Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

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1 Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto sus propiedades Las secciones de las que consta el tema son: Sección 41: Producto escalar en R n Sección 4: Método de Gram-Schmidt Sección 43: Proyección ortogonal Sección 44: Isometrías Sección 45: Transformaciones del plano y del espacio Sección 46: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones 41 Producto escalar en R n A continuación generalizamos la noción de producto escalar Definición 411 Sean v = a 1,,a n, w = b 1,,b n dos vectores de R n, llamaremos producto escalar usual de v y w al número real: v w = a 1 b a n b n Si veis los vectores como matrices fila, daros cuenta de la siguiente igualdad: b 1 v }{{} w = a 1 b a n b n = a 1, a,,a n b = } v {{ wt } notación vectorial b n notación matricial 9

2 30 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Por tanto las propiedades del producto escalar son semejantes a las del producto de matrices con una diferencia: el producto escalar sí es conmutativo Propiedades Se verifica 1 vu = uv vu + w = vu + vw 3 r vu = r vu con r R De igual manera se generaliza la noción de módulo de un vector Definición 41 Se llama longitud módulo o norma del vector v = a 1,,a n R n a v = v v = a a n Propiedades Se verifica 1 v 0 v = 0 v = 0 3 r v = r v con r R Una vez que hemos definido la longitud de un vector, la distancia entre dos vectores u y v viene definida por la longitud de vector de su resta, distu, v = u v Observad que si u y v pertenecen a la misma recta, la longitud u v no es más que la distancia normal uni dimensional que hay entre ellos 411 Pitágoras y ángulos En esta sección vamos a presentar propiedades que quizá no hayáis visto en bachillerato Empecemos por la desigualdad de Cauchy Schwarz: sean u y w dos vectores de R n, entonces u w u w Existe una demostración geométrica que veremos más adelante Sin embargo, podemos llegar al resultado simplemente haciendo cuentas Supongamos que n =, u = a, b y w = x, y Entonces u w u w = a + b x + y ax + by = ay bx 0,

3 41 PRODUCTO ESCALAR EN R N 31 teniendo la desigualdad Si n es un número cualquiera, u = a 1,,a n y w = x 1,,x n Entonces y 1 u w u w = 1 i<j n Cuándo tendremos u w = u w? Observad que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, a i x j a j x i 0, u w u w toma valores entre -1 Definición 413 Se llama ángulo formado por dos vectores u y w de R n al ángulo α [0, π] tal que cos α = u w u w Además, la desigualdad de Cauchy Schwarz nos lleva a la desigualdad triangular: La demostración es realmente sencilla: u + w u + w u + w = u + w + uw Cauchy Schwarz {}}{ u + w + u w = u + w Si estudiáis esta demostración, daréis con el Teorema de Pitágoras para R n : u + w = u + w uw = 0 41 Vectores ortogonales y ortonormales Probablemente el Teorema de Pitágoras os haya recordado la definición de vectores ortogonales Definición 414 Dos vectores no nulos v, w R n se dice que son ortogonales si v w = 0 Con lo cual, v, w son ortogonales si y solamente si v + w = v + w, Definición Un conjunto de vectores no nulos se dice ortogonal si los vectores que lo componen son ortogonales dos a dos Un vector v se dice unitario si v = 1 3 Un conjunto de vectores unitarios que sea ortogonal se dice que es ortonormal

4 3 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR El siguiente resultado os explica una de las razones del porqué en R 3, a la hora de elegir una base, es aconsejable elegir vectores ortogonales de antemano Proposición 411 Si {v 1,,v n } son ortogonales entonces son linealmente independientes Demostración Como son ortogonales, son no nulos Supongamos que uno de ellos fuera combinación lineal de los demás, por ejemplo v n = t 1 v 1 ++ t n v n 1 Entonces, si multiplicamos por v n tendríamos que v n v n = t 1 v 1 v n + + t n 1 v n 1 v n Pero, como son ortogonales, v 1 v n = 0,,v n 1 v n = 0 Por lo tanto: v n = v n v n = t 1 v 1 v n + + t n 1 v n 1 v n = = 0 Luego v n = 0, lo que no es posible porque v n era no nulo Definición 416 Una base ortogonal {v 1,,v n } resp ortonormal es un conjunto de vectores que es base y ortogonal resp ortonormal Si tenemos una base ortogonal B, y un vector v, entonces automáticamente tenemos las coordenadas de v respecto B Si v = t 1 v t n v n 1 = t 1,,t n B, entonces vv i = t i v i v i t i = vv i v i v i 41 Si la base B es ortonormal, entonces la coordenada i ésima viene dada por t i = vv i Sin duda, el ejemplo más sencillo de base ortonormal es la base canónica 4 Método de Gram Schmidt Suponed que tenéis un conjunto linealmente independiente de vectores de R n, {v 1,,v m } y queréis trabajar en el espacio que genera Entonces lo mejor es conseguir un conjunto ortonormal {w 1,,w m } de modo que v 1,,v m = w 1,,w m El método que hay que seguir se denomina Método de Gram Schmidt y consiste en los siguientes dos pasos Paso 1 Calculo u 1,,u m ortogonales, tal que v 1,,v m = u 1,,u m : u 1 = v 1, u = v + λ 1 u 1, con la condición u 1 u = 0 Entonces λ = v u 1 u 1

5 43 PROYECCIÓN ORTOGONAL 33 u 3 = v 3 + β 1 u 1 + β u con la condición u 1 u 3 = u u 3 = 0 Entonces β 1 = v 3 u 1 u 1, β = v 3 u u 1 u k = v k +γ 1 u 1 +γ u ++γ k 1 u k 1, donde los γ i se eligen de forma que u i u k = 0 Por lo tanto, γ i = v k u i u i Paso Normalizar cada u i : w i = u i u i Por qué v 1,,v m = w 1,,w m? Si el conjunto de partida ya es ortonormal y aplicáis Gram Schmidt, vais a obtener los mismos vectores Por qué? Es importante darse cuenta de que si B = {w 1,,w n } es una base ortonormal, por un lado, P BC = w 1 w n Por otro, w 1 w n w 1 w n = I n Entonces P CB = P 1 BC = P t BC Es decir, la inversa de P BC es su traspuesta Las matrices que cumplen esta propiedad se denominan matrices ortogonales Más adelante veremos la utilidad de estas matrices Una vez llegado a este punto, os recomendamos leer o volver a leer la construcción de la flor descrita en el documento Introducción del Tema 4 43 Proyección ortogonal Definición 431 Sea W un subespacio de R n Se llama complemento ortogonal de W a los vectores perpendiculares a W, es decir, W = {v R n /v w = 0, w W }

6 34 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Comprueba que W W = 0 Como el conjunto W es un subespacio de R n, tendrá su base y dimensión Dada una base de W, tenemos de forma inmediata el subespacio W definido en implícitas: W = w 1,,w k W = x 1,,x n tal que w 1 x 1,,x n = 0 w k x 1,,x n = 0 Con lo cual, ya sabemos calcular el complemento ortogonal Ejemplo 431 Consideremos el plano en R del Ejemplo 16, W = 1,, 1,, 3, 1 Su complemento ortogonal vendrá dado por: { }} { }} W 1,, 1 x, y, z = 0 x + y z = 0 = x, y, z = x, y, z,, 3, 1 x, y, z = 0 x + 3y + z = 0 que es la recta definida por el vector director 5, 3, 1 En la siguiente figura aparece dibujado dicho vector en rojo y el plano en azul

7 43 PROYECCIÓN ORTOGONAL 35 Centrémonos ahora en su significado Primero calculamos una base ortogonal de W aplicando Gram-Schmidt A continuación, la ampliamos a una base de R n Finalmente esta base la hacemos también ortogonal y la denotamos B = {v 1,,v t, v t+1,,v n } Entonces, {v 1,,v t } : basedew, {v t+1,,v n } : basedew {v 1,,v t, v t+1,,v n } : basede R n Esto quiere decir que W y W se complementan, y por ello W se denomina complemento ortogonal En otras palabras, W W = R n Así cualquier vector v de R n, v = t 1,,t n B se descompone en dos, un vector de W y otro vector perpendicular a W: v = w 1 + w, w 1 W, w W, w 1 = t 1 v t k v k, w = t k+1 v k t n v n Definición 43 Al vector w 1 = t 1 v t k v k se denomina proyección ortogonal de v sobre W La denotaremos por proy W v Daros cuenta entonces de que: 1 v = w 1 + w = proy W v + proy W v Para todo v W, proy W v = v 3 Para todo v W, proy W v = 0 Como consecuencia de lo visto hasta ahora, obtenemos el siguiente resultado Corolario 431 Si {u 1,,u k } es una base ortonormal de W entonces: 1 Notación vectorial de proy W v: proy W v = v u 1 u v u k u k, v R n Notación matricial de proy W v: Sea U = u 1 u k, entonces proy Wv = U U t v

8 36 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Demostración El primer punto es consecuencia de la ecuación 41 El segundo punto es consecuencia del desarrollo matricial del primero, v u 1 proy W v = v u 1 u v u k u k = U = U U t ṿ v u k Por último: Proposición 431 El vector w 1 es el vector de W más cercano a v, en el sentido de que es el que hace mínima la distancia v w, con w W Demostración Es una consecuencia directa del Teorema de Pitágoras Además, como w 1 y w son perpendiculares, v = w 1 + w, en particular v w 1, por lo que v w 1 Es decir, la longitud de un vector siempre es mayor o igual que la de su proyección ortogonal sobre cualquier subespacio Ejemplo 43 Retomemos el Ejemplo 431 En R 3, tenemos el plano W = 1,, 1, junto su complemento ortogonal una recta, W =< 5, 3, 1 > Dado v = 4,,, calculemos proy W v y proy W v tal que v = proy W v + proy W v Los pasos son los siguientes: 1 Calcular una base ortonormal de W por el proceso de Gram Schmidt Denotemos dicha base por B = {w 1, w } proy W v = U U t v, donde U es la matriz que tiene por columnas la base B 3 proy W v = v proy W v Desarrollemos cada punto: 1 Base ortonormal de W por el proceso de Gram Schmidt Siguiendo la notación de la Sección 4, hallemos primero una base ortogonal: u 1 = 1,, 1, u =, 3, ,, 1 = 6, 3, 13 6 A continuación, la ortonormalizamos obteniendo: 1 w 1 = 6,, 1, w = , 4 10, 13 10

9 43 PROYECCIÓN ORTOGONAL 37 proy W v = U U t v: La matriz U viene dada por = }{{} racionalizamos Entonces, proy W v = U U t v = = proy W v = v proy W v = 4,, 0, 5, 6 5 = 4, 1 5, 4 5 La siguiente figura muestra la descomposición de v en dos vectores, uno en el plano W y otro en W El plano está dibujado W en azul, su ortogonal en rojo, el vector v en verde y sus proyecciones en naranja

10 38 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Una vez llegado a este punto, os recomendamos leer o volver a leer la sección Iluminación de objetos del documento Introducción del Tema 4 44 Isometrías Si una aplicación lineal no modifica las longitudes, podemos imaginar cómo son las imágenes de ciertos objetos A estas aplicaciones se denominan isometrías Definición 441 Una aplicación lineal f : R n R m es una isometría si conserva el producto escalar, es decir, si u, v R n se verifica que u v = fu fv Otras definiciones de isometría son: Aplicación que conserva longitudes, es decir, u = fu

11 45 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN R Y R 3 39 Aplicación donde la imagen de la base canónica sigue siendo un conjunto ortonormal Como consecuencia del punto anterior, aplicación definida por una matriz A = M CC f ortogonal Es decir, A t A = I n Es importante retener los siguientes puntos: 1 Una aplicación lineal ortogonal es inyectiva Si fv = 0 fv = 0 = v v = 0 kerf = 0 No tiene que ser biyectiva Si n = m, sí es biyectiva; si n < m, no es biyectiva 3 En particular, un cambio de base entre dos bases ortonormales es una aplicación ortogonal 45 Transformaciones geométricas en R y R 3 En esta sección presentamos las principales transformaciones geométricas del plano y del espacio 451 Transformaciones en el plano Las transformaciones del plano se dividen en: proyecciones ortogonales sobre una recta, simetrías respecto una recta, giros alrededor del origen Para cada una de ellas vamos a ver cómo se construye su matriz asociada Proyección ortogonal sobre la recta de ecuación ax + by = 0 Denotemos f p la aplicación de proyección ortogonal sobre la recta r : ax + by = 0, tal que f p v = proy r v Consideremos la base de R formada por el vector director de la recta b, a y el vector perpendicular a la recta a, b Normalizando, obtenemos la siguiente base de R B = { b v 1 = a + b, a, v = a + b a a + b, } b a + b Como f p v 1 = v 1 y f p v = 0, 0, la matriz de f asociada a la base B viene dada por 1 0 M BB f p = 0 0

12 40 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Ahora, aplicando la teoría matricial sobre los cambios de base, tenemos que M CC f p = P BC M BB f p P CB, donde P BC = b a a b, P CB = P 1 BC = P t BC = b a a b Así M CC f p = b a a b b a a b == b ab ab a 4 Veamos que aplicando la metodología de la Sección 43, obtenemos la misma matriz Sea U la matriz formad por la base ortonormal de la recta, U = b a entonces proy r v = U U t v Verificad que la matriz U U t es exactamente la matriz 4 Observad que los vectores de la recta dada < b, a > permanecen fijos, es decir, para v < b, a >, fv = v En cambio, esta aplicación no es una isometría Por ejemplo, a, b 0, 0, f p a, b = 0, 0 y fa, b 0 De hecho, la imagen de la proyección sobre la recta es la propia recta y no todo R Simetría respecto a la recta de ecuación ax + by = 0 Denotemos por f s la aplicación de simetría tal que f s v = f p v v Utilizando esta definición de la aplicación, la matriz que la define será M CC f p I Aún así, vamos a seguir una razonamiento análogo al anterior para deducir la matriz Consideremos la base de R formada por el vector director de la recta b, a y el vector perpendicular a la recta a, b Normalizando obtenemos la base ortonormal del plano B = { b v 1 = a + b, a, v = a + b, a a + b, } b a + b Entonces, f s v 1 = v 1 y f s v = v Por lo tanto, la matriz de f asociada a la base B viene dada por 1 0 M BB f s = 0 1 Ahora, aplicando la teoría matricial sobre los cambios de base, tenemos que M CC f s = P BC M BB f s P CB,

13 45 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN R Y R 3 41 donde P BC = b a a b, P CB = P 1 BC = P t BC = b a a b Así M CC f s = b a a b b a a b = b a ab ab a b 43 Observad que los vectores de la recta dada < b, a > permanecen fijos, es decir, para v < b, a >, fv = v Si v / < b, a >, entonces fv v, sabrías decir por qué? Por otro lado, esta transformación es una isometría porque no modifica las longitudes Más concretamente, v = f s x Ejemplo 451 Veamos la simetría respecto la recta x = y El método consta sólo de dos pasos: 1 Hallar una base ortonormal, definida por el vector normal de la recta y su perpendicular Hacer la multiplicación de la Igualdad 43 Desarrollemos cada punto: 1 El vector director de la recta es 1, 1 y el de su complemento ortogonal 1, 1 Si los normalizamos, obtenemos B = { 1 1,, 1, 1 } M CC f s = = La matriz podríamos haberla deducido directamente, pues es fácil de observar que f s 1, 0 = 0, 1 y f s 0, 1 = 1, 0 Observad que para hallar la imagen de un vector tan sólo hay que intercambiar sus coordenadas Gráficamente, veamos cómo f s transforma la casa dibujada en la portada del libro de G Strang Recordad que la casa venía definida por las coordenadas 6, 7, 6,, 7, 1, 7, 1, 0, 8, 6, 7, 6,, 0,, 0, 7, 3, 7 y 3,,

14 4 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Entonces, para calcular su imagen, calculamos la imágenes de las coordenadas, las unimos de nuevo y obtenemos la siguiente figura: Giro alrededor del origen de ángulo α Denotemos f g la aplicación de giro alrededor del origen de un ángulo α dado tal que, para v R, fv es el vector que resulta de girar v un ángulo de α grados

15 45 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN R Y R 3 43 La matriz de f g asociada a la base canónica vendrá definida por las imágenes de 1, 0, 0, 1 Éstas son las siguientes: Por lo tanto f g 1, 0 = cosα, senα, f g 0, 1 = senα, cosα cosα, senα M CC f g = senα cos α Observad que el único vector que permanece fijo es el origen 0, 0 Además, esta aplicación es una isometría porque al girar no modificamos longitudes Esto equivale a decir que f g 0, 1 y f g 1, 0 permanecen siendo ortogonales y unitarios Ejemplo 45 Sea α = 90 = 70 Entonces la matriz de giro es cos 70, sen M CC f = = sen70 cos Consideremos de nuevo la casa dibujada en la portada del libro de G Strang Entonces, si le aplicamos el giro, queda de la siguiente manera: Comparad, aunque sea sólo por curiosidad, esta imagen con la imagen de la simetría respecto la recta x = y Una vez vistos los giros, os recomendamos leer o volver a leer la construcción de los pétalos de la flor descrita en el documento Introducción del Tema 4

16 44 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR 45 Transformaciones en el espacio De forma análoga, vamos a considerar en R 3 las siguientes transformaciones: 1 proyección ortogonal sobre un plano, simetría respecto un plano, 3 proyección ortogonal sobre una recta, 4 simetría respecto una recta, 5 giro de ángulo α de una recta que pasa por el origen Para cada una de ellas vamos a ver cómo se construye su matriz asociada Proyección sobre un plano ax + by + cz = 0 Denotemos por fp π la aplicación de proyección ortogonal al plano π : ax+by +cz = 0, tal que para v R 3, fp πv = proy πv Consideremos ahora una base ortonormal del plano {v 1, v }, que calculamos partiendo de una base del plano y aplicándo Gram-Schmidt A esta base le añadimos el vector unitario ortogonal al plano, a v 3 = a, b +b +c a, c +b +c a, +b +c obteniendo una base B ortonormal de R 3 Fijaros que la ecuación implícita de π nos dice que su complemento ortogonal es la recta π = a, b, c Como fp πv 1 = v 1, fp πv = v, fp πv 3 = 0, la matriz de fp π asociada a B viene dada por Por consiguiente, M BB fp π = M CC f π P = P BC M BB f π PP CB, 44 donde las columnas de P BC vienen definidas por los vectores de B y, debido a que B es ortonormal, P CB = P 1 BC = P BC t Del mismo modo que ocurría en el plano, aplicando la metodología de la Sección 43, obtenemos la misma matriz Sea U la matriz formad por la base ortonormal del plano v 1, v, U = v 1 v,

17 45 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN R Y R 3 45 entonces proy π v = U U t v Verificad que la matriz U U t es exactamente la matriz 44 Observad que los vectores del plano π permanecen fijos, es decir, para v π, fv = v En cambio, esta aplicación no es una isometría Por ejemplo, a, b, c 0, 0, 0, f P a, b, c = 0, 0 y f P a, b, c = 0 De hecho, la imagen de la proyección sobre el plano es el propio plano y no todo R 3 Simetría respecto a un plano ax + by + cz = 0 Denotemos por fs π la aplicación de simetría respecto al plano π : ax + by + cz = 0, tal que fs πv = proy πv v Utilizando esta definición de la aplicación, la matriz que la define será M CC fp π I Aún así, vamos a seguir una razonamiento análogo al anterior para deducir la matriz Como antes, tomemos una base ortonormal del plano {v 1, v }, añadimos el vector unitario perpendicular al plano, a v 3 = a, b +b +c a, c +b +c a, +b +c obteniendo una base B ortonormal de R 3 Como fs πv 1 = v 1, fs πv = v, fs πv 3 = v 3, entonces M BB fs π = Así tenemos M CC f π S = P BC M BB f π SP CB = P BC M BB f π SP t BC Observad que los vectores del plano son los únicos que permanecen fijos, es decir, para v π, fs π v = v Por otro lado, esta transformación es una isometría porque no modifica las longitudes Más concretamente, v = fs π x para todo v Os habéis dado cuenta de que f π S v = proy πv v = v proy π v? Ejemplo 453 Consideremos el plano π : x = y Hallemos la matriz M CC fs π Siguiendo la metodología descrita, pasos a dar en el problema son: 1 calcular base ortonormal del plano; calcular vector unitario de su complemento ortonormal; 3 multiplicamos M CC f π S = P BCM BB f π S P t BC Desarrollemos dichos pasos 1 Una base ortonormal del plano viene dada por v 1 = 1 1,, 0, v = 0, 0, 1

18 46 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR 1 El complemento ortonormal es la recta r = 1, 1, 0, por lo que v 3 =, 1, 0 3 Así, M CC fs π = t = Geométricamente, consideremos por ejemplo el cubo definido por los puntos, 3, 1,, 4, 1,, 4,,, 3,, 1, 3,, 1, 4,, 1, 4, 1 y 1, 3, 1, el cubo rojo de la figura que aparece a continuación Si hacemos su imagen por simetría, obtenemos el cubo verde

19 45 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN R Y R 3 47 Proyección sobre una recta Sea r = a, b, c una recta en el espacio y a la vez espacio vectorial pasa por el origen Denotemos por fp r la aplicación de proyección ortogonal sobre la recta, tal que para v R 3, fp r v = proy rv

20 48 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Tomemos el vector director unitario de la recta v 1, a b c v 1 = a + b + c, a + b + c,, a + b + c y lo completamos a una base B ortonormal de R 3 Como fp r v 1 = v 1, fp r v = 0, fp r v 3 = 0, tenemos M BB fp r = Así, siguiendo el mismo razonamiento que en secciones anteriores, M CC f r P = P BC M BB f r PP CB = P BC M BB f r PP t BC 45 Del mismo modo que ocurría en el plano, aplicando la metodología de la Sección 43, obtenemos la misma matriz Sea U la matriz formad por v 1, U = a +c b +c c +c entonces proy π v = U U t v Verificad que la matriz U U t es exactamente la matriz 45 Observad que los vectores de la recta r permanecen fijos, es decir, para v r, fv = v En cambio, esta aplicación no es una isometría Por ejemplo, la imagen del plano ax + by + cz = 0, complemento ortogonal de la recta, es 0, Os habéis dado cuenta de que f r P v = v proy r v? Simetría respecto a una recta Sea r = a, b, c una recta en el espacio y a la vez espacio vectorial pasa por el origen Denotemos por fs r la aplicación de simetría respecto a r, tal que fr S v = proy rv v Utilizando esta definición de la aplicación, la matriz que la define será M CC f P I Aún así, vamos a seguir una razonamiento análogo al anterior para deducir la matriz Tomemos el vector unitario de la recta v 1 y lo completamos a una base B ortonormal de R 3 Entonces, como fs rv 1 = v 1, fs rv = v, fs rv 3 = v 3, tenemos M BB fs r = Así M CC fs r = P BCM BB fs rp CB = P BC M BB fs rp BC t Observad que los vectores de la recta son los únicos que permanecen fijos Por otro lado, esta transformación es una isometría porque no modifica las longitudes Más concretamente, v = fs r x para todo v Os habéis dado cuenta de que fs rv = proy rv v = v proy r v?

21 45 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN R Y R 3 49 Giro de ángulo α alrededor de una recta que pasa por el origen Sea r = a, b, c una recta en el espacio y a la vez espacio vectorial pasa por el origen Denotemos por f G la aplicación de giro respecto a r de ángulo α Para hallar la matriz que la define, tomemos el vector unitario de la recta v 1 y lo completamos a una base B ortonormal de R 3 Entonces, tenemos f G v 1 = v 1, f G v = cosαv + senα v 3, f G v 3 = senα v + cosαv 3 Por tanto M BB f G = cos α senα 0 senα cos α Ahora, como en las transformaciones anteriores, M CC f G = P BC M BB f G P CB = P BC M BB f G P t BC 453 Traslaciones Una traslación o desplazamiento de vector a, b, c tiene por ecuación Tx, y, z = x + a, y + b, z + c Geométricamente equivale a sumar a cada vector del espacio el vector a, b, c Dichas transformaciones no son lineales, pero permiten calcular algunas transformaciones útiles en el plano y en el espacio Por ejemplo, si queremos hacer una simetría respecto a el plano π : ax + by + cz = d, con d 0 por lo que no pasa por el origen, ya no es válida la construcción descrita en la sección anterior La idea consiste en trasladar el plano al origen, hacer la simetría y volver al lugar del plano en el espacio Se hace en tres pasos: 1 Trasladamos el plano π al origen Para ello calculamos un punto a 0, b 0, c 0 del plano y tomamos como traslación T 1 x, y, z = x a 0, y b 0, z c 0 El plano trasladado es ahora ax+by +cz = 0 Calculamos ahora la simetría respecto a este plano 3 Devolvemos el plano a su posición mediante la traslación inversa T x, y, z = x + a 0, y + b 0, z + c 0 El mismo método se puede seguir para calcular cualquier tipo de simetrías, proyecciones o giros alrededor de puntos, rectas o planos que no pasen por el origen

22 50 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR 46 Aproximación por mínimos cuadrados Al principio de este curso, estudiar la resolución de un sistema de ecuaciones lineales como el que aparece a continuación, a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b, 46 a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m equivalía a saber si existe solución, y si es así, calcularla Basta aplicar Gauss a la matriz ampliada A b y aplicar el teorema de Rouché Fröbenius Pero a estas alturas del curso, el problema lo podemos plantear de forma diferente: Estudiar la resolución de un sistema de ecuaciones lineales equivale a estudiar si el vector independiente b 1,,b m pertenece al subespacio vectorial ImA Supongamos ahora que tenemos un sistema Ax = b incompatible Cuál será el vector de la forma Ax más cercano a b? Esto nos daría una solución aproximada del sistema La respuesta es fácil: la proyección ortogonal del vector b al subespacio ImA Fijaros que si proy ImA b = y, entonces existe un vector x tal que A x = y, y b = A x b = mín Ax b x Rn Por lo tanto, lo visto en las secciones anteriores nos sirve para encontrar una solución aproximada del sistema que se denomina solución por mínimos cuadrados Definición 461 Sea A M m n R, b R m Una solución por mínimos cuadrados del sistema Ax = b es encontrar x R n que haga mínima la distancia Ax b Si aplicamos la metodología explicada anteriormente, podríamos hallar una solución por mínimos cuadrados de un sistema incompatible siguiendo los siguientes pasos: 1 Calcula la proyección de b en el subespacio ImA La denotamos y Resuelve al sistema de ecuaciones Ax = y Sin embargo, el siguiente resultado proporciona un método que conlleva menos cálculo que el anterior Proposición 461 El conjunto de soluciones por mínimos cuadrados de Ax = b coincide con el conjunto de soluciones del sistema A t Ax = A t b

23 46 APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS 51 Demostración Decir que x es una solución por mínimos cuadrados del sistema Ax = b, equivale a decir que A x b es ortogonal ImA Entonces: A x b Im A A x b Ax = 0 x R n A t A x b x = 0 A t A x b = 0 A t A x = A t b A la hora de hacer problemas, tened en cuenta que: 1 El sistema A t Ax = A t b es siempre compatible La matriz A t A es cuadrada Puede demostrarse que es invertible si y sólo si las columnas de A son independientes En este caso hay algoritmos para calcular dicha inversa de forma eficiente Quizás el más conocido se basa en la descomposición QR 3 Se llama error de mínimos cuadrados a la distancia A x b, donde x es una solución en mínimos cuadrados del sistema 461 Ajuste de curvas La solución por mínimos cuadrados tiene numerosas aplicaciones al ajuste de datos Recta de regresión Suponed que tenemos n puntos disjuntos en el plano R, x 1, y 1,,x n, y n y queremos encontrar la recta y = cx + d que mejor se aproxime a esos puntos Este problema tiene solución única cuando todos los puntos pertenecen a la misma recta, hecho que no suele ocurrir Por tanto, se trata de encontrar la mejor solución del siguiente sistema: cx 1 + d = y 1 cx + d = y cx n + d = y n donde las incógnitas son c y d Si escribimos el sistema de forma matricial, tenemos: x 1 1 x 1 x n 1 c d = y 1 y y n

24 5 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Observad si tenemos 3 puntos que no pertenecen a la misma recta, el rango de la matriz de coeficientes es y el de la matriz ampliada es 3, por lo que el sistema es incompatible Entonces, aplicamos la proposición 461 para encontrar la solución por mínimos cuadrados, resolviendo el sistema asociado x1 x x n x 1 1 x 1 x n 1 c d = x1 x x n y 1 y y n Observad la facilidad de calcular una solución de este sistema, ya que consta de ecuaciones con dos incógnitas Ejemplo 461 Tenemos los puntos {, 1, 5,, 7, 3, 8, 3} y vamos a calcular su recta de regresión El sistema a resolver es el siguiente: c d = Una vez realizadas las operaciones, 14 4 c d = 57 9 La solución es: c = 5, d = 14 7 en la siguiente figura y la gráfica de la recta junto los puntos quedan reflejados

25 46 APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS Ajuste general de curvas Una modificación del método anterior sirve para ajustar datos a curvas que no sean rectas, en el sentido de buscar la curva de una determinada familia que se ajuste mejor a los puntos dados Supongamos, por ejemplo, que tenemos k funciones en x polinomios f 1 x,,f k x, y buscamos la mejor curva de la forma y = c 1 f 1 x + + c k f k x que se ajuste mejor a los puntos dados del plano x 1, y 1,,x n, y n Así, nos encontramos con el problema de resolver el siguiente sistema lineal c 1 f 1 x c k f k x 1 = y 1 c 1 f 1 x c k f k x 1 = y 1 c 1 f 1 x c k f k x 1 = y 1,

26 54 TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR que tiene como las incógnitas c 1,,c k La expresión matricial de este sistema es: f 1 x 1 f x 1 f k x 1 f 1 x f x f k x f 1 x n f x n f k x n c 1 c c k = y 1 y y n, que en la mayoría de los casos, habrá que resolver por mínimos cuadrados Por tanto, la ecuación auxiliar a resolver es f 1 x 1 f 1 x n f k x 1 f k x n f 1 x 1 f k x 1 f 1 x n f k x n c 1 c k = f 1 x 1 f 1 x n f k x 1 f k x n y 1 y n Ejemplo 46 Dados los puntos 1, 1,, 3, 3, 5, 4, 8, 5, 9, vamos a calcular la mejor curva de la forma y = ax + bx que se aproxime a los puntos dados El sistema a resolver es: a b = Una vez realizadas las operaciones, a b = La solución es: a = 33, b = en la siguiente figura y la gráfica de la curva junto los puntos quedan reflejados

27 46 APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS 55 Tras esta sección, comprenderéis mejor la sección Mínimos Cuadrados del documento Introducción del Tema 4

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

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