso aterior co E = F ó P=Q)

17 E resume 7

18 Espacio Afí 8 Sea Π u cojuto de putos y sea V u e. v., llamaremos espacio afí asociado al e.v. V a la tera formada por: ( ) ( ) ( ) ( ) A ) ϕ P,Q =ϕ P,R +ϕ R, Q P,Q,R Π Π, V, ϕ A. Siedo ϕπ Π : V/ A Π A 2) B Π / ϕ ( A,B) = v v V A los elemetos de Π les llamaremos putos del espacio afí. El vector ϕ ( ) a) A Π, ϕ A,A = 0 A,B se desigará habitualmete por AB Al puto B le llamaremos extremo y a A, orige. + PROPIEDADES. Ejemplos.- Plao afí A 2= (R 2, V 2, φ) Espacio afí tridimesioal A 3 =(R 3, V 3, φ) Siedo φ(p,q)=(q -p,q 2 -p 2,...) y P=(p,p 2,.. ) y Q=(q,q 2,.. ) ( ) ( ) = ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) A,B Π, ϕ A,B B, A c) A,B,C Πse cumple ϕ A,B =ϕc,d ϕ A, C =ϕb,d

19 Sistemas de referecia..coordeadas 9 { OU } OU ( ) { } Sea u esp. afí A = Π, V, φ y sea R= O, U,..., U ( + pu t os) { OU } OU se dice que R es u sistema de referecia cuado,..., es base del e.v. V A,..., le llamaremos base vectorial asociada al sist. de { } referecia afí OU,,..., U { OU } U Habitualmete u SR afi R se suele expresar como,,..., dode U = OU,..., U = OU Es decir u SR so + putos ó u puto y ua base del e.v Dado u puto del espacio afi llamaremos vector de posició al vector OP siedo O el puto fijo del S.R. Existe ua biyecció etre los putos de u EAfi y sus vectores de posició. Llamamos rdeadas afies de u puto P(p,p,...p ) a las coordeadas vectoriales coo 2 de su vector de posició OP = p U +p U +...+p U 2 2

20 Sistemas de referecia..coordeadas 20 Defiició: Llamamos dimesió del espacio afí a la dimesió del e.v. asociado. Ejemplos E el plao R ={O,E,E 2 } co O=(0,0), E =(,0),E 2 =(0,) es u S.R. E el plao R 2 ={A,P,P 2 } co A=(,), E =(2,3), E 2 =(4,6) es otro S.R. E el espacio R ={0,E,E 2,E 3 } co O=(0,0,0), E =(,0,0), E 2 =(0,,0) E 3 =(0,0,) es u S.R. E el espacio R 2 ={A,P,P 2,P 3 } co A=(,,0), P =(,2,3), P 2 =(2,4,6) P 3 =(4,5,8) es otro S.R. Ejercicios.- Obteer las coordeadas del puto P(8,9) del plao afí e el sistema R 2 Obteer las coordeadas del puto P(6,7,8) del espacio afí e el sistema R 2

21 Cambios de sistemas de referecia 2 ( φ) { } { } Sea el EAfi A=Π,V, y los S.R. R= O,u,...,u R'= O',v,...,v Sea ( ) X = X = x,..., x OX = x u x u R ( ) ( ) Sea X=X = x',...,x' O'X= x' v y sea OO'= a,...,a = a u R' i i i i i= i= = v aiui i = Sea... P = aij co P "matriz del cambio de bases" v = a iui etoces sustituyedo obteemos las ecs. del cambio de S.R. x = a + x' a x' a... que e forma matricial sería x = + ' a x a x' a

22 Cambios de sistemas de referecia 22 ( x,..., x ) = ( a,..., a ) + ( x',..., x' ) ( X=A+X.P) ( x x ) ( x x ) a a 0,,..., =, ',..., ' simplificadamete X=X.B P 0 ( ) ( ) (siedo la matriz B y X=,x,...,x y X =,x',...,x' ) a a a a Ejercicios.. Buscar las ecs. de los cambios de sistemas de referecia e el plao y e el espacio de los ejemplos ateriores. 2. Obteer las ecuacioes de algua variedad afí.

23 Producto Escalar 23 Defiició.- Sea V u espacio vectorial, llamaremos ( pe..) de los vectores V, a toda aplicació f : V xv R que cumple:.- x.y = y.x 2.- x.(y+z) = x.y+x.z x, y,z V, 3.- ( α.x)= α.(x.y) 4.- x.x > 0 x 0 El e.v. V co el p.e. se le llama producto escalar α K Espacio vectorial euclídeo e.v.e. Ejemplos : x.y = x.y + x y es u p.e. 2 2 { } = ( ) = ( ).- E el e.v V = (x,y)/ x,y R si x x,x y y,y = + ( + 2) ( 2) ( ) 2.- E el mismo e.v. a) x.y x y x x y +y tambie es p.e. b) x.y == x y + 2x y + 3 x y + y es otro p.e { } 3.- Si Fc a,b = fucioes cotiuas defiidas e el itervalo real a,b ( ) y sea φ: F xf R defiida φ f, g = f(x)g(x)dx f, g F es u p.e. c c a c b

24 Norma y águlo e el e.v.e. 24 E u e.v.e. E se defie orma de u vector como x = x x La orma cumple las propiedades:.- x 0 x E x = 0 x = λ x = λ x λ R 3.- x + y x + y x, y E A partir de la orma se defie la distacia como : d(x, y) = x y siedo x, y E... Y el águlo formado por dos vectores como: xy= θ como el úico θ [0, π] tal que cos( θ)= x.y x y

25 Ortogoalidad e u e.v.e Se dice que x es ortogoal y x y = 0 se expresa x y { } i p - U sistema de vectores u se dice ortogoales dos a dos { } e i ortogoal ei ej = 0 i j { } i i j e e = 0 i j ei ei = i = j cuado: ui uj = 0, para i j - U vector a es ortogoal a u subespacio S cuado es ortogoal a todos los vectores de S: a S a y = 0 y S - Para que a sea ortogoal a S basta co que lo sea a ua cualquiera de sus bases. - Ua base de u e.v. se dice ORTOGONAL cuado sus vectores so ortogoales dos a dos - Ua base de u e.v. se dice ORTONORMAL cuado sus vectores so ortogoales dos a dos y uitarios (de orma ) e ortoormal

26 Ortogoalidad e u e.v.e Expresió matricial de u p.e. 26 Esta defiició se extiede a las matrices. Ua matriz se dice ORTOGONAL cuado sus vectores filas (o columas) so ua base ortoormal. Esto es equivalete a que M.M t =I M=M - Por último recordaremos que u p.e. se puede expresar como : EXPRESIÓN ANALÍTICA del producto escalar ( ) { } i i i i toces : Si E = V,. = e.v. euclídeo y B= u,u, _,u ua base de V 2 y sea x = x u e y = y u e x.y = ( x,..., x )((g ij))... dode g ij es la matriz cuadrada defiida por gij = u i.u j ( ij ) ( ) ij y y A la matriz G g le llamamos matriz del producto escalar G es simétrica pues g = ( MATRIZ DE GRAMM) = > t g ji i,j y defiida positiva (xgx ) 0 x

27 Fi Tema APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Volver

28 Fució Aplicació 28 Fució f: A B Origial x Image f(x) Domiio o campo de existecia. Cojuto Image Aplicacioes Iyectiva Suprayectiva..Biyectiva EJERCICIOS Estudiar f: R R = = = x = x + 2 f(x) x... f(x) x... f(x)...f(x) l(x)... = + = = x x 2 2 f(x) x...f(x) x 4...f(x)... Volver

29 29 Fució Aplicació Volver

30 Ecuacioes de los Subespacios 30

31 3

32 32

33 33

34 34 Volver

35 Itroducció a la expresió matricial 36 * Sea f: R 2 R 2 defiida por f(a,b)=(a+b, 2.a) Para todo (a,b) de R 2 Expresarla e forma matricial * Idem co Sea f: R 2 R 3 defiida por f(a,b)=(a+b,a-b, 2.a) Para todo (a,b) de R 2 Volver

36 37

APLICACIONES LINEALES.

APLICACIONES LINEALES. APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B

Más detalles

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales ESPACIO VECTORIAL.- Itroducció.- Espacio Vectorial.- Subespacios vectoriales 4.- Geeració de Subespacios vectoriales 5.- Depedecia e idepedecia lieal 6.- Espacios vectoriales de tipo fiito 7.- Cambio de

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

Vectores y matrices. x 1. x 2. x n. vector columna. X x 1, x 2,...,x n vector fila. a 11 a a 1m. a 21 a a 2m... a n1 a n2...

Vectores y matrices. x 1. x 2. x n. vector columna. X x 1, x 2,...,x n vector fila. a 11 a a 1m. a 21 a a 2m... a n1 a n2... Vectores y matrices x 1 X x 2. x vector columa X x 1, x 2,...,x vector fila a 11 a 12... a 1m A a 21 a 22... a 2m............ a 1 a 2... a m Matriz traspuesta a 11 a 21... a 1 A a 12 a 22... a 2............

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA FERNANDO LUIS GARCÍA ALONSO ANTONIO PÉREZ CARRIÓ JOSÉ ANTONIO REYES PERALES Profesores Titulares de la Escuela Politécica Superior de la Uiversidad de Alicate

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

Ley de los números grandes

Ley de los números grandes Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales

Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales Aplicciones lineles Bloque 2 Lección 2.2.- Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción

Más detalles

CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS

CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS 1 CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS Miguel A. Saiz, Joa Serarols, Aa M. Pérez Dep. de Iformática y Matemática Aplicada Uiversidad de Giroa RESUMEN: La matriz asociada a u edomorfismo f

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n.

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n. Fucioes de varias variables (I TEMA - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Coceptos topológicos previos e el espacio euclídeo R. Sea R el espacio euclídeo de dimesioes. U puto a de

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE

Más detalles

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.

Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes. ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores E la técica existe catidades como Logitud, Área, Volume, Temperatura, Presió, Masa, Potecial, Carga eléctrica que se represeta por u úmero real.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete

Más detalles

α, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x)

α, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x) HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal ALGERA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea V, dos espacios lieales, etoces u operador lieal (trasformació lieal) es ua fució T : V

Más detalles

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1. Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre

Más detalles

Práctica 6: Vectores y Matrices (I)

Práctica 6: Vectores y Matrices (I) Foamets d Iformàtica 1r curs d Egiyeria Idustrial Práctica 6: Vectores y Matrices (I) Objetivos de la práctica El objetivo de las prácticas 6 y 7 es itroducir las estructuras de datos vector y matriz e

Más detalles

La propiedad de Dieudonné y la propiedad V de Pelczynsiii sobre los espacios C(íl, E)

La propiedad de Dieudonné y la propiedad V de Pelczynsiii sobre los espacios C(íl, E) La propiedad de Dieudoé y la propiedad V de Pelczysiii sobre los espacios C(íl, E) Por BALTASAR RODRIGUEZ-SAUNAS Recibido: 8 mayo 985 Abstract I this paper obtai a class of separable Baach spaces E verifyig

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)

Más detalles

Desigualdades. José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com)

Desigualdades. José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com) Desigualdades José H. Nieto jhieto@yahoo.com). Itroducció Las desigualdades juega u rol fudametal e matemática. Existe libros completos dedicados a su estudio, y e las competecias iteracioales de problemas

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

Sucesiones y ĺımite de sucesiones

Sucesiones y ĺımite de sucesiones Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece

Más detalles

LOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2

LOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2 LOGARITMOS Como seguramete el estudiate recordará, e cuarto año apredió a traajar co los aritmos, y allí se eteró de que éstos se defie a partir de la ecesidad de despejar el expoete de ua potecia. Vamos

Más detalles

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

Funciones, límites y continuidad.

Funciones, límites y continuidad. Fucioes, límites y cotiuidad. Guillermo Sáchez () Departameto de Ecoomia e Hª Ecoómica. Uiversidad de Salamaca. Actualizado : -- Sobre el estilo utilizado Mathematica las salidas (Ouput) por defecto las

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -1-1 1 Sea las matrices A =

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial

Más detalles

8 Funciones, límites y continuidad

8 Funciones, límites y continuidad Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferecial Parcial 3 (27/10/2010) 1. Cosidere la fució f (x) = 3(x 1) 2/3 (x 1) 2 a) Halle el domiio b) Ecuetre los putos críticos,

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN.... 1 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES... 2 3.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS.... 2 4.- EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA... 2 5.- RESOLUCIÓN

Más detalles

Existencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene

Existencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene Existecia. El pricipio de los casilleros. Si queremos colocar 3 bolillas e cajas, es evidete que e algua caja deberemos colocar al meos dos bolillas. Lo mismo ocurre si e lugar de 3 bolillas tuviésemos

Más detalles

TEMA 12 ESPACIOS VECTORIALES. A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo, (K, +, ).

TEMA 12 ESPACIOS VECTORIALES. A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo, (K, +, ). 1. Espacios Vectoriales. 2. Subespacios Vectoriales. 2.1. tersecció de Subespacios. 2.2. Uió de Subespacios. 2.3. Suma de Subespacios. 2.4. Suma Directa de Subespacios. 3. Aplicacioes Lieales. Espacio

Más detalles

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES 4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES Dr. http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 41 4.1 Espacio Muestral y Evetos 4.1.1 1 Experimetos Aleatorios y Espacios

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

CAP ITULO I ALGEBRA LINEAL. 1

CAP ITULO I ALGEBRA LINEAL. 1 CAPÍTULO I ÁLGEBRA LINEAL 1 Tema 1 Espacios Vectoriales Notaremos por R al cuerpo de los úmeros reales Defiició 11 Sea E u cojuto o vacío e el que se tiee defiida ua ley de composició itera (llamada suma):

Más detalles

Programación Entera (PE)

Programación Entera (PE) Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad nº7: Transformaciones Lineales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Transformación lineal entre dos espacios vectoriales. Teorema fundamental

Más detalles

1. Ley de Grandes Números

1. Ley de Grandes Números La Ley de Grades Números Pablo Lessa 9 de octubre de 2014 1. Ley de Grades Números Te hago ua preguta persoal: Si estás jugado a la ruleta apostado e cada turo por egro o rojo y ves que sale 6 veces seguidas

Más detalles

Figura 9.1: Respuesta típica al escalón unitario de un sistema de control. Análisis de Sistemas Lineales 95 Ing. Eduardo Interiano

Figura 9.1: Respuesta típica al escalón unitario de un sistema de control. Análisis de Sistemas Lineales 95 Ing. Eduardo Interiano (VSHFLILFDFLRQHVHQHOGRPLQLRGHOWLHPSR E capítulos ateriores se ha estudiado la respuesta de estado estable de los sistemas lieales ( cuado tæ ), estudiaremos ahora la respuesta trasitoria. La respuesta

Más detalles

[ ] La ecuación (2) se conoce como la forma autoadjunta de la ecuación (1) EJEMPLO 1.- La forma autoadjunta de la ecuación de Legendre.

[ ] La ecuación (2) se conoce como la forma autoadjunta de la ecuación (1) EJEMPLO 1.- La forma autoadjunta de la ecuación de Legendre. CAPITULO III ORTOGONALIDAD Y SISTEMAS DE STURM LIOUVILLE [ ] Ua trasformació lieal LC : ab, C[a,b] es u operador diferecial lieal de orde (e el itervalo [a,b]) si puede epresarse e la forma : L = a ()D

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................

Más detalles

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

7.2. Métodos para encontrar estimadores

7.2. Métodos para encontrar estimadores Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició 7.1.1 U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la

Más detalles

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:...... 1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+ IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles