5 Integral doble de Riemann

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1 Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM 1 5 Integrl doble de iemnn 5.1 Definiión Llmremos retángulo errdo de 2 l produto de dos intervlos errdos y otdos de, es deir = [, b] [, d] = { (x, y) 2 : x b, y d } i los intervlos son biertos, el retángulo se llm bierto. e llm áre del retángulo l produto de ls longitudes de los intervlos que lo definen, es deir A() = (b )(d ). 5.2 Prtiiones de un retángulo e = [, b] [, d] 2. Llmremos prtiión de l produto rtesino de un prtiión de [, b] por otr de [, d]. Es deir, si P 1 = ( = x 0 < x 1 <... < x n = b) P([, b]) y P 2 = ( = y 0 < y 1 <... < y m = d) P([, d]), entones P = P 1 P 2 = { ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] : 1 i n, 1 j m} P() L prtiión P onst de n m retángulos. i P, P P(), diremos que P es más fin que P, P P, si d retángulo de P está ontenido en lgún retángulo de P. 5.3 ums de iemnn e = [, b] [, d] 2, P = { ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] : 1 i n, 1 j m} P() y f : un funión otd. e definen ls sums inferior y superior de iemnn de f soids P omo s (f, P ) = (f, P ) = m ij A( ij ) = m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) n m M ij A( ij ) = n m M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) donde m ij = inf {f(x, y) : (x, y) ij } y M ij = sup {f(x, y) : (x, y) ij } L sum de iemnn de f soid P y {(ξ ij, η ij ) ij : 1 i n, 1 j m} es (f, P, {(ξ ij, η ij )}) = f(ξ ij, η ij ) A( ij ) = f(ξ ij, η ij )(x i x i 1 )(y j y j 1 )

2 Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM Propieddes en = [, b] [, d], P, P P() y f : un funión otd. e tienen ls siguientes propieddes: 1. Pr ulesquier (ξ ij, η ij ) ij P, 1 i n, 1 j m, se tiene que 2. i P P, entones s (f, P ) (f, P, {(ξ ij, η ij )}) (f, P ) s (f, P ) s ( f, P ) ( f, P ) (f, P ) 3. i m y M son, respetivmente, el infimo y el supremo de f en, se tiene que 5.5 Integrl doble de iemnn m A() s (f, P ) (f, P ) M A() en = [, b] [, d] y f : un funión otd. e definen ls integrles inferior y superior de iemnn de f sobre omo sup {s(f, P ) : P P()} inf {(f, P ) : P P()} Es lro, de ls propieddes nteriores, que f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy y undo mbs oiniden se die que f es integrble iemnn sobre, definiéndose l integrl omo el vlor omún que se representrá por f(x, y) dx dy En so ontrrio se die que f no es integrble iemnn sobre. e representrá por () l fmili de tods ls funiones que son integrbles iemnn sobre. 5.6 Teorem de rterizión de l integrbilidd iemnn en = [, b] [, d] y f : un funión otd. on equivlentes: 1. f es integrble iemnn sobre. 2. Pr d ε > 0 existe P ε P() tl que (f, P ε ) s(f, P ε ) < ε. 3. Existe I tl que pr d ε > 0 existe P ε P() verifindo que (f, P ε, {(ξ ij, η ij )}) I < ε pr ulquier sum de iemnn soid P ε.

3 Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM Propieddes en = [, b] [, d] y f, g : funiones integrbles iemnn. 1. Pr ulesquier α, β se tiene que [αf(x, y) + βg(x, y)] dx dy = α f(x, y) dx dy + β g(x, y) dx dy 2. i m f(x, y) M en ulquier punto (x, y), entones m A() f(x, y) dx dy M A() 3. i f(x, y) g(x, y), pr todo (x, y), entones f(x, y) dx dy g(x, y) dx dy 4. L funión vlor bsoluto de f, f, es tmbién integrble iemnn y f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy 5.8 Teorem de Fubini en = [, b] [, d] y f : un funión otd e integrble sobre, y supongmos que pr d x [, b] existe l integrl J(x) = d f(x, y) dy Entones tmbién existe l integrl de J(x) sobre [, b] y se umple que 5.9 Notión J(x) dx = ( d ) f(x, y) dy dx e suele representr ( d ) f(x, y) dy dx = dx d f(x, y) dy entendiendo est últim expresión omo que en primer lugr hy que her l integrl de f, respeto de y, entre y d, y su resultdo integrrlo, respeto de x, entre y b.

4 Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM Observión En el teorem de Fubini se pueden invertir ls vribles y result que d d dx f(x, y) dy = dy f(x, y) dx undo existen tods ls integrles implids Integrbilidd de ls funiones ontinus i f : = [, b] [, d] es ontinu, entones f es integrble iemnn sobre Contenido nulo e A 2 un onjunto otdo. e die que A tiene ontenido nulo si pr d ε > 0 existe un fmili finit de retángulos, { i } N i=1, tles que N A i=1 i y N A( i ) < ε i= Ejemplos 1. Culquier onjunto finito de puntos tiene ontenido nulo. 2. Culquier suesión onvergente de puntos tiene ontenido nulo. 3. El grfo de un funión ontinu definid sobre un intervlo ompto tiene ontenido nulo. 4. Todo subonjunto de un onjunto de ontenido nulo tiene ontenido nulo. 5. L unión finit de onjuntos de ontenido nulo tiene ontenido nulo Teorem e f : = [, b] [, d] otd y se D f () el onjunto de disontinuiddes de f en. Entones, si D f () tiene ontenido nulo, l funión f es integrble iemnn sobre Integrl de iemnn sobre otros reintos otdos e 2 otdo y f : un funión otd. e define f(x, y) dx dy donde = [, b] [, d] es ulquier retángulo que ontiene y { f(x, y), si (x, y) f(x, y) = 0, si (x, y) \

5 Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM Propieddes L integrl de iemnn sobre reintos otdos tiene ls misms propieddes de l integrl sobre retángulos, y desrits en (5.7), y demás f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy A B A B siempre que A B teng ontenido nulo Integrl de iemnn sobre reintos proyetbles 1. Un reinto 2 se llm x-proyetble si es de l form = {(x, y) : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} donde ϕ 1, ϕ 2 : [, b] son funiones ontinus on ϕ 1 (x) ϕ 2 (x), pr todo x [, b]. Aplindo el teorem de Fubini, si f :, se tiene que dx ϕ2 (x) ϕ 1 (x) f(x, y) dy 2. Un reinto 2 se llm y-proyetble si es de l form = {(x, y) : y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} donde ψ 1, ψ 2 : [, d] son funiones ontinus on ψ 1 (y) ψ 2 (y), pr todo y [, d]. Aplindo el teorem de Fubini, si f :, se tiene que 5.18 Apliiones d dy ψ2 (y) ψ 1 (y) f(x, y) dx 1. Cálulo de áres: i 2, su áre es A() = dx dy 2. Cálulo de mss y entro de grvedd: i 2 represent un superfiie pln on densidd puntul ρ(x, y) 0, pr d (x, y), entones l ms de viene dd por m() = ρ(x, y) dx dy y el entro de grvedd de, (x g, y g ), viene ddo por x g = 1 xρ(x, y) dx dy, y g = 1 yρ(x, y) dx dy m() m()

6 Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM 6 3. Cálulo de volúmenes: e D 3 un reinto xy-proyetble definido por D = { (x, y, z) : (x, y) 2 y f(x, y) z g(x, y) } Entones, su volumen vendrá ddo por V (D) = [g(x, y) f(x, y)] dx dy L pliión es nálog pr reintos xz-proyetbles e yz-proyetbles. 4. Ares de superfiies: e Ω 3 l superfiie xy-proyetble definid por Ω = { (x, y, z) : (x, y) 2 y z = f(x, y) } Entones su áre viene dd por A(Ω) = 1 + ( ) f 2 + x ( ) f 2 dx dy y L pliión es nálog pr superfiies xz-proyetbles e yz-proyetbles Teorem del Cmbio de Vrible e 2 ompto y Ω 2 un onjunto bierto on Ω. e ϕ : Ω 2, ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), on derivds priles ontinus, inyetiv en y tl que ϕ 1 : ϕ() tiene derivds priles ontinus. Entones, si f (ϕ()) l funión (f ϕ) Jϕ () y f (x(u, v), y(u, v)) Jϕ(u, v) du dv ϕ() donde Jϕ es el Jobino de ϕ, es deir Jϕ(u, v) = (x, y) (u, v) = x u y u x v y v 5.20 Algunos mbios de vrible usules 1. Coordends polres: El mbio oordends polres lásis { x = ρ os θ y = ρ sen θ on ρ 0 y θ [0, 2π), pli biyetivmente 2 \ {(0, 0)} en (0, ) [0, 2π), siendo J = ρ, y qued f (ρ os θ, ρ sen θ) ρ dρ dθ

7 Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM 7 donde es l trnsformd de por oordends polres. Con freueni = {(ρ, θ) : θ 1 θ θ 2, ρ 1 (θ) ρ ρ 2 (θ)} y en este so θ2 θ 1 dθ ρ2 (θ) ρ 1 (θ) f (ρ os θ, ρ sen θ) ρ dρ 2. Coordends polres entrds en (x 0, y 0 ): { x = x0 + ρ os θ y = y 0 + ρ sen θ 3. Coordends elíptis entrds en (x 0, y 0 ): { x = x0 + ρ os θ y = y 0 + bρ sen θ ; Jϕ = ρ ; Jϕ = bρ 4. Cundo el reinto 2 está limitdo por utro urvs de l form ϕ(x, y) =, ϕ(x, y) = b, ψ(x, y) = y ψ(x, y) = d, suele dr buenos resultdos her el mbio de vribles { u = ϕ(x, y) v = ψ(x, y) siempre que se umpln ls ondiiones del teorem del mbio de vrible.

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