ECONOMÍA. Teoría del control óptimo: Una guía para principiantes! David Bardey y Hélène Bonnet ISSN

Transcripción

1 ISSN ECONOMÍA BORRADORES DE INVESTTI I IGACIÓN No. 87. Enero 2006 Teoría del conrol ópimo: Una guía para principianes! David Bardey y Hélène Bonne UNIVERSIDAD DEL ROSARIO Colegio Mayor de Nuesra Señora del Rosario- 1653

2 Teoría del conrol ópimo: Una guía para principianes! David Bardey 1 y Hélène Bonne 2 Febrero 2006 Resumen El objeivo de ese arículo es doble: en una primera pare, se dan las principales inuiciones de la eoría de conrol ópimo. En la segunda pare se expondrán las grandes familias de problemas de conrol ópimo, así como las eorías correspondienes. Las aplicaciones a problemas económicos de esos eoremas serán ilusrados a lo largo de odo el documeno. La eoría de conrol ópimo ha sido desarrollada desde principios de los años 50 por un equipo de maemáicos rusos dirigidos por Ponryagin. Esa eoría consiuye una 1 Universidad del Rosario y Gremaq, Universidad de Toulouse I. 2 Acerp, Paris. 1

3 herramiena complemenaria para resolver los problemas de opimización dinámica, inegrando la eoría de cálculo de variación y el principio de opimalidad asociado a la ecuación de Bellman. Esas eorías que abordan el mismo ema, ienen ineviablemene imbricaciones muy esrechas, incluso hisóricamene los desarrollos de Bellman y del equipo de Ponryagin, se han llevado a cabo de manera paralela. Sería ineresane mosrar los lazos exisenes enre esas res eorías, pero ese arículo se cenra en presenar de manera simple la eoría de conrol ópimo únicamene 3. El objeivo de ese arículo es proveer los principales resulados de esa eoría con el fin de que ésos puedan ser direcamene aplicados por un lecor que enga poco o ningún conocimieno de la eoría de conrol ópimo. Además, se inenará mosrar la diversidad de aplicaciones posibles de esa eoría, exponiendo los ejemplos radicionales donde la dinámica es función del iempo, así como oros más específicos raídos de la eoría de los conraos, la cual revela que el conrol ópimo puede ser uilizado para problemas muy diferenes. Esa presenación de la eoría de conrol ópimo iene un doble objeivo. Se exponen en una primera pare las principales inuiciones sobre la cual reposa esa eoría. Esa pare es igual o más imporane que la segunda ya que no es frecuene enconrar en la lieraura rabajos que aborden el conrol ópimo de esa manera, así mismo, permie comprender mejor el senido de la formalización de problemas expuesos subsecuenemene. La siguiene pare consiuye una guía de uilización de la eoría de conrol ópimo exponiendo los casos en los que se puede aplicar a problemas económicos conemporáneos, presenando los eoremas asociados a cada uno de esos casos, los cuales se ilusrarán usualmene con ejemplos. 3 Esa escogencia se puede jusificar, ya que los resulados de la eoría de cálculo de variación aparecen como casos pariculares de los resulados de la eoría de conrol ópimo. Esa eoría necesia de condiciones sobre los espacios de definición de las variables de esado y de conrol los cuales son mucho más flexibles que la eoría de cálculo de variación. 2

4 1. Las inuiciones de la eoría del conrol ópimo Se empieza por exponer las principales inuiciones que se derivan del principio del máximo explicando la consrucción de un Hamiloniano. Luego se exponen los eoremas proveyendo las condiciones necesarias y suficienes de opimalidad que se aplican a un problema de conrol esándar. Enseguida se dan dos ejemplos que permien aplicar las condiciones derivadas de esos eoremas. 1.1 Principio del Máximo e Inuiciones La eoría de conrol ópimo permie resolver problemas dinámicos de nauraleza muy variada, donde la evolución de un sisema que depende del iempo 4 puede ser conrolada en pare por las decisiones de un agene. En esa pare se hablará de un sisema dinámico general sin hacer referencia a una siuación precisa y donde exise un agene, denominado planificador, que oma las decisiones. n En cada momeno el sisema puede esar descrio por un vecor de esado X R. El m planificador escoge igualmene en cada momeno un vecor de conrol U R. La relación que une el vecor de conrol al vecor de esado esa descria de la siguiene manera: x &( ) = m( u( ), x( ), ) (1) Opciones diferenes del valor de la variable de conrol implican rayecorias diferenes del sisema dinámico. El planificador debe ener en cuena esa resricción para deerminar el vecor de conrol que maximice su objeivo ineremporal: V s T = = s= 0 [ F u( ), x( ), ] d (2) Para el problema de maximización se considerarán el horizone, las condiciones iniciales y finales como dadas. El planificador dispone de un vecor de esado inicial predeerminado x 0. El problema de conrol ópimo consise enonces en esablecer la rayecoria ópima, es decir, la rayecoria que maximiza el objeivo del planificador, eniendo en cuena la relación que une el vecor de esado al vecor de conrol. El principio del máximo elaborado por Ponryagin permie descomponer ese problema en dos eapas. La primera consise en devolverse a un problema de opimización esáica a cada insane mienras que la segunda eapa es la solución de un sisema de ecuaciones 4 Como lo veremos más adelane, el sisema dinámico no depende necesariamene de la variable iempo. sin embargo por razones pedagógicas es más cómodo comenzar a explicar las inuiciones del conrol ópimo hablando de las dinámicas emporales. 3

5 diferenciales definido por las condiciones necesarias de opimalidad del problema esáico. La primera eapa reposa sobre la lógica siguiene: a cada insane, el planificador dispone de un vecor de esado x () y debe escoger un vecor de conrol U() que deermina simuláneamene el valor del objeivo al insane, dado por F (.) y la variación del vecor de esado definido por x(). La escogencia del vecor genera enonces dos efecos: un primero efeco, inmediao a ravés del valor insanáneo del objeivo, un segundo, al nivel de cambios de la variable de esado. Inuiivamene se sabe que si el vecor de conrol es escogido para maximizar sólo el valor insanáneo del objeivo, esa escogencia iene poca probabilidad de ser ópima. Se presena enonces un arbiraje en la deerminación del vecor de conrol ópimo enre el valor que uno puede asignar al objeivo insanáneo y la rayecoria omada por la variable de esado que endrá un efeco sobre los valores fuuros de la función objeivo. La variación de la variable de esado puede enonces ser inerpreada como una resricción. De manera similar al méodo uilizado para resolver un problema de opimización esáica, ese arbiraje es enido en cuena asociando un precio a esa resricción. Técnicamene ésa consise en escribir una función objeivo modificada que iene en cuena esos dos efecos. q() designa el vecor de muliplicadores (o de precios) asociado a las variaciones del vecor de esado (en la momeno ), después la deerminación del vecor de conrol. Ese objeivo modificado, llamado hamiloniano, esá definido de la siguiene manera: H c c = H ( u( ), x( ), q( ), ) = F ( u, x ) + q( ) m( u( ), x( )) = F + q( ) x& ( ) (3) El primer componene del Hamiloniano designa el efeco del vecor de conrol sobre el valor insanáneo del objeivo. El segundo componene expresa el aumeno fuuro del objeivo seguido a la variación del vecor de esado. Un Hamiloniano, es enonces la suma del valor insanáneo del objeivo y de los valores fuuros de ese objeivo eniendo en cuena la variación del vecor de esado, ponderada por el precio asociado a esa variación. 4

6 El arbiraje aneriormene descrio aparece claramene al momeno de escribir la condición de primer orden con respeco al vecor de conrol. H u c F ( u, x ) m ( u, x ) = 0 + q( ) = 0 u u (4) La condición (4) muesra que el planificador debe arbirar enre las ganancias inmediaas generadas por el valor del objeivo al insane y la pérdida generada por la reducción de oporunidades fuuras, expresado a ravés de los valores fuuros del vecor de esado. Sin embargo, el arbiraje que se acaba de exponer sólo es ópimo si el vecor de muliplicador de q() es definido correcamene, es decir, de manera que refleje el impaco marginal del vecor de esado sobre el objeivo del planificador. Se vuelve enonces inuiivo que el vecor de muliplicadores debe verificar: q V ( x, ) x c ( ) = (5) Dicho de ora forma, el muliplicador debe ser igual al valor marginal del objeivo con respeco a la variable de esado. Adicionalmene, la variación del valor objeivo, seguido de una variación de la variable de esado en el iempo esá dada por: d d [ x( ) q( ) ] = q'( ) x( ) + x'( ) q( ) Es conveniene maximizar el valor de esa variación de la variable de esado y del objeivo insanáneo F u, x ) con respeco a la variable de esado. ( Es decir, maximizar la siguiene expresión respeco a : x Escrio de ora forma, F ( u, x ) + q'( ) x( ) x'( ) q( ) + F ( u, x ) + q' ( ) x( ) m( u( ), x( ), ) q( ) + Se obiene F x ( u, x ) + q el cual se conoce generalmene bajo la forma: q& m x () + q () = 0 () H = x c 5

7 Se presena a coninuación el primer eorema relaivo a las condiciones necesarias de opimalidad del problema de conrol ópimo siguiene: u con [ 0, T ], la rayecoria del vecor de conrol que resuelve el problema P1. Enonces, exisen funciones coninuas al que para odo 0,T : Teorema 1: Principio del Máximo de Ponryagin. Sea ( ) q () [ ] -El vecor de conrol maximiza el Hamiloniano: u { qm( x, u, ) } c () = arg max H ( u, x, q, ) = F( x, u, ) + -La resricción -Las funciones x& ( ) = m( u ( ), x( ), ) se saisface. q() saisfacen la siguiene ecuación diferencial: c H q& = x El planificador esá sujeo a una resricción sobre el valor del vecor de esado en el momeno. Como ejemplo, en los modelos de ciclo de vida se puede raar una resricción de no negaividad de la riqueza de un individuo al final de su vida. El principio de máximo se exiende cuando el planificador debe considerar una resricción de ransversalidad. Si se considera el problema P2 que es equivalene al problema P1 con una resricción adicional sobre el valor del conrol de esado en el momeno final x T 0, el eorema que deermina las condiciones necesarias de opimalidad es muy similar al eorema que sigue. Teorema 2: Las condiciones necesarias del problema P2 son idénicas a las del eorema 1 a las cuales se les debe añadir la condición de ransversalidad siguiene: q 0 y q x = 0 (6) T T T Esa resricción es muy similar a la resricción de exclusión enconrada en los problemas de opimización esáica y se inerprea de la manera siguiene. El planificador elige la rayecoria de su vecor de conrol de manera que de un valor posiivo al vecor de esado en el momeno final, si el precio asociado a ese valor es nulo. Inversamene, si el muliplicador asociado a la variable de esado es nulo en el momeno final, esa variable será posiiva. Demosración: ver anexo. 6

8 Los dos eoremas que se han presenado proveen solamene las condiciones necesarias de opimalidad. De manera similar a los eoremas enunciados en los problemas de opimización esáica, la opimalidad de las soluciones definidas por las condiciones necesarias depende de la concavidad de la función objeivo. Teorema: Consideremos el problema P1 y las condiciones necesarias u, x, q derivadas del principio de maximización enunciada en el eorema 1. ( () () ()) Si el Hamiloniano (3) con q () = q( ) es cóncavo (esricamene cóncavo) en ( u, x) enonces u (), x (), q () es una solución ópima y única al problema P1. ( ) La concavidad del Hamiloniano no es siempre fácil de mosrar cuando la solución no es explicia. Por eso, el eorema siguiene permie relajar la condición precedene. Teorema: Si V es cóncava en ( u, x), donde q 0 y m es cóncava en ( u, x) (ó q 0y m es convexa en ( u, x) ), enonces H es cóncava en ( u, x) lo que asegura la opimalidad de las soluciones u ( ), x ( ), q ( ) del eorema 1. ( ) Seguido a los problemas no convexos enconrados en la eoría de crecimieno ópimo, Arrow (1970) propuso un eorema que permie relajar, las condiciones suficienes que se acaban de enunciar. Teorema: Si donde H u (), x (), q (), ( ) H ópimo es cóncava en x enonces u ( ) x ( ) ( ) = max H u( ), x ( ), q( ), u( ) ( ), es una pareja ópima Una de las venajas de la eoría de conrol ópimo es su gran flexibilidad respeco a los espacios de definición de las variables de conrol y de los vecores de esado. El cálculo de variaciones necesia, que las variables de conrol sean definidas sobre el espacio de 2 clase C. La eoría de conrol ópimo requiere unicamene que ano las variables de conrol, como los muliplicadores asociados a las variables de esado, sean definidas a pare. Si las variables de conrol presenan disconinuidades, la rayecoria seguida por las variables de esado se deermina por pasos. Imaginemos que las variables de conrol presenan disconinuidades en los momenos 1, 2,..., n. Si en el momeno 1 la variable de esado x ( 1 ) corresponde al valor izquierdo u ( 1 ) se debe empezar de nuevo con la + variable de conrol u ( 1 ) omando x ( 1 ) como solución inicial. La rayecoria del vecor de esado es enonces coninua por consrucción y coninuamene diferenciable, excepo en,...,. 1, 2 n 1.2 Aplicación del principio de máximo. Vamos a aplicar el principio del máximo resolviendo dos problemas diferenes: el primero esudia el problema radicional de un consumidor que escoge su nivel de consumo y de ahorro, mienras que el segundo, reoma el análisis de Laffon y Tirole (1991), concerniene a la reglamenación de un monopolio cuando su producividad es una información privada de los gerenes y el esfuerzo de reducción de cosos es inobservable. 7

9 Ejemplo 1: Problema de un consumidor Supongamos que el objeivo de un consumidor es maximizar su uilidad ineremporal sobre un iempo definido por el inervalo [ 0,1]. Ese problema se define de la siguiene manera: [ c() 4s() d max V ln ] (7) = 1 0 Teniendo en cuena la resricción relacionada a la variación de su nivel de ahorro s y su consumo c: s& () = 4s( )(1 c( )) (8) 2 Las resricciones en las froneras son s ( 0) = 1 y s ( 1) = e. La primera eapa consise a escribir el hamiloniano de ese problema es igual a: [ 4s( )(1 c( ))] H ( s( ), c( ), q( )) = ln 4 + ln c( ) + ln s( ) + q( ) (9) y las condiciones de primer orden: (10) Si se omie el índice, la primera condición se rescribe: Susiuyendo c en las dos oras condiciones, se obiene: c = 1 (4 qs ) La segunda eapa consise a enconrar la solución de ese sisema de ecuaciones diferenciales susiuyendo los valores iniciales y finales dados. (11) Los cuales definen las rayecorias ópimas que deben omar el consumo y el ahorro del consumidor para que se maximice su uilidad en el periodo de iempo [ 0,1]. Ejemplo 2: Reglamenación de un monopolio 8

10 El problema propueso por Laffon y Tirole (1991) es enconrar el mecanismo de ransferencia ópima que permia regular un monopolio, eniendo en cuena que: - Su producividad, resumida por el parámero β, es información privada del monopolio, donde el regulador conoce únicamene la densidad de probabilidad (β) F β sobre el inervalo f y una función de disribución de probabilidad ( ) [ β, β ]. - El gerene puede disminuir los cosos del monopolio con una variable de esfuerzo, inobservable por el regulador. e El coso del monopolio, observable solamene ex pos, es C = β e. Al monopolio le reembolsan a sus cosos y el gerene recibe una ransferencia de. La uilidad del monopolio es enonces U = ψ (e), donde la función ψ represena la desuilidad generada por el nivel de esfuerzo. Sujeo a un mecanismo de revelación (Green y Laffon, 1979), la uilidad del monopolio es U ( β, β ) = ( β ) ψ ( β C( β )), donde β designa el verdadero parámero de producividad del monopolio y β el anuncio que ése puede hacer. La condición de primer orden que lleva a revelar el verdadero nivel de producividad β = β maximiza U( β, β ) se escribe enonces: U 2 ( β, β ) = 0 El eorema de la envolvene permie enonces escribir: U& ( β ) = ψ ( β C( β )) El problema del regulador consise en maximizar un excedene uiliarisa bajo las resricciones de paricipación y los incenivos del gerene, es decir, El Hamiloniano de ese problema de maximización se escribe: (12) Donde µ designa el muliplicador asociado a la resricción de incenivos del gerene El principio del máximo implica: H & µ = = λf (β ) (14) U 9

11 La resricción de ransversalidad impone: De donde, Las condiciones de opimalidad se convieren en: Las cuales caracerizan el conrao ópimo de regulación de un monopolio en siuación de selección adversa y de riesgo moral. Ese conrao consise en un mecanismo de reembolsos mixos de los cosos. 2. Diferenes problemas de conrol ópimo. Los eoremas que se han expueso hasa ahora se aplican a problemas esándares de conrol ópimo. Sin embargo, exise un gran número de variedades de problemas de conrol ópimo. En un principio, el planificador puede esar sujeo a resricciones de igualdad o de desigualdad sobre las variables de conrol y las variables de esado. Así mismo puede esar enfrenado a un gran número de resricciones de ranversalidad diferenes. Los problemas de conrol ópimo pueden ambién ener disconinuidades a nivel de las variables de esado y de los muliplicadores que le son asociados. 2.1 Resricciones de igualdad y de desigualdad Primero se mosrará una écnica frecuenemene uilizada para ransformar una resricción de igualdad bajo la forma de inegral en una ecuación diferencial. Se esudiará enseguida los méodos que permien resolver los problemas de conrol ópimo que conienen respecivamene condiciones de igualdad y desigualdad. Luego se presenarán los eoremas que proveen las rayecorias ópimas cuando esos dos ipos de resricciones se combinan Resricción de inegral 10

12 Suponiendo un problema esándar de conrol ópimo similar al problema P1, donde se añade una resricción de igualdad en la cual uno de sus miembros es expresado en inegral: Es de noar que incluso si se ha expresado esa resricción en función del iempo, ese ipo de de resricción es frecuene en los mecanismos inciaivos que consideran equilibrios Nash-Bayesianos 5. Esa resricción puede ser ransformada en una ecuación diferencial que se viene a añadir a las oras resricciones de ese ipo. Esa ransformación es posible recurriendo a una nueva variable al que Para lo siguiene ya no es necesario resricciones en inegral lo cual vuelve a suponer que ellas han esado ransformadas en resricciones de ecuaciones diferenciales Resricción de igualdad En esa sección se considera el problema P1 al cual se le añaden m resricciones de igualdad. Sea, Se define primero el Hamiloniano de ese problema siendo q()=( q1( ), q2 ( ),..., qn ( ) ) los muliplicadores asociados a las resricciones de ecuaciones diferenciales. Sea, A cada insane, para los valores dados de x i () y (), el vecor de las variables de conrol u( ) = (u 1 ( ), u2 ( ),..., ur ( )) debe ser escogido para maximizar el valor del Hamiloniano, eniendo en cuena las resricciones de igualdad que deben saisfacerse. Para hacerlo, se define un Lagrangiano con n muliplicadores de Lagrange λ asociadas a cada una de las resricciones de igualdad. Sea, q i j 5 Esa resricción podría por ejemplo corresponder a un problema de selección adversa con resricción de paricipación ex-ane del agene. 11

13 El eorema siguiene provee las condiciones necesarias de opimalidad del problema P3: Ejemplo: un recurso no renovable Se considera ahora el problema dinámico causado por la exracción de un recurso no renovable. La variable s() designa el sock del recurso no renovable y x() la asa de exracción de ese recurso. Básicamene, la relación enre esas dos variables se escribe: La producción del bien final F(s(),x()) es una función de la asa de exracción y del sock, con F(.) una función creciene posiiva en cada uno de sus argumenos. Además la producción es nula para x()=0 y el consumo del bien final, noado c() genera una uilidad u(c()), siendo la función U(.) siendo creciene y esricamene cóncava. Se supone igualmene que la producción final no puede ser almacenada, lo cual impone la resricción siguiene: 12

14 El problema del planificador se define: Bajo las resricciones (27) y (28) y las condiciones finales siguienes: Sea q() la variable de esado asociada a la resricción (27). El Hamiloniano de ese problema es: El Lagrangiano es: Las condiciones necesarias de opimalidad se escriben de la siguiene manera: Resricciones de desigualdad En esa sección se considera que el planificador esá sujeo a m resricciones de desigualdad. Sea, El problema del planificador es ahora idénico al problema P3 si se susiuyen las resricciones de igualdad por las resricciones (32). Las condiciones necesarias de opimalidad son, en ese caso, idénicas a las enunciadas en el eorema 6 y deben saisfacerse al menos las resricciones de exclusión siguienes: (33) 13

15 2.1.4 Resricciones de igualdad y de desigualdad Los problemas de conrol ópimo conienen a veces los dos ipos de resricciones que acabamos de observar. Se reescribirá el programa de maximización asociado a un problema, luego se darán dos eoremas que proveen respecivamene las condiciones necesarias y suficienes de opimalidad. El Hamiloniano y el Lagrangiano asociados a ese problema se escriben respecivamene: Sea u * ( ) el vecor de conrol ópimo del problema P4 y x * ( ) la rayecoria del vecor de esado asociado. Exisen enonces dos vecores de muliplicadores y λ () al que: Teorema: Para odo y para x * ( ) y λ () dados, el vecor de conrol u() debe maximizar el Hamiloniano de al manera que las resricciones de igualdad y de desigualdad sean respeadas. La condición sobre el rango de la mariz Jacobiana de las resricciones implica que exise un vecor λ() al que: x ; los muliplicadores λ () siendo coninuos por pares y coninuos para cada puno de coninuidad de u(). - Las funciones q i ( ) = 1,2,..., r son coninuas en, derivables por pares (con respeco al iempo) y saisfacen las condiciones siguienes: * * la derivada de L esando evaluada en ( ( ), u ( ) ) 14

16 * * Las derivadas parciales de L evaluadas en ( x ( ), u ( ) ) - Las resricciones de las ecuaciones diferenciales se saisfacen: * * - El Lagrangiano L ( x ( ), u ( ), q( ), ( ), ) λ es una función coninua en. Para odos los inervalos donde u * ( ) es coninua, el lagrangiano debe ser derivable en. - Las condiciones en las froneras deben saisfacerse. x las rayecorias definidas para las condiciones del eorema 7. Esas condiciones de opimalidad son suficienes si el Lagrangiano es cóncavo en ( x( ), u( )). Si el Lagrangiano es esricamene cóncavo, esa solución es única. * * Teorema: Sean ( ( ), u ( ) ) 2.2 Resricciones de ransversalidad Las rayecorias ópimas calculadas a parir de la aplicación del principio de máximo dependen de la nauraleza de las condiciones que son específicas a los límies de los inervalos. Siendo imporane la variedad de esas condiciones, se deben describir en dealle los diferenes problemas impuesos por las resricciones de ransversalidad. En las secciones aneriores se había supueso que los valores inicial y final del vecor de esado esaban fijos de manera exógena. En esa sección, esos valores provendrán de una solución del problema de conrol. Se considera enonces el problema siguiene donde se modificará solamene la condición final para separar los diferenes casos que se pueden dar Variable de esado libre en el insane T Al principio se consideró un problema de conrol en el cual el valor de la variable de esado era escogido libremene en el momeno final. Sea, Si el problema P5 inegra las condiciones finales (42) y (43), la condición de ransversalidad implique: 15

17 2.2.2 Variable de esado libre y valor residual Ahora se debe considerar que la variable de esado en el momeno arroja un beneficio o una pérdida (según el signo del valor residual) que se añade al valor de la función objeivo. La inerpreación económica de ese ipo de residuo es que la variable de esado en el insane final consiuye, la variable de inicio de un nuevo problema de maximización. El objeivo se escribe: En ese caso, la condición de ransversalidad del problema debe inegrar el impaco del valor de la variable de esado en el momeno final sobre el objeivo del planificador. El arbiraje ópimo esá dado por la condición enunciada en el eorema siguiene: Teorema Si la función objeivo incluye un valor residual en el momeno final y el planificador esá sujeo a las condiciones (47) y (48), enonces la condición de ransversalidad equivale a: Resricción de superioridad En numerosas ocasiones, los problemas de conrol ópimo incluyen una resricción que obliga que la variable de esado deba superar un ciero valor en el momeno final. Formalmene, ese ipo de resricción se escribe: La resricción de ransversalidad de un problema de esos esá dada por el eorema siguiene: Teorema: La condición de ransversalidad de un problema idénico a P5 con las condiciones finales (52) y (53) equivale a: En la próxima sección se dará un ejemplo que permiirá ilusrar las condiciones de ransversalidad del eorema 9. Ejemplo 4: Modelo de ahorro ópimo 16

18 Se considera un individuo cuya función de uilidad es: con γ > 0 y A=cse; c() es el consumo en la momeno. El sock de acivos financieros del individuo es s() que genera un ingreso βs() con β > 0 la asa de inerés. El salario es un flujo exógeno denoado por w(). La diferencia enre su reorno oal y su consumo deermina el ahorro neo del individuo, el cual se adiciona a su sock de acivos financieros. El sock inicial de acivos financieros esá dado: s(0). El sock final s() esá desinado a los hijos de ese individuo después de su muere. La evaluación de ese sock por el individuo es: Con m>0 y δ > 0 represenando la asa de descueno. El individuo iene la opción de s() dado que el sock es un límie inferior impueso de manera exógena (al menos no nulo). Se iene enonces una resricción de inferioridad: El horizone T es fijo. El problema del individuo es escoger c() y s() para maximizar: Sujeo a las resricciones: se impone además s L < s 0. El Hamiloniano se escribe: Las condiciones necesarias son: 17

19 Donde la condición de ransversalidad se define: La primera condición necesaria implica que la uilidad marginal del consumo debe ser igual al precio acualizado del sock final de acivos financieros. Esa condición y la condición de ransversalidad implican que si la resricción s( T ) s L no se saisface, enonces en el ópimo la uilidad marginal acualizada del consumo debe ser igual al valor marginal acualizado del rezago. Si la variable m es muy pequeña, enonces esa igualdad no puede ser verificada y el individuo asigna mayor imporancia a su consumo que al rezago de sus hijos, y hubiera preferido uilizar su capial financiero del límie fijado por la resricción Momeno final escogido por el planificador En los eoremas aneriores se había supueso que el horizone del problema esaba impueso por el planificador. Ahora se supone que él puede escoger el momeno final T con el fin de maximizar su objeivo. En esa sección se considera que el objeivo del planificador es caracerizado por un valor residual en el momeno final. Enonces, le basa con hacer la absracción del valor residual de ese valor para enconrar el caso paricular sin valor residual. El eorema siguiene provee la condición necesaria de opimalidad con respeco a la variable iempo. Teorema: Cuando el horizone del problema no esá deerminado de manera exógena, la condición de ransversalidad del problema P5 eniendo en cuena el objeivo (36) se escribe: 3. Conclusiones El objeivo de esa guía para principianes era proveer las inuiciones esenciales para la comprensión de la eoría de conrol ópimo y presenar los principales eoremas ligados a las resricciones de desigualdad y de ransversalidad. El rigor a nivel de noaciones 18

20 maemáicas ha sido a veces sacrificado con el fin de permiir una exposición más ligera para faciliar la comprensión del lecor. Referencias (1) DE LA FUENTE, A., 2000, Mehods and mahemaical models for economiss. (2) DEMANGE, G. y ROCHET, J.C., Opimisaion e mahémaiques de la finance. (3) DIXIT, AK., 1990, Opimizaion in economic heory, Oxford Universiy Press. (4) KAMIEN, MI. y SCHWARTZ, NL., 1981, Dynamic opimizaion: Te calculus of variaions and opimal conrol in economics and managemen, Volume 4 of Dynamic economics: heory and applicaions, Norh-Holland. (5) LAFFONT, J.J., y TIROLE, J., 1991, a Theory of Incenives in Procuremen and Regulaion, he MIT Press. (6) LEONARD, D. y VAN LONG, N., 1992 Opimal conrol heory and saic opimizaion in economics, Cambridge Universiy Press. Anexo Supongamos que el iempo es una variable discrea. Se puede uilizar el principio del máximo para escribir las condiciones de opimalidad. En un caso discreo, el problema del planificador sería: De manera análoga al méodo de resolución sugerido por Bellman, se considera el subproblema correspondiene a la escogencia del vecor de conrol en el momeno T h Se escribe: El Lagrangiano asociado a ese problema de Kuhn Tucker sería: T h T h + T h + [ x hm ( x u )] L = hf( x, u ) λ, T h T h T h La condición necesaria de opimalidad con respeco a ut h se escribe: 19

21 Con x( ) 0 si λ > 0 y λ 0 con > 0. De ahí que el eorema de la envolvene implique: x T Si se considera el iempo como una variable coninua, h 0, donde q T = λ, las dos ulimas condiciones se pueden escribir de manera simplificada: q T 0 y qt xt = 0 Q.E.D. 20