UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE V

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-07-2-V CURSO: Maemáica Inermedia CÓDIGO DEL CURSO: 07 SEMESTRE: Primer Semesre JORNADA: Vesperina TIPO DE EXAMEN: Segundo Examen Parcial FECHA DE EXAMEN: 3 de marzo de 208 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Kevin Adolfo Duare Chamalé REVISÓ EL EXAMEN: Inga. Silvia Hurare COORDINADOR: Inga. Vera Marroquín

2 Maemáica Inermedia TEMA (35 PUNTOS). Enconrar el cenroide de la región limiada por las curvas y = x 2 2x +, y la reca 4x + y = 2..2 Una placa plana, en forma de cuaro de círculo de 4 m de radio, se sumerge vericalmene en aceie, de densidad 800 kg/m 3 colocada a m de profundidad desde la superficie de aceie a la pare superior de la placa. Planee una inegral para la fuerza oal ejercida por la presión del aceie en la cara de la placa. TEMA 2 e 2. Deermine si la inegral es convergene dx x lnx 2.2 Sin enconrar los valores de las consanes, resuelva la inegral dx (x + ) 2 (x 4)(x 2 + 3x + 9) (30 PUNTOS) 2.3 Use la regla de Simpson para obener una aproximación a la inegral cos x dx, n = 4 0 TEMA 3 (35 PUNTOS) 3. Deermine si la sucesión es convergene { 3 4n +2n } 3.2 Aplique crierio de la inegral para deerminar si la serie converge o diverge 2n n Dada las series, deermine, si convergen o divergen idenificando el crierio usado. Si es posible encuenre la suma a. ( 7 5 (3 4 ) n + 2 n) b. 3 n 5 c. 3 4n + 2n

3 Maemáica Inermedia SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema. Enconrar el cenroide de la región limiada por las curvas y = x 2 2x +, y la reca 4x + y = 2. Hallamos los punos en donde se inersecan las funciones, igualándolas. x 2 2x + = 4x + 2 x 2 + 2x = 0 x = (2) ± (2)2 4()( ) 2() = ± 2 2 Graficamos las funciones en el inervalo adecuado. De la inersección, obenemos la siguiene figura. P ( 2.442,.65) P 2 (0.442,.65) 3 Procedemos a calcular el área, un parámero necesario para el cálculo del cenroide. f(x) = 4x + 2 g(x) = x 2 2x + b A = [f(x) g(x)] dx a a = b = A = [( 4x + 2) (x 2 2x + )]dx A = ( 2x x 2 )dx A = 3.77 u 2

4 4 Procedemos a calcular el valor del cenroide en el eje horizonal (x). x = A Maemáica Inermedia b [f(x) g(x)] dx a x = A x ( 2x x2 ) dx x = A (x 2x2 x 3 ) dx x = x4 [ A 4 2x3 3 + x ] x = = 5 Procedemos a calcular el valor del cenroide en el eje verical (y). y = A [f2 (x) g 2 (x)] dx 2 y = 2A [( 4x + 2)2 (x 2 2x + ) 2 ] dx y = 2A (3 2x + 0x2 + 4x 3 x 4 ) dx y = x2 x3 [3x A x4 4 x ] y = (3.77) = 5.20 R// C(, 5.20)

5 Maemáica Inermedia.2 Una placa plana, en forma de cuaro de círculo de 4 m de radio, se sumerge vericalmene en aceie, de densidad 800 kg/m 3 colocada a m de profundidad desde la superficie de aceie a la pare superior de la placa. Planee una inegral para la fuerza oal ejercida por la presión del aceie en la cara de la placa. Tenemos la siguiene función, para el cuaro de círculo (omamos nuesro cenro en el origen). 2 La gráfica de la función anerior es la siguiene. x = 4 2 y 2, 4 y 0 3 Planemos ahora el diferencial de fuerza.

6 Maemáica Inermedia 4 Conocemos lo siguiene. df = P da P = ρgh h = y 5 El diferencial de fuerza, queda enonces de la siguiene forma. da = x dy = 4 2 y 2 df = (ρg)( y) 4 2 y 2 dy F = ρg( y) 4 2 y 2 dy 6 Sabemos que los límies de nuesra inegral esán en el eje verical, y van desde el cenro del círculo hasa su radio (en ese caso negaivo por la orienación del dibujo). 7 Finalmene, para enconrar la presión enemos que inegrar, el diferencial hallado en el puno 4, denro de los límies hallados en el puno anerior. El resulado es el siguiene. y o = 4 y = 0 y F = ρgh da y o 0 F = (800)(9.8) ( y) 6 y 2 dy 4 0 F = 7840 ( y) 6 y 2 dy 4 R// F = 7840 ( y) 6 y 2 dy 0 4

7 Maemáica Inermedia Tema 2 2. Deerminar si la inegral es convergene. e x lnx dx Para resolver esa inegral debemos efecuar una susiución. Sin embargo anes se deben modificar los limies, pues enemos que la inegral iene un puno no definido como límie de inegración. 2 Procedemos a resolver la inegral. e I = lim x ln x dx x ln x dx u = ln x du = x u du = ln u + C x ln x dx = ln ln x + C 3 Evaluamos los límies. e lim x ln x dx = ln ln e lim (ln ln ) e lim x ln x dx = ln ln e ln ln 0 = e x ln x dx = Diverge R// Ya que el límie de la inegral iende a infinio, la inegral diverge.

8 Maemáica Inermedia 2.2 Sin enconrar los valores de las consanes, resolver la inegral. dx (x + ) 2 (x 4)(x 2 + 3x + 9) Separamos la función para poder aplicar fracciones parciales. (x + ) 2 (x 4)(x 2 + 3x + 9) = A x + + B (x + ) 2 + C x 4 + Dx + E (x 2 + 3x + 9) 2 Como no es necesario hallar las consanes, procedemos a resolver la inegral. A [ x + + B (x + ) 2 + C x 4 + Dx + E (x 2 + 3x + 9) ] dx A ln(x + ) + B + C ln(x 4) (x + ) Dx + E + [ (x 2 + 3x + 9) ] dx 3 Procedemos a resolver la inegral resane. Dx + E [ (x 2 + 3x + 9) ] dx D (2x + 3) (E + 2 x 2 + 3x + 9 dx + u = x 2 + 3x + 9 du = 2x + 3 3D 2 ) (x ) dx v = (x ) dv = dx D 2 u du + (E + 3D 2 ) v dv 4 D 2 ln u + (E + 3D 2 ) 2 27 an ( 2v 27 )

9 Maemáica Inermedia D 2 ln(x2 + 3x + 9) + (E + 3D 2 ) 2 27 an ( 2 (x + 3 ) 2 27 ) 4 Sumamos odos los érminos. A ln(x + ) + B + C ln(x 4) (x + ) + D 2 ln(x2 + 3x + 9) + (E + 3D 2 ) (x + 27 an ( 27 2 ) ) R// dx (x+) 2 (x 4)(x 2 +3x+9) = A ln(x + ) + B (x+) D 2 ln(x2 + 3x + 9) + (E + 3D ) an ( 2 27(x C ln(x 4) ) ) + k

10 Maemáica Inermedia 2.3 Use la regla de Simpson para obener una aproximación a la inegral para n = 4 cos x dx 0 Deseamos aproximar la siguiene área. 2 Sabemos que la regla de Simpson dice lo siguiene. n S n = Δx 3 c f(x i) = f(x) dx i=0 a b 3 Hallamos los parámeros necesarios. a = 0 b = n = 4 Δx = b a n = 0 4 = Evaluamos los daos en la ecuación descria aneriormene. S n = 0.25 [Cos( 0) + 4 Cos( 0.25) + 2 Cos( 0.5) Cos( 0.75) + Cos( )] S n = Cos( x)dx R// Cos( x)dx

11 Maemáica Inermedia Tema 3 3. Deerminar si la sucesión es convergene. { 3 4n + 2n } La sucesión es convergene si el evaluar el límie al infinia, esa da un valor finio. 3 4n lim n + 2n 2 Evaluando el límie obenemos. 3 lim 4 n n + 2 = = 2 n R// Ya que el límie cuando n iende a infinio de la sucesión, da como resulado un valor finio, concluimos que la sucesión converge.

12 Maemáica Inermedia 3.2 Aplique el crierio de la inegral para deerminar si la serie converge o diverge. 2n n 4 + Aplicamos el crierio de la inegral. lim 2x x 4 + dx 2 Resolvemos la inegral, por medio de la susiución. u = x 2 du = 2x dx u 2 + du = an (u) + C 2x x 4 + dx = an (x 2 ) + C 3 Volvemos a la expresión original lim 2x x 4 + dx = lim [an (x 2 )] lim 2x x 4 + dx = lim 2x x 4 + dx = lim lim [an ( 2 ) an ()] lim [an ( 2 )] π 4 2x x 4 + dx = π 2 π 4 = π 4 R// Por definición sabemos que, si la inegral converge, la serie ambién converge. Por lo ano, la serie es convergene.

13 Maemáica Inermedia 3.3 Dada las series, deermine, si convergen o divergen idenificando el crierio usado. Si es posible encuenre la suma. a. ( 7 5 (3 4 ) n + 2 n) En ese caso podemos escribir la serie de la siguiene forma. n 7 5 (3 4 ) + ( n 2 ) 2 Sabemos que ambas series convergen pues se pueden llevar a la forma de la conocida serie geomérica, la cual converge si r < y cuyo resulado esá indicado. a r n = n 7 5 (3 4 ) (3 4 ) a r + ( n 2 ) ( 2 ) n 2 20 (3 4 ) + n 2 ( 2 ) 3 Ya que ambos valores denro de la exponencial, ienen valor menor a, sabemos que la series convergen. Procedemos a resolverlas ( 3 ) + 2 ( ) ( ) + 2 ( ) (4) + 2 (2) R// ( 7 5 (3 4 )n + 2 n) = 26 5

14 Maemáica Inermedia b. 3 n 5 En ese caso podemos escribir la serie de la siguiene forma. n 5/3 2 Vemos que la serie iene la forma de la conocida, serie p, la cual converge en el caso de que p sea mayor a. n p p = > R// Ya que el valor de p es mayor a, sabemos que la serie converge.

15 Maemáica Inermedia c. 3 4n + 2n Hallamos el límie de la serie. 3 4n lim n + 2n 2 En ese caso enemos que, si el límie no iende a cero, la serie es divergene. 3 4n lim n + 2n = 2 R// La serie diverge, pues el límie al infinio de la serie es disino de cero.