ELEMENTOS DE MATEMATICA. PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA de la UNIVERSIDAD CAECE

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1 ELEMENTOS DE MATEMATICA PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA de la UNIVERSIDAD CAECE llliiiv VOLUMEN II NUMERO VII MARZO 1988

2 VJy".... ELEMENTOS DE MATEMATICA Publicación didáctico científica de la Universidad CAECE - Trimestral Redacción y Administración: Avda. de Mavo a Piso Tel.: ELEMETiTOS DE MATEMATICA PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA de la UNIVERSIDAD CAECE Director: Secretario de Edición: Prof. Miguel García Videla Colaboradores permanentes: Dr. Luis Santaló Dr. César Trejo Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta Lic. Lucrecia Iglesias Prof. María E.S. de Hernández Prof. Elena García Prof. Ing. Juan José Rodríguez Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática Adherido al Comité Interamericano homónimo Suscripción anual: Argentina: 25 A. Exterior: 12 dólares o el equivalente en moneda de cada país Ejemplar suelto: 8 A Ejemplar atrasado: 9 A Exterior; 3.5Q dálates Registro Nacional de la Propiedad Intelectual N VOLUMEN II NUMERO VII Marzo 1988 SUMARIO Editorial 3 Polinomios en una indeterminada Prof. María EstherS. de Hernández 5 Noticias 15 Estadística y probabilidad en la Escuela Media Dr. Luis A. Santaló 16 Los problemas matemáticos en el aula Prof. María EstherS. de Hernández 27 La Computación como recurso Prof. Elena García 37 Ptaqwe&as Lic. Lucrecia Delia Iglesias 43 Diagramación e impresión: Dharma Gráfica San José Tel (1076) Capital ISSN

3 Editorial Este número VII, Volumen II, de Elementos de Matemática sale de imprenta en momentos de tremenda conmoción para la docencia argentina en todos los niveles. Compartimos con todos los colegas sus inquietudes y esperanzas - o debiéramos decir desesperanzas?-pero también estamos seguros de compartir la posición permanente de todos los que están en esta tarea: la de trabajar permanentemente en mejorar nuestra formación y por ello, todos seguimos fervorosamente con lo nuestro. Y por ser cosa nuestra comentamos algunas cuestiones relativas a este número y a actividades inmediatas. 1. Se incluye la segunda parte del trabajo"polinomios a una indeterminada". Tal como anunciáramos oportunamente, dada la extensión del mismo, se completará en el número de junio. 2. Sobre un tema, que sabemos es de gran interés para los profesores: Probabilidades y Estadística, contamos con un espléndido trabajo preparado por el gran maestro Dr. Luis Santaló. 3. La sección fija "Los problemas matemáticos en el aula" incorporay hace referencia a respuestas de colegas, línea en la que continuaremos. 4. Dada la densidad del material de este número, que genera problemas de espacio, no se incluyeron las secciones fijas "Bibliografía" y "Diálogo con los lectores" quedando en deuda, en particular con el colega Rubén Ricardo Rosas, de Misiones, con el cual dialogaremos en el próximo número. 5. En el número VIII, se comenzarán a publicar dos trabajos relativamente extensos sobre "El método axiomático formal" de Gregorio Klimosky y Miguel J.C. deasua, y "Algunas cuestiones sobre la Historia de laaritmética" de E. Gentile. 6. Finalmente queremos informar que este año intensificaremos la actividad que con el nombre de "Dialogando con el Autor" iniciáramos el año pasado. La primera reunión del ciclo 1988 se realizará el próximo 18 de mayo, a las 19 en la Sede Central de la Universidad CAECE, Avenida de Mayo 1400 de esta capital. Se anticipa que se remitirá por vía postal en la primer semana de mayo un recordatorio de esa reunión, con la mención de los autores participantes, a los suscriptos de la Capital Federal y Gran Buenos Aires. 3

4 Polinomios en una indeterminada (continuación) Prof. María Esther S. de Hernández 3, División en H<^xj En io que sigue se omite la aclaración "polinomio perteneciente a IKJXJ", sobreentendiendo que consideramos sólo los polinomios en x sobre un mismo cuerpo IK (Q, IR o C). Dados dos polinomios cualesquiera, existe siempre el polinomio producto. El problema inverso, o sea, dados A y B, hallar X tal que A = B.X (1) carece, por lo general, de solución y esto es así por la no existencia de inverso multiplicativo (salvo el caso excepcional señalado en 2.13). En el caso de que exista X = Q, solución de la ecuación (1), esta solución es única (a menos que A = B-= 0), pues: B=7 t 0yA=BQyA = B.Q' ^B^OA B.Q = B.Q' => Q = Q' por iv) Damos entonces la definición siguiente: 3.1. Definición Se dice que el polinomio A es divisible por el polinomio B (o que B divide a A, o que B es un divisor de A o que A es múltiplo de B) si i existe el polinomio Q tal que A = B.Q. Si B es distinto de cero, Q se llama cociente entre A y B. Se indica B A; luego B A*>3Q:A = B.Q Cualquier polinomio admite a 1 como divisor, pues 3 Q= A: A = 1.A. (VA) Cualquier polinomio es divisor de 0, pues 3-Q = 0: 0 = B.O. (VB). Cualquier constante no nula es divisor de cualquier polinomio A. a^0=»3 Aa, = 1. ;.3-Q = J-.A: A = a( A) =a.q.\ a/a a a a 3 El polinomio nulo sólo es divisor de sí mismo, pues VQ: 0 = 0.Q y si A ^ 0, VQ: O.Q^ A 5

5 3.2. Propiedad La relación de divisibilidad en IKjx] es un preorden; pero no es un orden. reflexividad VA, la igualdad A = A. 1 prueba que A A transitividad C B A B A => C A. En efecto: C B A B A aqx: 3Q2: 3 = C.Q i A A = B.Q2 => A = (C.Q1).Q2 =»A = C.(Q1.Q2) osea 3Q3 = Qi,Q2 tal que A - C.Q3.'. C A La reflexividad y transitividad prueban que la relación es un preorden. No es un orden, o sea, no se cumple la antisimetría, pues, AIB a BIA no implica que A = B En efecto: AlB a BIA ^ 3 Q, : 3 Q2 : B = Qx A A = Q2B(1) Luego A = 02 0! A y por lo tanto Q2Q =1 Por 2.13 Q2 = a A QI (A # 0) Entonces, reemplazando en (1) i A= ab A B = ~A a o sea que no necesariamen- te A = B (salvo el caso particular a = 1) AIB A BIA =>3a^0:A=aB A B=4"A d El recíproco también se cumple (y su demostración es trivial). 3 a^o : A = a B A B = 4-A=*AIB A BIA. d 3.3. Definición Se dice que el polinomio A es asociado al polinomio B si y sólo si A y B se dividen mutuamente 3.4. Corolario A ab ^ AIB A BIA. Una condición necesaria y suficiente para que A sea asociado a B es que uno sea el producto del otro por una constante no nula Propiedad La relación de asociación entre polinomios es una relación de equivalencia (verificarlo) Definición Se llaman polinomios unitarios a los que pertenecen a la clase del po- 6

6 linomio unidad P es unitario si y sólo si P d 1 Son, por lo tanto, divisores de 1. De aquí surge que los polinomios unitarios son de grado cero, o sea polinomios constantes no nulos. En efecto; Pfl1 => P = a.1 a a 0 por 3.4. O sea: P = a 3.7. Definición Se llama polinomio mónico o normalizado a todo polinomio cuyo término de mayor grado tiene coeficiente 1. El término de mayor grado de un polinomio se llama término director o término principal. Todo polinomio puede expresarse, si no es nulo, como el producto de una constante no nula por un polinomio normalizado. Sea A = a0 + a1 x + + an x n con an ^ 0. Entonces A puede expresarse en la forma A = an (^L+^i-x, + ' + x n ). a n a n La expresión entre paréntesis es un cierto polinomio B. Entonces A = an B con a n^0 y B es mónico Propiedad En cada clase de polinomios asociados existe un polinomio mónico y sólo uno. Sea Cl (A). Por 3.7, existe un polinomio mónico B tal que: A = an B, con an ^ 0. Por 3.4. resulta B &A o sea B G Cl (A) Entonces 3 B : (B es mónico y B G Cl (A) ) Si 3 B' : (B' es mónico y B' G Cl (A), entonces B' CLB y por lo tanto cada uno es el producto del otro por una constante no nula. Pero el término director de B y el de B' tienen coeficiente 1 pues ambos son mónicos. Por lo tanto, la constante es 1 y B' = B Propiedad La relación de divisibilidad entre clases de polinomios asociados, definida por Cl (A) I Cl (B) AIB es un orden parcial (verificado).

7 3.10. División euclidiana Dados dos polinomios A y B tales que B ^ 0 pueden presentarse dos casos: a) A es divisible por B, o sea 3 Q : A = B. Q y Q es cociente entre A y B (def. 3.1.) 3 Q : A BQ = 0 b) A no es divisible por B y entonces no existe Q tal que A BQ = 0 No obstante, veremos que se puede hallar un polinomio bien determinado Q tal que gr (A BQ) sea el mínimo posible. Teorema y definiciones Dados dos polinomios cualesquiera A y B tales que B = 0, existen un único polinomio Q y un único polinomio R que verifican las dos condiciones siguientes: A = BQ + R (1) y R = 0 v gr (R)<gr (B) (2) A, B, Q y R se llaman, respectivamente dividendo, divisor, cociente y resto. 1. Existencia del cociente y del resto. Hay dos casos triviales: a) Si A = 0, escribiendo A = 0.B + 0, se tiene que Q = R = 0 satisfacen las condiciones (1) y (2) b) Si gr (A) < gr (B), escribiendo A = O.B + A, se tiene que: Q = 0 a R = A satisfacen también las condiciones Luego interesa considerar especialmente el caso en que gr (A)>gr (B). Puesto que todo polinomio es una suma de monomios (ver 2.4.), la conmutatividad de la adición en IK permite escribir a los polinomios A y B de modo que sus términos o monomios se sucedan según el orden decreciente de sus grados. Así, primer término significa término de mayor grado o término principal. Sean,entonces A = an x n a, x + a0 ^ ^ B = bm x m ' + h bj x + b0 b m^0 gr(a)<gr(b) El primer término de A es divisible por el primer término de B. En efecto: 3 Qi: an xn =bmx m.q1 y q, Como gr (A) > gr (B) o n > m => n m = 0 v n m IN "m 8

8 O sea: qx es un monomio en "rn Al efectuar el producto Bqx, el primer término del producto es bm x m+n - m = an x n O sea, los primeros términos de A y de Bqx son iguales y por lo tanto en la diferencia A Bqx desaparece el término de grado n. Llamando Rx a esa diferencia: A Bqx = Rx y R =0 v gr(r j} < gr(a) Si Rx =0 v gr(rj) < gr(b) se tiene la solución Q = qx v R = RX Si Rj t^o a gr(r j) > gr(b), se repite el paso anterior pero reemplazando al polinomio A por R1( que se llama primer resto parcial, y calculando el cociente q2 entre el primer término de Rx por el primero de B y así sucesivamente. Se obtienen entonces las igualdades siguientes: A Bqx = Rx Rx Bq2 = R2 con gr (Rx) <gr (A) = n gr (R2) <gr (Rx) R, B % + 1 ~ R h+1 gr (Rh + 1)<gr (R Como los grados de los sucesivos restos parciales van decreciendo desde gr (Rx) < n, al cabo de un número finito de pasos como los indicados (n como máximo) debe llegarse a un resto R h+1 0 v gr (Rh + i X gr (B) Sumando miembro a miembro dichas igualdades, se obtiene, luego de las cancelaciones de los R que figuran en ambos miembros de iasuma: A-B (qt+q qh+1) = Rh+1 lo cual muestra la existencia de la solución (Q, R) con Rh + 1 =0 v gr(rh + 1 )<gr B G = qx +q qh+1 y R.= Rh + 1 El proceso seguido para obtener una solución que satisfaga las condiciones (1) y (2) se llama división eucüdiana (Nótese que tai proceso es la clásica "regla" para dividir dos polinomios, usada en la enseñanza elemental y llamada división según las "potencias decrecientes de x"). 2. Unicidad del cociente y del resto Supongamos que (Q, R) y (G\ R') sean soluciones del problema. Entonces:

9 A = BQ + R con R = 0 v gr(r)<gr(b) A = BQ' + R' con R'=0 v gr(r')<gr(b) Entonces BQ+R = BQ' + R' o bien B(Q-Q') = R'-R (3) Puede ocurrir que R' R = 0 o bien R' R^O Si R'- R = 0, entonces R' = R y en (3): B (Q-Q')=0 y puesto que B 0 debe ser Q Q' = 0, es decir Q' = Q, Veremos que ia otra alternativa no es válida. Si R' R^O, como gr (R) < gr (B) resulta gr (R' - R) <gr B De la igualdad (3): Idad (3); gr [B (G Q') ] = gr (R' R) gr (B) + gr (Q Q') < gr B.Osea: m + h < m desigualdad imposible entre enteros no negativos Observación La división euclidiana de A por B, que sólo exige, en cada paso, dividir por el término director del divisor B, resulta más simple si B es mónico. Si B no es mónico, se lo puede normalizar dividiendo por el coeficiente de su término director que es una constante no nula. La división de A por el polinomio normalizado B' que se obtiene, da el mismo resto que la división de A por B y el cociente es igual al de esta última división multiplicado por la constante, como lo prueba la siguiente Propiedad Si se multiplica al divisor B por una constante no nula k, el resto de la división de A por kb es igual al resto de la división de A por B; pero el cociente es igual al producto entre el cociente de A por B y el inverso de k. En efecto: Si A = BQ + R con R = 0 v gr(r)<gr(b) VkGlK a k ^ 0, e x i s t e 0 tal que: A= (k. ) (BQ) + R o bien k 1 A = (kb) ( Q) + R con R=0 v gr (R)<gr (B), lo cual expresa que k 1 Q' = Q y R' = R son el cociente y el resto de dividir a A por kb k Observación En la división euclidiana de A por B con gr (A) = n y gr (B) = m se 10

10 tiene que: a) el cociente y el resto resultan ordenados según los grados decrecientes de sus términos. b) el grado del cociente queda determinado a priori: es igual a n m, dado por el primer térm no Q_ Yri- m b m c) los coeficientes de Q y de R se obtienen exclusivamente a partir de los de A y de B. No puede anticiparse si el resto es nulo o si tiene grado y cuál es éste, pero cabe tener en cuenta que el grado de cualquier polinomio no nulo, completo, es igual as número de sus términos menos 1. Lo anterior sugiere un procedimiento abreviado de la división de A por B, operando sólo con los coeficientes, dispuestos ta! como se suceden en A y en B y completando con ceros los lugares que correspondan a los términos faltan tes, hasta el grado cero inclusive. La operación concluye cuando en una de las diferencias o restos parciales se obtienen todos ceros, o sea R = 0; o bien, cuando el número de coeficientes que se obtiene, contando el primero no nulo y todos los que le siguen (ceros incluidos), es menor que el número de términos del divisor completo. Se ilustra el procedimiento con el siguiente ejemplo. Sea: A = 2x 6 + x s + 8 x x 2 + x 5 ; B = x 3 - x fin Luego: Q = 2 x 3 + x 2 + 2x - 1 y R = x 2-10x División por un polinomio de primer grado El caso más importante de la división de polinomios en x, es aquel en el cual el divisor es de primer grado, es decir un binomio bj x + b0 con bt # 0, que puede expresarse también en la forma bj x ( b0) o bien, en general, bx a, con b 0 El proceso de división euclidiana permite obtener Q y R, tales que 11

11 A = Q (bx a) + R (R = O v gr (R) < 1) O sea R = O o gr (R) =0; luego R es un polinomio constante, identificable con un elemento de K. Además: gr (Q) = gr (A) 1. Se presentan dos casos: i) b -= 1, o sea el divisor de primer grado es mónico. El proceso de división euclidiana aplicado a este caso, resulta: + a m m-1 d.. a. m-2 m a.a m-1 m- m- -a m_ 2 a.a m_ 2 m 3 a i 1 m-1 : a m a m 2 a El proceso sugiere la siguiente + a o a - a o R ~ Regla de Ruffini: En la división de un polinomio A por un binomio B = x a, el grado del cociente es una unidad menor que el grado de A. El primer coeficiente del cociente es igual al primero del dividendo A y, en general, el i-ésimo coeficiente, distinto del 1 o, es la suma del i-ésimo del dividendo y el producto de a por el coeficiente anteriormente obtenido. Se facilita la aplicación de la regla anterior con la disposición que se muestra en el siguiente ejemplo: A = 3 x 5 x 4 + x 2-1 B = x I I 83 = R Q : b -=h 1. El caso se reduce al anterior. En efecto: sea B = bx a con b 0; si se lo normaliza se obtiene B' = x Jl. Como B' =J_B con ^ 0, si se divide a A por B' se obtiene el mismo resto R que al dividir a A por 8 y un cociente Q' = bq (prop ) 12

12 1350 De aquí resulta Q= Q'. b Especiaüzación de la indeterminada Sea P = a0 +a, x + + an x n e IKjxl y un anillo o un cuerpo IK'en el cual hay un subconjunto identificable con IK, Eventualmente puede ser IK' = IK. Por ejemplo: 1. IK' = contiene al conjunto de los polinomios constantes naturalmente identificable con K. 2. IK = IR A IK' =C pues C contiene al conjunto de los complejos reales que se identifica con IR. 3. IK = IR A K' = IR pues IR C IR 4. IK=C A IK'=C pues C C C Entonces, a cada elemento x de IK' se le puede hacer corresponder el único elemento de IK' a0 + ax x + a2 x an x n, obtenido al substituir la indeterminada x en P por el elemento genérico x de K'. Esto define una función p : K' -HK', a espensas del polinomio P, tal que: V x G K' p (x) = a0 + at x + a2 x an x n Dicha función se llama función racional entera. En la expresión de p (x), x ya no es la indeterminada, es una variable que puede tomar cualquier valor del dominio IK'. Por ejemplo: 1. p : IK[xj -* IK^xj tal que para cualquier polinomio X G IK^xj le hace corresponder p (X) = a0 + at X + a2 X an X n 2. en particular si IK' es el cuerpo IK de los coeficientes de P, la función racional entera se llama función polinómica Si P = 1-2 x 2 + x 3-5 x 5, entonces (P G IRfv1) 2 L X J p : R R/p (x) = 1-2 x 2 +yx 2-5 x 2 es una función polinómica en IR. Definición El valor p(a) que toma la función racional entera asociada al polinomio P se dice que es la especialización de x por a. Si la función es polinómica, se dice también que p (a) es el valor numérico asociado al polinomio P para x = a. De acuerdo con la forma en que se han definido las funciones anteriores, asociadas a un polinomio dado P, resulta que puede pasarse de un concepto al otro, polinomio función, sin más que reemplazar, en 13

13 la expresión de! polinomio, al símbolo o indeterminada x, por un símbolo que, eventualmente, puede ser el mismo x pero que representa a un elemento genérico de IK'. Para poner en evidencia tal especialización se suele denotar al polinomio en la forma p (x), con los riesgos de confusión entre polinomio y función que, no obstante, son salvabies si se atiende al contexto en que se manejan. Esta posibilidad de definir funciones en distintos conjuntos a expensas del polinomio P sin más que el cambio formal de interpretación del símbolo x, justifica el nombre inicial de indeterminada, como se adelantó al comienzo de! capítulo Teorema dei resto El resto de la división euciideana de A por (x a) es la constante A(a), igual a la especialización de x por a. En efecto A = Q(x-a) + R A(a) = R A(a) = Q(a).(a-a) + R con R =0 v gr(r) =0 (Se puede generalizar: el resto de la división auclidiana de A por un binomio bx a es la especialización de x por a/b, que es la constante que anula al divisor) Definición Se dice que la constante a es un cero del polinomio A sii A(a) = 0. Corolario Una condición necesaria y suficiente para que a sea un cero del polinomio A, es que A sea divisible por x a. En efecto: A = Q(x a) + R (1) Si a es un cero de A, entonces A(a) = 0 por definición, y como R = A(a) por T. del Resto, resulta R = 0, o sea A es divisible por x a. Recíprocamente: si A es divisible por x a, entonces R=0 y (1) deviene A = Q(x a). Por lo tanto A(a) = Q(a) (a a), o sea A(a) = 0 y entonces a es un cero de A 3.17 Aplicaciones del teorema del resto a la divisibilidad en casos particulares Suponemos a 0 i) A = x m -l-a m es divisible por x + a sii m es impar. En efecto: 14

14 A( a) = (-a) m + a m =0 sii m es impar, ii) A = x m + a m no es divisible por x a y el resto es 2a m A(a) =a m + a m = 2a m ii) A = x m a m es divisible por x + a sii m es par. A( a) = ( a) m a m = 0 sii m es par. iv) A = x m. a m es divisible por x a, para cualquier m A(a) = a m - a m = 0 Estas propiedades se resumen en el enunciado clásico xm + am es divisible por x + a sii m es impar xm + am no es divisible por x a xm _ am es divisible por x + a sii m es par x m a m es divisible por x a siempre N P S (Continúa en el próximo número) Noticias VIGESIMONOVENAS OLIMPIADAS INTERNACIONALES DE MATEMATICAS Estas Olimpíadas tendrán lugar en Australia en 1988, del 9 al 21 de julio. El Sr. Ministro de Educación y Justicia ha aceptado la invitación para que participe una delegación Argentina; la misma se seleccionará entre los semifinalistas de torneos similares que se han realizado a nivel nacional. Los objetivos de esta competición incluyen: a) el hallazgo, la promoción y el desafío de escolares con dotes matemáticas procedentes de todos los países. b) Mejorar a nivel internacional las relaciones de amistad entre estudiantes y profesores; y c) la creación de una oportunidad para el intercambio de información de prácticas y de programas escolares a escala mundial. V 2 OLIMPIADA MATEMATICA ARGENTINA Comienza a ponerse en marcha la quinta Olimpíada Matemática Argentina, inserta en la Olimpíada Matemática Rioplatense, organizada por el CLAMI (Centro Latinoamericano de Matemática e Informática) y patrocinada por la Universidad CAECE. La misma se circunscribe al nivel medio de enseñanza. Se describe a continuación el calendario. (Continúa en la página 26) 15

15 Estadística y probabilidad en la Escuela Media Luis A. Santaló ALGUNOS EJEMPLOS 1. INTRODUCCION La introducción de las ideas básicas de la Estadística y probabilidad en los niveles primario y secundario de la educación, es uno de los problemas más importantes y urgentes que tiene planteados en la actualidad la didáctica de las ciencias y, en particular, la didáctica de la matemática. La vida moderna necesita del pensar estadístico y probabilista tanto como del pensar determinista que ha caracterizado a la matemática clásica en los primeros niveles educativos. Hay que educar a los alumnos, desde la escuela primaria, en la costumbre de pensar en valores medios, en la obtención de resultados a partir de muestras y en estimar la confiabilidad de los mismos para las aplicaciones corrientes. La cantidad de personas de una determianada población que padecen una cierta enfermedad, o que son fumadores, o que escuchan una dada audición de radio o televisión, así como el número de peces de un lago o el de individuos de una determinada especie en una reserva ecológica, no son cosas que se puedan calcular "exactamente", pero hay que mostrar como se pueden apreciar con una cierta aproximación y en forma de porcentajes o frecuencias relativas. Se hacen predicciones mediante muestras y de la misma manera se procede para los sondeos o encuestas de opinión o para el análisis de mercados en poblaciones numerosas. Lamentablemente, el gran número de trabajos y de textos que sobre estas cuestiones existen a un nivel superior (terciario o universitario) en todos los idiomas, contrasta con la escasez de información sobre la enseñanza de estos temas en los niveles elementales. Habría que coleccionar abundantes ejercicios y confeccionar guías para orientar a los maestros y profesores, ordenados por edades de los alumnos y de acuerdo con especialidades y con los fines perseguidos, de manera que se pudiera seleccionar para cada curso el material más adecuado. En este artículo nos proponemos dar algunos ejemplos al respecto, con la idea general de que se cumplan las siguientes condiciones: a) Cada alumno debe coleccionar y ordenar datos, obteniendo con ellos 16

16 sus propios resultados; b) Juntando y promediando los resultados de todos los alumnos, se obtendrán valores más confiables que los de un solo alumno;c) Mucho antes de que los alumnos estén en condiciones de abordar a solución teórica de los problemas, pueden ser instruidos en la búsqueda experimenta! de la solución, mediante el uso de Tablas de Números al azar. La simulación de los problemas es muy instructivo, tanto para estimar la solución experimental cuando no se conoce la teórica, como para comprobar esta última si se conoce y poner de relieve su coincidencia práctica con la probabilidad experimental o frecuencia. 2. Frecuencia de las letras en el Idioma español Se propone a os alumnos (primer año) la siguiente tarea. Cada uno debe elegir 10 líneas corridas de cualquier libro y de cualquier página del mismo. Las 10 líneas elegidas deben ser distintas para cada alumno. Luego, cada alumno debe contar el número de letras contenidas en sus 10 líneas, sin tomar en cuenta los espacios en blanco ni los signos de puntuación: sea N este número. Debe luego contar el número de letras a contenidas en las mismas 10 líneas: sea Na su número. El cociente Na/N es la "frecuencia relativa" de la letra a en las 10 líneas consideradas. Se observa que esta frecuencia relativa, a pesar de haber elegido distintos libros y distintos párrafos, tiene un valor parecido para todos los alumnos, el cual no difiere mucho de 0,12 y si se hace la media aritmética de los resultados de todos los alumnos, todavía la aproximación a 0,12 será mayor. El valor 0,12 es la frecuencia relativa de la letra a en el idioma español. El resultado de cada alumno es difícil que difiera de este valor en más de 3 o 4 centésimas. Es un ejemplo de problema "probabilista" en el que no se pretende la exactitud en el resultado (como en los problemas deterministas de la matemática clásica), pero que sin embargo se puede esperar bastante buena aproximación. Por ejemplo, en la introducción al primer capítulo titulado "El inmortal" del libro "El Aleph" de J.L. Borges, aparece 77 veces la letra a, sobre un total de 675 letras, o que da la frecuencia relativa 77/675 = 0,114, no muy distinta de 0,12. Se puede repetir la experiencia para distintas letras. Para ello damos las siguientes tablas de las frecuencias de las 29 letras del idioma español. Las Tablas han sido confeccionadas por Víctor H. Chanto Arguedas y José A. Villalobos Morales en la revista CIENCIA Y TECNOLOGIA de la Universidad de Costa Rica, vol. X, 1986, p En otros textos se dan valores un poco diferentes, debido a que se cuentan, en el total, los signos de puntuación y los espacios entre palabras, que aquí no se han tenido en cuenta. 17

17 FRECUENCIA DE LAS LETRAS EN EL IDIOMA ESPAÑOL (TANTOS POR CIENTO) Letra Frecuencia Letra Frecuencia a ,5 b 1,18 k 0,05 c 3,85 1 4,85 ch 0,3 II 0,13 d 4,68 m 3,10 e 13,5 n 6,14 f 1,2 ñ 0,32 g 1,4 0 9,38 h 0,45 P 2,52 i 6,78 q 0,95 Letra Frecuencia r 6,38 s 7,98 t 4,70 u 4,73 V 1,03 w 0,05 X 0,07 y 0,8 z 0,53 Otra estadística que puede hacerse es la de la frecuencia de las letras "al comienzo de palabra". Cada alumno debe tomar un diccionario, sea el mismo o no, y anotar el número de páginas (estimando en números enteros) que corresponden a cada letra. Dividiendo el resultado por el número total de páginas del diccionario, se tendrán (con una aproximación un tanto grosera pero suficiente) las frecuencias de cada letra al comienzo de palabra. Debe usarse un diccionario que no contenga nombres propios. Por ejemplo, con el diccionario de la Real Academia Española de 1956, que tiene 1366 páginas, se llega al siguiente resultado. FRECUENCIA DE LETRAS AL COMIENZO DE PALABRA (tantos por ciento) Letra Frecuencia a 13,3 b 4,2 c 14,0 ch 1,0 d 6,0 e 7,3 f 3,0 g 3,3 h 2,8 i 2,6 Letra Frecuencia Letra Frecuencia i 1,1 r 4,7 k 0,1 s 4,9 I 2,8 t 5,4 II 0,2 u 0,6 m 6,3 V 2,8 n 2,1 w 0,0 ñ 0,1 X 0,1 0 1,9 y 0,3 P 9,6 z 0,9 q 0,6 18

18 Se pueden proponer tareas para ver la concordancia o no de estos valores con páginas al azar de libros diversos. En general la concordancia no es tan buena como en el caso de las letras, debido posiblemente a que las palabras que se utilizan comunmente son tan solo una parte bastante limitada del total. Las muestras son, por tanto, muy sesgadas. Ta! vez, tomando el problema a la inversa, la discrepancia entre los valores dados y los obtenidos en distintas páginas de un mismo autor, podría servir para estimar que parte del vocabulario total del idioma es usado por el autor. Finalmente, otra estadística puede ser la de las letras con que empiezan los apellidos de una población. Se toma la guía telefónica de una ciudad y se cuentan las páginas (o parte alícuota de ellas) que corresponden a cada letra. Dividiendo por el número total de páginas se tendrán las frecuencias (aproximadas) de las letras como iniciales de apellidos. La guía telefónica de la Ciudad de Buenos Aires de 1984, con un total de 2664 páginas, da los siguientes resultados. FRECUENCIA DE LETRAS AL COMIENZO DE APELLIDO EN LA CIUDAD DE BUENOS AIRES (1984) (tantos por ciento) Letra Frecuencia Letra Frecuencia Letra Frecuencia a 6,0 j 0,8 b 8,0 k 1,4 c 9,7 I 5,2 ch 0,7 II 0,2 d 5,5 m 8,7 e 1,9 n 1,6 f 5,1 ñ 0,0 9 7,3 0 1,6 h 1,5 P 6,8 i 1,6 q 0,4 r 5,9 s 7,9 t 3,1 u 0,4 V 3,3 w 0,7 X 0,0 y 0,3 z 1,0

19 Se puede ver si hay concordancia o no de estos resultados con los alumnos de la clase, que asi practicarán porcentajes, aunque no es de esperar mucha coincidencia por tratarse de una muestra reducida. Ejemplo: Hay que examinar a 2000 alumnos. Se desea distribuirlos en 4 sedes de acuerdo con las iniciales de los apellidos, de manera que correspondan a cada sede aproximadamente 500 alumnos. Cómo debe procederse? Según la tabla anterior, distribuyendo a los alumnos por las iniciales A-CH, D-K, L-Q y R-Z se tendrán aproximadamente el 25% del total en cada grupo. Naturalmente que la estadística ha sido hecha en base a los apellidos que figuran en la guía telefónica, que no son todos, pero es una manera de estimar algo si no hay otro método mejor 3. Tabla de números al azar La resolución experimental de problemas de probabilidades finitas, o bien la comprobación de resultados teóricos sobre ellos, exige en general el uso de ruletas, bolilleros, dados o monedas para simular la situación. Sin embargo, el uso en el aula de estos instrumentos es poco práctico y difícil de controlar. Creemos que en gran parte pueden sustituirse por Tablas de Números al azar, como veremos con algunos ejemplos. Cada alumno debe disponer de una Tabla de Números al azar de 500 dígitos. Es fundamental que esta tabla sea diferente para cada alumno, pues de esta manera, el conjunto de la clase actuará como si dispusiera de una tabla de 500 veces el número de alumnos (si son 30 alumnos se tendrá en total una Tabla de dígitos) con lo cual los resultados serán muy confiables. Hay muchas maneras de construir una Tabla de números al azar, El más primitivo y directo consiste en poner en una bolsa o bolillero los diez números 0, 1,2,..., 9 e irlos sacando al azar, reponiéndolos y mezclándolos cada vez. También se puede copiar de algún texto de Probabilidades que contenga tales tablas, en cuyo caso, como suelen traer muchos más de 500 números, se pueden repartir entre varios alumnos. Muchas calculadoras o minicomputadoras tienen programas para engendrar números al azar. El libro de Glaymann-Varga 2 indica otros procedimientos. Nosotros hemos construido la Tabla que damos a continuación con los últimos números del sorteo de la Lotería Nacional del día 31 de diciembre de 1987, prescindiendo de las aproximaciones. Cada alumno elegirá el método que quiera, con la orientación y ayuda del profesor, pero insistimos en la importancia de que todas las Tablas sean diferentes y que siempre el alumno trabaje con su propia Tabla: así se evitan copias y se llama la atención sobre el hecho de que, con Tablas de tan diverso origen, las soluciones de los problemas son siempre bastante coincidentes. 20

20 TABLA DE NUMEROS AL AZAR En esta Tabla, los números de veces que aparecen el 0, 1, 2..., 9 y su frecuencia (cociente entre este número y el total de 500) resultan: Número Veces que aparece Frecuencia 11,4 10,2 9,2 11,6 10,4 8,6 10,6 10 7,4 10,6 Las frecuencias las hemos indicado en tantos por ciento. Vemos que los valores se acercan bastante a la frecuencia teórica 10%. Comparando con los resultados de las Tablas de cada alumno y hallando las frecuencias del total, seguramente que se obtendrá una mayor aproximación. 21

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