Comparación de Métodos Iterativos de Reconstrucción de Imágenes TAC

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1 Comparación de Métodos Iterativos de Reconstrucción de Imágenes TAC Vicent Vidal, Liubov A. Flores, Patricia Mayo, Francisco Rodenas, Gumersindo Verdú Abstract En la tomografía axial computarizada (TAC), el conjunto de proyecciones tomadas por un escáner se usa para la reconstrucción interna de un objeto. Debido a la gran complexidad de datos, el problema de reconstrucción es un proceso que consume mucho tiempo computacional. Aunque las CPUs modernas han ganado suficiente poder para ser competitivas para la reconstrucción 2D, este no es el caso para la reconstrucción 3D, especialmente cuando se trata de métodos algebraicos iterativos de reconstrucción. Hoy en día, la tecnología permite reducir de forma efectiva esta deficiencia. El objetivo de este trabajo es mostrar y comparar dos algoritmos iterativos de reconstrucción de imágenes por proyecciones. 1.- Introducción En medicina, el diagnostico basado en la tomografía axial computarizada (TAC) es fundamental para la detección de anormalidades por diferente atenuación de rayos X, que frecuentemente es difícil de distinguir por radiólogos. En TAC, un conjunto de proyecciones tomadas por un escáner se usa para reconstruir la estructura interna de un objeto. Se observa que la intensidad del rayo X que pasa a través de un objeto disminuye. Moviendo la fuente y detectores se obtiene un conjunto de proyecciones que contienen la información sobre la estructura interna del objeto. Una simple proyección k para un ángulo r se define como integral de f(x,y) (intensidades de la imagen ) a lo largo de línea l y se expresa por la formula: P k r = f ( x, y) dl (1), l El problema de reconstrucción consiste en determinar los valores de f(x,y) del conjunto de datos experimentales (proyecciones). En las pasadas tres décadas en TAC han sido propuestos diferentes métodos de reconstrucción. Si los métodos analíticos se derivan de la Transformada de Radon [1], en los algoritmos iterativos se busca optimizar una función objeto, como función de probabilidad máxima o error mínimo. Todos estos algoritmos tienen en común una serie de operaciones que dominan el costo computacional. En TAC, es común encontrar proyecciones incompletas, con ruido o no igualmente espaciadas. En estos casos, las imágenes reconstruidas por los métodos analíticos tienen muchos artefactos y los métodos iterativos son más adecuados, debido a que no requieren el conjunto de proyecciones completo y proporcionan la reconstrucción óptima de imágenes en condiciones ruidosas [2]. Sin embargo, para ser usados en la práctica, los algoritmos iterativos deben ser lo más eficientes posibles en el sentido de precisión y coste computacional. En el proceso de reconstrucción, las operaciones de cómputo son operaciones basadas en pixel o voxel. Estas operaciones tienen pocas dependencias y se ejecutan, comúnmente, en una estructura repetitiva (bucle) muy larga. Las plataformas más apropiadas para este tipo de operaciones son los procesadores vectoriales o arquitecturas masivamente paralelas y las unidades de procesamiento gráfico (GPUs). Aunque estas técnicas son usadas de forma amplia en medicina nuclear (gamma-camera, single photon emission computed tomography (SPECT), positron emission tomography (PET)), su uso en la reconstrucción iterativa en TAC es bastante reciente. El principal motivo es que el conjunto de datos manejados en TAC es mucho mayor que el utilizado en medicina nuclear lo que convierte el proceso de reconstrucción en un proceso de computo más intenso. El desarrollo, diseño e implementación de

2 nuevas técnicas de reconstrucción iterativa que aceleren el proceso de reconstrucción es una área de investigación activa. Stone et al. [3] describen una implementación acelerada de reconstrucción en unidades de procesamiento grafico (GPUs) para las imágenes de resonancia magnética (MRI), reconstruyendo imágenes de voxels en más de un minuto. Johnson y Sofer [4] proponen un método paralelo para las aplicaciones de tomografía de emisión. El método es capaz de explorar la dispersidad y simetría del modelo de simulación y demuestran que su esquema es aplicable para la mayoría de algoritmos iterativos de reconstrucción. El tiempo necesario para la reconstrucción de una imagen de 128x128x23 voxels es de más de 3 minutos. Pratx et al [5] muestra los resultados de reconstrucción iterativa utilizando GPU en PET. El tiempo requerido en una GPU para una imagen de voxels es 8.8 segundos. La implementación con varias GPUs de la reconstrucción tomográfica acelera la reconstrucción de imágenes de 350x350x9 voxels hasta 67 segundos en una sola GPU y hasta 32 segundos en cuatro GPUs [6]. Ya que el objetivo es obtener reconstrucciones de imágenes en 3D y además en tiempo real, aún queda mucha investigación que realizar en este campo. En los trabajos previos[7-8], se analizaron la utilización de la librería Extensive Toolkit for Scientific computation (PETSc) y el uso del formato binario de datos para facilitar el trabajo de programación y acelerar el proceso de reconstrucción. En este trabajo, además de comparar dos técnicas iterativas de reconstrucción de imágenes también se presentan los resultados obtenidos al utilizar entornos de alto rendimiento GPUs. El resto del trabajo está organizado de la siguiente manera. En sección 2, se presentan los aspectos matemáticos del método Least Square QR (LSQR) y del Maximum likelihood (MLEM) en la tomografía de transmisión más relevantes a este trabajo. En sección 3, se describe la metodología usada para llevar a cabo los experimentos. En sección 4, se presentan los resultados obtenidos y, finalmente, se hacen algunas conclusiones. 2.- Consideraciones teoricas En la literatura, se han presentado varios algoritmos para resolver el problema de reconstrucción dado por (2)[9]. En el método algebraico, el problema de reconstrucción se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales: A x = P, (2) donde la matriz del sistema A simula el funcionamiento de la tomografía computarizada y sus elementos dependen del número de proyección y del ángulo bajo cual se toma la proyección, x es un vector columna cuyos elementos representan las intensidades de la imagen a calcular, y el vector columna P corresponde a! las proyecciones recolectadas por el escáner. Entonces, en este enfoque, la reconstrucción es equivalente a la resolución del sistema de ecuaciones lineales (2) en términos de las proyecciones medidas. Muchas propiedades de la imagen reconstruida dependen de las aproximaciones cuando se calcula la matriz del sistema (2). En la práctica, A es una matriz rectangular, dispersa de gran tamaño y, por lo tanto, para su almacenamiento es recomendable utilizar formatos del tipo Compact Sparse Row (CSR) o Compact Sparse Column (CSC) que permiten almacenar sólo los elementos diferentes de cero en un formato muy compacto que reduce los requerimientos de memoria y por lo tanto permite disminuir el coste computacional. La matriz del sistema puede ser pre-calculada, solamente se calcula una vez, y es utilizada en cada combinación de proyecciones P, de esta forma se acelera el proceso de reconstrucción.

3 En el método Expectation Maximization, primero se define la función objetivo y después se optimiza. Se considera que el ruido en las proyecciones sigue la distribución de Poisson [8]. A. Maximum Likelihood Expectation Maximization para la tomografía de transmición (MLEM). El proceso MLEM busca la imagen que hace más probables de ocurrir los datos experimentales. La idea básica de este algoritmo es como sigue: dado un conjunto de datos experimentales y, encontrar la distribución del coeficiente lineal de atenuación µ que maximiza la probabilidad P(µ/y) [10]. Las iteraciones en MLEM se escriben como: m x k+1 k p i A ij j = x j " m, (3) i=1 x k i A ij " i=1! donde x = { x j j = 1, 2,..., n 2 } es el vector que representa la imagen de n 2 píxeles, { } representa las proyecciones, p =! p i i = 1, 2,..., m A = { A ij }es la matriz de sistema de mxn 2, cuyos elementos dan la proporción del rayo i a través del pixel j. MLEM es un algoritmo robusto! numéricamente y permite incorporar la información previa de una forma fácil.! B. Least Square QR method (LSQR). El Segundo algoritmo empleado para resolver el sistema de ecuaciones (2) es el algoritmo iterativo Least Square QR (LSQR) [11]. Con este método, el sistema (2) se resuelve minimizando el error: min Ax P 2. La matriz A es normalmente muy grande y dispersa y se usa solo para calcular los productos de la forma Av and A T u para varios vectores v y u. A puede ser calculada de diferentes maneras. En este trabajo, hemos usado el algoritmo de Siddon [12] para generar elementos de la matriz en una malla rectangular. En [13] se muestra que este algoritmo da una buena aproximación de la matriz A. 3.- Implementación en una Tarjeta GPU Para definir la plataforma para llevar a cabo el computo ayuda entender que las operaciones envueltas en el computo son operaciones basadas en pixel y/o voxel y tienen poca dependencia. Unas de las plataformas más apropiada para este tipo de computación son las GPUs. Las unidades de procesamiento gráfico como NVIDIA Tesla K20c se han utilizado en el experimento. Estas tarjetas tienen en total 2496 cuda cores con 5GB de memoria compartida por todos los cores. La utilización de las GPUs con la habilidad de computación paralela puede elevar considerablemente la eficiencia de cómputo de los algoritmos. Asimismo, NVIDIA introduce un nuevo modelo de programación CUDAT [14] que proporciona una forma de resolución de muchos problemas complejos en una forma más eficiente que en CPU. También hemos utilizado las librerías CUBLAS [15] y CUSPARSE [16] que permiten acceder a los recursos computacionales de las unidades de procesamiento grafico de NVIDIA. La librería CUBLAS es la implementación de BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) en CUDA runtime. La librería CUSPARSE incluye el conjunto de rutinas de algebra lineal para efectuar operaciones entre matrices y vectores dispersas así como las rutinas de conversión entre diferentes formatos de matrices

4 dispersas. 4.- Resultados En el experimento, hemos analizado dos algoritmos iterativos (LSQR y MLEM) implementados en una sola unidad GPU. Hemos utilizado las proyecciones reales e imágenes de referencia adquiridos en el Hospital Clínico Universitario en Valencia. Las proyecciones fueron recolectadas por un escáner con 512 detectores en el rango con espacio angular de 0.9 grados. Utilizando la estructura de la matriz, el conjunto dado de proyecciones fue completado hasta 360 grados. Para analizar la capacidad de los algoritmos iterativos de reconstruir imágenes por menor número de proyecciones, del conjunto inicial fueron derivados subconjuntos de proyecciones (con el paso angular de 0.9, 1.8, and 3.6 grados). Los experimentos se han procesado en el sistema gpu.dsic.upv.es, que se caracteriza por disponer de CPUs de 2.6 GHz y tarjetas NVIDIA TESLA K20c GPU que pertenece al Departamento de Sistemas y Computación de la Universidad Politécnica da Valencia. Para las imágenes de tamaños 256x256 y 512x512 píxeles se proporcionan en la tabla 1 los tiempos de reconstrucción en una CPU con 1 core y en una sola unidad de GPU. La desviación estándar de los resultados al correr la aplicación diez veces es de 2.9e-004. En la matriz del sistema, el número de filas se obtiene multiplicando el número de detectores y ángulos utilizados y corresponde al número de proyecciones utilizados para reconstruir la imagen; el número de columnas corresponde a la resolución de la imagen (256x256 and 512x512 píxeles). Tabla 1. Tiempo de reconstrucción (en segundos) con LSQR en CPU y GPU Matriz del sistema (filas x columnas) CPU (un core) GPU (una unidad) (256x100) x (256x256) (256x200) (256x256) (256x400) x (256x256) (512x100) x (512x512) (512x200) x (512x512) Una iteración por el algoritmo MLEM requiere 132 segundos. Comparado con LSQR (1,1 segundo por iteración), se puede concluir que el proceso de reconstrucción con LSQR es mucho más rápido. En Fig. 1 se presentan las imágenes (512x512 píxeles) reconstruidas por los algoritmos LSQR y MLEM. La implementación del algoritmo LSQR acelera la reconstrucción hasta 30 veces comparado con CPU con la calidad de imagen comparativamente aceptable. Para la comparación cualitativa entre las imágenes de referencia (I 1 ) y reconstruidas (I 2 ) hemos utilizado las siguientes funciones:

5 Mean square error: MSE = Peak signal-to-noise ratio: n n i= 1 j= 1 [ I 1 ( i, j) I 2 ( i, j)] 2 1 MAX I PSNR = log10, nn MSE donde n corresponde a la resolución (nxn píxeles) de la imagen reconstruida, MAX I es el valor máximo posible del pixel de la imagen. 2, Fig. 1. Imágenes reconstruidas: a) imagen de referencia, b) reconstrucción LSQR, c) reconstrucción MLEM Los resultados de la comparación cuantitativa de la calidad de la imagen reconstruida con la imagen de referencia se dan en Tabla 2. Estos resultados muestran que el algoritmo LSQR es capaz de reconstruir imágenes de buena calidad.

6 Tabla 2. Comparación cuantitativa de imágenes reconstruidas por LSQR y MLEM Imagen 256x256 MSE PSNR Reconstrucción LSQR Reconstrucción MLEM Conclusiones En este trabajo hemos analizado la posibilidad de reconstruir imágenes médicas comparando dos métodos iterativos. Los resultados muestran la capacidad del método LSQR de reconstruir la estructura interna de un objeto por menor número de proyecciones con la calidad comparativa aceptable. Esto puede llevar a la posibilidad de disminuir el tiempo de radiación en pacientes. El algoritmo LSQR es capaz de reconstruir imágenes sin la necesidad de tener un conjunto de proyecciones completas y con el bajo costo computacional. Aunque MLEM es uno de los algoritmos estadísticos más utilizados, los resultados muestran que nuestra implementación no es satisfactoria. Nosotros seguimos trabajando en mejorar la implementación del algoritmo y también esperamos los resultados más significativos en la reconstrucción 3D donde está envuelto un gran número de cómputo. Referencias [1] R. S. Deans, The Radon transform and some of its applications. Dover Publications, INC. Mineola, New York, [2] G. Wang, H.Yu, and B. De Man, An outlook on X-ray CT research and development. Medical Physics, 35(3): , Mar [3] Stone S. S., Haldar J. P., Tsao S.C., Hwu W.-m W., Sutton B. P., Liang Z. P., Accelerating advanced MRI reconstructions on GPUs. Journal of Parallel and Distributed Computing, vol. 68, issue 10, [4] Johnson C.A., Sofer. A., A data-parallel algorithm for iterative tomographic image reconstruction. Frontiers of Massively Parallel Computation, pp [5] Pratx G., Chinn G., Olcott P.D., Levin C. S., Fast, Accurate and Shift-Varying Line Projections for Iterative Reconstruction Using the GPU. IEEE Transactions on Medical Imaging, 28(3), pp [6] Jang B, Kaeli D., Do S., Pien H., Multi GPU implementation of iterative tomographic reconstruction algorithms. Biomedical Imaging: From Nano to Macro, pp [7] Flores L., Vidal V., Mayo P., Rodenas F., Verdú G. Iterative reconstruction of CT images with PETSc. BMEI 2011; vol. 1 p [8] Flores L.,Vidal V., Mayo P., Rodenas F., Verdú G., Fast parallel algorithm for CT image reconstruction. Proceedings of the IEEE EMBC, p , [9] Herman, G. T. Fundamentals of computerized tomography: Image reconstruction from projection. 2nd ed. Springer; [10] L. A. Shepp and Y. Vardi, Maximum Likelihood Reconstruction for Emission Tomography. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. MI-1, NO. 2, October 1982 [11] Paige C. C. and Saunders M. A., LSQR: An Algorithm for Sparse Linear Equations and Sparse Least Squares, ACM Trans. Math. Sof., 8, 1, p [12] Siddon R.. Fast calculation of the exact radiological path length for a three dimensional CT array. Med. Phys. 1985; 12: p [13] T. Cibeles Mora Mora, Tesis PhD. Métodos de reconstrucción volumétrica algebraica de imágenes tomográficas, [14] Cuda C Programming Guide. Downloaded in Oct from URL [15] CUBLAS Library. Downloaded in Oct from URL [16] CUSPARSE Library. Downloaded in Oct from URL