Parte II CONTINUIDAD 147

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1 Parte II CONTINUIDAD 147

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3 LOS FRACTALES COMO FUENTE DE CREATIVIDAD EN EL DISEÑO ARQUITECTÓNICO Introducción Desde la puesta en duda de los patrones clásicos aportados por el modernismo, la arquitectura parece estar abocada a la exploración de una complejidad formal que no termina de resolverse. A partir de Complejidad y Contradicción en Arquitectura, [Venturi, 1978], y de otros escritos posmodernos, fueron cuestionados los más firmes postulados de la Arquitectura Moderna y aún de la Arquitectura Clásica, poniendo énfasis en el simbolismo y significación de las formas. Sin embargo, en su afán por diferenciarse de los diseños clásicos, y en su búsqueda de estructuras novedosas, gran parte de la Arquitectura diseñada en los últimos años, ha roto con la tendencia tradicional de armonizar las formas arquitectónicas con las leyes naturales. Las corrientes arquitectónicas posmodernistas y las que les sucedieron, han encontrado en la geometría tradicional un gran apego a las formas sintéticas de las figuras geométricamente puras (polígonos, círculos), cuya representación se reduce a un trazo lineal en todas las escalas. De esta manera, la riqueza formal que podrían ofrecer por su correspondencia con formas de la Naturaleza, se reduce a la mínima expresión de complejidad. Sin embargo, en la actualidad también se están desarrollando nuevos conceptos geométricos de gran valor potencial para la descripción y entendimiento de espacios y masas arquitectónicas, mediante ideas más naturales sobre organización espacial y de formas. Esto no significa la negación de la geometría tradicional, ni su reemplazo por un sistema geométrico fijo que describe todo lo que ocurre en la naturaleza, sino significa una gradual transformación del espacio y de las formas puras y estáticas hacia espacios compuestos y dinámicos. Esta geometría irregular y a menudo fantástica, a la que denominaremos geometría fractal, está incursionando en los campos tradicionales del perfecto orden de Euclides o las formas de Descartes, vinculando, cualificando y hasta cuantificando las formas naturales, permitiendo analizar conceptos transferibles a las formas artificiales, tales como las formas arquitectónicas que construye el hombre. Pero qué es la geometría fractal? Una primera aproximación para definirla permite afirmar que es una rama de las matemáticas que estudia formas que presentan una cascada interminable de detalles autosemejantes. A medida que se las observa más de cerca, intentando cambiar el nivel de abstracción para encontrar nuevas formas, lo que se encuentra son formas del mismo tipo. Para entenderlo mejor, daremos algunos ejemplos de la Naturaleza. La geometría fractal es directamente visible para un observador que transita por regiones montañosas. A menudo no es posible asegurar si un pico está cerca o lejos, o si un cerro es muy alto o solamente nos causa esa impresión. De lo que sí puede estar seguro el observador es que la forma global de lo cercano es similar a la forma global de lo lejano, que ciertos detalles de lo grande se parecen mucho a los detalles de lo pequeño y que está faltando un patrón de comparación para fijar una escala. A lo largo y a lo ancho de todo el mundo existen ejemplos de formaciones naturales que podrían ser mencionados como estructuras geométricas fragmentadas y texturadas a diferentes escalas. En las tierras altas de la meseta Anatolia, en Turquía, se halla la antigua región de Capadocia. Cubierta de valles y volcanes apagados, comprende un territorio de panoramas extraños, típicamente fractales, dominados por conos rocosos esculpidos por el viento y el agua. Estas formas surgen de incontables transformaciones que afectaron a la región: se inició con la erupción de los volcanes hace millones de años y el consecuente sedimento de capas de ceniza, lava, y otros elementos geológicos de variada naturaleza. Con el tiempo la ceniza volcánica se convirtió en una roca pálida y blanda (toba), cubierta luego por otras capas de lava dura y oscura (basalto), que al enfriarse y fragmentarse dio lugar a la acción erosiva del clima. Los sismos y las heladas invernales fracturaron las capas de toba y basalto, mientras ríos y arroyos sumados a un impetuoso viento, horadaban el suelo dando lugar a estas curiosas formaciones fractales. 149

4 (a) (b) (c) Figura 1. (a) vista panorámica de los Conos de Capadocia, (b) paisaje de Capadocia desgastado por el viento, (c) entradas a cuevas-habitación en el interior de los Conos En Irlanda del Norte, existe un promontorio conocido como Calzada de los Gigantes, o Escalera del Mar. Es una muestra espectacular de lo que ocurre cuando la lava volcánica se enfría lentamente: decenas de miles de columnas geométricas se conglomeran en forma de panal, como fabulosa escalera que desciende al mar. (Figura 2a,b,c). (a) (b) (c) Figura 2. (a) Vista peatonal de la Calzada de los Gigantes, transitando sobre ella, (b) Calzada de los Gigantes vista desde el mar, (c) Acercamiento a los prismas poligonales que forman los escalones Sus dimensiones hacen pensar en una obra sobrehumana y vista desde las alturas parece una carretera pavimentada de unos 275 metros bordeando la costa, por aproximadamente 150 metros de ancho sobre el océano Atlántico. Muchas de las columnas alcanzan entre los 6 y los 12 metros de altura. Su composición es asombrosa, todas ellas de forma poligonal, la mayor parte de las veces hexagonal. No solamente forman una composición fractal en tres dimensiones por la variedad de escalas que presentan, conservando autosemejanza, sino que además no dejan intersticios entre ellas simulando una teselación tridimensional. Otro impactante paisaje fractal es el que ofrecen los glaciares antárticos, muchos de ellos con formas de enormes barreras. Aunque el descubrimiento del calentamiento del planeta ha permitido verificar que los glaciares tienden a derretirse, periódicamente el hielo glacial continúa empujando y sumando masa a estos enormes tamaños. La nieve se compacta en hielo por el peso de nuevas tormentas y el congelamiento del agua incrementa el grosor de la capa desde la parte inferior. Como esta presión es muy grande, el glaciar no tiene la capacidad de resistirla y por lo tanto sigue avanzando hacia el mar. Desde el borde de la gran masa se desprenden icebergs, con aristas duras que le otorgan carácter fragmentado a diferentes escalas. 150

5 La compleja interacción entre océano y atmósfera es estudiada a través de estos desprendimientos arrastrados por las corrientes oceánicas. (a) (b) (c) Figura 3. (a) Glaciar antártico visto desde el mar, (b) Detalle del hielo fragmentado que asemeja estalctitas y estalagmitas, (c) Perspectiva del Glaciar visto desde tierra firme También podemos considerar como ejemplo fractal la observación de una hoja de árbol de cierta especie, donde sus nervaduras configuran una estructura que se repite a diferentes escalas, con las mismas características que las ramas de ese árbol se van reproduciendo desde el tronco hacia la copa. Más aún, si observamos todo un bosque de árboles de esta misma especie podremos verificar que su perfil es del mismo tipo que el perfil de una sola hoja de esa especie. Una situación parecida se presenta al observar una línea costera desde un avión. El trazado general de su forma es muy similar tanto a diez mil metros de altura como al observarla desde pocos metros de distancia caminando por la playa, o aún si acercamos una lupa a la línea divisoria entre la arena húmeda y la arena seca. Ahora nos preguntamos qué largo tiene esta línea costera desde un punto A hasta un punto B? A primera vista esta cuestión parece trivial puesto que con un mapa en la mano y un instrumento de medida (una sencilla regla graduada en centímetros), rápidamente podríamos arribar a un valor de longitud. El problema es que si repetimos la operación con el mismo instrumento sobre otro mapa de la misma línea costera pero a escala mucho mayor, tendríamos un nivel de precisión muy diferente y, por lo tanto, una longitud muy diferente. Y si nos llegamos hasta la costa y la medimos directamente obtendremos otro resultado, seguramente de mayor precisión. De lo que estamos diciendo se deduce que a medida que el instrumento de medición decrece con respecto al objeto medido, la longitud que se obtiene como resultado crece sin límites. Por lo tanto, si la escala de medición fuera infinitamente pequeña, entonces la longitud obtenida sería infinitamente grande. (a) Dimensión Barra = 28, Cantidad barras = 2 (b) Dimensión Barra = 14, Cantidad barras = 4 (c) Dimensión Barra = 7, Cantidad barras = 8 (d) Dimensión Barra = 4, Cantidad barras = 20 Figura 4 151

6 Si la escala puede ser representada en términos de un instrumento de medición lineal no graduado pero de una longitud conocida, Figura 4a, b, c y d, mientras más precisión se desee, más corto debe ser el instrumento de medición. Por supuesto que nadie confecciona un mapa acomodando palitos rectos sobre el suelo, pero esta analogía refleja la clase de distorsiones que inevitablemente se producen a partir de la resolución limitada de las fotografías aéreas, o por los errores relativos de los relevamientos topográficos, o simplemente por el espesor de la pluma utilizada para el dibujo del mapa. Los ejemplos mencionados (montañas, árboles, líneas costeras) son formas fractales, y en todos ellos encontramos una progresión de autosimilitud que nos lleva a la siguiente afirmación: un fractal es un objeto o cantidad que presenta autosemejanza en todas las escalas. (a) (b) (c) Figura 5. (a) observación microscópica de un virus, (b) picos montañosos nevados, (c) organismos marinos bajo iluminación artificial Como se ha visto del análisis de la línea costera, la posibilidad de estudiar con la geometría tradicional, éstas y otras formas naturales tales como las nubes, el torrente caudaloso de un río crecido, patrones de sistemas ondulatorios o impulsos nerviosos de un ser humano, resulta inapropiado. Los postulados y formas sintéticas provistas por la geometría euclidiana, por ejemplo una curva regular como un círculo o una elipse, son casos extremadamente particulares en comparación con la realidad, y por lo tanto poco útiles para el estudio de fenómenos naturales. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son arcos de circulo [Mandelbrot, 1977]. El término fractal fue inventado por el matemático Benoit Mandelbrot hacia 1977 y proviene del verbo latino frangere que significa romper, y de su adjetivo fractus. El vocablo pretende sugerir el carácter roto, fragmentado de los objetos fractales, así como los números fraccionarios que proporcionan un grado fractal de aspereza y fragosidad. Existen varias definiciones técnicas conflictivas de la palabra fractal, pero todas ellas son intentos de formalizar un concepto intuitivo que en realidad es más fácil entender que expresar. Un fractal es una forma o figura infinitamente detallada: si una pequeña porción es ampliada, su forma es muy similar a la forma total. Esto significa que las partes del fractal se parecen a la estructura completa, semejanza que puede ser exacta o aproximada, propiedad que se denomina autoexactitud en el primer caso y autosemejanza o autosimilitud en el segundo.. Pero en general, la figura de una curva fractal se repite a sí misma en escalas cada vez más pequeñas que contienen infinitas copias semejantes (no exactas) a su propia imagen y los sucesivos niveles de análisis sólo mantienen las mismas características genéricas. Otra propiedad que caracteriza a los fractales es la iteración, es decir, la repetición infinita del mismo proceso. Dibujando iterativamente un ejemplo fractal en una simple hoja de papel, si se continúa 152

7 indefinidamente con el mismo procedimiento generativo, se obtiene una cantidad incontable de segmentos, infinitamente pequeños. Algo imposible de realizar en la práctica, pero ciertamente posible en la imaginación. La idea que subyace detrás de los fractales es la posibilidad de obtener una estructura muy compleja mediante la iteración de una fórmula sencilla. (a) (b) (c) Figura 6. (a) simulación de una flor fractalizada geométricamente, (b) simulación de un fractal natural: una hoja de helecho, (c) simulación de copos de nieve sobre una rama La curva de Koch es un ejemplo fractal creado de manera recursiva, que se mapea a sí mismo una y otra vez en escalas cada vez más pequeñas, desplegando una cascada de estructuras autosemejantes. Tal vez la curva de Koch sea uno de los ejemplos más didácticos de construcción de un fractal: se crea mediante la división de un segmento de línea recta en tres partes iguales y luego reemplazando la porción del medio por dos porciones idénticas que se juntan para formar un triángulo equilátero sin base. De esta manera se produce un generador del fractal que al ser escalado mediante un factor de 1/3 y usado recursivamente para reemplazar cada segmento de línea recta de la fase anterior, se obtiene un procedimiento que puede ser continuado hasta el infinito. Figura 7. Curva ideada por Helge Von Koch El objeto así obtenido, en el límite, tiene longitud infinita pero, por otra parte, como no encierra región alguna, su área en el plano es de valor cero. En otras palabras, ni su longitud ni su área arrojan una descripción apropiada de esta curva. 153

8 Otro concepto muy importante es el de dimensión fractal. Explicado en sentido genérico, es el número que sirve para cuantificar el grado de irregularidad y fragmentación de un conjunto geométrico o de un objeto natural. La dimensión fractal no es necesariamente entera, y podríamos decir que cuantifica la mezcla de orden y sorpresa en una composición rítmica. Al contrario de las dimensiones habituales, la dimensión fractal puede ser una fracción simple como 1/2 ó 5/3, incluso un número irracional como log4/log3 ~ De este modo resulta útil decir que para ciertas curvas planas muy irregulares la dimensión fractal está entre 1 y 2, o decir que para ciertas superficies muy hojaldradas la dimensión fractal se encuentra entre 2 y 3. La dimensión fractal cuantifica la cascada de detalles. Tanto la curva de Koch como una línea costera natural, con su progresión en detalles autosemejantes, son más que líneas de una sola dimensión y menos que superficies de dos dimensiones. Ellas tienen una dimensión fractal que es mayor que 1 y menor que 2. La curva de Koch tiene una dimensión de Muchas formas naturales, como las líneas costeras, tienen dimensiones fractales que son similares a la de la curva de Koch. La geometría fractal ha obtenido bastante importancia desde el trabajo de Benoit Mandelbrot, aunque al principio, el mundo científico tenía cierto escepticismo acerca de la manera de observar la naturaleza a partir de estas teorías. Sin embargo, pronto se descubrió que la geometría fractal y los múltiples sistemas dinámicos que hay en la naturaleza, desde una suave brisa hasta el movimiento de una galaxia, tienen mucho en común. Todo lo natural que nos rodea es tan irregular que los modelos de emulación continuos y homogéneos son irreales y pueden ser útiles solamente como una primera aproximación. Existen muchas situaciones en que los hechos y las cosas parecen producirse sin razón aparente y tampoco hay ninguna advertencia de que se va a producir algo en particular (por ejemplo, un terremoto de inesperada magnitud y destrucción, o una especie que no ha cambiado durante millones de años experimenta súbitamente una mutación). Esta mezcla de orden y sorpresa que subyacen en este tipo de acontecimientos, tienen en común su complejidad. Son sistemas gobernados por muchos y diversos factores delicadamente equilibrados, oscilando entre la estabilidad y el caos. Los factores que actúan en esta clase de sistemas cambian y crecen constantemente y por lo tanto se encuentran siempre en un estado de caos potencial, aunque exista un orden aparente. Una parte esencial de cualquier sistema complejo es su dinámica espontánea de auto-organización, es decir, el medio por el que el sistema recupera el equilibrio adaptándose a circunstancias cambiantes. Son varias disciplinas las que interactúan en el estudio de estos sistemas dinámicos complejos, regidos por ideas matemáticas tales como la teoría del caos, los fractales, la inteligencia artificial, la lógica difusa y tantas otras. El objetivo científico consiste en crear un marco de referencia acerca de los fenómenos complejos que pueden ejercer influencia sobre aspectos importantes de nuestro mundo. Aunque en otro contexto, tal marco de referencia puede ser de gran utilidad en Arquitectura, Diseño, y en las Artes en general, en su afán de armonizar las formas con las leyes de la Naturaleza. Los críticos musicales acostumbran decir que buena música es aquella que ofrece una mezcla de orden y sorpresa... y la sorpresa no sería sorpresa si no existiera un ritmo suficientemente ordenado como para anticipar lo que vendrá a continuación. Lo mismo ocurre con la Arquitectura y el Diseño, disciplinas que controlan el ritmo de las formas. Antecedentes de estudios fractales en Arquitectura. En los últimos años, las fascinantes formas fractales han inspirado a diferentes disciplinas de producción de objetos, a explorar más profundamente sus posibilidades de aplicación. Tanto artistas como científicos, intentan aprovechar las propiedades fractales en sus propios campos de interés. Nuestra arquitectura actual está tomando conciencia de la necesidad de cambio y adaptación a la naturaleza, y en su permanente búsqueda de originalidad, ha encontrando que la complejidad ordenada de la teoría del caos podría proveer un sistema creativo, que relacione las ideas contenidas en el orden fractal y las formas arquitectónicas. Las inesperadas formas fractales creadas aleatoriamente como así también los fractales obtenidos mediante procedimientos determinísticos, constituyen fuentes de inspiración para los diseñadores. 154

9 Existen varios modos en que los conceptos fractales pueden ser utilizados en Arquitectura y Diseño. Por ejemplo, el reconocimiento de potenciales organizaciones espaciales en las formas fractales es particularmente importante en la etapa de las ideas y verificación de conceptos. O bien la composición de formas con la intencionalidad perceptual de una progresión de escalas, que despierten interés tanto al observar su fachada desde una cierta distancia como al acercarnos y observar los detalles ornamentales. Los defensores de esta idea afirman que a medida que un observador se aproxima e ingresa al edificio, debería encontrar un nuevo nivel de abstracción a menor escala, que vuelva a expresar la intención global, la significación o simbolismo, de toda la composición. Este es un concepto fractal. (Ejemplo: las casas diseñadas por Frank Lloyd Wright muestran la progresión de detalles desde lo grande hasta lo pequeño. Wright siempre se refería a una idea central como coordinadora del diseño, y esta idea central a menudo tenía origen en la Naturaleza). Otra aplicación práctica es la medición y uso de la dimensión fractal de un diseño como una herramienta de crítica. (Ejemplo: una de las mayores críticas recibidas por la Arquitectura Moderna es la carencia de progresión en las texturas, a diferentes escalas de observación provocando que el público en general encuentre que es una Arquitectura demasiado pura, plana y uniforme. En este sentido, si comparamos un edificio de Mies Van der Rohe con un edificio del período Beaux Arts, el primero es de una pureza absoluta propia de la geometría Euclidiana, y el segundo es rico en aspectos fractales.) Por otra parte, las distribuciones fractales en objetos naturales pueden ser usadas como idea fuerza para generar ritmos complejos útiles para diseñar. (Ejemplo: la dimensión fractal de cumbres montañosas por detrás de un proyecto arquitectónico, podría ser medida y utilizada como una guía de ritmos fractales del diseño proyectado: el sitio y el proyecto podrían tener características rítmicas similares). En resumen, los fractales pueden ser utilizados como disparador creativo de organizaciones espaciales, como herramienta de crítica, como generadores de ideas-fuerza y como instrumentos de calibración cuantitativa para la convivencia de orden y sorpresa, de mimetización o de contraste entre las formas diseñadas y las formas del contexto. Aunque actualmente la cantidad de autores que intentan relacionar los fractales con la Arquitectura es un número creciente, hasta ahora no son muchos los que han aportado elementos de significación. Chris Yessios, conjuntamente con Peter Eisenman, fueron de los primeros en escribir artículos acerca de la utilización de geometría fractal en Arquitectura. Yessios explica que un fractal es un sistema generativo que consiste en una figura con un estado inicial (a la que llama base o iniciador ), y una o más reglas que permiten modificar ese estado inicial, a las que denomina generador [Yessios, 1987]. Describe un modo en que las computadoras pueden ser introducidas en el diseño arquitectónico como herramienta de exploración y generación de formas, asegurando que en el proceso de diseño arquitectónico los generadores pueden ser cambiados durante el tiempo de ejecución y el proceso generativo puede ir hacia adelante o hacia atrás, enriqueciendo el proceso. Los generadores fractales que utiliza van desde la geometría fractal básica, pasando por elementos tomados del arte ornamental árabe, e incluso procesos biológicos moleculares como estudios del tipo DNA/RNA. Yessios ha desarrollado un programa que permite utilizar varios generadores sobre la misma base inicial y luego adelantarse o retrasarse varios pasos en el proceso iterativo, dirigiendo los resultados hacia una intencionalidad de diseño específica. Otros estudiosos del tema, Gerhard Schmitt y Cheng Chen, dieron una definición más rigurosa enunciando que los fractales son un subconjunto perteneciente a las denominadas gramáticas formales (shape grammars), donde la cantidad de reglas generativas es pequeña, el número de iteraciones recursivas es grande, y tienen la particularidad que la autosemejanza está garantizada en todas las escalas. [Schmitt y Chen,1991] Robert Oxman y Rivka Oxman, agregaron a los conceptos de Schmitt y Chen, que las gramáticas formales proveen un método analítico de observación de las sintaxis en las formas fractales, abriendo la puerta hacia un campo casi inexplorado sobre creatividad en el diseño. [Oxman y Oxman, 1990]. Corresponde aquí repetir que el reconocimiento de potenciales organizaciones espaciales en las formas fractales es particularmente importante en la etapa de las ideas y verificación de conceptos. 155

10 Teniendo en cuenta que creatividad es la habilidad de producir cosas nuevas o conocimiento nuevo, tanto en las artes como en las ciencias es obvio que antes de ser creativo es necesario tener algún conocimiento técnico de las reglas y métodos para hacer. De acuerdo a William Mitchell, la naturaleza misma del diseño implica creatividad, implica el hecho que no necesariamente se conoce lo que se quiere (el resultado esperado), hasta que se ve lo que se ha obtenido. Por lo tanto los fractales ofrecen la posibilidad de una búsqueda ciertamente azarosa, pero a la vez guiada por las reglas generadoras del sistema fractal y por los requerimientos funcionales de un edificio o de una configuración urbana. [Mitchell,1990] Los matemáticos Michael Barnsley y John Elton probaron en 1985 que es posible obtener casi cualquier imagen mediante una clase de fractales autosemejantes, denominados Sistemas de Funciones Iterativas (IFS). A tal punto que al utilizar estas funciones en procedimientos de compresión de imágenes y de representaciones renderizadas, tuvieron mucho éxito puesto que en la mayoría de los casos la apariencia y estructura de objetos del mundo real, pueden ser modelizadas y descriptas más fácilmente con fractales que con la geometría tradicional. De esta manera también las técnicas de representación de objetos arquitectónicos y de muchas otras disciplinas tuvieron grandes avances. En 1998, S. Durmisevic y O. Ciftcioglu propusieron que los fractales podrían ser aprovechados en el diseño arquitectónico generando una forma de árbol que sirviera como estructura circulatoria tal que, superpuesta con una grilla de otras formas fractales, permitiera determinar las tipologías arquitectónicas admisibles a lo largo de la espina estructural. Este es un trabajo orientado a la integración de formas edilicias con un sistema de planeamiento urbano. Más recientemente, R. Krawczyk y M. Ibrahim retomaron el estudio del iniciador y del generador, asignándoles significado arquitectónico a los segmentos de línea que constituyen el fractal, estableciendo correspondencias con organizaciones espaciales arquitectónicamente útiles. Tomando como base el trabajo de Jean Durand (1802), quien describe un compendio de reglas de diseño neo-clásicas que aportan una base de datos de organizaciones espaciales de la época, Krawczyc e Ibrahim experimentan con estas formas como iniciadores y sugieren operar con cambios de dirección y proporción en los segmentos de los generadores, contribuyendo a la generación de formas arquitectónicas de gran riqueza visual y a impensadas organizaciones espaciales. Conceptos fractales en ejemplos históricos de Arquitectura Como puede verse, el lenguaje utilizado en geometría fractal y el utilizado en Arquitectura tienen mucho en común. Los conceptos de crecimiento, escala, autosemejanza, autoexactitud, simetría, orden, complejidad, etc, son parte de nuestro lenguaje arquitectónico. Los siguientes ejemplos ilustran cómo algunos sistemas fractales han sido integrados a la Arquitectura a lo largo del tiempo. 156 Figura 8. Templo griego de Atenea Niké

11 Existe una antigua tradición en Arquitectura de conseguir unidad expresiva y orden a través de todas las escalas. Por ejemplo, en la antigua Grecia, es destacable lo que ocurre en el Orden Jónico. A través de un riguroso sistema de ordenamiento tripartito, cada parte del edifico está dispuesta de manera tal que exprese el concepto Aristotélico de comienzo, medio y final. Si observamos el templo de Atenea Niké, la subdivisión tripartita está aplicada al edificio como un todo, tanto como en los más minuciosos detalles. La subdivisión inicial corresponde a la entabladura, columnata y estilóbato. Dentro de estos componentes hay una segunda subdivisión: la entabladura está compuesta por tres partes, la cornisa, el friso y el arquitrabe. Observando más abajo, las columnas están compuestas también por tres elementos, el capitel, el tronco y la base. Por último, el estilóbato está dividido en tres escalones iguales. Dentro de estas entidades articuladas ocurren aún más subdivisiones en detalles ornamentales, algunas mantienen el orden tripartito y otras lo ignoran. Por ejemplo, el capitel de la columna está compuesto por el ábaco, la voluta y el equino. Este ejemplo de la antigua Grecia, aunque no es estrictamente fractal, enfatiza el concepto de ordenamiento sistemático de elementos en todas las escalas. Figura 9. (Izquierda) Templo de Kandarariya, Khajuraho India. (Derecha) Detalles fractales en la fachada, repetición a otras escalas de la forma total. Otro caso es el de los templos hindúes. Entre los siglos V y XVIII se construyeron en la India una gran cantidad de templos religiosos, que enfatizaban las características del panteón hindú, otorgándole mucha importancia a los aspectos esculturales de la construcción, que por aquel entonces habían sido claramente establecidos de manera programática. Tanto es así, que hay casos en los que es prácticamente imposible distinguir cuáles son las formas esenciales y cuáles las formas ornamentales. Como en muchos movimientos arquitectónicos occidentales, el templo hindú evolucionó de maneras diversas según su localización geográfica dentro de la India, distinguiéndose dos estilos : el Dravidian en el sur, y el Nagara o Indo-Aryan en el norte. Sin embargo las características fractales que observaremos están presentes en ambos estilos. La forma básica del Templo Nagara se componía de tres partes principales: el ardha-mandapa (vestíbulo), el mandapa (hall de encuentro) y el garbha-griha (santuario). Cada uno de estos tres espacios cuenta con una torre encima de ellos, denominada sikhara. Desde el ardha-mandapa en el primer nivel, las torres se construyen en orden de alturas crecientes, alcanzando su máxima expresión sobre el santuario, el garbha-griha, en su último nivel. El perfil del Sikhara a menudo es una forma parabólica convexa, en contraste con la grilla rectilínea de la planta. Vamos a centrar nuestra atención en la interacción entre estas partes. El Templo de Kandarariya en la ciudad de Khajuraho (ca AD) permite visualizar estos conceptos. La masa construída del Sikhara está basada en una torre central sostenida por pequeñas réplicas de la misma forma. Y esta configuración se repite en varias escalas decrecientes: cada una de estas formas está 157

12 a su vez soportada por más formas idénticas a la primera, pero cada vez más pequeñas. El programa global de arquitectura, típicamente escultórico y fractal, sugería que el cambio de escala debía continuar decreciendo mientras la materialización de su construcción fuera posible. El aspecto fractal más destacable de esta obra es la riqueza formal en todos los elementos, en todas las escalas del edificio, que recursivamente reproducen el tipo de composición global. Una de las obsesiones de los arquitectos del período gótico, en la Edad Media, era el problema de las articulaciones. En consecuencia, la relación entre las partes del edificio y el todo fue cuidadosamente tenida en cuenta en la construcción de Catedrales góticas. Aunque la autosemejanza no es detallada explícitamente en estos edificios, en todos ellos se destaca la relación de las partes con el todo. Existen algunos aspectos formales de las Catedrales Góticas que podríamos llamar semi-fractales porque aunque la iteración está presente, no podemos decir que son ejemplos terminantemente recursivos y con autosimilitud. En el diseño de ventanas del gótico tardío ( ), como por ejemplo en la nave de la Catedral Saint Denis ( ), puede observarse un patrón de subdivisión semi-fractal. En la nave de la Catedral de Metz ( ), las ventanas asumen características más netamente fractales, reproduciendo un patrón recursivo en 3 iteraciones. 158 Figura 10. Conceptos fractales en ventanas del período gótico (a) Catedral de Saint Denis (b) Catedral de Metz La articulación de las diferentes subdivisiones de las ventanas de tracería lineales exhiben aspectos de autosemejanza a diferentes escalas. Esto es de utilidad para el entendimiento de metodologías que unifiquen la arquitectura. Clasificación en tipos fractales Introducidos algunos conceptos sobre el uso de fractales en Arquitectura, es importante precisar qué tipos de fractales existen, clasificarlos de acuerdo con sus atributos y características, y determinar cuáles de ellos son más adecuados para su utilización en esta disciplina. Sin embargo es conveniente primero recurrir a una clasificación convencional para la representación de todas las variantes de fractales. Para abordar la clasificación de lo general a lo particular, podemos dividirlos en dos grandes grupos: los fractales determinísticos (que a su vez pueden ser algebraicos o geométricos), y los fractales no determinísticos (también denominados estocásticos). Esta clasificación hace referencia al procedimiento seguido para su generación. En los determinísticos el proceso generativo queda pautado de antemano mediante una fórmula algebraica o algoritmo geométrico de reemplazo e iteración. En los no determinísticos, los procesos generativos están afectados por parámetros accidentales o aleatorios que permiten emular objetos fractales de apariencia más natural. Los determinísticos algebraicos, creados mediante procesos algebraicos no lineales en espacios n- dimensionales, conforman la mayor clase de fractales. Los más estudiados son los que responden a

13 procesos generativos bidimensionales, interpretando el proceso iterativo no lineal como un sistema dinámico discreto, por lo tanto es común referirse a estos fractales con terminología de la Teoría de Sistemas Dinámicos. Estos sistemas dinámicos no lineales transitan por diversos estados, y la manera en que el sistema se encuentra al cabo de varias iteraciones, depende de su estado inicial y de la descripción algebraica del proceso mediante una fórmula matemática, generalmente sencilla. Cada uno de estos estados, considerado como el resultado parcial de un proceso iterativo entre otros dos estados, expone una situación particular denominada atractor, que proviene de una porción de área del estado anterior y, al continuar iterando, termina en otra situación de atractor, correspondiente a un estado posterior, y así siguiendo hasta alcanzar un estado final al detener las iteraciones. De este modo, las distintas fases de espacialidad en el sistema se divide en áreas de atracción. Si en un espacio bidimensional se pintan con distintos colores las fases correspondientes a las mencionadas áreas de atracción, se obtiene un retrato coloreado del área de atracción en esa fase del sistema correspondiente a ese momento del proceso iterativo. Al cambiar el algoritmo de selección de colores se obtienen complicadas imágenes fractales con fantásticos trazos multicolores. Figura 11. Tres áreas de atracción del mismo proceso iterativo Los fractales determinísticos geométricos, son los que siguiendo una o más reglas de transformación de una figura derivada de la geometría estándar, permite obtener copias de ella misma, reducidas de tamaño (conceptos de autosemejanza y de independencia de escala). Figura 12. Ejemplo de iniciador y generador pentagonal en 5 iteraciones 159

14 En el caso bidimensional se construyen a partir de una línea que se rompe y se transforma, o en el caso tridimensional a partir de una superficie 3D o de un volumen. El elemento que se toma como base es el iniciador y la regla de transformación geométrica es el generador. En el ejemplo de la Figura 12, el iniciador es un pentágono regular, y el generador es una regla que hace rotar 180 grados al pentágono original, reduce su área en un factor tal que a cada una de sus aristas se le adosen pentágonos perfectamente regulares, y el conjunto de seis pentágonos resultante se encuentre inscripto en el pentágono de la fase anterior. Se muestran cinco iteraciones de este proceso. Figura 13. Iniciador y generador que incluyen curvas, y las dos primeras iteraciones Figura 14. Cuarta, quinta y sexta iteración, aplicando el mismo generador. También es posible describir este algoritmo simplemente como el reemplazo de cada arista del polígono original por una línea quebrada en cuatro segmentos, de tal manera que cumpla con el requerimiento que sus puntos más internos formen los vértices de un pentágono invertido. Cada uno de los segmentos que forma la línea quebrada es reemplazado por una nueva línea quebrada en la escala correspondiente a ese paso del algoritmo. Como resultado de la infinita repetición de estos pasos se obtiene un fractal geométrico. Con el mismo criterio puede proponerse algoritmos de reemplazo que operen con líneas curvas, o con una combinación de curvas y rectas, como se ve en el ejemplo de la siguiente figura. 160 Figura 15. Procedimiento generativo de paisajes fractales Los fractales no determinísticos, denominados estocásticos, son aquellos en los que el procedimiento generativo conlleva la introducción de parámetros aleatorios, de la misma manera que los objetos naturales

15 están afectados por numerosos factores externos que implican modificaciones inesperadas en su crecimiento o conformación. Ejemplos de fractales estocásticos bidimensionales son los que provienen de algoritmos en los que se introduce aleatoriedad, como en el caso de representación de la superficie del mar, o de topografía de un terreno de gran dimensión, casos en que predomina la tendencia al plano horizontal pero sin embargo están afectados por picos de tridimensionalidad. Los denominados paisajes fractales se obtienen a partir de la técnica de subdivisión espacial que da como resultado superficies que se asemejan a terrenos naturales. Veamos un ejemplo donde se arranca con una figura geométrica, en este caso un cuadrado sobre el plano XY, que se subdivide en 4 partes iguales. Luego se provoca una perturbación vertical sobre cada uno de los 5 nuevos vértices, modificando su posición en la dirección del eje Z en una cantidad aleatoria. A continuación se repite el procedimiento con cada nuevo cuadrado, cada vez más pequeño, haciendo que las perturbaciones vayan decreciendo en cada iteración. No parece difícil generar estos paisajes fractales mediante un algoritmo programado, sin embargo hay que disponer de varios filtros o controles que regulen su formación. He aquí una pequeña lista de los parámetros de control habitualmente disponible en esta clase de software: Una semilla generadora del número aleatorio inicial; esto significa que es posible reproducir el mismo paisaje fractal recordando un solo número que inicializa la secuencia de modificaciones en el algoritmo Un parámetro de rugosidad, que se aplica como factor de reducción de perturbaciones en cada iteración. Supongamos que el valor por defecto sea igual a 2. Valores menores que 2 dan como resultado terrenos con mayor rugosidad, y valores mayores que 2 dan como resultado terrenos más suaves. Un valor de perturbación inicial, que sirve para establecer la altura máxima del terreno; a partir de allí las perturbaciones van en orden decreciente unos puntos iniciales, que normalmente se los fija en las esquinas del rectángulo inicial. De esta manera se tiene un cierto grado de control sobre la apariencia global del terreno Un nivel de cota cero, también llamado nivel del mar, que simula el nivel natural del agua para marcar una diferencia entre lo que está por encima de esta cota (prominencias), y lo que está por debajo (depresiones). Un rango de colores, que se utiliza para iluminar y sombrear la superficie del terreno, tomando como base sus diferentes alturas. Normalmente se definen dos o tres colores en correspondencia con dos o tres alturas y luego se interpola linealmente entre estos puntos Un número de iteraciones, que se establece en función de la densidad requerida para la malla que representa la superficie del terreno Estos fractales están basados en procesos que pueden ser usados para representar la geometría de diferentes entornos naturales (árboles, nubes, montañas). A través del mismo método recursivo, las ramificaciones de los árboles se abren y crecen con un rango de irregularidad aparente que pueden ser comparables a los más sofisticados ejemplos de geometría fractal. Pero debemos realizar una distinción entre esta aproximación y la forma real. Cada forma del árbol es única basada en numerosas tensiones naturales: luz solar, viento, exposición al clima y a otras condicionantes de su ambiente. La teoría de las formas de Platón reconoce este problema sugiriendo que cada árbol es una sombra o una aproximación de lo ideal, que es lo real. En esta visión cosmológica todos los intentos de representación de lo ideal resultan ser una copia imperfecta. Uno de los aspectos más sobresalientes del entorno natural es su variedad infinita. Cada árbol es una forma única, pero también existen muchos elementos comunes entre los miembros de una misma especie. Los fractales más constreñidos, más densos y complejos, son aquellos que exhiben autosemejanza en lugar de autoexactitud a través de todas las escalas. Las construcciones algoritmicas como el caso del terreno mostrado como ejemplo de geometría fractal, no exhiben la vivacidad que puede 161

16 ser encontrada en el conjunto de Mandelbrot, de Julia, de Lyapunov, o de tantos otros ejemplos de fractales no lineales. Ellos son visualmente complejos, pero no ofrecen la variedad de formas naturales. A lo largo de la historia, muchos matemáticos y estudiosos del tema fractales han propuesto sistemas generativos o procedimientos de representación, que han ampliado el rango clasificatorio de los mismos. Así que en muchos casos es posible obtener la misma representación de un fractal siguiendo procedimientos diferentes. O bien un fractal que deriva de la geometría estándar puede ser construido a mano (con métodos de dibujo tradicionales), o utilizando un sistema de funciones iterativas por computadoras, o un algoritmo de Lindenmayer también llamado Sistemas-L, etc. Cualquiera sea el sistema utilizado, habrá siempre áreas de atracción de formas que por iteración se concentran en zonas muchas veces inesperadas, dando lugar a la presencia de un atractor. Si este atractor conlleva un comportamiento dinámico en movimiento caótico, donde ni el lugar de su recorrido ni el tiempo en que lo recorre nunca son idénticos, en ese caso estamos en presencia de un atractor extraño, otra clase de fractal de la que hablaremos más adelante. Estas conclusiones sobre el modo de clasificar los fractales, que depende del procedimiento empleado para su producción o representación, nos conduce a otra clasificación. Según Javier Barallo, básicamente podemos clasificarlos en 6 grupos [Barallo,1999]: 1.- Derivados de la geometría estándar 2.- IFS (sistemas de funciones iterativas) 3.- Atractores extraños 4.- Fractales plasma 5.- L-systems (sistemas de Lindenmayer) 6.- Por iteración de polinomios complejos Muchos conjuntos fractales pueden ser considerados subgrupos de estos 6 tipos. A continuación se explica sintéticamente las características principales de los mismos, y en los casos en que convenga reforzar conceptualmente sus propiedades, entraremos un poco más en detalles sobre su generación y comportamiento. Fractales derivados de la geometría estándar Los fractales regulares, derivados de la geometría tradicional, se construyen a partir de un polígono o de otra figura, agregando repetidamente copias de él mismo reducidas en tamaño, de acuerdo a un conjunto de transformaciones geométricas previamente seleccionadas. Figura 16. Simulación de un par de pulmones u otra El ejemplo estereotipado de esta clase de fractal es un árbol, donde cada nivel de ramificaciones es una copia transformada del tronco. 162

17 Figura 17. Secuencia de crecimiento de un árbol Son muchos los casos conocidos de transformaciones iterativas que se dan como ejemplos en la literatura sobre fractales. Entre ellos mencionemos: (a) sobre una línea, el polvo de Cantor y la curva de VonKoch (b) sobre una superficie, el triángulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski (c) en un volumen, la esponja de Menger Probablemente el conjunto de Cantor sea el fractal documentado más antiguo porque se disponen datos del mismo desde Para generarlo se procede como sigue: se toma un segmento de tamaño unidad So = [0,1] tal como se ve en el paso n = 1 de la figura 18. Se divide el segmento en tres subsegmentos de tamaño 1/3 cada uno, se borra la porción central y se dejan los intervalos cerrados restantes: De esta manera se obtiene el resultado del paso n = 2 de la figura 18. Se vuelve a dividir en tres partes cada uno de estos segmentos y nuevamente se borra el segmento central de cada uno. Así se obtienen los cuatro intervalos siguientes: cada uno de longitud 1/9 ( n=3 ) en la figura 18. Observemos la secuencia de longitudes: comenzamos con un segmento So de longitud 1 y tras la división pasamos a tener 2 segmentos S11 y S12, de longitud 1/3 cada uno. En la operación número 2 teniamos 4 = 2 2 segmentos (S21,..., S24) de longitud 1/9 = 1/3 2 cada uno. Si repetimos el proveso de dividir en tres segmentos iguales y borrar el central, en el paso n-ésimo tendremos 2 n intervalos cerrados o segmentos (Sn1, Sn2,... Sn2 n ) cada uno de ellos de longitud 1/3 n. En sucesivas iteraciones se obtendría las siguientes longitudes de segmentos, en función de la cantidad de segmentos: 163

18 Cantidad de segmentos Longitud 2 1/3 4 1/9 8 1/ ÿ 1/3 ÿ Al efectuar una cantidad grande de pasos (que tienda a infinito) se obtiene el subconjunto de los números reales que denominamos conjunto de Cantor o Polvo de Cantor, al que por brevedad denominaremos C. Para saber cuál es la longitud final de los segmentos eliminados sucesivamente: Es decir, cuando n tiende a, teóricamente se llega a la eliminación total del segmento unitario. Sin embargo, hay que tener en cuenta que cuando borramos el intervalo (1/3, 2/3), los puntos 1/3 y 2/3, extremos del intervalo borrado, no se pierden. Por lo tanto, los extremos de los intervalos nunca son eliminados, de modo que C no está vacío: los puntos 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9,... pertenecen al mismo, y constituyen el denominado polvo de Cantor. La figura 18 a la derecha muestra una representación gráfica de la función de Cantor, a la que suele denominarse escalera del diablo, pues posee un número infinito de escalones: cada escalón corresponde a un intervalo eliminado en el proceso iterativo de construcción del conjunto de Cantor. Este conjunto exhibe de forma evidente una de las propiedades más importantes de los fractales: la autosimilitud. Tomando el intervalo [0,1/3] y ampliándolo tres veces se obtiene nuevamente el segmento unitario original. Si se toma el intervalo [0,1/9] y se lo amplía nueve veces se obtiene también el conjunto de Cantor. Es decir, desde cualquier nivel se puede retornar al original, de modo que todos los pequeños segmentos, por minúsculos que sean, contienen la información de todo el conjunto. Otro ejemplo relevante es el triángulo de Sierpinski. Partiendo de la figura de un triángulo equilátero de lado unidad, a la que consideraremos iteración n = 0, dividimos esta área en cuatro triángulos equiláteros más pequeños, usando los puntos medios de los tres lados del triángulo original como los nuevos vértices (iteración n = 1), obteniéndose al centro de la configuración un triángulo equilátero invertido de lado igual a ½, que debe ser removido. Para la iteración n = 2, se repite el proceso con cada uno de los triángulos de lado ½ que han quedado, borrando los tres triángulos equiláteros invertidos de lado ¼. Repitiendo infinitamente el proceso se obtiene una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. Figura 18. Conjunto de Cantor

19 El mismo proceso puede ser aplicado a un cuadrado de lado unitario como el de la figura 19 y el conjunto final estará conformado nuevamente por una cantidad no numerable de puntos. Se propone al lector que, a modo de ejercicio, calcule el número de cuadrados en negro, la longitud de sus lados, el área total en cada iteración y determine cuál es el área final del conjunto resultante. Figura 19. Cuadrado de Cantor Figura 20. Cinco iteraciones del Triangulo de Sierpinski En cada iteración el triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. En general, es posible dividir el triángulo en 3 n piezas autosemejantes que aumentadas en un factor 2 n devuelven la figura inicial. Como se ha dicho, este tipo de autosemejanza en todas las escalas es el sello identificativo de un fractal. También es posible realizar construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones, utilizando tetraedros, como se ve en la figura 21. Figura 21. Cuatro iteraciones del Tetraedro de Sierpinski Con un procedimiento similar al que vimos en el Conjunto de Cantor y su aplicación a una figura cuadrada (en ese caso se eliminaban 5 módulos de un total de nueve en la primera iteración), veremos cómo se forma la denominada alfombra de Sierpinski. Figura 22. Cuatro iteraciones de la Alfombra de Sierpinski

20 El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy similar a su triángulo. Se divide un cuadrado de lado inicial igual a la unidad, en nueve cuadrados idénticos y luego se borra el cuadrado central. Repitiendo el proceso en cada iteración, puede comprobarse que en la n-ésima ejecución de este proceso recursivo, persisten N cuadrados tal que Nn = 8 elevado a n, cada uno con un lado de longitud: ÿ ÿ = ÿ el área total en la n-ésima iteración será Así que en el límite tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan agujereada que su superficie es nula. Pero lo más sorprendente es que su perímetro es infinito. ÿ = ÿ ÿ = ÿ ÿ Figura 23. Cuatro iteraciones de la Esponja de Menger Los fractales clásicos provenientes de figuras derivadas de la geometría estándar no se restringen a las dos dimensiones. Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un procedimiento semejante al de la alfombra de Sierpinski, obtendremos un volumen muy agujereado que parece una esponja. El descubridor de este interesante caso de la geometría fractal fue Karl Menger ( ), a quien en lugar de eliminar pequeños cuadrados como en la alfombra de Sierpinski, se le ocurrió eliminar pequeños cubos. Obviamente, en el límite cuando el procedimiento tiende a infinito, la esponja tiene volumen nulo y superficie infinita. Otro caso sorprendente, de una forma geométrica compuesta por fragmentos en una infinita variedad de tamaños tales que cada uno de ellos es una copia reducida del total. Fractales IFS (Sistemas de Funciones Iteradas) Este es el tipo de fractal introducido por M. Barnsley. Matemáticamente se describen mediante un conjunto de funciones lineales sometidas en cada uno de sus puntos a transformaciones por simetría del tipo rotacional y traslacional, mediante aproximaciones sucesivas. Si bien las funciones son introducidas aleatoriamente en el sistema, para obtener una estructura fractal concreta es necesario fijar la función y sus valores. 166 Figura 24. Fractales IFS (Iterated Function System) que simulan plantas. Los ejemplos más conocidos, por la generación de imágenes ultrarrealistas, son las simulaciones de helechos y hojas, y otras formas infinitamente detalladas. En el caso de un árbol es posible imaginar la IFS como el follaje de ramas infinitamente pequeñas. Existen procedimientos matemáticos conocidos como