Para abrirla tirando de un punto intermedio entre el eje y la manecilla habrá que realizar el mismo momentode fuerzas: Mg 50 F ʹ = 2F =

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1 ESTTIC La fuerza necesara para abrr una puerta trando de su maneclla es la centésma parte de su peso. S la puerta pesa 10 kg y la dstanca de la maneclla al eje de gro es 1 m, calcular la fuerza F ʹ necesara para abrr la puerta aplcándola en un punto que dsta 50 cm del eje. Solucón: I.T.I. 04 El momento de fuerzas que hay que hacer para abrr la puerta trando de la maneclla es: τ = Fd = Mg 100 d ara abrrla trando de un punto ntermedo entre el eje y la maneclla habrá que realzar el msmo momentode fuerzas: τ = Fd = Fʹ d ʹ = F ʹ d 2 F ʹ = 2F = Mg 50 Un hércules de crco levanta a su mujer (70 kg) y a su hjo (30 kg) colgados en los extremos de una barra, sn peso aprecable, de longtud 2 m (ver fgura). Qué fuerza efectúa y por dónde tene que sostener la barra? Solucón: Dbujando las fuerzas sobre la barra y planteándo las condcones de la estátca: x F m mujer g m hjo g F F m mujer g m hjo g F = ( m mujer + m hjo )g = 980 N τ,o m mujer gx m hjo g L x ( ) x = m hjo m mujer + m hjo L = 60 cm Físca Tema ágna 1

2 Un clndro de peso se apoya sn rozamento sobre dos planos nclnados ángulos α y β, según se ndca en la fgura. Calcular las reaccones en los apoyos. α β Solucón: I.T.T. 01, 04, I.T.I. 01 Dbujando todas las fuerzas y planteando las ecuacones de la estátca (obsérvese que las tres fuerzas son concurrentes en el centro del clndro, por lo tanto el momento de fuerzas total es automátcamente nulo): F R senα R senβ R cosα + R cosβ = R R R = R = cosα + senα / tgβ cosβ + senβ / tgα Una barra unforme de 5 m de longtud y una masa total de 150 kg se une al suelo medante una artculacón mentras se sujeta por un cable horzontal, como se muestra en la fgura. a) Cuál es la tensón del cable? b) Cuál es la aceleracón angular de la barra en el nstante en que se suelta el cable? c) Cuál es la velocdad angular de la barra cuando llega a la poscón horzontal? 3 m 4 m Solucón: I.T.T. 01, 04 a) Dbujando todas las fuerzas y planteando las ecuacones de la estátca: F R y mg R y = mg R x T R x = T R s T m g h τ mg s 2 Th T = mg s 2h = 3 mg = N 8 Físca Tema ágna 2

3 b) S escogemos como sentdo postvo de gro el horaro, planteando la segunda ley de Newton para la rotacón (la únca fuerza que produce momento de fuerzas respecto a es el peso): mg s 2 = I α α = 1 2 mgs I = 1 2 mgs 1 3 ml2 = 3 2 s l 2 g =1.764 rad / s 2 c) La únca fuerza externa que realza trabajo durante la rotacón de la barra es el peso. Como es una fuerza conservatva podemos aplcar la conservacón de la energía: E ncal = E fnal mg h 2 = 1 2 I ω 2 ω = mgh I = mgh 1 3 ml 2 = 3gh l = 2.17 rad / s Los extremos de una barra pesada descansan sobre planos nclnados como ndca la fgura. Determnar el ángulo de nclnacón de la barra φ respecto a la vertcal. En la poscón de equlbro los apoyos son lsos. α φ β Solucón: I.T.T. 01, 04 Dbujando todas las fuerzas y planteando las ecuacones de la estátca: F N senα N senβ N cosα + N cosβ = mg N φ α α φ β β N N = N = mg cosα + senα tgβ mg cosβ + senβ tgα Físca Tema ágna 3

4 τ N lsen φ α sen ( φ α ) senφ ( ) mg l 2 senφ = 1 senα cosα + 2 tgβ = tgα + 1 tgβ senα senφ cosα senα cosφ = 1 1 senφ 2 tgα + 1 senα tgβ cosα 1 tgα tgφ = tgα + 1 tgβ senα 1 tgα = 1 1 tgφ 2 tgα + 1 tgα tgβ 1 tgφ = tgα 1 tgβ tgα tgβ tgφ = 2 = tgβ tgα Físca Tema ágna 4

5 Dos esferas de rado R y masa M quedan en equlbro en la poscón ndcada. Calcular las fuerzas ejercdas por el suelo sobre las esferas en los puntos de contacto,, C, así como la que se ejercen entre s ambas esferas. Datos: = 30º, = 60º. D C Solucón: I.T.I. 93, 03 Dbujando todas las fuerzas, planteando las ecuacones de la estátca para las esferas (obsérvese que las fuerzas que actúan sobre cada esfera son concurrentes en el centro, por lo tanto el momento de fuerzas total sobre cada una de ellas es automátcamente nulo) y tenendo en cuenta que N 12 = N 21 : N N N 12 M g Esfera 1 N 21 M g N C Esfera 2 F N N 12 cos N N 12 sen Mg N 12 cos N C sen N 12 sen + N C cos Mg sen cos N = Mg = 3 cos( ) 2 Mg sen sen N = 1 + Mg = 3 cos( ) 2 Mg cos N C = Mg = Mg cos( ) sen N 12 = Mg = Mg cos( ) Físca Tema ágna 5

6 Dos esferas guales de rado r y peso se apoyan mutuamente entre sí y apoyan contra las paredes de un clndro aberto por su parte nferor, de rado externo R, que se apoya sobre un plano horzontal. Hallar el peso mínmo Q que ha de tener el clndro para no ser volcado por el peso de las esferas. Se supone que la pared del clndro es delgada. r Solucón: I.T.T. 01, I.T.I. 01 Dbujando todas las fuerzas y planteando las ecuacones de la estátca para las esferas (obsérvese que las fuerzas que actúan sobre cada esfera son concurrentes en el centro, por lo tanto el momento de fuerzas total sobre cada una de ellas es automátcamente nulo): R = r + rcos N 1 N 2 r N 2 N 4 N 3 ola 1 ola 2 F N 1 N 2 cos N 3 N 2 sen N 2 cos N 4 N 2 sen N 1 = N 4 = tg N 2 = sen N 3 = 2 En el sguente dagrama se muestran las fuerzas que actúan sobre el clndro. La reaccón del plano horzontal sobre el clndro está repartda en forma de fuerzas mcroscópcas por toda la perfera crcular de la parte nferor. Todo este conjunto de fuerzas mcroscópcas es equvalente (en cuanto a la fuerza total que producen y en cuanto al momento de fuerzas total que producen) a una únca fuerza N 5 stuada en el plano de la fgura y a una dstanca d del punto. S las esferas no estuvesen dcha fuerza se encontraría justamente debajo del C.M. del clndro y tendríamos que d = R. En el caso límte en el que el clndro estuvese a punto de vascular haca la derecha la Físca Tema ágna 6

7 dstanca d sería nula y N 5 estaría aplcada justo en el punto. plcando las leyes de la estátca podríamos encontrar el valor de dcha reaccón N 5 y la dstanca d: F N 5 = Q τ N 4 r 1 + 2sen ( ) + N 5 d QR N 1 r d = QR + N 1r N 4 r( 1 + 2sen) N 5 N 1 Q N 5 = R 2 Q rcos = R 2 Q ( R r) d N 4 r( 1 + 2sen) Como para que el clndro no vuelque dcha dstanca debe ser postva: R 2 Q R r ( ) 0 Q Q mínmo = 2 1 r R Demostrar que cuando el peso del puntal de la fgura es desprecable, la reaccón que aparece en sgue la dreccón del puntal. Qué ángulo formara dcha reaccón con la horzontal s el puntal tene una masa de 200 kg?. Calcular la tensón de la cuerda y la reaccón en en ambos casos. Datos: α = β = 30º, m = 1000 kg Solucón: I.T.I. 01, 04 α β m S el peso del puntal es desprecable las úncas fuerzas que actúan sobre él son la reaccón en, la tensón de la cuerda unda a la pared y la tensón de la cuerda unda al bloque m equvalente al peso T α de éste. Tenemos un sstema de tres fuerzas. Una de las condcones que debe de cumplr dcho sstema es que β dchas fuerzas sean concurrentes en un punto para que su T ʹ = m g R momento de fuerzas total sea nulo. El dagrama de fuerzas será por lo tanto el que se muestra en la fgura, en el que las tres fuerzas son concurrentes en el extremo del puntal y la reaccón tendrá por lo tanto que estar forzosamente orentada a lo largo de éste. Imponendo que la fuerza total sea nula: F R cosβ T cosα Rsenβ + T senα mg T = R = mg cosα tgα + tgβ ( ) mg cosβ tgα + tgβ ( ) Tenendo en cuenta los datos dados en el enuncado: T = R = 9800 N Físca Tema ágna 7

8 En el caso de que el puntal tenga masa, dbujando el nuevo dagrama de fuerzas e mponendo las condcones de la estátca: T R x T cosα F R R y + T senα ( m + M)g τ T sen ( α + β )L Mg L 2 cosβ T ʹ Lcosβ M g T ʹ = m g S llamamos al ángulo que forma la reaccón en con la horzontal, la solucón de dcho sstema de ecuacones es: T ʹ = mg = 9800 N T = m + M 2 g cosβ =10780 N sen( α + β) R x = m + M cosα cosβ g 2 = 9336 N sen( α + β) R y = ( m + M )g m + M senα cosβ 2 g = 6370 N sen( α + β) R =11302 N = 34.31º Físca Tema ágna 8

9 En el sstema de la fgura la barra homogénea tene una longtud de 100 cm y una masa de 5 kg. S la cte. elástca del resorte es k = 400 N/m calcular la longtud natural del muelle. Calcular el valor de la masa M que colgada en el punto haga que se alcance de nuevo el equlbro cuando el ángulo en el punto sea de 60º. 45º 45º M Solucón: I.T.I. 01, 04 En la stuacón de equlbro ndcada en la fgura al tener un trángulo rectángulo sósceles la longtud l del muelle será la msma que la longtud L de la barra, l = L = 100 cm, y la dstanca entre y el enganche del muelle a la pared será C = 2 L =141.4 cm. S mponemos que el momento de fuerzas total respecto de sea nulo podemos calcular la longtud natural del muelle: F elástca L mg L 2 sen k Δl = 1 2 mgsen C R F elástca m g Δl = mg 2k sen = 4.33 cm l 0 = l Δl = cm C S ahora colgamos del extremo la masa M el nuevo dagrama de fuerzas será el representado en la fgura. Con los datos del enuncado vamos a calcular los demás ángulos. El ángulo α lo podemos poner en funcón de β, que es conocdo, razonando sobre el trángulo: α R β γ m g F elástca M g l senα = Lsenβ lcosα = 2 L Lcosβ tgα = senβ 2 cosβ α = 43.45º plcando el teorema de los senos para los ángulos α y γ: senγ C = senα L senγ = C senα L = 2 senα γ = 76.55º plcando el teorema de los senos para los ángulos α y β podemos calcular la nueva longtud del muelle y su alargamento: Físca Tema ágna 9

10 senβ = senα l L l = senβ senα L = cm Δl = l l 0 = cm Replanteamos el equlbro volvendo a calcular momentos respecto de : F elástca Lsenγ mg L 2 senβ MgLsenβ M = F elástca senγ 1 k Δl senγ m = gsenβ 2 gsenβ 1 2 m = kg Una puerta homogénea que pesa 60 kg está sujeta por dos goznes que están separados 1.80 m. Cada gozne soporta la mtad del peso de la puerta. La dstanca de los goznes a la parte superor e nferor de la puerta es la msma. La anchura de la puerta es de 1.20 m. Calcular las fuerzas que actúan sobre cada gozne y el ángulo que forman con la horzontal. Solucón: I.T.I. 01 Sobre la puerta se van a ejercer sólo tres fuerzas, las de los goznes y su peso, que para que no produzcan nngún momento neto deben de ser concurrentes en algún punto. S cada gozne soporta la mtad del peso de la puerta tenemos que las componentes vertcales de las fuerzas en cada uno de ellos son guales a la mtad del peso de la puerta: F 1,y + F 2,y Mg F 1,y = F 2,y F 1,y = F 2,y = 1 2 Mg or otro lado para las componentes horzontales tenemos que tambén serán guales en magntud pero de sgno contraro: F 1,x + F 2,x F 1,x = F 2,x F 1 Se puede aprecar en la fgura que en estas condcones las dos fuerzas tenen el msmo módulo y que concurren junto con el peso de la puerta en el C.M. de ésta. d F 2 S llamamos al ángulo que dchas fuerzas forman con la horzontal tenemos que: M g tg = d / 2 s / 2 = 3 2 = 56.31º s Físca Tema ágna 10

11 F 1 sen = F 2 sen = 1 2 Mg F 1 = F 2 = N El clndro unforme de rado a de la fgura pesaba en un prncpo 80 N. Después de taladrársele un agujero clíndrco de eje paralelo al anteror su peso es de 75 N. Suponendo que el clndro no deslza sobre la mesa Cuál debe ser la tensón de la cuerda que le mpda moverse en la stuacón representada?. Determnar el coefcente de rozamento mínmo para que no deslce. OO ʹ = 2 3 a. T ʹ O O Solucón: I.T.I. 01, 03 Llamemos y ʹ al peso del clndro antes y después de hacerle el agujero. Llamemos r al rado del agujero, H a la altura del clndro y ρ a su densdad. Con los datos que nos dan en el enuncado podemos calcular r: ʹ = [( πa 2 πr 2 )Hρ]g = π a 2 Hρ g 1 r 2 = 1 r 2 r = a 1 ʹ = a 4 a 2 S ponemos el orgen de coordenadas en O podemos calcular donde se encuentra el C.M. del clndro agujereado (por smetría la coordenada y C.M. será nula ): a 2 x C.M. = ( ) 2 3 a 0 ʹ ʹ = 2 45 a T plcando las condcones de la estátca: F τ T 2a F roz. T T = F roz. N ʹ N = ʹ ( ) ʹ x C.M. T = x C.M. ʹ = 2a N 5 3 N x C.M. ʹ F roz. La fuerza de rozamento es estátca y debe ser menor que su valor máxmo: F roz. = T F roz.máx. = µ N = µ ʹ µ Tʹ = Físca Tema ágna 11

12 Una barra pesada unforme de longtud = 2a y de peso W se apoya, ver fgura, en una semesfera hueca perfectamente lsa de rado r. Calcular el ángulo de equlbro y las reaccones en y C. r C Solucón: I.T.T. 04, I.T.I. 01 Las reaccones en los puntos y C son perpendculares a la superfce de y x R C contacto con lo que R será radal y R C r será perpendcular a la barra. S los ejes coordenados los tomásemos como C sempre, eje X horzontal y eje Y r vertcal, los cálculos se complcarían M ya que en las ecuacones aparecería el R W ángulo doble 2 (ver orentacón de la fuerza R ). Tomaremos en este caso el eje X a lo largo de la barra y el eje Y perpendcular a ésta, como se ndca en la fgura. plcando las condcones de la estátca: R cos W sen F R sen + R C W cos τ R C C W acos C = M + MC = 2rcos Resolvendo el sstema tenemos que: cos = a 8r + a 8r R = W tg R C = a 2r W Físca Tema ágna 12

13 Un agtador de vdro de longtud de longtud 2L se apoya en el fondo y en el borde de una cápsula de porcelana de forma semesférca de rado R; el agtador se moverá hasta alcanzar una poscón de equlbro. S los rozamentos son naprecables, determnar en la poscón de equlbro el ángulo ndcado en la fgura. Solucón: I.T.I. 04 Llamamos W al peso del agtador. Las reaccones en los puntos y C son y x R C perpendculares a la superfce de contacto R con lo que R será radal y R C será perpendcular a la barra. S los ejes C coordenados los tomásemos como sempre, R eje X horzontal y eje Y vertcal, los cálculos M se complcarían ya que en las ecuacones R W aparecería el ángulo doble 2 (ver orentacón de la fuerza R ). Tomaremos en este caso el eje X a lo largo de la barra y el eje Y perpendcular a ésta, como se ndca en la fgura. plcando las condcones de la estátca: R cos W sen F R sen + R C W cos τ R C C W L cos C = M + MC = 2Rcos Resolvendo el sstema tenemos que: cos = L 8R + 2 L 8R R = W tg R C = L 2R W Una varlla semcrcular y unforme de peso W y rado r, esta sujeta medante un pasador en y se apoya en una pared lsa en. Calcular las reaccones en y. Físca Tema ágna 13

14 Solucón: I.T.I. 01 El C.M. de la varlla semcrcular se encuentra a una dstanca d de la pared gual a 2r/π. La reaccón en tendrá componentes x e y mentras que la reaccón en será normal a la pared y sólo tendrá componente x. plcando las condcones de la estátca: τ R ( 2r) W 2r π F R cosα + R R senα W R = W π R = W 1+ 1 π 2 tgα = π y R x d α W R Una barra homogénea de peso desprecable, stuada en un plano vertcal, está en contacto con dos clavjas y, separadas una dstanca a. En el punto O, dstante x de, actúa una fuerza vertcal. a) Demostrar que s no exste rozamento el equlbro es mposble. b) S exste rozamento en y, hallar las reaccones en ambos puntos. O x a Solucón: I.T.T. 03 a) Dbujando todas las fuerzas y planteando las ecuacones de la estátca: F N sen N sen N = N τ,o N x N ( x + a) N N!! N O N EQUILIRIO IMOSILE! b) Las fuerzas de rozamento en y en están drgdas a lo largo de la barra en sentdo ascendente para anular la componente descendente de : F roz., N Físca Tema ágna 14 N O F roz.,

15 sen F roz., F roz., F cos = N N τ,o N x N ( x + a) N = x + a a cos, N = x a cos Físca Tema ágna 15

16 En una escalera homogénea de peso 1 y longtud 2L está apoyada entre una pared vertcal y el suelo, tenendo con este últmo un coefcente de rozamento µ. Un hombre de peso 2 sube por la escalera hasta un peldaño H, tal que H = a. a) Cuál es el valor máxmo del ángulo de la escalera con la pared para que la escalera no resbale. b) Cuál debe ser el ángulo s queremos que el hombre suba hasta el extremo superor? c) artcularzar las apartados anterores para µ.2, m 1 = 10 kg, m 2 = 70 kg, L = 3 m y a = 1m. H a Solucón: I.T.T. 03 1) Dbujando todas las fuerzas y planteando las ecuacones de la estátca: N N F roz. F N 1 2 τ, N 2Lcos ( ) 1 Lsen ( ) 1 ( asen) 1 2 N F roz. N = F roz. = N = a 1 L 2 tg Como la fuerza de rozamento es estátca: F roz. F roz.máxma = µn 2) Hacendo a = 2L en la solucón anteror: ( a) arctg 2µ ( + 1 2)L 1 L + 2 a ( ) ( 2L) arctg 2µ ) Introducendo los valores del enuncado: ( a) = 43.8º, ( 2L) = 12.0º Físca Tema ágna 16

17 Se tene una barra metálca de 40 Kp de peso y 4 m de longtud, artculada en el extremo que descansa en el suelo. Su otro extremo se apoya en una pared nclnada = 60 con respecto a la horzontal, no habendo rozamento en este punto. S la barra queda nclnada = 45, calcular las reaccones en la artculacón y en el apoyo. Solucón: I.T.T. 03 Dbujando todas las fuerzas y planteando las ecuacones de la estátca: L F R x N sen R y + N cos N τ N Lcos R y = ( ) L 2 cos N = 1 cos = 2 cos( ) R x = 1 cos sen = 2 cos( ) cos 2 cos ( ) = Kp Kp Kp R Obsérvese en la fgura que al ser un sstema sometdo solamente a tres fuerzas no colneales las tres son concurrentes. Físca Tema ágna 17

18 Un clndro maczo y homogéneo de peso y rado r, se apoya sobre un caballete formado por dos tablas de longtud 2a, artculadas en el eje O, que concde con su punto medo. Suponendo que entre el clndro r y el caballete no hay rozamento, y que entre éste y el suelo s hay rozamento: a) Dbujar el dagrama de fuerzas que actúan sobre cada elemento del sstema. b) Calcular la fuerza de rozamento necesara para mantener el sstema en equlbro de modo que la dstanca entre el centro del clndro y el eje O sea (3r/2). c) Cuál debe ser el mínmo coefcente de rozamento para que el sstema este en equlbro? d) Calcular las reaccones en O y en los puntos de apoyo del clndro. a a O a a Solucón: I.T.I. 03, I.T.T. 03 a) La fuerzas que se ejercen entre sí las dos tablas en el eje que pasa por O deben ser guales y de sentdo contraro de acuerdo con la tercera ley de Newton. or otro lado el sstema tene smetría respecto de un eje vertcal, con lo que las dos fuerzas deben tener componente horzontales de dstnto sgno y componentes vertcales del msmo sgno. La únca forma de que se verfquen las dos condcones anterores es que dchas fuerzas sean horzontales, es por este motvo que la reaccón R en la fgura tene dcha orentacón. l msmo tempo y debdo a los msmos motvos: N 1 = N 2 = N ʹ. Las fuerzas que actúan sobre la segunda tabla son smétrcas respecto del eje vertcal de las que actúan sobre la prmera (suponemos que las tablas tenen una masa desprecable). ʹ N O F roz. R N N 1 N 2 b) y d) Según los datos que nos dan, en el equlbro sen = 2, planteando las 3 condcones de la estátca: ara el clndro: F 2N ʹ sen N ʹ = 2sen = 3 4 ara la tabla: F R F roz. N N ʹ sen N ʹ cos N = N ʹ sen = 1 2 Físca Tema ágna 18

19 r τ,o N ʹ tg + Nasen F acos roz. F roz. = 9r 8a R = 9 r 4 2a c) Como la fuerza de rozamento es estátca: F roz. F roz.máx = µn µ F roz. N = 9r 4a Una escalera de tjera de masa m = 12 kg, está formada por dos brazos de longtud L = 4 m, undos por una cuerda horzontal a h =1 m del suelo, y que forman entre sí un ángulo = 30. S la escalera soporta en su punto más alto un cuerpo de masa M = 80 kg y el rozamento con el suelo es desprecable, determnar: a) la fuerza normal que el suelo ejerce sobre los puntos y de la escalera, b) la tensón de la cuerda, c) la fuerza que cada brazo ejerce sobre el otro en el punto O en el que están engoznados. Solucón: I.T.I. 04 a) S consderamos el sstema formado conjuntamente por la escalera y la cuerda, las fuerzas externas que actúan sobre dcho sstema venen reflejadas en la fgura (por smetría la normal que ejerce el suelo es gual en ambas partes de la escalera), y planteando la condcón de equlbro para las fuerzas: F ( M + m)g 2N N = 1 ( 2 M + m)g = N N M g C.M. m g N b) slemos uno de los brazos de la escalera y consderemos las fuerzas que actúan sobre él. Tenendo en cuenta que las reaccones que se ejercen entre s los dos brazos de la escalera en el punto O tenen que ser según la tercera ley de Newton guales y de sentdo contraro y que por smetría entre zquerda y derecha su componente horzontal tendría que ser opuesta pero la componente vertcal tendría que ser la msma se llega a la conclusón de que dchas reaccones no pueden tener componente vertcal y que su orentacón es horzontal. Físca Tema ágna 19

20 lanteando la condcón de equlbro para los momentos de fuerza calculados respecto del punto O, τ,o : 1 2 mg L 2 sen 2 + T L cos 2 h NL sen 2 N R 1 m 2 g T 1 M 2 g T = N 1 4 mg cos 2 h L 1 sen 2 = N c) lanteando la condcón de equlbro para las fuerzas que actúan sobre un brazo aslado: F T R R = T = N Dos dscos de pesos 1 y 2 se apoyan entre s y sobre dos planos nclnados, sendo β y α respectvamente los ángulos de nclnacón sobre la horzontal. Determnar: a) la reaccón de cada plano sobre el dsco correspondente, b) la tangente del ángulo que forma la recta que une los centros de los dscos con la horzontal. α 2 1 β Solucón: I.T.T. 03 a) Dbujando el dagrama de fuerzas para los dos dscos y planteando las condcones de la estátca (la condcón de momentos de fuerza nulos se satsface automátcamente ya que todas las fuerzas que actúan sobre cada dsco pasan por el centro de éstos): N 21 N 12 1 β N 1 α 2 ʹ N 2 Dsco 1: F N 12 cos N senβ N 12 sen + N cosβ 1 N = 1 cosβ + senβ tg, N 12 = senβ / cos cosβ + senβ tg 1 Físca Tema ágna 20

21 Dsco 2: F N ʹ senα N 21 cos N ʹ cosα N 21 sen 2 N ʹ = 2 cosα senα tg, N = senα / cos 21 cosα senα tg 2 b) Tenendo en cuenta que N 12 = N 21 : tg = 1 senβ cosα 2 senα cosβ ( ) senα senβ Físca Tema ágna 21

22 Una masa puntual de peso G puede moverse lbremente sn rozamento sobre una crcunferenca vertcal de rado r perfectamente lsa. Dcha masa es atraída por el punto superor de la crcunferenca medante una fuerza de módulo constante F. Determnar el valor de para la poscón de equlbro. Reaccón de la crcunferenca sobre la masa y valor máxmo de F para que la poscón de equlbro sea dstnta de la trval ( ). r F Solucón: I.T.I. 03 Dbujando el dagrama de fuerzas, mponendo las condcones de la estátca (la suma de momentos es nula al ser las tres fuerzas claramente concurrentes) y tenendo en cuenta que el ángulo que forma la normal con la vertcal es 2 (téngase en cuenta que el trángulo formado por, el centro de la crcunferenca y la partícula es sósceles) tenemos que: F F cos N cos2 G N sen2 F sen y tenendo en cuenta que el coseno debe ser gual o nferor a la undad: N = G cos = F 2G 2 G F N cos = F 2G 1 F 2G Hallar las poscones de equlbro de una bola de masa m, que puede deslzar a través de un alambre rígdo cuya ecuacón es x 2 = 2α y, que está grando alrededor de su eje Y con velocdad angular ω. Solucón: I.T.T. 04, I.T.I. 03 S nos colocamos en un sstema de referenca que gre conjuntamente con el alambre nuestro problema se transforma en un problema de estátca. El dagrama de fuerzas que actúan sobre la bola presenta además de las fuerzas de nteraccón de la normal y el peso una fuerza de nerca centrífuga. x La dreccón de la normal la podemos obtener consderando la curva del alambre como una curva equescalar para un campo escalar bdmensonal: Φ( x,y) = x 2 2αy (en los puntos del alambre se verfca que Φ( x,y) ). El gradente de este campo escalar tendrá una dreccón perpendcular a dcha curva. astará fnalmente por construr un vector untaro n ˆ en dcha dreccón y con componente x negatva (ver fgura): y N m g F cent. Físca Tema ágna 22

23 Φ = 2x ˆ + 2α ˆ j n ˆ = Φ Φ = x ˆ + α ˆ j x 2 +α 2 La fuerza normal vendrá por lo tanto dada por: N = x ˆ + α ˆ j N x 2 + α 2 Imponendo las condcones de la estátca (la suma de momentos es nula al ser las tres fuerzas claramente concurrentes): F αn x 2 +α mg N = x 2 + α 2 mg 2 α xn x 2 + α + mω 2 x x 2 α mg + mω 2 x De la últma ecuacón se deduce que x es una solucón para la poscón de equlbro. En el caso partcular de que ω 2 = g cualquer valor de x es tambén una poscón α de equlbro. Físca Tema ágna 23

24 Dos anllos de pesos y Q, están atados a un hlo deal y pueden deslzar sobre dos guías rectlíneas gualmente nclnadas respecto de la vertcal. rescndendo del rozamento determnar el ángulo que la cuerda forma con la vertcal en la poscón de equlbro, así como su tensón y las reaccones de las guías sobre los anllos. α β L Q Solucón: I.T.I. 03 Dbujando el dagrama de fuerzas e mponendo las condcones de la estátca (la suma de momentos sobre cada anllo es nula al ser las tres fuerzas que actúan sobre ellos concurrentes): F T senβ N 1 cosα T cosβ + N 1 senα N 2 cosα T senβ N 2 senα T cosβ Q α N 1 α β T T Q N 2 α N 1 = N 2 = + Q 2senα, tgβ = + Q + Q Q ctgα, T = 2tgα senβ Físca Tema ágna 24

25 Una barra homogénea de masa M y longtud L gra alrededor de una rótula stuada en su extremo superor con velocdad angular constante ω, descrbendo una superfce cónca. Calcular: a) Qué fuerzas actúan sobre la barra? b) El ángulo dstnto de cero que forma la barra con la vertcal en la poscón de equlbro c) Reaccón en la rótula. ω L Solucón: I.T.I. 03 d) ara que el problema sea un problema de estátca debemos colocarnos en un sstema de referenca no nercal con orgen en el eje de rotacón y grando con la msma velocdad angular que la barra. Desde ese punto de vsta la barra permanecerá estátca formando un ángulo con la vertcal y sometda a las sguentes fuerzas: Fuerza centrífuga nfntesmal sobre un dferencal de longtud dl a dstanca l de (con l varando entre 0 y L): df cent. = dmω 2 r = ( λ dl)ω 2 ( l sen) Integrando para toda la barra tenemos la fuerza centrífuga total equvalente a todas las fuerzas mcroscópcas: F cent. = L 0 λω 2 lsen dl = 1 2 λω2 L 2 sen = 1 2 M ω2 Lsen El momento de fuerzas respecto de de una fuerza centrífuga nfntesmal será: dτ cent., = df cent. lcos = dmω 2 r = λω 2 l 2 sen cos dl Integrando para toda la barra tenemos el momento centrífugo total equvalente a todos los momentos mcroscópcos: y x R M g Fuerzas centrífugas actuándo sobre cada una de las partes de la barra L τ cent., = λω 2 l 2 sen cos dl = 0 = 1 3 λω2 L 3 2 sen cos = F cent. 3 L cos Todas las fuerzas mcroscópcas centrífugas se pueden susttur por lo tanto por una únca fuerza F cent. aplcada en un punto de la barra a 2 L de : 3 y x R M g 2 3 L F cent. Físca Tema ágna 25

26 e) plcando la condcón de la estátca para los momentos: τ 2 F, cent. 3 L cos Mg L 2 sen 1 3 Mω 2 L 2 sen cos = Mg L 2 sen sen (solucón trval) cos = 3g 2ω 2 L f) plcando la condcón de la estátca para las fuerzas: F R x + F cent. R y Mg R x = 1 2 M ω2 Lsen R y = Mg Un bloque de 200 Kg está sujeto a la palanca O, de 200 mm de longtud según se ndca en la fgura. El rado de la polea es de 75 mm y la constante del muelle es de 50 kn/m. Sabendo que el muelle está sn deformar cuando, determnar las poscones de equlbro. O Solucón: I.T.I. 03 plcando la condcón de la estátca para los momentos: τ,o MgLsen F elástca R F elástca = k( R) MgLsen = kr 2 = MgL kr sen 2 Ecuacón trascendente cuyas solucones son:, 78.16º Físca Tema ágna 26

27 La varlla C de la fgura puede rotar lbremente alrededor de C. En el extremo se le ata una cuerda lgada a un muelle de constante elástca k, el cual no estaría estrado s la varlla adoptase una poscón horzontal ( ). a) Determnar el valor de correspondente al ángulo de equlbro del sstema en funcón de la masa m y la longtud L de la varlla y la constante elástca k del muelle. b) Calcular el valor de todas las fuerzas que actúan sobre la varlla en funcón de m, L, k y el ángulo de equlbro. L L C Solucón: I.T.I. 03 a) El trángulo C es un trángulo sósceles con lo que un sencllo cálculo trgonométrco ndca que el ángulo que forma la tensón con la vertcal es / 2, el msmo ángulo que forma con la dreccón perpendcular a la barra. Dcha tensón será gual a la constante elástca del muelle multplcada por lo que éste se ha alargado que es justamente la dstanca Lsen 2 T / 2 m g R C = 2Lsen 2. Tomando momentos respecto de C y aplcando las condcones de la estátca: τ,c mg L 2 cos 2kL sen 2 Lcos 2 2sen 2 cos 2 =sen tg = mg 2kL b) Como ya hemos utlzado en el apartado anteror: T = 2kL sen 2 plcando las condcones de la estátca para las fuerzas: F R x T sen 2 R = T sen x 2 = 2kL sen 2 2 R y + T cos 2 mg R = mg T cos y 2 = mg klsen Físca Tema ágna 27

28 Un dsco homogéneo de peso W y rado R se apoya en una pared vertcal lsa y sobre una barra de peso Q. Uno de los extremos de la barra puede grar alrededor de una rótula en y el otro extremo está undo a un hlo que tras pasar por una polea sn rozamento lleva en el otro extremo suspenddo un peso. Determnar las dstntas reaccones entre los sóldos, así como el peso para que la barra esté en equlbro formando un ángulo de 30º con la vertcal. = C = 2L. C Solucón: I.T.I. 03 El trángulo C es sósceles con lo que los otros lados del trángulo valen: S llamamos D al punto de contacto del dsco con la barra: = π 2. R D = tg 2 D = Rctg 2 plcando las condcones de la estátca para cada uno de los cuerpos (para la barra el cálculo de momentos se realza respecto del punto ): T T T = R E R E R D cos R D sen W W R D = R D W sen R E = W tg C E R D D T Q R,x + R D cos T sen R,y R D sen + T cos Q T( 2L)sen QLsen R D D R = Qsen 2 + WR 2Lsen sen 2 R,x = Qsen + R 2L sen tg ctg 2 W R,y = Qcos R 2Lsen W Físca Tema ágna 28

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