THE LATTICE BOLTZMANN EQUATION (LBE) METHOD AN ALTERNATIVE IN THE 2D COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS

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1 ISSN: Volumen - Número - Enero 00 Revsta Colombana de THE LATTICE BOLTZMANN EQUATION (LBE) METHOD AN ALTERNATIVE IN THE D COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS EL METODO DE LA ECUACION DE LATTICE BOLTZMANN (LBE) UNA ALTERNATIVA EN LA DINAMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL D MSc. Eln G. Florez S.*, PhD. Ildeonso Cuesta **, PhD. Clara Saluela ** * Dpto de Ing. Mecánca-Unversdad de Pamplona., Pamplona, Colomba. E-mal: elorez@unpamplona.edu.co ** Dpto de Ing. Mecánca, Unversdad Rovra Vrgl, Tarragona, España. E-mal:{ldeonso.cuesta-clara.saluena}@urv.cat Abstract: The lattce Boltzmann uaton (LBE) method s an approxmaton based on netc theory, used to smulate low n the lud mechancs. In ths method the lud s modelled by partcles movng on a regular lattce. At each tme step partcles propagate to neghborng lattce sdes and re-dstrbute ther veloctes usng a local collson phase. Thereore, n the method LBE the netc uaton o partcles velocty dstrbuton uncton (x,ξ, s solved. Where x s the specal poston, ξ s the partcle velocty and t s the tme. The macroscopc propertes o the lud (le densty ρ and velocty u) be obtaned evaluatng the hdrodynamcs moments o the dstrbuton uncton. Resumen: El método de la ecuacón de lattce Boltzmann (LBE) es una aproxmacón, basada en la teoría cnétca, utlzada para la smulacón de lujos en la mecánca de ludos. En este método el ludo es smulado por partículas movéndose sobre un lattce regular. En cada paso de tempo las partículas se propagan al lattce vecno redstrbuyendo su velocdad utlzando una ase de colsón local. A demás, en el metodo LBE se resuelve la ecuacón cnétca para la uncón de dstrbucón de la velocdad de las partículas (x,ξ,. Donde x es el vector poscón espacal, ξ es el vector velocdad de la partícula y t es el tempo. Las propedades mcroscópcas del ludo (tales como la densdad ρ y la velocdad u) se obtenen evaluando los momentos hdrodnámcos de la uncón de dstrbucón. Ke ywords : Lattce Boltzmann, netc theory, computatonal lud dynamcs.. INTRODUCTION Un ludo puede ser descrto o caracterzado en tres nveles [], () Dnamca Molecular: se basa en la mecanca Newtonana y trabaja con la poscon y la velocdad. El sstema normalmente mantene el orden del número de Avogadro de moleculas. La descrpcón de la dnamca molecular ncluye el segumento de las trayectoras las cuales son acordes con la ecuacón de Newton-Hamlton. () Teora cnétca: se basa en la termodnamca estadstca de ulbro y no-ulbro y trabaja con la uncón de dstrbucón de partículas (masa), denda como la densdad de probablad de que una partcula se encuentre en una poscón x, en un tempo t con una velocdad ξ. La ecuacón de cnetca clasca es la celebre ecuacón de Boltzmann; y () Hdrodnamca: se basa en las leyes de conservacón de la ísca macroscópca, en las que el ludo es tratado como un contnuo, y Unversdad de Pamplona 4

2 ISSN: Volumen - Número - Enero 00 Revsta Colombana de caracterzado por medo de varables tales como densdad (ρ), velocdad (u), preson (P), temperatura (T), etc. Las varables contnuas resultan del promedo colectvo de un gran número de trayectoras ndvduales. Este es el nvel macroscópco en el cual el ludo es gobernado por la ecuacón de contnudad, ecuacones de Naver- Stoes (N-S) y la ecuacon de energía. La teora cnetca juega un papel de puente para relaconar las propedades moleculares a los coecentes de transporte en el nvel de hdrodnamca del contnuo. El numero de Knudsen, dendo como Kn λ/l, es una medda convenente para categorzar el regmen del lujo, como se muestra en la gura. Aqu, L es la longtud macroscópca característca del lujo y λ es la longtud meda entre las mo léculas (mean ree path). Los modelos contnuos basados en las N-S y la ecuacón de Euler son generalmente valdos cuando Kn < 0,0, pero pueden amplar su aplcacón dentro del regmen de lujo-deslzado (0,0 < Kn < 0,) utlzando unas apropadas condcones de rontera. Mentras el modelo de partículas dscretas basado en la ecuacón de Boltzmann goberna casí todos los regmenes de lujo (Kn < 00). Indscutblemente, las aproxmacones numércas basada en la ecuacón de Boltzmann son undamentales y convenentes para amplos rangos de aplcacones practcas. mplementacón del modelo de colsón BGK [5] para reemplazar el termno de colsón exstente en la ecuacón de Boltzmann y dsmnur la complejdad del método. A demás a nales de los 90's Luo, He y Lalleman presentaron un trabajo donde soportan el método con la teoría cnétca de gases [6,7], hasta llegar en los últmos años a convertrse en una ecente herramenta para la resolucón o smulacón de lujos lamnares y turbulentos. ANTECEDENTES. Conceptos báscos en los métodos de la ecuacón de lattce Boltzmann El metodo LBE se basa en la ecuacón de Boltzmann y en el concepto de espaco-ase (en un nstante dado, un conjunto de partículas tene una poscón y una velocdad denda). En este método se dene una uncón de dstrbucón de las partículas (x,ξ,, la cual determna el número de partículas por undad de volumen o de espacoase. Donde x es la poscón espacal, ξ es la velocdad de la partícula en el espaco de ase (x,ξ) y t es el tempo. Tomando el promedo de las cantdades íscas mcroscópcas (momentos de la uncón de dstrbucón de las partículas), las propedades macroscópcas se pueden obtener. Una normacón detallada del procedmento anteror se encuentra en [7,]. El LBM, se basa en la teoría cnétca de gases y en la propa ecuacón undamental de Boltzmann + ξ O () Fg.. Regmenes de lujo en uncón del numero de Knudsen y ecuacones que lo governan [] El método de la ecuacón de lattce Boltzmann tene sus orígenes en los autómatas celulares de gases en lattce (LGCA). Un LGCA es un modelo smplcado de un gas en la cual muchas partículas colsonan conservando la masa, la cantdad de movmento y la energía. Las partículas se mueven en un lattce en tempos dscretos y solo pueden moverse con un conjunto dscreto de velocdades. El método LBE tuvo sus prncpos a nales de los 0's con el trabajo de McNamara y Zanett [], luego a prncpos de los 90's Chen et al [3] y Quan et. al. [4] propuseron separadamente la Donde O es la uncón de colsón, que se obtene al establecer un promedo sobre el conjunto representatvo de partículas y desprecar sus correlacones. En este trabajo se propone la utlzacón en orma senclla de la uncón de colsón, con un solo tempo de relajacón t relaconado con la vscosdad y conocdo como la aproxmacón de Bhatnagar-Gross-Kroo (BGK) [,4]. O ( ) () t Donde () es uncón de dstrbucón de ulbro local. La ecuacón () queda transormada en: Unversdad de Pamplona 43

3 ISSN: Volumen - Número - Enero 00 Revsta Colombana de ) ξ ( ) (3) + t Resolvendo numércamente para, la ecuacón anteror es prmero dscretzada en el espaco de velocdad usando un conjunto de vectores de velocdades ntas (? ), en el contexto de las leyes de conservacón [6,7], obtenemos la ecuacón de Boltzmann dscretzada: [ ] + ξ ( x ( x ),, (4) τ En la ecuacón anteror, (x, (x,ξ, es la uncón de dstrbucón asocada con la -esma () velocdad dscreta ξ y es la uncón de dstrbucón de ulbro en el espaco de velocdad dscreto.. Dervacón de LBE de la Ecuacón de Boltzmann Sn la nclusón de uerzas externas la ecuacón de Boltzmann con colson BGK esta dada por la ecuacón (3). Con la uncón de dstrbucón de ulbro de Maxwell-Boltzmann Donde d t e /Dx, y t y x son el paso de tempo y el tamaño de la malla, respectvamente. Escogendo d y denotando a τ?/ t, la ecuacón (7) llega a ser la ecuacón de lattce Boltzmann estándar, ( x + e t, t + () [ ( x t ) ), ] τ Aunque úncamente los esquemas de prmer orden son utlzados para obtener la ecuacón derencal dscretzada como lo muestra Sterlng and Chen (996), el error de dscretzacón tene una orma especal el cual puede ser ncluda dentro del termno vscoso, y la solucón de la ecuacón () da una exacttud de segundo orden para las varables macroscópcas en tempo y espaco. 3. MODELOS D LOS LBM ( ξ u) ρ / ( ) exp D π RT RT, (5) Donde R es la constante del gas, D es la dmensón espacal, y ρ es la densdad, u la velocdad del lujo y T la temperatura. Las varables macroscopcas son obtendas tomando derentes momentos de la uncón de dstrbucón ρ dξ ρu ξ dξ (6) La ecuacón (6) es una ecuacón derencal parcal y se puede utlzar cualquer método numérco para resolverla. Después de dscretzar la ecuacón (3) en el espaco ase y reemplazando ξ por e. S se aplca el esquema de derencas ntas de prmer orden en el tempo, y tomando los térmnos de prmer orden para los térmnos convectvos obtenemos: + ) ) d ( x+ x, t+ t + t t t t ( - (, ) ) t (, λ x x (7) Fg.. a) Lattce hexagonal DQ7, b) Lattce cuadrado DQ9 La gura muestra los dos lattce mas utlzados en el método LBE bdmensonal, el lattce hexagonal y el lattce cuadrado, con 7 y 9 velocdades dscretas respectvamente. Comúnmente estos lattce son conocdos como DQ9 y DQ7. El conjunto de velocdades dscretas en los modelos DQ7 y DQ9 están dendas por los vectores e como lo muestra la gura y sus respectvos valores están dados por: y e 0 (0,0) e (cos θ, snθ )c, θ (-)p/3,,,3,4,5,6 (9) e 0 (0,0) e (±c,0),(0,±c),,,3,4 (0) e (±c,±c), 5,6,7, Unversdad de Pamplona 44

4 ISSN: Volumen - Número - Enero 00 Revsta Colombana de Donde c x/ t y/ t y t, son la constante lattce y el tamaño del paso de tempo, respectvamente. La constante lattce esta relaconada con la velocdad del sondo del sstema c s, por medo de la ecuacón de estado. Esto es, para el modelo DQ7 tenemos: RTc s c /4. Y para el modelo DQ9; RTc s c /9 [6]. La uncón de dstrbucón de ulbro ( () ) para los modelos DQ7 y DQ9 respectvamente son: ) 4 ρ w + e u + ( e u) u u () 4 c c c ) ρ w + e u + ( e u) u u () 4 c c c Donde w es el actor de peso y para el modelo DQ7 esta dado por, 0 w (3),,,3,4,5,6 Y para el modelo DQ9 son 4, 0, 9 w,,,3,4, 9, 5,6,7, 36 (4) En el espaco de velocdad dscretzada (dscretzando la ecuacón 6), la densdad y la cantdad de movmento del lujo pueden ser evaluados como : ) ) e ρ (5) ρ u e (6) Utlzando la ecuacón de estado de un gas deal la presón se puede obtener de; ρ BT P ρ c, (7) s m Además utlzando el parámetro de relajacón τ menconado en la ecuacón, obtenemos la vscosdad cnemátca BT c v t t m ω 3 ω () ω c t c t τ t 6ω 3 3. Implementacón del método Para el desarrollo del códgo bdmensonal la ecuacón (4) es dscretzada en una orma partcular y utlzando un paso de tempo gual a t y el paso de espaco gual a x e t, es ( x + e t, t + t ) ( x, ( ) ) ( ) ω [ x, t x, t ] (9) Donde ω t / λ, es la recuenca de colsón entre partículas, el cual es gual al nverso del tempo de relajacón o tempo de colsón entre partículas (/, y x es un punto en el espaco ísco dscretzado. Fnalmente la ecuacón (9) es usualmente resuelta en los sguentes dos pasos: () Paso de colsón: x + t ( ) ( ) ( ) ) ( ) [ x, t x, t ] x, t ω () Paso de propagacón: x + e t,t + t ( ) ( x,t + ~ (5) (6) Donde ~ representa el estado de post-colsón. El paso de colsón es totalmente local y dene el cambo en la densdad o el cambo en el número de partículas dentro del elemento de volumen o espaco ase del lattce. El paso de propagacón dene el movmento de las partículas dentro del elemento de volumen o espaco ase del domno. Las ecuacones 5 y 6 son explctas y por lo tanto es ácl mplementar un algortmo en paralelo [9]. 4. CONDICIONES DE FRONTERA Como en cualquer método computaconal las condcones de rontera juegan un papel mportante y en el método LBE no es la excepcón. Algunos nvestgadores han propuesto derentes modelos para mplementar las condcones de rontera. Estos dependen del problema que se este abordando [,]. En CFD (Computatonal Flud Dynamcs) dos tpos de ronteras son recuentemente encontradas: ronteras abertas y paredes sóldas. Las ronteras abertas ncluyen líneas (o planos) de smetría, en las seccones transversales con entrada y salda peródcas. En estas ronteras, la velocdad y la presón son usualmente especcadas en la descrpcón macroscópca del lujo. Unversdad de Pamplona 45

5 ISSN: Volumen - Número - Enero 00 Revsta Colombana de Una dcultad del método LBE en la mplementacón de las condcones de contorno es que se deben mponer valores correctos de las uncones de dstrbucón a partr de los valores de las varables macroscópcas. Sólo para condcones de contorno de smetría y peródcas pueden determnarse los valores de sn problemas. La condcones utlzadas para este caso se conocen como ; condcones peródcas para la entrada y salda del lujo, las cuales son utlzadas sempre y cuando en el modelo smulado no exstan perturbacones u objetos que modquen el lujo en la vecndad de las msmas. El otro esquema típco utlzado para condc ones derontera, es el de rontera cellada y ja, conocdad comunmente como bounce-bac. El procedmento para jar condcón de no deslzamento en la pared consste en relejar especularmente las uncones de dstrbucón que vajan haca la pared. Este esquema es de segundo orden cuando la pared esta ubcada en la mtad de dos nodos. Una descrpcón detalla de este tpo de mplementacón en pared se puede consultar en el trabajo de Bouzd et al [3]. Derente a las condcones de rontera utlzadas en los métodos tradconales para resolver las ecuacones de Naver-Stoes, donde las cantdades mcroscópcas (velocdad, presón, etc) y sus dervadas pueden ser explíctamente mpuestas, en los LBM se ruere que estas estén cambando de acuerdo a la uncón de dstrbucón. 5. CONCLUSIONES El presente artículo es para los lectores un pueño acercamento al método de LBE, para la smulacón de problemas que nvolucran lujos, ya sean de tpo teórco o ndustral. Y que queran ncar en el mundo de la dnámca de ludos computaconal, con una mrada mesoscopca del sstema. Los modelos presentados aquí son aplcables a sstemas b-dmensonales. Para la smulacón de sstemas trdmensonales se debería revsar la teoría exstente en cuanto al tpo de lattce utlzado y el número de velocdades dscretas nvolucradas. Para los prncpantes en este tema y para conocer aspectos prelmnares de la programacón de un códgo que utlza el método LBE en lenguaje FORTRAN. REFERENCIAS []. Frsch U, Hasslacher B, Pomeau Y. Lattcegas automata or the Naver-Stoes uatons. Phys Rev Lett , 96. []. McNamara GR, Zanett G. Use o the Boltzmann uaton to smulate lattce-gas automata. Phys. Rev. Lett. 6:33 35, 9. [3]. Quan Y. H., d'humères D., Lallemand P. Lattce BGK models or Naver-Stoes uaton. Europhyscs Lett 7 (6), 479-4, 99. [4]. Chen H, Chen S, Matthaeus WH. Recovery o the Naver-Stoes uatons usng a lattce-gas Boltzmann method. Phys. Rev. A. 45:R5339 4, 99. [5]. P.L. Bhatnagar, E.P. Gross, and M. Kroo. A model or collson processes n gases. I Small ampltude processes n charged and neutral one-component system, Phys. Rev., 94 pp. 5-5, 954. [6]. X. He, L-S Luo. Theory o the lattce Boltzmann method: From the Boltzmann uaton to the lattce Boltzmann uaton. Phys. Rev. E 56 (6) 6-7, 997. [7]. P. Lallemand, L-S Luo. Theory o the lattce Boltzmann method: Dsperson, dsspaton, sotropy, Gallean nvarance, and stablty. Phys. Rev. E 6 (6) , 999. []. Anderson J. Hypersonc and hgh temperature gas dynamcs. New Yor: McGraw-Hll Inc., 99. [9]. Dazh Yu, Renwe Me, L-Sh Luo, We Shyy. Vscous low computatons wth the method o lattce Boltzmann uaton. Progress n Aerospace Scences. Elsever Scence Ltd, 003. [0]. Deter A. Wol-Gladrow. Lattce-Gas Cellular Automata and Lattce Boltzmann Models. Sprnger, 000. []. Sordos P. A., Intal and Boudary Condtons or the lattce Boltzmann method, Phys. Rev, E 4 (6), 43(0), 993. []. Zou Q., He X., On pressure and velocty boundary condtons or the lattcce Boltzmann BGK model, Phys Flud 9 (6), 997. [3]. M. Bouzd, M. Fradaouss, and P. Lallemand, Phys. Fluds 3, 45, 00. Unversdad de Pamplona 46