APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 2º Bachillerato

Transcripción

1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS º Bachillerato RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO. Si f es derivable en el punto, la ecuación de la recta tangente a f en el punto es: y = f + f ' Si f es derivable en el punto, la ecuación de la recta normal a f en el punto es: 1 y = f f ' RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva f en el punto =. f ( ) = f ' = = f ' = = ( + ) 1 7 y = y = y = RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO. Calcula el área del triángulo formado por el eje de abscisas y las rectas tangente y normal a la curva y = + 1 en el punto de abscisa 1. Tangente : y = + 1 y = P( 1, ) f '( ) = f '( 1) = Normal : y = 1 y = + La altura del triángulo es la ordenada del punto P y la base es el segmento cuyos etremos son los puntos de corte con el eje OX de las dos rectas. y = A : A =, y = 1 5 y = + B : B = 5, y = Por lo tanto la base es 5 y la altura y el área del triángulo es 5 u

2 REGLA DE L HÔPITAL f ( ) f ' Si lim es del tipo / o del tipo / y eiste lim a g ( ) a g ' f ( ) f '( ) entonces se cumple que lim = lim a g a g ' sen Calcula: lim sen cos lim = lim = 1 1 Calcula: Calcula: REGLA DE L HÔPITAL + 16 lim lim lim = lim = ln ln ln lim = lim = lim = lim = f es derivable y creciente en f ' f es derivable y decreciente en f '( ) > f '( ) < f ' f es derivable y creciente en f es derivable y decreciente en Estudia el crecimiento y decrecimiento en la función: f ( ) = Dom( f ) =R f '( ) = 4 f '( ) = = α tg α > tg α < f ' < f ' > α f es decreciente en ], [ y creciente en ], + [

3 f tiene un máimo o mínimo relativo en f ' = f tiene un punto singular en si f '( ) = 1 1 Los puntos singulares son máimos, mínimos o puntos de infleión. Halla los máimos y mínimos de la función: f ( ) = Dom( f ) =R f '( ) = = 1 f ' = = 1 = = 1 CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN f es cóncava en si la curva está por debajo de la recta tangente en. f es convea en si la curva está por encima de la recta tangente en. f ' > 1 f ' < Máimo 1 f ' > Máimo en = 1 y mínimo en = 1 f es cóncava f es convea

4 CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN f ''( ) < f ''( ) > f es cóncava en f es convea en CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Estudia la curvatura de la función: f ( ) = + f '( ) = + 6 Dom( f ) =R f ''( ) = f ''( ) = = 1 f '' < 1 f '' > f es cóncava f es convea f es cóncava en ], 1[ y convea en ] 1, + [ f tiene un punto de infleión en = 1 Utilización de la segunda derivada para máimos y mínimos: ( ) ( ) ( ) ( ) Si f ' = y f '' < f tiene un máimo en. Si f ' = y f '' > f tiene un mínimo en. Si f '' = y f ''' f tiene un punto de infleión en. Halla los máimos y mínimos de la función: f ( ) = = 1 f '( ) = f '( ) 1 f ''( ) = 6 f ''( ) = = = = = = 1 f ''( 1) < = 1 Máimo f ''( 1) > = 1 f '' = = Punto de infleión f ''' = 6 Al limitar los problemas a las funciones suelen aparecer máimos y mínimos que no tienen derivada nula: a 1 b Máimo

5 Si la función es no derivable o no continua en un punto, estudiaremos los alrededores del punto para buscar máimos o mínimos: Descomponer el número 6 en dos sumandos positivos de modo que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máimo. Primer sumando: + y = 6 y = 6 Segundo sumando: y P = y P = 6 = ± P ' = = = 6 no vale a 1 b a 1 b P '' = P ''( 1) < = 1 Máimo Solución: Se divide en 1 y 4. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. = π = V r h 6'8 A = π rh + π r = π r h + r 6'8 h = = '14r r + r r r A = π r + r r = π + r r A ' = π + r = π r r 1 = + = = A' < Min 1 A' > Solución: El cilindro tendrá radio 1 dm y altura dm En un jardín con forma de semicírculo de radio 1 m se va a instalar un parterre rectangular y uno de sus lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus etremos en la parte curva. Calcula las dimensiones para que su área sea máima y = 1 y = 1 S = y S = 1 4 = 5 = + = = 1 1 = 5 no vale S' 1 S' > y Má P(, y) 5 S' < Las dimensiones son: 5 m y 1 m

6 TEOREMA DE ROLLE Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) y además f(a) = f(b), entonces eiste al menos un punto c de (a, b) tal que f (c) = TEOREMA DE ROLLE. Las condiciones son necesarias. f tiene que ser continua f tiene que ser derivable f(a) = f(b) TEOREMA DE ROLLE Demuestra que para cualquier valor de a, la ecuación tiene una única raíz real a = TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces eiste al menos un punto c de (a, b) tal que: f ( b) f ( a) f '( c) = b a

7 TEOREMA DEL VALOR MEDIO Ejemplo: Comprueba que la función f verifica las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [1, ] y halla el número c del teorema. + + f ( ) =