Opciones Reales: Valoración por el método binomial

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1 Opciones Reales: Valoración por el método binomial Juan Mascareñas Universidad Complutense de Madrid Primera versión: ene Última versión: jun Introducción, 1 - El método binomial para un período, 1 - El método binomial para dos periodos, 6 - El modelo binomial para varios períodos, 8 - De la binomial a la distribución normal logarítmica, 9 - La valoración de las opciones de venta, 11 - Utilizando el modelo binomial en la práctica, 14 - Valoración de opciones mediante la simulación, 16

2 1. INTRODUCCIÓN De entre los métodos de valoración de opciones reales existentes, el binomial es el más in- tuitivo y el que utiliza unos cálculos matemáticos muy sencillos. Esto es importante porque la aplicabilidad de las opciones reales descansa fundamentalmente en que los directivos y empresarios entiendan perfectamente cómo el método obtiene el valor para poder así con- fiar en sus resultados. Existen otros métodos basados en formulación matemática en tiempo continuo, pro- bablemente mucho más elegantes y precisos, pero cuya comprensión implica unos conoci- mientos matemáticos de la que carecen la gran mayoría de los directivos, quienes los con- templan como una caja negra de la que no entienden nada salvo la cifra arrojada como resultado del cálculo, cifra que evidentemente no se creerán al no entender el proceso por el que se ha obtenido. Cox, Ross y Rubinstein 1 desarrollaron este método de valoración de opciones finan- cieras, que realiza sus cálculos en tiempo discreto, con la vista puesta en la valoración de opciones sobre acciones pero que, sin embargo, es perfecto para valorar opciones reales. Para ver cómo funciona nada mejor que comenzar valorando una opción de compra sobre una acción que no reparte dividendos y cuyo plazo es un año. 2. EL MÉTODO BINOMIAL L PARA UN PERÍODO El valor de la acción del Banco Santander en el momento de escribir estas líneas es de 8 y los inversores piensan que dentro de un año puede alcanzar un valor de 12,05 o uno de 5,31. Por supuesto, usted pensará, al menos, dos cosas: Por qué no puede tomar más va- lores dentro de un año? y, de tomar sólo dos, por qué precisamente esos dos?. La respues- ta a la primera pregunta viene dada por el nombre del método de valoración: binomial, la sílaba bi implica que en el periodo de tiempo siguiente (un año en nuestro caso) sólo se pueden tomar dos valores; esto no es un problema como veremos más adelante así que de momento sígame el juego. La respuesta a la segunda pregunta viene dada por la volatili- dad de la acción del Santander en el mercado de valores (un 41%) algo que también dejare- mos para más adelante. Otra cosa interesante es que la probabilidad de que ocurra un resultado (12,05 ) o el otro (5,31 ) no importa, sólo interesa el rango de resultados posi- bles. Bien pasemos ahora a calcular el valor que tendría hoy mismo una opción de compra de tipo europeo (sólo se puede ejercer en la fecha de su vencimiento, es decir, dentro de un año) sobre la acción del Santander descrita en el párrafo anterior y que posee un precio de ejercicio de 8. Su valor actual, que es el que pretendemos hallar, es de c, mientras que su valor intrínseco en la fecha de vencimiento dentro de un años será (figura 1): a) c u = 4,05, si la acción se sitúa en 12,05 (es el máximo valor entre 12,05-8 y 0) 1 Cox, J., Ross, S., y Rubinstein,M. (1979): "Options pricing: a simplified approach". Journal of Financial Economics. nº 7. Págs.:

3 b) c d = 0 si la cotización de la acción desciende a 5,31 (máximo valor entre 5,31-8 y 0). Fig. 1 Precios de la acción ordinaria y valores de su opción de compra Una forma de valorar un activo financiero (una opción en nuestro caso) consiste en saber cuánto vale otro activo financiero o una combinación de activos financieros, al que se denomina activo gemelo, que genere exactamente los mismos flujos de caja que el activo a valorar. Este método lo vamos a utilizar para valorar la opción de compra sobre la acción del Santander. La cartera que vamos a utilizar como comparación (también conocida como cartera réplica, porque replica los flujos de caja del activo a valorar) se compone de H accio- nes del Santander y de un préstamo que hemos contraído por B a un tipo de interés sin riesgo (r f ) no tiene riesgo porque en todo momento habrá dinero para devolver el présta- mo-. Por tanto, dentro de un período anual los flujos de caja de dicha cartera pueden tomar los dos valores siguientes: Si Su = 12,05 12,05 H - (1 + r f ) B = 4,05 Si Sd = 5,31 5,31 H - (1 + r f ) B = 0 es decir, en el caso de que la acción alcance los 12,05 el valor de la cartera será de H acciones a 12,05 cada una (12,05 H) menos la devolución del préstamo con sus intereses (B + B r f ) todo lo cual es igual a 4,05. De forma semejante se explica la segunda ecuación. Restando ambas ecuaciones obtendremos el número (H) de acciones del Santander que se deben comprar para constituir la cartera: 6,74 H = 4,05 H = 4,05/6,74 = 0,6009 acciones Si el tipo de interés sin riesgo r f es igual al 3% anual podemos detraer el valor de B en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores: 3,098. Obsérvese como siempre hay dinero para pagar el préstamo más sus intereses (si el valor de la acción fuese inferior a 5,31 el valor de B también sería inferior a 3,098 de tal manera que siempre habría dinero para pa- gar el servicio de la deuda). Luego el valor de la opción de compra, c, en la actualidad, será igual al valor actual de la cartera formada por H acciones más una deuda de B euros, es decir: c = S H B = 8 x 0,6009 3,098 = 1,7092 2

4 Antes de continuar, observe que la combinación formada por H acciones del Santan- der y la venta de una sola opción de compra proporciona el mismo resultado dentro de una año sea cual sea el valor futuro de la acción del banco: Si Su = 12,05 12,05 x 0,6009 4,05 = 3,191 Si Sd = 5,31 5,31 x 0, = 3,191 es decir, no hay riesgo, otro motivo más para utilizar el tipo de interés sin riesgo (r f ). Fíjese que si descuenta al 3% de interés 3,191 obtiene un valor de 3,098 que es el valor del prin- cipal de la deuda. 2.1 El arbitraje entra en acción Imagine que en el mercado de productos financieros derivados el valor de la opción de com- pra anterior es de 2,5! y usted está seguro de que el valor intrínseco es más bajo: 1,7092, qué puede hacer para aprovecharse de la discrepancia en la valoración entre el mercado y usted?. Pues vendería una opción de compra - recibiendo a cambio 2,5 - y compraría 0,6009 acciones del Santander. Su cartera tendría hoy un valor igual a: 0,6009 x 8-2,5 = 2,3072 y no de 3,098 como debería; sin embargo dentro de un año su cartera valdría 3,191 (fí- jese que el valor futuro depende del valor intrínseco de la opción en ese momento, no de su valor actual), es decir, habría obtenido un rendimiento anual igual a: 3,191/2, = 38,31% (VAN = - 2, ,191/1,03 = 0,7909) en lugar del 3% que debería haber obtenido. Así que en lugar de vender una única opción podría vender bastantes miles no?. Con esto impulsaría a la baja el valor de las opciones de compra hasta que se situase su valor en 1,7092. Pero, mientras tanto, usted se habría em- bolsado un buen dinero sin ningún riesgo; a esto es a lo que los financieros denominamos una comida gratis (free lunch en inglés) y es lo que hacen los arbitrajistas, es decir, aque- llos que se aprovechan de las discrepancias entre los valores de dos activos idénticos: com- pran el barato y simultáneamente venden el caro hasta que los precios de ambos se igualen. Y si el precio actual de la opción de compra fuese de 1?: Pues la adquiriríamos y venderíamos H acciones del Santander. Así que el flujo de caja actual de la cartera sería: x 0,6009 = 3,8072 es decir, recibiríamos un total de 3,8072 y dentro de un año deberíamos pagar 3,191, sea cual sea el valor de la acción del Santander en ese instante. Así que ganamos, a valor actual: VAN = 3,8072 3,191/1,03 = 0,71 3

5 A la vista de este beneficio sin riesgo compraremos un montón de opciones de com- pra y venderemos simultáneamente acciones del Santander hasta que el valor de aquellas (que ascenderán debido a la presión de la demanda) se iguale a 1,7092 momento en el que ya no habrá ningún beneficio que obtener y dejaremos de comprar opciones y vender acciones. 2.2 El modelo general Si ahora queremos obtener el valor de la opción de compra mediante una expresión mate- mática general, lo primero que haremos será reproducir el valor intrínseco de la opción de compra dentro de un período e igualarlo a los flujos de caja de la cartera réplica: c u = Su H - (1 + r f ) B c d = Sd H - (1 + r f ) B donde S es el precio actual de la acción subyacente (la del Santander en nuestro ejemplo), Su será el precio de la acción dentro de un período si es alcista, pues si fuese bajista se le denominaría Sd (donde u y d son los coeficientes por los que hay que multiplicar S para ob- tener el precio de la acción al final del período en nuestro ejemplo u = 1,5063 y d = 0,664- ). Por otra parte, el precio de la opción de compra en la actualidad sería c, siendo c u y c d, respectivamente, para los casos en que el precio de la acción haya ascendido o haya bajado. Si ahora restamos una ecuación de la otra y despejamos el valor de H, obtendremos el valor del denominado ratio de cobertura: H = c u - c d S (u - d) El siguiente paso, será despejar B en una de las ecuaciones anteriores: c u = Su H B (1+r f ) B = (Su H c u ) / (1 + r f ) y sustituir su valor en la ecuación c = S H B c = S H - (Su H - c u ) / (1 + r f ) c (1 + r f ) = S H + S H r f - Su H - c u c (1 + r f ) = S H (1 + r f - u) + c u sustituyendo ahora H por su valor y eliminando S del denominador y del numerador: c c (1 + r f ) = S u - c d (1 + r f - u) + c u S (u - d) Ahora, haciendo un alto en nuestra demostración, vamos a denominar: 1 + r a) p = f - d u - d 4

6 b) 1- p = u - (1 + r f ) u - d Estos valores representan la probabilidad implícita de ascenso (p) y de descenso (1- p) del valor de la acción subyacente. Así, por ejemplo, si sustituimos en la ecuación de p las variables por los datos del ejemplo con el que venimos trabajando obtendremos dichas pro- babilidades: p = (1 + 0,03-0,664) (1,5063-0,664) = 43,46% de que ascienda 1- p = 56,54% de que descienda Por tanto, si ahora retomamos nuestra demostración y sustituimos parte de la ecua- ción anterior por el valor de 1- p, obtendremos: c c (1 + r f ) = S u - c d (1 + r f - u) + c u = S (u - d) c u - c d u - d (1 + r f - u) + c u = (c u - c d ) (p- 1) + c u ahora despejando c, obtendremos la expresión que calcula el valor de la opción de compra según el método binomial que, como se puede apreciar, consiste en calcular la media pon- derada de los flujos de caja proporcionados por la opción de compra tanto si el precio del activo subyacente asciende como si desciende, y utilizando como ponderaciones las proba- bilidades implícitas de que dicho precio del activo suba o caiga. Y todo ello actualizado al ti- po libre de riesgo: c = c u p - c u - c d p + c d + c u = c u p + c d (1- p) c = c u p + c d (1 - p) 1 + r f Concretando, el precio teórico de la opción de compra es igual al valor actual de la media ponderada de los flujos de caja que proporciona. Para demostrar que ésta es la ecua- ción que buscamos sustituiremos las variables por sus valores 2 : c = (4,05 x 0, x 0,5654) (1,03) = 1,709 A p y 1- p se las conoce como probabilidades neutrales al riesgo (de ascenso y de descenso) porque parecen probabilidades pero no lo son. Realmente son los precios tiem- po- estado de los dos posibles estados (ascenso- descenso) multiplicados por 1+r f. El nombre por el que son conocidas: probabilidad neutral al riesgo viene dado por: a) ambas suman la unidad, como las probabilidades subjetivas; b) ambas son positivas, como las probabilidades subjetivas; y, c) cuando se utilizan para estimar el rendimiento esperado de un activo con riesgo hacen que la prima de riesgo desaparezca (son una especie de equivalentes de cer- teza de los flujos de caja inciertos) 3. 2 La mínima discrepancia en la cuarta cifra decimal se debe a los errores de redondeo. 3 Véase Shockley, Richard (2007) pág

7 3. EL MÉTODO BINOMIAL PARA DOS PERÍODOS Con objeto de obtener el valor de la opción de compra europea para varios períodos, prime- ramente vamos a aplicar el método binomial para un par de ellos. Y vamos a hacerlo utili- zando los datos del ejemplo anterior de tal manera que vamos a volver a calcularlo pero subdividiéndolo en dos periodos semestrales. Para ello debemos readaptar los datos de los que disponemos para poder mantener la volatilidad anual del 41% a través de dos periodos semestrales de tal manera que la volatilidad semestral equivalente 4 será del 29% lo que implica un coeficiente u semestral igual a 1,3363 y una d semestral de 0,7483. En cuanto al tipo de interés sin riesgo semestral pasa a ser ahora igual a (1,03) 1/2 1 = 1,49%. Resumiendo los datos básicos del ejemplo van a ser: - Precio actual de la acción Santander = 8 - Precio de ejercicio de la opción de compra = 8 - Tiempo: 2 semestres - Tipo de interés sin riesgo: 1,49% semestral - Coeficiente de ascenso u = 1, Coeficiente de descenso d = 0,7483 El primer paso es dibujar el árbol binomial de la evolución del precio de la acción del Santander a lo largo de los dos próximos semestres, árbol que aparece en la figura 2. Para ello multiplicamos por u y por d el valor actual de los 8 lo que nos permite obtener los dos precios que la acción puede tomar al final del primer semestre: 10,69 y 5,987. Ahora re- pitiendo la operación para cada uno de estos dos precios del primer semestre obtendremos los tres precios (realmente son cuatro pero dos coinciden) del final del segundo semestre: 14,286, 8 y 4,48. El paso siguiente es calcular el valor intrínseco de la opción de compra al final del año teniendo en cuenta los tres precios posibles: C uu = Máx [14,286-8 ; 0] = 6,286 C ud = Máx [8-8 ; 0 ] = 0 C dd = Máx [4,48-8 ; 0] = 0 Fig. 2 Evolución semestral del valor de la acción del Santander 4 Más adelante, en el epígrafe quinto, veremos el porqué de ese valor y el de los coeficientes semestrales u y d. 6

8 En la figura 3 se observan los tres valores intrínsecos anteriores. Así que ahora se tra- ta de ir calculando hacia la izquierda del árbol binomial los valores intermedios de la opción de compra. Para ello utilizaremos las probabilidades neutrales al riesgo. Fig. 3 Valores intrínsecos de la opción de compra al final del año La probabilidad de ascenso p es igual a: p = 1 + r f - d u - d = 1,0149 0,7483 1,3363 0,7483 = 45,33% Ahora podemos calcular c u y c d (véase la figura 4): c u = c d = c uu p + c ud (1 - p) 6,286 x 0, x (1-0,5467) = 1 + r f 1,0149 c ud p + c dd (1 - p) 0 x 0, x (1-0,5467) = = r f 1,0149 = 2,808 Fig. 4 Valores intrínsecos de la opción de compra al final del año y valores de la opción al final del primer semestre. Por último calculamos el valor de c: c = c u p + c d (1 - p) 2,808 x 0, x (1-0,5467) = 1 + r f 1,0149 = 1,254 7

9 Fig. 5 Evolución de los valores teóricos de la opción de compra Este valor de la opción de compra sobre la acción del Santander es diferente del cal- culado anteriormente. De hecho si dividimos el año en tres cuatrimestres el valor de la op- ción será de 1,51, si lo subdividimos en cuatro trimestres el valor de la opción será de 1,32, si lo subdividimos en cinco periodos el valor es de 1,46 y así sucesivamente el valor se irá aproximando a 1,40 que es el valor real de la opción de compra (véase la figura 6). Conforme vayamos aumentando el número de subperíodos y, por consiguiente, re- duciendo el tiempo de los mismos pasaremos de considerar el tiempo como una variable discreta a considerarlo una variable continua. En realidad, para unos resultados válidos el tiempo hasta el vencimiento (un año en nuestro ejemplo) debería ser dividido al menos en unos 50 subperíodos. Fig. 6 Evolución del valor de la opción de compra según las iteraciones del modelo binomial 4. EL MODELO BINOMIAL PARA VARIOS PERÍODOS No es mi intención explicar la matemática que aplicada a una serie de períodos (basada en el triángulo de Pascal y en la combinatoria) proporciona la expresión de la binomial para la valoración de las opciones de tipo europeo. Como curiosidad mostraremos la expresión de la misma: n 1 c = (1 + r f ) n n p k (1 - p) n- k máx Su k d n- k - X k k =0 8 {( ), 0}

10 Casi todas las variables ya son conocidas a excepción de "n" que indica el número de pasos o iteraciones en los que se descompone el proceso binomial. En resumen, la expre- sión considera que la opción vale simplemente el valor actual de los flujos de caja esperados a lo largo de un árbol binomial con n pasos, cuyos principales supuestos básicos son: 1º. La distribución de los precios de las acciones es una binomial multiplicativa. 2º. Los multiplicadores u y d (y, por ende, las varianzas de los rendimientos) son los mismos en todos los períodos. 3º. No hay costes de transacción, por lo que se puede establecer una cobertura sin riesgo para cada período entre la opción y el activo sin necesidad de realizar ningún coste irrecuperable. 4º. Los tipos de interés sin riesgo se suponen constantes. Es importante recalcar que no es necesario asumir que los inversores tengan una determinada actitud hacia el riesgo, de hecho el modelo supone una neutralidad ante el riesgo porque se puede construir una cartera de arbitraje que elimina totalmente el riesgo de la inversión. Si el valor de la opción no coincide con éste, entonces se puede conseguir un beneficio sin riesgo. 5. DE LA BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL LOGARÍTMICA En el proceso de cálculo multiplicativo del modelo binomial podríamos suponer que el fac- tor de descenso d es igual a la inversa del factor de ascenso u, lo que provocaría que los ren- dimientos del activo serían simétricos. Ahora bien, téngase en cuenta que para que esto suceda deberemos medir dicho rendimiento a través del logaritmo de la relación entre el precio en un momento determinado (S t ) y el del momento precedente (S t- 1 ). Esto es así, de- bido a que si, por ejemplo, el precio de una acción durante tres instantes de tiempo conse- cutivos vale 10, 12 y 10 euros, respectivamente, sus rendimientos serán del 20% (es decir, 2 10) y del - 16,66% (es decir, ), como se observa el valor absoluto de ambas cantida- des no es simétrico aunque el ascenso y descenso sea el mismo en euros, lo que cambia es la base sobre la que se calcula dicha variación. Sin embargo, si aplicamos el cálculo logarít- mico obtendremos unos rendimientos de: Ln(12 10) = 18,23% y Ln(10 12) = - 18,23%, lo que sí los hace simétricos. Por lo tanto, los precios que se distribuyen según una normal logarít- mica tendrán unos rendimientos distribuidos normalmente, que serán calculados según la expresión: r t = Ln (S t S t- 1 ) 9

11 Fig. 7 Árbol binomial de seis períodos y distribución de los precios En la figura 7 se muestra un ejemplo de un árbol binomial donde los coeficientes de ascenso y descenso son, respectivamente, u = 1,1822 y d = 1/u = 0,8459, que se extiende a lo largo de seis períodos y que comienza con un valor de la acción de 8 euros. La amplitud de un árbol binomial dependerá del tamaño de u y del número de pasos en los que se descompone. El supuesto equivalente para un activo cuyos rendimientos se distribuyen se- gún una normal, es que la varianza de los rendimientos es constante en cada período. Así, si la varianza del período es σ 2, la varianza para t años será σ 2 t. Mientras que la desviación ti- pica será σ t a la que se le suele denominar volatilidad del activo. Si σ es la desviación típica de los rendimientos por período, t el número de años has- ta el vencimiento y n el número de períodos en los que se subdivide t, el proceso binomial para el activo proporciona unos rendimientos normalmente distribuidos en el límite si: u = y d = 1/u = Así, por ejemplo, si S = 8 ; σ = 0,41; t = 1 años; r f = 3% y n = 10 iteraciones (cada sub- período es igual a 1/10 años): u = e 0,41 1/10 = 1,1384 y d = 1/u = 0,8784 además, según las ecuaciones que vimos en el segundo epígrafe obtendremos unos valores de las probabilidades neutrales al riesgo iguales a (el tipo de interés sin riesgo anual es el 3%): p = [(1 + (0,03/10)) 0,8784] / (1,1384 0,8784) = 47,923% 1- p = 52,077% Si ahora vuelve a ver el comienzo del epígrafe tercero verá que la volatilidad anual del Santander era del 41% anual y que si queremos saber la volatilidad equivalente semes- tral para poder iterar un par de veces sin alterar la volatilidad anual deberemos realizar el cálculo siguiente σ sem = 41% x (1/2) 1/2 = 29% 10

12 Es decir, la desviación típica semestral será igual a la anual (41%) multiplicada por la raíz cuadrada de la unidad dividida por el número de semestres que hay en un año (2). El coeficiente de ascenso será entonces e 0,29 = 1,3363 y d = 1/u = 0,7383. Las distribuciones normal- logarítmicas de los precios tienen una forma semejante a una campana asimétrica y podemos pensar que conforme el tiempo va transcurriendo la distribución se va ampliando, lo mismo que le ocurre al árbol binomial. Como se aprecia en la figura 8 en la que se muestra una opción de compra fuera de dinero, comenzando en el momento cero cuando el precio de la acción subyacente es S, conforme el tiempo pasa la distribución se amplia hasta que una parte de ella supera, o no, al precio de ejercicio (X) en la fecha de vencimiento. En dicha fecha, los flujos de caja de la opción se representan por la zona sombreada que se encuentra por encima de X. El valor actual de la opción de compra según el método de Black y Scholes es sencillamente el valor actual de dicho área. Fig.8 El valor de la opción aumenta conforme la distribución del precio aumenta al transcurrir el tiempo 6. LA VALORACIÓN DE LAS OPCIONES DE VENTA En este epígrafe vamos a valorar una opción de venta (put option) teniendo en cuenta que puede ejercerse anticipadamente, si se trata de una de tipo americano, y que este ejercicio anticipado puede ser preferible a esperar a ejercerla en la fecha de vencimiento. En la figura 9 se muestra el esquema de los posibles movimientos del precio de la ac- ción y del valor intrínseco de la opción de venta en la fecha de vencimiento (para un precio de ejercicio igual a 8 ). 11

13 Fig.9 Precios de la acción y valores de la opción de venta Para calcular el valor de la opción de venta en el momento actual actuaremos de la misma manera que en el caso de la opción de compra. Supondremos, inicialmente, que ac- tualmente disponemos de una cartera formada por H acciones y una deuda de B euros con- traída al tipo de interés sin riesgo (r f ). Después de un período de tiempo el valor de dicha cartera coincide con el valor intrínseco de la opción de venta en dicho momento: Si S = 12,05 12,05 H - (1 + r f ) B = 0 Si S = 5,31 5,31 H - (1 + r f ) B = 2,69 restando ambas ecuaciones obtendremos el valor del número de acciones ordinarias a com- prar (H): 6,74 H = - 2,69 H = - 0,4 si el tipo sin riesgo r f es igual al 3% podemos detraer el valor de B en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores: - 4,68. Como se ha podido observar la cartera está realmente forma- da por la venta de H acciones (H < 0) más una inversión de B euros al tipo de interés sin ries- go. Luego el valor de la opción de venta, p, en la actualidad, será igual al valor actual de la cartera formada por la venta de 0,4 acciones más la inversión de 4,68, es decir: 4,68 0,4 x 8 = 1,48. La formulación general de este cálculo es idéntico al de las opciones de compra. Así, el ratio de cobertura es igual a: H = p u - p d S (u - d) mientras que el valor actual de la opción de venta, p, será igual a: p = p p + p u d (1 - p) 1 + r f donde p y 1- p tienen los mismo valores que hallamos en el epígrafe 2.2: 43,46% y 56,54% respectivamente. Por tanto, la opción de venta tomará un valor igual a: 12

14 p = [(0 x 43,46%) + (2,69 x 56,54%)] 1,03 = 1,4766 Si ahora quisiéramos comprobar la paridad "put- call" no tendremos más que susti- tuir en las expresión 5 : p = c - S + VA(X) = 1, (8 1,03) = 1,476 En el árbol binomial de la figura 10 se muestra el valor de la opción de venta de tipo europeo cuando hay dos períodos y se basa en que la evolución del precio de la acción es la misma que vimos en la figura 2; también se mantienen los valores de la probabilidad neutral al riesgo de ascenso p = 45,33% y la de descenso 1- p = 54,67%. El cálculo comienza por los valores intrínsecos de la opción, que aparecen a la derecha del árbol, y que son obtenidos a través de la conocida expresión Máx{X- S,0}, luego nos moveremos hacia la izquierda calcu- lando los valores de las opciones de venta (p u y p d ) para terminar con el cálculo de la opción de venta europea hoy (p = 0,992). Comprobamos este resultado a través del teorema de la paridad put- call: p = c - S + VA(X) = 1, (8 1, ) = 1,021 Fig.10 Distribución de los valores de la opción de venta de tipo europeo en el caso de dos períodos Si calculásemos el valor de la opción de venta americana el resultado cambiaría puesto que p u = Max [8-10,69 ; 0] = 0 y p d = Max[8 5,987 ; 0] = 2,023 lo que propor- ciona un valor de P = 1,09 (recuerde ver los precios de la acción en la figura 2). Con ello se comprueba como el valor de la opción de venta americana es superior al valor de la opción de venta europea. 5 El error en la cuarta cifra decimal se debe al redondeo. 13

15 Fig. 11 Distribución de los valores de la opción de venta de tipo americano en el caso de dos períodos 7. UTILIZANDO EL MODELO BINOMIAL EN LA PRACTICA La utilización del modelo binomial para la valoración de las opciones reales sigue una serie de pasos. 1º. Se estiman las variables básicas del modelo: a) El valor del activo real subyacente se obtiene calculando el valor actual de los flu- jos de caja, que el proyecto promete generar en el futuro, descontados a una ta- sa ajustada a su riesgo sistemático. b) El valor del precio de ejercicio viene dado por el coste del proyecto de inversión. c) El tiempo indica el periodo de tiempo del que se dispone para poder ejercer la opción. d) La volatilidad, viene medida por la desviación típica de los rendimientos del ac- tivo real subyacente. Es la variable clave a estimar. e) El tipo de interés sin riesgo del periodo a lo largo del cual la opción está viva. f) Los dividendos, es decir, los flujos de caja que genera el activo subyacente a lo largo de la vida de la opción. 2º. Diseño del árbol binomial Seguidamente se calcula el valor de los coeficientes de ascenso - u - y de descenso - d - con objeto de ver la evolución futura del valor del activo subyacente a través de un árbol bino- mial. Desde el punto de vista didáctico es mejor diseñar un árbol binomial como el visto en la figura 2 pero desde el punto de vista práctico de cara a obtener un resultado lo más exac- to posible hay que subdividir el periodo en el que la opción está vigente en 50 subperiodos lo que implica calcular la volatilidad del activo subyacente durante ese subperíodo: σ = σ anual x (1/50) (1/2). Lo mismo habrá que hacer con el tipo de interés sin riesgo: r f /50. Y a la hora de dise- ñar el árbol binomial mediante una hoja de cálculo lo mejor es ponerlo en la posición que aparece en la figura 12 donde se muestra uno de los cálculos de la figura 6 (6 subperiodos, σ = 16,74%, r f = 0,49%, u = 1,1822; d = 0,84587). La celda que está inmediatamente a la de- recha de un valor cualquiera se calcula multiplicando dicho valor por u y la que está debajo 14

16 de ésta resulta de multiplicar el valor anterior por d. Así, por ejemplo, 8 x u = 9,46 y 8 x d = 6,77. Figura 12 Árbol binomial de seis periodos de 1/6 de año 3º Obtención del valor de la opción El tercer paso consiste primero de calcular el valor intrínseco de la opción en el último perio- do. Luego calcular el valor de las probabilidades neutrales al riesgo p y 1- p. Y, por último, ir- nos trasladando desde derecha hacia izquierda multiplicando por p la celda de la derecha y por 1- p la celda que está debajo de la de la derecha y al resultado se le actualiza dividiéndo- le por 1+r f. Este proceso continua hasta llegar al extremo izquierdo del árbol, momento en el que habremos calculado el valor de la opción. En la figura 13 se muestra lo que acabamos de comentar. En la columna 6 se ha cal- culado el valor intrínseco de la opción. Luego se va avanzando hacia la izquierda. Así, en la columna 5 el valor 10,51 surge de calcular la siguiente operación (p = 47,29%): = [(13,84 x p) + (7,63 x (1- p))] / 1,0049 Fig. 13 El resultado final es 1,35. La ventaja de esta forma de diseñar el árbol binomial es evidente porque permite modificarlo según el problema que debamos resolver como, por ejemplo, pagar dividendos, eliminar diversas ramas que no tienen sentido, etc., algo utilísimo cuando se valoran opcio- nes reales. 15

17 8. VALORACIÓN DE OPCIONES MEDIANTE LA SIMULACIÓN El método de simulación de Montecarlo 6, es un método de simulación numérica que se sue- le utilizar cuando, en el caso de la valoración de opciones, no existen modelos matemáticos que valoren el caso específico que en ese momento se analice 7. El método de Montecarlo se utiliza para simular un rango muy grande de procesos estocásticos. La valoración de las opciones se realiza en un mundo de riesgo neutral en el que se descuenta el valor de la opción a la tasa de interés libre de riesgo. La hipótesis de partida del modelo es que el logaritmo natural del activo subyacente sigue un proceso geo- métrico browniano, de forma que tendríamos: S + ds = S Exp µ - 1σ 2 dt + σ dz 2 donde S es el nivel del activo subyacente, µ es la tasa de retorno esperada del activo subya- cente 8, σ es la volatilidad del activo subyacente y dz es un proceso de Wiener 9 con desvia- ción típica 1 y media 0. Para simular el proceso, debemos transformar la ecuación anterior para un tiempo discreto, es decir, dividiremos el tiempo en intervalos Δt, de forma que obtengamos la si- guiente ecuación: S + ΔS = S Exp µ - 1σ 2 Δt + σ ε 2 i Δ t donde ΔS es la variación en tiempo discreto para S en el intervalo de tiempo elegido Δt, µ es la tasa de retorno esperada del activo en un mundo libre de riesgo, σ es la volatilidad del ac- tivo subyacente y ε t es un número aleatorio que se distribuye de forma normal estándar 10 N(0,1). Realizando miles de simulaciones obtendríamos conjunto de valores para S t, distri- buidas como aparece en la figura Originalmente debido al matemático húngaro John Von Neumann cuando trabajaba en el Proyecto Manhattan (primera bomba atómica) en los Alamos (Nuevo México) con objeto de simular si la radiación era capaz de penetrar planchas de plomo de diversos tamaños. La forma de generar números aleatorios recordaba al juego de la ruleta en un casino lo que acabó inspirando su nombre en honos al Casino de la ciudad mediterránea. 7 Esta metodología fue introducida por Boyle en Si S es el precio de un activo subyacente que no paga dividendos, µ = r. Si S es un tipo de cambio, µ = r-rf 9 Véase Mascareñas, Juan (2008): Procesos estocásticos: El proceso de Wiener. Monografias de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas. Disponible en: 10 La mayoría de los programas informáticos incluyen funciones capaces de generar números aleatorios que se distribuyen de forma normal, sin embargo, si no tenemos esta función podremos generar números aleatorios de una distribución normal estándar de la siguiente forma: donde Zi son números aleatorios procedentes de una función Uniforme (0,1). Otro método para generar números aleatorios que se distribuyan de forma N(0,1) es el de Box- Muller: ε = - 2 ln(x i) sen(2πx 2) donde x 1 y x 2 son números aleatorios procedentes de una distribución Uniforme (0,1). 16

18 Fig.14 Aproximación a una distribución normal estándar con números distribuidos uniformemente (0,1) La ecuación anterior para un salto temporal Δt y para un activo que no pague divi- dendos tiene la siguiente forma: S t+1 = S t Exp r - 1σ2 Δt + σ 2 Δtε t donde S t es el precio del activo subyacente, r es el tipo de interés libre de riesgo, σ es la vo- latilidad del activo subyacente, ε es un número procedente de una distribución N(0,1) y Δt es el vencimiento de la opción en años partido del número de periodos. Si el activo subyacente pagara dividendos, la ecuación sería: S t+1 = S t Exp r - q - 1σ2 Δt + σ 2 Δtε t donde q son los dividendos del activo subyacente. Por ejemplo, si la opción tiene un venci- miento de un año y el número de períodos elegido es de 50, Δ t será igual a Vencimiento en años Δt = Número de períodos = 1 50 = 0,02 En este caso cada Δ t correspondería aproximadamente a una semana. A medida que el Δ t es más pequeño (menor salto temporal entre un momento y otro) más precisa es la simulación (como se dijo anteriormente con un valor de Δ t = 1/50 es suficiente). El número de simulaciones dependerá del nivel de exactitud que queramos obtener con el modelo. Normalmente a partir de simulaciones los resultados obtenidos son fiables. El principal inconveniente de la simulación es el elevado coste computacional, es decir, el tiempo en el que el ordenador ejecuta la simulación. 17

19 A veces nos encontramos con situaciones en las que debemos generar sendas corre- lacionadas, como por ejemplo cuando nos enfrentamos a la valoración de opciones sobre una cesta de activos o frente a opciones sobre el mejor (o el peor) de dos activos. En este caso, los números aleatorios generados deben estar correlacionados según el coeficiente de correlación ρ que existe entre los activos subyacentes. La forma de generar dos sendas de números aleatorios correlacionados es la siguiente: ε 1 = x i ε 2 = ρ x 1 + x ρ 2 donde x 1 y x 2 son vectores de números aleatorios que se distribuyen de forma normal están- dar, y ρ es el coeficiente de correlación entre los activos subyacentes. De forma que ε 2 es un vector de números aleatorios que se distribuyen de forma normal estándar correlacionados con un nivel ρ con ε 1. Ejemplo práctico Supongamos que queremos valorar una opción de compra sobre la acción del banco Santan- der. El valor actual de la acción es de 8, el precio de ejercicio es 8, el tiempo a vencimien- to 12 meses, el tipo libre de riesgo 3% anual, la volatilidad de la acción 41% y el activo sub- yacente no paga dividendos. El ejemplo tiene cinco simulaciones, mostradas en la figura 15. Los valores que apa- recen al final de cada senda corresponden a un valor de la acción en el momento de venci- miento (12 meses). Fig.15 Una vez que hemos calculado el valor de la opción en la fecha de vencimiento en ca- da una de las sendas simuladas restándole el precio de ejercicio al valor de la opción (2,4; 0; 0; 0; 0), calculamos su valor medio (0,48 ) y lo descontamos a la tasa libre de riesgo. Con 18

20 esto obtenemos el valor de la opción de compra sobre las acciones del Santander hoy (0,466 ). Como es fácil comprender con sólo cinco simulaciones este valor no es representativo (recuerde que el valor real es 1,40 - véase la figura 6) así que habría que realizar unas para obtener un valor válido. BIBLIOGRAFIA BOYLE, P. (1977): Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics, Mayo, págs COPELAND, T., ANTIKAROV, V. (2003): Real Options. A Practitioner s Guide, Cengage Learning, Nueva York. COX,J., ROSS,S., y RUBINSTEIN,M. (1979): "Options pricing: a simplified approach". Journal of Financial Economics. nº 7. Págs.: COX,J., y RUBINSTEIN, M. (1995): Options Markets. Prentice Hall. Englewood Cliffs (NJ). ECKL, S., ROBINSON,J. y THOMAS, D. (1990): Financial Engineering. Basil Blackwell. Oxford. GEMMILL, Gordon (1993): Options Pricing. McGraw Hill. Londres. HULL, John (2000): Options, Futures, & Others Derivatives. Prentice Hall. Upper Saddle River (NJ) (4 a ed.) JARROW, R.A., TURNBULL, S. (1996): Derivatives Securities, SouthWestern College Publishing, Cincinnati, Ohio, caps MASCAREÑAS; Juan; LAMOTHE; Prosper; LÓPEZ, Francisco y De LUNA, Walter (2004): Opciones Reales y Valoración de Activos. Pearson. Madrid SHOCKLEY, Richard (2007): An Applied Course in Real Options Valuation. Thomson South- Western, Mason (Ohio) 19