Frontera de Eficiencia de Futuros de Energía

Transcripción

1 Frontera de Eficiencia de Futuros de Energía Eléctrica Mayo

2 Plan de la presentación 1 La Aproximación Bayesiana a la Estadística 2 3 4

3 La Aproximación Bayesiana a la Estadística Sea Θ un espacio de parámetros o estados de la naturaleza y Ξ un espacio de datos observables. En términos de funciones de densidad el teorema se puede expresar como: f(θ y) = f (y θ)f (θ) f (y) donde f (y) es la distribución marginal de la variable aleatoria Y (o distribución marginal de los datos): f (y) = f (y θ)f (θ)dθ, Θ

4 La Aproximación Bayesiana a la Estadística f (θ y) es la distribución expost (posterior) del parámetro θ dado los datos observados y, f (y θ) es la distribución muestral.

5 La función L(θ y )= f (y θ), como función de θ se llama la función de verosimilitud. f (θ) es la distribución inicial (prior) sobre los parámetros. Obsérvese que no se ha hecho ninguna hipótesis sobre la forma de la distribución muestral. En general suponemos que y es un vector de obsrevaciones y f (y θ) es la distribución conjunta o distribución del vector aleatorio Y.

6 El modelo de Black y Litterman con Reducción de Dimensión Suponga que el espacio de parámetros son los factores de riesgo de mercado X. Por ejemplo los retornos logarítmicos de un conjunto de acciones. En general vamos a modelar X mediante un modelo de factores: X t = B t F t + ɛ t Es importante que el modelo estático anterior se pueda estimar razonablemente, que se pueda hacer un buen modelo dinámico de F t y que B t sea una matriz de carga determinística. Sea f (x) la distribución inicial de X. La idea es deducir esta distribución del modelo de factores. El administrador tiene opiniones que expresa como una variable aleatoria V condicional a las observaciones del parámetro X.

7 El modelo de Black y Litterman con Reducción de Dimensión Supongamos que X N(µ, Σ), g(x ) = PX donde P es una matriz que selecciona los activos (o combinación) en los cuales el experto tiene una expectativa. V g(x ) N(g(X ), Ω), donde Ω representa la confianza que el experto tiene en sus expectativas. La distribución V g(x ) es la distribución muestral. La interpretación es que dado g(x ) el experto genera sus expectativas usando una distribucion N(g(X ), Ω). Un caso particular es cuando Ω = ( 1 c 1) PΣP T, c un escalar positivo. Obsérvese que PΣP T significa que el experto evalua la incertidumbre de g(x ) utilizando la distribución estimada de los factores de riesgo.

8 El modelo de Black y Litterman con Reducción de Dimensión El factor ( 1 c 1) lo que hace es disminuirla o aumentarla proporcionalmente. Si c 0 el experto tiene expectativas muy inciertas (la confianza en el experto es baja y la prior y posterior son similares). Entre más cerca a 1 esté c, menos inciertas son las expectativas del experto (la confianza en el experto es mayor y la prior y posterior son menos parecidas). En conclusion, cuando la confianza en el experto es alta, la prior y la posterior se distancian y cuando es baja la prior y la posterior son parecidas.

9 El modelo de Black y Litterman con Reducción de Dimensión Supongamos que el experto tiene expectativas V = v. Obsérvese que las expectativas son sobre un combinación lineal de los factores de riesgo. Se puede demostrar que: donde: X v N(µ BL, Σ BL ) µ BL (v, Ω) = µ + ΣP T (PΣP T + Ω) 1 (v Pµ) (1) Σ BL = Σ ΣP T (PΣP T + Ω) 1 PΣ. (2) Obsérvese que en este caso particular Σ BL no depende de v.

10 El modelo de Black y Litterman con Reducción de Dimensión Ahora si F N(µ F, Σ F ) entonces X N(Bµ F, B T Σ F B) desconociendo el papel de ɛ. Si V = PX entonces V = PBF desconociendo el papel de ɛ. Supongamos que los views se expresar de la forma: V PBF N(PBµ F, ( 1 c 1)(PB)T Σ F PB). Entonces V PBF N( Pµ F, Ω) donde Ω = ( 1 c 1)(PB)T Σ F PB. Luego el modelo BL en términos de la distribución de los factores y con views sobre las variables observables X es:

11 El modelo de Black y Litterman con Reducción de Dimensión Sustituir P por P, Ω por Ω y donde v es un view sobre PX F v N(µ BL, Σ BL ) donde: µ BL (v, Ω) = µ + ΣP T (PΣP T + Ω) 1 (v Pµ) (3) Σ BL = Σ ΣP T (PΣP T + Ω) 1 PΣ. (4)

12 El modelo de Black y Litterman con Reducción de Dimensión Ahora con la distribución posterior para los factores Fv N(µ BL, Σ BL ) se puede ahora calcular la distribución posterior para los factores de riesgo: X v N(Bµ BL, B T Σ BL B) (5) Con esta distribución expost de los factores de riesgo construimos la frontera de eficiencia de los factores X.

13 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) Curva forward típica que queremos modelar Price [NOK/MWh] Price [NOK/MWh] Maturity [Days] Maturity [Days] Price [NOK/MWh] Price [NOK/MWh] Maturity [Days] Maturity [Days]

14 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) En el modelo que se propone a continuación se mantiene la misma notación de Borak y Weron. Sin embargo, la forma de reintepretarlo para implementarlo como una aplicación del modelo de Black y Litterman con reducción de dimensión es: 1 Y X 2 Z F 3 X Z Obsérvese que Z no aprece en el modelo de BL luego su introducción aquí es simplemente como covariantes adicionales (en este caso específico son variables determinísticas predecibles).

15 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) El modelo propuesto es: donde Y t,j = m 0 (X j ) + L Z t,l m l (X j ) + ɛ t,j (6) l=1 Y t = (Y t,1,..., Y t,jt ) es la observación en t de la curva forward con vencimientos j = 1,...J t. Z t,l son los factores comúnes (no observables). X j son covariantes observables. m l (X j ) es un B-spline. Obsérvese que tiene la forma: Y t = B t Z t + ɛ t, donde B t son covariantes determinísticos en esta aplicación y Z t son factores no observados que se estiman a continuación.

16 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) Las funciones B-splines son de la forma: m l (X j ) = K a l,k ϕ k (X j ) (7) k=1 donde K es el númerto de nodos, ϕ k son funciones spline y a l,k son coeficientes.

17 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) Para determinar los factores no observables Z t,l y los coeficientes a l,k se resuleve el siguiente problema: T t=1 j=1 { J Y t,j L K Z t,l l=1 k=1 a l,k ϕ k (X j ) } (8)

18 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) El modelo se calibró en el periodo mencionado utilizando L = 2, 4, 5, 6, T = 500 días hábiles, X j = 15, 15,5, 16, 16,5,..., 730 representa los días al vencimiento. la siguiente figura muestra la serie de tiempo de factores no observables y loading coefficients.

19 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) coincides with the highest volatility at the short end of the curve and the lowest at the Z t,1 Z t,2 Z t, Z t,1 Z t,2 Z t,3 Jan00 Jan01 Jan02 Jan m 1 m 2 m m 1 m 2 m Fig. 2. Estimated time series Ẑt,l (upper panels) and loadings ml(xj) (lower panels) for the DSFM of order L = 3 and Xj = 15, 15.5, 16,..., 730 days (the functions m0 are not displayed). The data sample covering the period June 3rd, 1999 June 17th, 2003 is divided into two adjacent time intervals: until June 11th, 2001 (left panels) and after (and including) June 12th, 2001 (right panels). The structure of the loading functions seems to be stable throughout the sample, however, the time series Ẑt,l vary considerably between the periods.

20 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) Price [NOK/MWh] Price [NOK/MWh] Maturity [Days] Maturity [Days] Price [NOK/MWh] Price [NOK/MWh] Maturity [Days] Maturity [Days] Fig. 3. The term structure of electricity prices and the estimated forward curves (for L = 3) observed on the same four days as in Figure h] h]

21 Un modelo de factores semiparamétrico (Borak - Weron 2008) Tres factores (L = 3) parecen ser suficientes para capturar gran parte de la dinámica. La funcion m 1 es relativamente plana y puede intepretarse como el nivel de la curva. Z t,1 Representa la tendencia de la curva. Los otros dos factores representan comportamientos periódicos. El período es aproximadamente un año.

22 Se mantien la misma notación de los artículos originales. Para implementarlo como un modelo BL con reducción de dimensión cambiamos: 1 Y X 2 X Z

23 Supóngase que Y t es la serie a predecir y sea X t un objeto de N series de tiempo las cuales se cree predicen Y t. Ahora suponemos que el proceso de (X t, Y t ) se puede representar como: X t = ΛF t + e t (9) Y t+h = β F F t + β w w t + ɛ t+h (10) donde Λ es una matriz, β F y β w son vectores, e t es un vector de N 1 errores indiosincráticos, w es un vector de m rezagos de Y t, h es el horizonte del pronóstico y ɛ t+h es el error del pronóstico.