MÉTODO BASADO EN SUPERFICIES PARA LA SEGMENTACIÓN DE CEREBROS EN IMÁGENES VOLUMÉTRICAS DE RESONANCIA MAGNÉTICA

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1 III Congreso Internacional sobre Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas S. Gallegos, I. Herrera, S. Botello, F. Zárate, y G. Ayala (Editores) ITESM, Monterrey 2004 CIMNE, Barcelona 2004 MÉTODO BASADO EN SUPERFICIES PARA LA SEGMENTACIÓN DE CEREBROS EN IMÁGENES VOLUMÉTRICAS DE RESONANCIA MAGNÉTICA J. Peña, J. L. Marroquín y S. Botello Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT) Apdo. Postal 402, Guanajuato, Gto., C.P , México [joaquin, jlm, botello]@cimat.mx. Resumen. En este trabajo se describe un método para segmentar cerebros en imágenes volumétricas de resonancia magnética usando una superficie deformable que envuelve al cerebro de un espécimen. Contando con un atlas digital del cerebro, las mallas que envuelven a la superficie del cerebro y a los ojos en el atlas y un conjunto de rasgos que son extraídos en el atlas en los lugares en donde se localizan los vértices de estas mallas, es posible ajustar una malla a la superficie del cerebro en otros volúmenes de imágenes. Los resultados muestran que con el método propuesto puede obtenerse una mejor segmentación que con algunos otros algoritmos sin incrementar considerablemente el costo computacional. Palabras clave: Procesamiento de imágenes médicas, segmentación de cerebros, superficies deformables, correspondencia entre rasgos. 1 INTRODUCCIÓN La segmentación de cerebros en imágenes volumétricas es una tarea importante para el análisis de imágenes médicas. Esta segmentación elimina la complejidad que agregan las demás estructuras que aparecen en las imágenes y por ello es utilizada en algoritmos que localizan estructuras internas anatómicas y patológicas del cerebro, en el registro de imágenes, en la clasificación de voxeles en materia blanca, materia gris, y líquido cefalorraquídeo, entre otros. Además es usada en visualización para la planeación de cirugías. Para segmentar el cerebro de forma automática o semiautomática hay varias técnicas que se basan en el uso de operadores morfológicos, en regiones y agrupamiento, detección de bordes, etc. Las técnicas de segmentación de la corteza cerebral en imágenes de resonancia magnética (RM) se pueden clasificar en tres categorías 1,2 : las que están basadas en regiones, las que están basadas en fronteras o superficies, y las que combinan estos dos enfoques. Las primeras procesan cada imagen del volumen por separado mientras que los métodos del segundo tipo usan operadores tridimensionales. Un ejemplo de un método basado en regiones para segmentar cerebros en imágenes de RM de tipo T2 o PD es descrito en el trabajo de Atkins y Mackiewich 3, en el cual utilizan umbralización y operadores morfológicos para producir una máscara inicial del cerebro con la cual inicializan un contorno activo que se ajusta a la frontera del cerebro. Un método automático basado en superficies es el método BET 4, el cual no requiere preprocesar el volumen de imágenes. Este método coloca una la malla en el interior del cerebro e iterativamente la deforma

2 desplazando cada vértice v de la malla según la fuerza resultante de la suma de tres fuerzas locales f 1, f 2, y f 3 aplicadas sobre v. La fuerza f 1 trata de mantener a v equidistante de sus vértices vecinos más cercanos. f 2 se encarga se mantener la suavidad de la malla haciendo que v no se aleje demasiado de punto promedio de sus vecinos más cercanos. f 3 desplaza a v dependiendo de la información de tonos de gris en la imagen. Para calcular esta fuerza se toma una muestra de las intensidades en el interior de la malla cerca de v y se calcula un umbral t. Las intensidades menores que t se consideran que pertenecen al fondo de la imagen, de manera que si la intensidad del voxel que contiene a v es menor que t, f 3 dirige a v hacia el interior de la malla. De lo contrario, f 3 desplaza a v hacia el exterior. De esta forma, la malla se expande desde el interior del cerebro y se detiene hasta que alcanza la región obscura que rodea al cerebro (Figura 1). Dependiendo de la rigidez de la malla, los vértices que se detienen una zona obscura en el interior del cerebro pueden continuar avanzando si sus vértices vecinos continúan en movimiento. Figura 1 - Vistas en dirección sagital de la posición inicial y final de la superficie deformable. BET tiene buen desempeño en varias modalidades de imágenes de resonancia magnética y que la segmentación obtenida puede ser mejor que con otros métodos. BET no garantiza que la superficie final esté libre de auto-intersecciones, pero su principal desventaja es que no funciona bien cuando en el volumen hay zonas en las que no se distingue fácilmente los límites de la frontera del cerebro y las otras estructuras en la cabeza, ya que por la manera en que BET está diseñado, los vértices de la malla continúan moviéndose mientras que no alcancen una región que sea considerada como obscura, de modo que si las intensidades de una parte de la región que separa al cerebro de otra estructura son similares a las intensidades del cerebro, los vértices pueden pasar a través de esta región e invadir otras estructuras en la cabeza. Esto sucede en volúmenes formados por imágenes que son adquiridas con baja resolución en alguna de las tres direcciones del volumen. Aun en volúmenes de alta resolución no se puede evitar el ruido en las imágenes y los movimientos respiratorios de los pacientes durante el proceso de adquisión de las imágenes producen emborronamientos y la aparición de artefactos en las imágenes. Además puede haber distorsión geométrica y de intensidades debido a cambios de densidad en la cabeza 5. En la Figura 2 se muestra dos cortes de un volumen de la base de datos de RM de cerebros del Centro de Análisis Morfométrico del Hospital General de Massachussets 6. Puede verse que no es fácil diferenciar la zona que separa al cerebro de los ojos. Figura 2 - Vistas de un volumen en donde cada voxel corresponde a 3mm en la dirección sagital. La ultima imagen es una ampliación de la zona señalada en la imagen intermedia. Al aplicar el método BET a este volumen se obtienen resultados como los que se muestran en la Figura 3. Puede verse que la malla invadió los ojos. Además, en este volumen hay otras zonas más pequeñas que presentan la misma dificultad, de modo que si la malla se hace más fina, sus vértices pueden cruzar por estas

3 zonas e invaden otras regiones. Esto muestra que no se puede caracterizar la frontera del cerebro únicamente por la transición de los tonos de gris de claros a obscuros. Figura 3 - Errores que se pueden cometer con el método BET cuando no se tienen bien definidas las regiones que aíslan al cerebro. En este trabajo proponemos una metodología para segmentar el cerebro partiendo de la malla que se obtiene con método BET y utilizando información extraída de un atlas digital del cerebro, el cual es una representación anatómica que puede ser derivada de un conjunto de individuos 7. La idea es tomar como referencia un conjunto de rasgos que se calculan en puntos de interés sobre el atlas y desplazar los vértices en la malla en el volumen del espécimen de tal manera que alcancen una posición en donde los rasgos en ese lugar sean lo más parecidos a los rasgos en el atlas. En general, este trabajo trata de mejorar el criterio que determina el lugar en donde deben posicionarse los vértices de la malla en el volumen de imágenes. Pueden usarse otros algoritmos diferentes de BET para obtener una malla próxima a la superficie del cerebro y aplicar la metodología propuesta para corregirla. En este trabajo aplicamos BET porque la malla deformada se obtiene rápidamente, es correcta en varias zonas de la superficie del cerebro y podemos comparar directamente nuestros resultados con este método. En la siguiente sección se describen los rasgos utilizados. 2 EXTRACCIÓN DE RASGOS Los rasgos deben caracterizar una zona en el volumen de imágenes. Para este trabajo se seleccionaron dos tipos de rasgos: invariantes a rotaciones y derivadas direccionales. En cada vértice de la malla se calcula un vector cuyas componentes son rasgos de un mismo tipo. También es necesario especificar una función que mida la similitud entre dos vectores dados. En lo que sigue, se considera que el volumen de imágenes que está siendo procesado es descrito por la función f(x,y,z) que representa la intensidad en el punto (x,y,z), y que la métrica para los vectores es la norma Euclidiana. Momentos Los momentos dan una descripción global de un objeto en la imagen y a partir de éstos pueden derivarse otros rasgos 8. Si N r (v 0 )={(x,y,z) : (x,y,z)-v 0 <r} es la vecindad esférica de v 0 de radio r, los momentos centrales de orden (i+j+k) en el punto v 0 (x 0, y 0, z 0 ) de la imagen f(x,y,z) se definen como donde b(x,y,z) =0 si f(x,y,z) <t y b(x,y,z) =1 en caso contrario, para un umbral t. Puesto que los objetos pueden cambiar de posición, de orientación y de escala es importante determinar rasgos que no dependan de la transformación aplicada al objeto. Estos rasgos son llamados invariantes. En este trabajo usamos los invariantes a rotaciones de segundo orden J 1 (r)= m m m 002 J 2 (r)= m 200 m m 200 m m 020 m 002 (m 101 ) 2 - (m 110 ) 2 - (m 011 ) 2 J 3 (r)= m 200 m 020 m 002 m 002 (m 110 ) 2 2m 110 m 101 m 011 m 020 (m 101 ) 2 m 200 (m 011 ) 2

4 Para construir los vectores de rasgos procedemos como en el método HAMMER 9, pero sin hacer distinción entre los voxeles que pertenecen a la materia blanca, materia gris y líquido cefalorraquídeo, se toman diferentes radios de la vecindad del punto y se calcula un vector J de invariantes J = ( J 1 (r 1 ), J 2 (r 1 ), J 3 (r 1 ),..., J 1 (r n ), J 2 (r n ), J 3 (r n ) ) T Cada vector se normaliza para que sus componentes estén en el rango [0,1]. La medida de similaridad que compara dos vectores J=(J 1,..., J 3n ) y K=(K 1,..., K 3n ) es que toma valores en el intervalo [0,1], de manera que entre más cerca este su valor a 1, los vectores son más parecidos. En este trabajo se tomó r=7, 25 y 39, de manera que los vectores de rasgos formados por estos invariantes son de dimensión 9. Derivadas direccionales En lugar de calcular las derivadas directamente sobre la imagen f(x,y,z), es conveniente hacer estos cálculos sobre la imagen que resulta de aplicar a f un filtro que reduzca el ruido en la imagen. Tomando el filtro Gaussiano la imagen filtrada es (G σ *f)(x,y,z), donde * es el operador convolución. La derivada direccional de G σ *f en el punto (x,y,z) en la dirección del vector unitario u está dada por Para caracterizar una zona cercana al vértice v de la malla se define un conjunto N={n 1,..., n m }de vectores de dirección y un conjunto S={σ 1,..., σ s }de valores para el parámetro σ del filtro Gaussiano. Para cada σ є S y n є N se construye un vector de rasgos D σ,n = (d 1,..., d 2l+1 ) de dimensión 2l+1 donde (1) para i=1,..., 2l+1. Es decir, D σ,n es un vector normalizado de derivadas direccionales en la dirección n calculadas en puntos sobre el segmento que pasa por v de longitud 2l+1. El conjunto N se define calculando la normal exterior unitaria n de la malla en el vértice v, y seleccionando m- 1 vectores unitarios que forman un mismo ángulo con n y están uniformemente distribuidos alrededor de n (Figura 4). Figura 4 - A la izquierda se ilustra el conjunto N de vectores dirección. La grafica de la derecha muestra el perfil de cada vector D σ,n, El eje horizontal representa el índice de la componente que se está graficando y el eje vertical el valor de la componente del vector.

5 El conjunto {D σ,n } caracteriza la forma en que se comportan las derivadas direcciones cerca del vértice v. En la Figura 4 se muestran las gráficas de estos vectores en función del índice sus componentes para ilustrar que estos vectores pueden estar fuertemente correlacionados. Para sintetizar la información de este conjunto se aplica análisis de componentes principales 10,11. Con este método se obtiene un conjunto con menos vectores no correlacionados que explican la variabilidad de los vectores de rasgos en un modelo compacto que involucra al vector promedio D del conjunto {D σ,n }y a los eigenvectores {E j } de la matriz de covarianza del conjunto, de la siguiente manera con p<2l+1, w=(w 1,..., w p ) T y E la matriz cuyas columnas son los eigenvectores E j. Calculando el vector w para cada vector D σ,n se obtiene el rango de valores de cada componente del vector. Ahora, en lugar de comparar un vector F dado con todos los elementos del conjunto {D σ,n }, se puede calcular el vector w con sus componentes restringidas al rango de valores establecido de manera que D+Ew sea lo más parecido a la proyección de F sobre el conjunto {D σ,n }. De esta forma, D+Ew aproxima al vector del conjunto {D σ,n } que es más similar a F. La medida de similitud usada para comparar los vectores es el coeficiente de correlación CC(F, D +Ew) = F T (D+Ew)/( F D+Ew ) que toma valores en el intervalo [0,1] y entre más cercano esté su valor a 1, los vectores son más parecidos. Para este trabajo S={1.1, 1.4, 1.8, 2.1, 2.5, 3.0}, el conjunto N está formado por siete vectores de dirección y l=5, de manera que el conjunto {D σ,n } está formado por 35 vectores de dimensión once. Extracción de rasgos en el atlas El objetivo propuesto es hacer que la malla en un volumen de imágenes de un espécimen quede en la frontera del cerebro y para poder determinar si los vértices de la malla alcanzaron la zona en la superficie del cerebro en donde tienen que detenerse se hace uso un atlas digital del cerebro. En el atlas se extraen los vectores de rasgos mencionados anteriormente en las zonas de interés. Estos vectores sirven como punto de comparación con los vectores de rasgos que se extraen del volumen del espécimen en la posición actual de la malla y dependiendo del valor de la medida de similitud, los vértices pueden continuar moviéndose o se detienen en un punto. Los rasgos seleccionados son de bajo nivel de abstracción, por lo que son fáciles de calcular pero no caracterizan de manera única a los puntos en la imagen. Además, cuando se tienen zonas en donde es difícil identificar la frontera del cerebro, como en la Figura 2, el valor de la medida de similitud de los vectores de rasgos que extraen en esas zonas puede ser parecidos a los valores que se obtienen en otros puntos de la imagen. En algunos experimentos esto ha ocurrido al comparar los vectores de rasgos en puntos en el interior de los ojos, que pueden ser alcanzados por la malla (Figura 3) con los vectores de rasgos extraídos en la zona en donde tiene que detenerse la malla. De manera que si se trata de corregir la malla que se obtiene con BET, se tiene cierta incertidumbre para decidir si los vértices están en su posición correcta o no. Aun cuando es posible buscar otros rasgos y tratar de combinarlos para obtener mayor información y poder diferenciar estas zonas, hay que tomar en cuenta que esto implica un aumento en el costo computacional. Ya que la estructura de los ojos está bien definida en la imágenes de resonancia magnética, se optó por obtener la segmentación de los ojos usando superficies deformables, y de esta forma eliminar la dificultad que agregan los ojos. Por esta razón se ajustan cinco mallas en el atlas: una malla A 1 en la superficie del cerebro y dos mallas en cada ojo, A 2 y A 3 para la frontera interior y A 4 y A 5 para el exterior del ojo (Figura 5). Para resaltar los voxeles de los ojos, se asigna la intensidad más alta en el volumen a los voxeles que están localizados entre las mallas exterior e interior de cada ojo y a los voxeles contenidos por las mallas interiores de los ojos se les asigna la intensidad más baja. En cada vértice de las cinco mallas se calculan los vectores de rasgos basados en derivadas direccionales, y sólo en las mallas A 2 y A 3 se calculan adicionalmente los vectores

6 de rasgos basados en invariantes. En la siguiente sección se describe la forma de utilizar los vectores de rasgos. Figura 5 - Las líneas representan la intersección de la mallas ajustadas al cerebro del atlas con un corte del volumen. 3 INCIALIZACIÓN Y DEFORMACIÓN DE LAS MALLAS Aplicando BET a un volumen de imágenes obtenemos una malla M 1 que envuelve al cerebro y quizás a otras estructuras. Si tenemos una transformación afín P que deforme a la malla A 1 del atlas de tal manera que los vértices de la malla transformada P(A 1 ) están cerca de los vértices de M 1, entonces al aplicar esta transformación a A 2, A 3, A 4 y A 5 se obtiene las mallas iniciales para segmentar los ojos del espécimen. Como P depende de M 1, esta inicialización para las mallas de los ojos puede no ser adecuada si M 1 invade de manera considerable a otras estructuras anatómicas y por eso es necesario hacer una corrección en esta inicialización. La manera de calcular la transformación P, corregir la inicialización de las mallas para los ojos y deformarlas se describe a continuación. Cálculo de la transformación P Para calcular la transformación P se necesita tener en correspondencia los vértices de la malla M 1 con los vértices de la malla A 1. En principio no se puede poner en correspondencia al i-ésimo vértice m i de M 1 con el i-ésimo vértice a i de A 1, ya que la cabeza del espécimen puede tener diferente orientación con respecto a la cabeza en el atlas, de tal manera que m i y a i pueden estar en zonas distintas de la superficie del cerebro. Para resolver el problema de correspondencias entre los vértices de las dos mallas, se reemplaza la malla M 1 por otra de la siguiente manera. Se calculan los ejes de inercia de las mallas M 1 y A 1 y se obtienen las traslaciones T 1 y T 2 que mapean los centroides de las mallas A 1 y M 1 en el origen de coordenadas, respectivamente. También se obtiene la rotación R que mapea los ejes de inercia de A 1 en los ejes de inercia de M 1, y el escalamiento S que hace que A 1 tenga el mismo tamaño que M 1 sobre los ejes de inercia. Así, la composición P 0 =T 2-1 SRT 1 de los cuatro mapeos transforma a la malla A 1 de manera que la malla resultante P 0 (A 1 ) tiene la misma posición, orientación y tamaño que M 1. Usando la malla P 0 (A 1 ) en el volumen del espécimen con el método BET se obtiene una malla M 1 que sigue teniendo los mismos errores que M 1, pero como la malla P 0 (A 1 ) debe de estar cerca de la superficie del cerebro, la deformación que BET le produce no es tan severa y por ello se puede poner en correspondencia el i-ésimo vértice en la malla M 1 con el i-ésimo vértice de la malla A 1. Ya que se tiene la correspondencia entre vértices, se puede calcular P planteando un problema de optimización que trata de minimizar la suma de las distancias entre m i y P(a i ). Tomando en cuenta que puede haber vértices de la malla M 1 que estén invadiendo otras estructuras anatómicas y que estén relativamente lejos de la superficie del cerebro, es conveniente dar un peso distinto a cada término de la suma para que esos vértices no contribuyan de manera significativa en el cálculo de P. Pero esto implica que los pesos deben de

7 depende de la distancia m i - P(a i ), es decir, dependen de P. Por ello se usa el siguiente esquema de minimización 1. Dada la transformación P, se calculan los pesos w i = g( m i - P(a i ) ), donde es g es la función Gaussiana cuya media y varianza coinciden con el promedio y la desviación estándar de las distancias m i - P(a i ). 2. Dado los pesos w 1,..., w n, se calcula la transformación P que minimiza Los pasos 1 y 2 se repiten hasta que los pesos en el paso 1 ya no cambian. La transformación inicial para el paso 1 es P 0 y para resolver el problema de minimización en el paso 2 se usa el algoritmo de Levenberg- Marquardt 12. Corrección de la inicialización de las mallas para segmentar los ojos Para cada vértice en la malla P(A 2 ) se toma una vecindad y para los puntos contenidos en esa vecindad se calcula el vector de invariantes definidos por momentos y se comparan con el vector extraído del atlas para el vértice correspondiente. Seleccionando los puntos en los cuales la medida de similitud toma sus valores más altos se puede localizar la frontera interior de los ojos. Calculando los ejes de inercia de esta colección de puntos podemos obtener una transformación P 1 que hace que los centroides de la malla y del conjunto coincidan, que tengan la misma orientación y que su tamaño coincida sobre sus ejes de inercia. Lo mismo se puede para hacer calcular una transformación P 2 que acerque a la malla P(A 3 ) al interior del ojo al que corresponde. Entonces M 2 =P 1 P(A 2 ) y M 3 =P 2 P(A 3 ) son una mejor inicialización para las mallas que deben ajustarse en el interior de los ojos, así como M 4 =P 1 P(A 4 ) y M 5 =P 2 P(A 5 ) sirven para inicializar las mallas para la frontera exterior de los ojos. Deformación de las mallas Para ajustar una malla en el volumen del espécimen a la frontera de la estructura correspondiente se utilizan los vectores de rasgos de derivadas direccionales porque se pueden calcular más rápido que los vectores de invariantes, y funcionan bien cuando la malla está cerca de la frontera de la estructura que se quiere segmentar. De las tres fuerzas que se definen en el método BET para desplazar a cada vértice de la malla, sólo se cambia la manera de calcular la fuerza que desplaza al vértice de acuerdo a la informa de tonos de gris en la imagen. Primero hay que fijar un valor para el parámetro σ en (1) para calcular el vector de derivadas direccionales en un punto. Para cada vértice m i de una malla M en el volumen del espécimen se calcula la normal exterior unitaria n de la malla en m i. Se busca el punto m sobre un segmento de la recta que pasa por m i en la dirección n en el cual el valor de la medida de similitud del vector de derivadas direccionales D σ,n en m sea máximo al compararlo con el vector representante del conjunto de vectores de derivadas direccionales correspondiente al vértice a i en la malla A del atlas. La fuerza que se aplica a m i debida a la similitud de los rasgos es de manera que el desplazamiento hace que m i se aproxime el punto m. Sumando esta fuerza con las fuerzas que regulan la separación de los vértices y la suavidad de la malla se puede calcular el desplazamiento total. De forma iterativa, este proceso conduce a la malla a su posición final sobre la superficie del objeto de interés.

8 4 EL MÉTODO PROPUESTO La forma en que el método propuesto integra la información de los vectores de rasgos extraídos del atlas (Sección 2) y la manera de inicializar y deformar las mallas (Sección 3) se resumen en los siguientes pasos: 1. Si la resolución de las imágenes en el volumen del espécimen es diferente a la resolución de las imágenes en el atlas, se interpola el volumen del espécimen para igualarla la resolución. 2. Se utiliza BET para obtener una malla gruesa M 1 cercana a la superficie del cerebro en el volumen del espécimen. 3. Se calcula la transformación afín P y se inicializan las mallas para los ojos. 4. Se ajustan las mallas de los ojos a las fronteras comparando los vectores de rasgos de derivadas direccionales extraídos sobre las vértices de las mallas con los vectores de rasgos correspondientes extraídos en el atlas. 5. Se asigna a los voxeles que están contenidos entre las mallas exterior e interior de cada ojo la intensidad más alta en el volumen de imágenes, y a los voxeles contenidos por la malla interior de los ojos se les asigna la intensidad más baja. 6. Se vuelve a aplicar el método BET sobre el volumen de imágenes, pero agregando como restricción que los vértices no avancen sobre voxeles cuya intensidad sea máxima. Esto hace que la malla no invada los ojos. 7. Se corrige la malla obtenida en el paso anterior comparando los vectores de derivadas direccionales extraídos sobre las vértices de esta malla con los vectores de rasgos correspondientes extraídos en el atlas. La malla resultante debe estar ajustada a la superficie del cerebro. 8. A los voxeles que están en el exterior de la superficie se les asigna la intensidad del fondo de la imagen. La imagen volumétrica resultante contiene al cerebro pelado. El paso 1 es realizado usando interpolación con splines 13. Este paso es necesario porque los rasgos seleccionados no son invariantes a escala. Como la malla inicial es gruesa, aplicar nuevamente BET al volumen en el paso 6 es un proceso rápido y da mejores resultados que tratar de corregir la malla obtenida en el paso 1 cuando ésta ha invadido la región que ocupan los ojos. Si se quiere tener una mejor aproximación a la superficie del cerebro, se puede refinar la malla que resulta del paso 7 y en este caso la malla más fina no invade a otras estructuras. 5 RESULTADOS OBTENIDOS Aplicando los pasos descritos en la sección anterior al volumen mostrado en la Figura 2, formado por 64 imágenes de tamaño 256 x 256, se obtienen los siguientes resultados. En la Figura 6 se muestran algunas vistas del volumen que se obtiene al interpolar el volumen original en el paso 1, generando un volumen de 192 imágenes de tamaño 256 x 256. Figura 6 - Vistas sagital y coronal del volumen interpolado de la Figura 2.

9 Iniciando con una malla con 642 vértices, después de aplicar BET en el paso 2 se obtiene la malla que se muestra en la Figura 7. Después de aplicar los pasos 3, 4 y 5, se obtiene un volumen en donde los ojos aparecen resaltados y aplicando nuevamente el método BET en el paso 6 se obtiene la malla que no invade la región de los ojos. Figura 7 - A la derecha se muestra la malla obtenida en el paso 2. La imagen al centro muestra la segmentación de los ojos que resulta de los pasos 3, 4 y 5. Aplicando el paso 6 se obtiene la malla que se muestra la imagen de la derecha. Finalmente, se aplica el paso 7 para corregir en otras zonas del cerebro. En la Figura 8 se muestra otra zona de la cabeza que empieza a ser invada por la malla obtenida en el paso 6 y la efecto que tiene el proceso correctivo. Para una malla gruesa no es muy grave el error, pero si se refina la malla puede invadir y sólo se usa el método BET para deformarla, la zona que invade puede ser considerable. Figura 8 - A la derecha se muestra como la malla del paso 6 alcanza a una parte de la cabeza cercana al cráneo en la parte inferior izquierda de la imagen. Después de aplicar el paso 7 los vértices que invadían esa zona regresan a la superficie del cerebro. Refinando la malla y volviendo a aplicar el paso 7 a los vértices generados para posicionarlos en el volumen se obtiene la superficie que muestra en la Figura 9. En la Figura 10 se muestran dos vistas de la segmentación obtenida usando esta superficie. Figura 9 - Superficie obtenida después de refinar la malla inicial con 642 vértices hasta 40,962 vértices, y aplicando el paso 7.

10 Figura 10 - Segmentación del cerebro obtenida después de aplicar el paso 8. Sin contar el paso de interpolación del volumen, el tiempo para ejecutar los pasos 2-7 es aproximadamente de seis minutos para la malla gruesa usando una computadora Pentium IV a 1.4 MHz y con 256 Mb de memoria. Refinando la malla hasta alcanzar los 40,962 vértices, el tiempo aumenta hasta 8 minutos en promedio. Usando únicamente BET, desde la inicialización de la malla hasta que converge y se refina en la misma cantidad de vértices, el proceso tarda aproximadamente un minuto. Asignando a los voxeles que están en el exterior de la malla obtenida la intensidad del fondo de la imagen se obtiene la segmentación del cerebro. 6 CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO En este trabajo se presentó un método automático para obtener una superficie que envuelve al cerebro que se apoya en el algoritmo BET para obtener superficies cerca de la frontera del cerebro y un conjunto de rasgos que se extraen de un atlas digital del cerebro que caracterizan la frontera de las estructuras de interés. Los resultados muestran que con esta combinación se obtiene una segmentación del cerebro que es mejor que la que se obtiene con BET cuando se procesan volúmenes de imágenes en donde es difícil determinar la frontera del cerebro. El tiempo de cómputo se incrementa pero no de forma significativa. Falta por realizar un estudio comparativo entre la segmentación obtenida con este método y la segmentación del cerebro hecha por un experto. Además, puesto que sólo se obtiene una envolvente del cerebro, la segmentación podría mejorar si se aplica un proceso de refine la malla de manera adaptativa para que dependa de la rugosidad de la zona del cerebro y se ajuste mejor a su superficie. 7 REFERENCIAS [1] J. Suri, S. Singh, and L. Reden, Computer Vision and Pattern Recognition Techniques for 2-D and 3-D Cerebral Cortical Segmentation (Part-I): A State of the Art Review, Pattern Analysis and Applications, vol. 5, issue 1, pp , [2] J. Suri, S. Singh, and L. Reden, Fusion of Region and Boundary/Surface-Based Computer Vision and Pattern Recognition Techniques for 2-D and 3-D MR Cerebral Cortical Segmentation (Part-II), Pattern Analysis and Applications, vol. 5, issue 1, pp , [3] M. Atkins and B. Mackiewich, Fully automatic segmentation of the brain in MRI, IEEE Trans. on Medical Imaging, 17: , [4] S. Smith, BET: brain extraction tool, FMRIB technical Report TR00SMS2b. [5] H. Chang and J.M. Fitzpatrick, A technique for accurate magnetic resonance imaging in the presence of field inhomogeneities. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 11, no. 3,pp , [6] Base de datos de cerebros de RM del Centro de Análisis Morfométrico del Hopital General de Massachusetts, [7] J. Mazziotta, A probabilistic atlas of the human brain: Theory and rationale for its development, Neuroimage 2, pp [8] G. Lohmann,Volumetric image analisis. John Wiley & Sons [9] S. Dinggang, C. Davatzikos, HAMMER: Hierarchical Attribute Matching Mechanism for Elastic Registration, IEEE Trans. on Medical Imaging, August 2002.

11 [10] B. Flury and H. Riedwyl, Multivariate Statistics: a practical approach. Chapman and Hall [11] W. Kennedy and J. E. Gentle, Statistical Computing. Statistics: textbook and monograps Vol. 33. Marcel Dekker, Inc [12] J. E. Dennis, Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM [13] M. Unser, Splines, a perfect fit for signal and image processing, IEEE Signal Processing Magazine, pp