UNIDAD 8: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS

Transcripción

1 UNIDAD 8: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS Introducción Tasas d variación mdia instantána Drivada n un punto Ecuación d la rcta tangnt n un punto Función drivada. Drivadas sucsivas Tabla d drivadas y rglas d drivación INTRODUCCIÓN La istoria dl Cálculo difrncial s fund con la dl Cálculo intgral, dando lugar a lo qu s dnomina Cálculo infinitsimal. CÁLCULO INFINITESIMAL (basado n l paso al límit) CÁLCULO DIFERENCIAL (Drivadas) CÁLCULO INTEGRAL (Intgrals) Los dos problmas istóricos qu condujron al stablciminto dl concpto d drivada, furon: - Vlocidad d un móvil - Tangnt a una curva Ambos problmas furon rsultos por l inglés Isaac Nwton (matmático y físico) y por l almán Gottfrid Willm Libniz (matmático y filósofo). Nwton labora su toría acia 666, pro no la publica asta 69, n su obra D Analysi. Sin mbargo, Libniz, qu ac sus dscubrimintos más tard, publica su toría ants, n la rvista Acta Eruditorum, n 684. La polémica n torno a la autoría d las drivadas supuso una d las grands disputas d la Historia d la Cincia. NOTACIÓN MÁS USUAL Función Drivada n = a y (a), f (a) y = f() Dy(a), Df(a) dy d (a), df d (a) Página d

2 TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA Actividad. Djamos car un objto dsd una altura d 5 mtros. El spacio rcorrido (mtros), n función dl timpo (sgundos), vin dado por la prsión: (t) gt 5 t. 5 (mtros) (t) 5t t (sgundos) º) Calcula la vlocidad mdia n todo l rcorrido dl objto asta llgar al sulo, y la vlocidad mdia n l intrvalo [t =, t = 4] º) Calcula la vlocidad mdia n intrvalos cada vz más pquños cuyo orign s t =. º) Calcula la pndint d la rcta tangnt n t = y rlaciónala con la vlocidad instantána n dico punto. 5 º) Vlocidad mdia n [,5] 5 t 5 t v m,5 spacio rcorrido timpo mplado 5 5 t 5 5 m/s 5 Página d

3 Vlocidad mdia n [,4] 8 45 t 4 t v m,4 spacio rcorrido timpo mplado 4 4 t m/s En gnral: Y TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) EN UN INTERVALO y = f() f(b) f(a) a b y X TVM a,b Δy f(b) f(a) Δ b a La TVM s la variación d una función, por unidad d la variabl indpndint, n un cirto intrvalo. º) v m v m v m t ;,5 ;,5 t ;, ;, t ;,5 ;,5,5,5,,,5,5,5,5 m/s,5,5,5 m/s,,5,5 m/s,5 v i vlocidad instantána n t = (si l objto llvara cuntakilómtros, marcaría m/s n l instant t = ) lím v, t m/s t 5t (t) () 5 t m lím lím lím t t t t t t t Ruffini m/s Página d

4 En gnral: TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA (TVI) EN UN PUNTO Y y = f() TVI a lím TVMa, a lím a Δy Δ f() f(a) lím a a f() f(a) a y X Si acmos TVI a a : f(a Δ) f(a) lím Δ Δ La TVI n un punto s l límit d la TVM cuando l intrvalo s ac infinitamnt pquño. Rprsnta la variación instantána d una función por unidad d la variabl indpndint. º) rcta tangnt n t = La pndint d la rcta tangnt n t =, srá: t instantána n t =, qu coincid con la vlocidad En gnral: f() Y y = f() Q Dfinimos la rcta tangnt n P como l límit d las scants cuando l punto Q s aproima al P (cuando ): tgtg rcta tangnt n P rcta scant PQ f(a) P a y X Es dcir, la pndint d la rcta tangnt n P, srá: y tg α lím tg lím TVI a Por tanto, podmos intrprtar la TVI n un punto como la pndint d la rcta tangnt a la curva n dico punto. Página 4 d

5 DERIVADA EN UN PUNTO La tasa d variación instantána d una función n un punto, vista n l pígraf antrior, s conoc abitualmnt como drivada n dico punto, y la rprsntarmos con la notación d Lagrang: f a. Por tanto: f (a) f() f(a) a a f(a Δ) f(a) Δ f(a ) f(a) Por comodidad, s utiliza n lugar d Δ Rcordmos qu tnmos dos intrprtacions para la drivada: Intrprtación física, como variación instantána d una magnitud (función) por unidad d la variabl indpndint: TVI Intrprtación gométrica, como pndint d la rcta tangnt a la función n l punto considrado: tg α Ejrcicios. º) Dada la función: f(), calcula la drivada n l punto = utilizando las dos fórmulas. f () f () ( ) 6 f lím lím lím lím f ( ) f () ( ) ( ) f lím lím lím lím Página 5 d 6 6 º) Un país dsa nviar un satélit artificial al spacio. El cot qu lo transportará rspond a la cuación d moviminto (t) t 8t, sindo l spacio rcorrido n km dsd la suprfici trrstr y t, l timpo n minutos. Calcula la vlocidad dl cot a los 5 minutos dl lanzaminto. (t) (5) t Vlocidad instantána n l instant t = 5: 5 lím lím t 5 t 5 t5 t 8t 5 (t 5) (t ) lím lím 8 km/min t 5 t 5 t5 t 5 8t ( 5 t 5 º) Halla la pndint d la rcta tangnt a la parábola f() 8 7, n = 4 f f (4 ) f (4) 8 (4 ) (4 ) ) 4 lím lím lím lím 7 pdt =

6 4º) Dada la función f(), calcula las pndints d las rctas tangnt n los puntos = y =5. Por qué obtnmos l mismo valor? f f f () f () ( ) ( ) lím lím lím lím f () f (5) 5 ( 5 ) lím lím lím lím ( 5) Al tratars d una rcta, la tangnt n cualquir punto s la misma rcta y la pndint, por tanto, s mantin constant. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO S pud dmostrar qu la cuación d una rcta t qu pasa por l punto P(a,b) y cuya pndint val m, s: y b = m( a) Como sabmos qu la pndint d la rcta tangnt n un punto s la drivada n dico punto y qu b = f(a), podmos scribir: y = f() Rcta tangnt a f() n l punto P(a,b): y f(a) f a a f(a) P t a Ej:) Hallmos la cuación d la rcta tangnt a la curva f 9 f lím f 9 lím lím f() n l punto d abscisa = 9: lím Rcta tangnt: y 9 f 9 9 y 9 6 f() 9 FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS punto: La función drivada asocia a cada punto n l qu la función s drivabl, la drivada n dico Página 6 d

7 f : Dom f R f( ) f() f () A partir d la función drivada (drivada ª) s pud dfinir, si ist, su función drivada, qu rcib l nombr d drivada ª. Y así sucsivamnt: Drivada ª: Drivada ª:... Drivada nésima: Ej.) f() = f () f () tc. f( ) f() f ( ) f () ( ) 6 ( ) 6 6 En la práctica, las funcions drivadas s obtinn a partir d la tabla d drivadas y d las rglas d drivación. Página 7 d

8 TABLA DE DERIVADAS Y REGLAS DE DERIVACIÓN Tabla d drivadas (notación d Lagrang) FORMA SIMPLE y Ct y y y FORMA COMPUESTA n y y y ln y n y y n n y f () y f () y ln f() y n f () y f() f () y f () f () f() y log a y log a y log a f () y log a f () y y y a y a ln a y f () g() y g() f () g() n f () f () y y f() f a f() () f () y y a ln a f() f () f () g() ln f () g() y sn y cos y sn f() y cosf() f() y cos y sn y cosf () y sn f() f() y tg y sc y tgf() y sc f () f() y cotg y cosc y cotgf() y cosc f() f() y sc y tgsc y sc f() y tgf() scf () f() y cosc y cotg cosc y cosc f() y cotg f() cosc f() f () y arc sn y arc cos y arc tg y arc cotg y y arc sn f() y y arc cos f() y y arc tgf() y y arc cotg f() f() y f() y f () y f () f() y f () f () f () Página 8 d

9 Opracions con funcions drivabls y f() g() y f() g() y f() g() y Ctf() y f () g () y f () g() f() g () f () g() f() g () y g() y Ctf () Ejmplos. y log y log log log y sn sn sn cos sn cos sn cos cos cos sn y cos cos y sn sn y cos y 6 y 6 cos sn cos cos 6 Composición d funcions (rgla d la cadna) f g f() y = g[f()] sn Obsrvamos qu la drivada sc coincid, como ra d sprar, con la d la función tangnt y = (g o f) () = g[f()] Notación d Lagrang: y g f() f () Notación d Libniz: d y d d g f() d f() d f() d sc sc Ej.) y lnsc y sc sc tg tg, sisc Drivamos l logaritmo npriano tomando como variabl sc La rgla d cadna justifica la utilización d la columna FORMA COMPUESTA Página 9 d

10 Drivación logarítmica Sa y = f(). Hmos d sguir pasos: º. Tomamos logaritmos n los dos mimbros. º. Drivamos ambos mimbros. º. Dspjamos y Ej.) y. Sigamos los pasos antdicos: º. Tomamos logaritmos y bajamos l ponnt: ln y ln ln y º. Drivamos n los dos mimbros: y º. Dspjamos y: y y y y Obsrvamos qu l rsultado s l qu ubiésmos obtnido al drivar dirctamnt la función y = La técnica d la drivación logarítmica s aplica, fundamntalmnt, cuando qurmos drivar una función lvada a otra. y cos sn Ej.) º. ln y ln cos sn sn lncos y y y cos ln y º. sn lncos sn lncos sn cos cos sn y sn cos lncos y cos º. y y cos lncos sn cos y sn cos cos lncos sn cos Página d