Gráfico de Dispersión de Notas en la Prueba 1 versus Notas en la Prueba Final Acumulativa de un curso de 25 alumnos de Estadística en la UTAL

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1 0. Describiendo relaciones entre dos variables A menudo nos va a interesar describir la relación o asociación entre dos variables. Como siempre la metodología va a depender del tipo de variable que queremos describir. Primero vamos a estudiar cómo describir la relación entre dos variables cuantitativas luego cómo describir la relación entre dos variables cualitativas. 0. Describiendo relaciones entre dos variables cuantitativas Para mostrar graficamente la relación entre dos variables cuantitativas usaremos un gráfico llamado de dispersión o de. Gráfico de Dispersión de Notas en la Prueba versus Notas en la Prueba Final Acumulativa de un curso de alumnos de Estadística en la UTAL 7 Estudiante (.,.7) Eamen 7 Prueba ID P E a) Encuentre el estudiante número 9 en el gráfico b) Suponga que otro estudiante tuvo un.0 en la primera prueba un. en la prueba final acumulativa o Eamen. Agregue este punto en el gráfico. Al igual que cuando estudiamos los histogramas, tallos hojas otros gráficos, ahora nos va interesar describir la forma del gráfico. Específicamente en este caso particular de gráficos de dispersión, nos va interesar la dirección, forma grado de asociación entre dos variables cuantitativas. Por dirección, diremos que dos variables están asociadas positivamente cuando a maor valor de una variable el valor de la otra variable también aumenta, como se muestra en la figura A. Dos variables estarán negativamente asociadas cuando a maor valor de una variable el valor de la otra variable disminue, como se muestra en la figura B. La forma de una asociación puede ser además lineal, curva, cuadrática, estacional o cíclica, o quizás no tenga una forma definida. En la figura A podemos decir que la relación es lineal. En cambio en las figuras B D parece no lineal. Por último la figura C muestra que no ha asociación. Por el grado de asociación entendemos cuán cerca están los datos de una forma dada. Por ejemplo, en la figura B se ve que eiste un alto grado de asociación no lineal entre los datos. En este punto debemos tener cuidado, porque cambios de escala pueden cambiar la figura nos pueden llevar a conclusiones erróneas. Más adelante discutiremos sobre una medida de asociación llamada el coeficiente de correlación.

2 Por último, al mirar un gráfico de dispersión nos van a interesar puntos que aparecen lejos o desviados del patrón general del gráfico. En la figura A, el punto (, 9) está lejos del resto de los puntos, sin embargo parece seguir el patrón general del gráfico. Como resumen de las figuras tenemos lo siguiente: Figura A: muestra un grado de asociación intermedio, positivo lineal. Figura B: muestra un grado de asociación fuerte, negativo no lineal o curvo. Figura C: muestra que no ha asociación entre las variables. Figura D: muestra un grado de asociación mu fuerte no lineal o cuadrático. Figure A: Positive Association Figure B: Negative Association Figure C: No Linear Association Figure D: No Linear Association Interprete el gráfico de las notas anterior.

3 Correlación: Cuán fuerte es la relación lineal? Definición: El coeficiente de correlación muestral r mide el grado de asociación lineal entre dos variables cuantitativas. Describe la dirección de la asociación lineal e indica cuán cerca están los puntos a una línea recta en el diagrama de dispersión. El coeficiente de correlación muestral Características:. Rango: r + r = ρˆ es un estimador puntual de la correlación poblacional ρ (parámetro). Signo: El signo de coeficiente de correlación indica la dirección de la asociación La dirección será negativa si el r está en el intervalo [-, 0) La dirección será positiva si el r está en el intervalo (0, +].. Magnitud: La magnitud del coeficiente de correlación indica el grado de la relación lineal Si los datos están linealmente asociados r=+ o r= indican una relación lineal perfecta. Si r= 0 entonces no eiste relación lineal.. Medida de asociación: la correlación sólo mide el grado de asociación lineal.. Unidad: La correlación se calcula usando las dos variables cuantitativas estandarizadas. Por lo que r no tiene unidad tampoco cambia si cambiamos la unidad de medida de o. La correlación entre e es la misma que la correlación entre. r 0. r 0. r = 0 Juntemos los gráficos con r Graph A: Graph B: Graph C: Graph D: r = 0 r = + r = - r = 0. r = -0. r = -0. r= 0.

4 Cómo se calcula el coeficiente de correlación r?: r = ( n ) s s Y Ejemplo: Correlación entre Test Test Test Test Test 0 0 Test = s =, 77 = s =, 07 Salida de SPSS: Correlaciones Test Test Correlación de Test Pearson Test Sig. (unilateral) Test..00 Test.00. N Test Test

5 La Tabla adjunta presenta bases de datos preparadas por el estadístico Frank Ascombe * Describa los coeficientes de correlación adjuntos. Cuáles son sus conclusiones? Y Y Y Y Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlaciones **. La correlación es significativa al nivel 0,0 (bilateral). Y Y Y Y.**.**.** **.70** **.70** ** ** ** Ahora revise los gráficos de dispersión. Mantiene sus conclusiones anteriores? * Anscombe, F. (97) "Graphs in statistical analsis", The American Statistician, 7: 7-.

6 0 Y Y Y Y 0

7 Regresión Lineal Simple Como a hemos visto muchos estudios son diseñados para investigar la asociación entre dos o más variables. Muchas veces intentamos relacionar una variable eplicativa con una variable respuesta. Los datos que se usan para estudiar la relación entre dos variables se llaman datos bivariados. Datos bivariados se obtienen cuando medimos ambas variables en el mismo individuo. Suponga que está interesado en estudiar la relación entre las notas de la primera prueba las notas finales. Entonces las notas en la primera prueba corresponderían a la variable eplicativa o independiente las notas finales sería la variable respuesta o dependiente. Estas dos variables son de tipo cuantitativo. Si el gráfico de dispersión nos muestra una asociación lineal entre dos variables de interés, entonces buscaremos una línea recta que describa la relación, la llamaremos recta de regresión. Un poco de historia El nombre de regresión deriva de los estudios de herencia de Galton, quien en * publica la le de la "regresión universal". En sus estudios Galton encontró que había una relación directa entre la estatura de padres e hijos. Sin embargo, el promedio de estatura de hijos de padres mu altos era inferior al de sus padres, el de hijos de padres mu bajos, era superior al de los padres, regresando a una media poblacional. Un ejemplo: se seleccionó a 7 alumnas de la carrera de Psicología del año 00 que nos dieron sus datos de estatura (en cms) de peso (en kilos). peso estatura Estatura Peso 7 * Galton, F. () "Regression Towards Mediocrit in Hereditar Stature," Journal of the Anthropological Institute, :- (http://www.mugu.com/galton/essas/0-9/galton--jaigi-regression-stature.pdf) 7

8 Ajustando una recta a los datos: Si queremos describir los datos con una recta tenemos que buscar la "mejor", porque no será posible que la recta pase por todos los puntos. Ajustar una recta significa buscar la recta que pase lo más cerca posible de todos los puntos. Ecuación de la recta: Suponga que es la variable respuesta (eje vertical) es la variable eplicativa (eje horizontal). Una línea recta relaciona a con a través de la ecuación: = a+ b En la ecuación, bes la pendiente, cuanto cambia cuando aumenta en una unidad. La pendiente puede tener signo positivo, negativo o valor cero. El número a es el intercepto, el valor de cuando se iguala a cero. b positivo b negativo b = 0 b a b a b = 0 a Si queremos relacionar al peso con la estatura entonces la línea recta será: peso = a + b estatura La recta de regresión que resume el peso con la estatura es: peso =,7+ 0,0 estatura peso estatura La figura muestra que la línea ajusta más o menos bien a los datos. La pendiente b= 0, 0 nos dice que el peso de este grupo aumenta en 0,0 kilos por cada centímetro de estatura. La pendiente b es la tasa de cambio en la respuesta cuando cambia. La pendiente de la recta de regresión es una descripción numérica importante de la relación entre dos variables. El intercepto es a =, 7, que sería el peso si la estatura fuera cero. En este caso, el cero de estatura no tiene sentido, así es que tomaremos al intercepto sólo como parte de la ecuación.

9 Regresión de mínimos cuadrados Necesitamos una forma objetiva de obtener una recta que esta pase por la maoría de los puntos. Definición: La recta de regresión de mínimos cuadrados, dada por $ = a+ b, es la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales de los datos a la recta, donde b ( i )( i ) ( i ) = s s a= b Y Una forma fácil de calcular la pendiente es: b= r donde s es la desviación estándar de las respuestas desviación estándar de la variable eplicativa. s es la Ejemplo: Test vs Test Test Test Test Test,07,77 Podemos usar los cálculos de la correlación para calcular la pendiente: b = r = 0,97 =, a = b=, = 0, Con estos valores podemos construir la recta de regresión de mínimos cuadrados: Interpretación de los coeficientes de regresión: s s ˆ 0,+, =. Pendiente: b =, ==> cada punto en el test, significa un aumento de, puntos en el test en promedio. Intercepto: a = 0, ==> Si asignamos el valor cero puntos al Test, el Test tendría un valor de 0, puntos. Si usamos la recta de regresión, podemos predecir que un estudiante que tiene puntos en el Test tendrá = 0,+,() 7, puntos en el Test. ˆ = El método de mínimos cuadrados fue publicado por el matemático francés Adrien Legendre (7-) en 0. Este método es una de las herramientas estadísticas más usadas. 9

10 Definición: Un residuo es la diferencia entre la respuesta observada,, la respuesta que predice la recta de regresión, ˆ. Cada par de observaciones ( i, i ), es decir, cada punto en el gráfico de dispersión, genera un residuo: residuo = observado estimado El i-ésimo residuo = e = ( a+ b ) i = ˆ Predicción: Podemos usar la recta de regresión para predicción substituendo el valor de en la ecuación calculando el valor ˆ resultante. En el ejemplo de las estaturas: ˆ =,7+ 0, 0. La eactitud de las predicciones de la recta de regresión depende de que tan dispersos estén las observaciones alrededor de la recta (ajuste). Etrapolación Etrapolación es el uso de la recta de regresión para predecir fuera del rango de valores de la variable eplicativa. Este tipo de predicciones son a menudo poco precisas. Por ejemplo los datos de peso estatura fueron tomados de un grupo de alumnas de psicología del año 00 que tenían entre años. Cuanto debe haber pesado una persona si al nacer midió centímetros? "No deje que los cálculos invadan su sentido común". (Moore, 99) Tarea: Calcular los residuos de la regresión, cuánto vale la suma de los residuos? Los residuos muestran cuán lejos están los datos de la línea de regresión ajustada, eaminar los residuos nos auda a saber qué tan bien describe la recta a los datos. Los residuos que se generan a partir del método de mínimos cuadrados tienen una propiedad básica: el promedio de los residuos es siempre cero. Volvamos al ejercicio con las estaturas pesos de 7 alumnas. La recta de regresión la podemos calcular usando el SPSS con la salida: Coeficientes(a) i i i i Modelo Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizados t Sig. B Error típ. Beta (Constante) estatura a Variable dependiente: peso También podemos hacer un gráfico con los residuos versus la variable eplicativa. El gráfico de los residuos magnifica las desviaciones de los datos a la recta, lo que auda a detectar problemas con el ajuste. Si la recta de regresión se ajusta bien a los datos no deberíamos detectar ningún patrón en los residuos. La figura A adjunta muestra un gráfico de residuos típico, generalmente se dibuja la una línea horizontal en el cero. La figura B en cambio muestra que la relación entre e es no lineal, por lo tanto una línea recta no es buena descripción de la asociación. La figura C muestra residuos en forma de embudo muestra que la variación de alrededor de aumenta cuando aumenta. 0

11 Figura A: Figura B: Figura C: FISICA Los estudiantes de una clase de Física están estudiando la caída libre para determinar la relación entre la distancia desde que un objeto cae el tiempo que demora en caer. Se muestra el gráfico de dispersión de los datos obtenidos, el gráfico de residuos. Basado en estos gráficos, le parece apropiado un modelo de regresión lineal?

12 Puntos influentes etremos Un punto etremo es una observación que está lejos de la línea recta, lo que produce un residuo grande, positivo o negativo. Un punto es influente si al sacarlo produce un cambio notorio en la recta de regresión. Considere el siguiente conjunto de datos I su gráfico de dispersión correspondiente Punto A Punto A Línea que inclue A Y=0,9+0, *, El punto A produce un residuo grande, parece ser un punto etremo. Sin embargo, no es influente, a que al sacarlo la recta de regresión no cambia mucho. 0 Línea sin A Y=0,0+,00 0

13 Considere ahora el siguiente conjunto de datos II su gráfico de dispersión: Punto B 7 Línea con B Y=0,+0, Punto B Punto B no produce un residuo grande. Sin embargo, el punto B es mu influente a que la sacarlo del análisis la línea recta cambia totalmente. El Punto B es influente, pero no etremo. Y Línea sin B Y=,9-0,9 0 0

14 Inferencia en Regresión Lineal Simple Modelo de regresión lineal simple: Se tienen n observaciones de una variable eplicativa de una variable respuesta, ( )(,, ),...,( n, n ) el modelo estadístico de regresión lineal simple es:, donde = α + β + e i i i µ = E( Y ) = α+ β es la respuesta promedio para cada. α representa el intercepto de la función lineal que usa todos los valores de la población β representa la pendiente de la función lineal que usa todos los valores de la población. α β son parámetros El modelo estadístico de regresión lineal simple asume que para cada valor de, los valores de la respuesta son normales con media (que depende de ) desviación estándar σ que no depende de. Esta desviación estándar σ es la desviación estándar de todos los valores de en la población para un mismo valor de. Estos supuestos se pueden resumir como: Para cada, Y ~ N(, σ ) donde µ = E( Y ) = α+ β µ Podemos visualizar el modelo con la siguiente figura: Los datos nos darán estimadores puntuales de los parámetros poblacionales.

15 Estimadores de los parámetros de regresión: El estimador de la respuesta media está dado por E ( Y ) = ˆ = a+ b El estimador del intercepto es: αˆ = a El estimador de la pendiente es: βˆ = b El estimador de la desviación estándar σ está dado por: SCRes ˆ σ = donde Res n i SC es la suma de cuadrados de los residuos ( ) = e ˆi i El coeficiente de correlación muestral r = ρˆ es un estimador puntual de la correlación poblacional ρ En el modelo de regresión lineal simple => linealmente la respuesta es una constante E(Y) = α. Probando la hipótesis acerca de la eistencia de relación lineal E( Y ) =α+ β. Si β = 0 entonces las variables e no están asociadas E(Y) = α Es decir, conocer el valor de no nos va a audar a conocer. Para docimar la significancia de la relación lineal realizamos el test de hipótesis H o : β = 0 (la pendiente de la recta de regresión en la población es cero) H : β 0 Eisten hipótesis de una cola, donde H : β < 0 o H : β > 0, pero lo usual es hacer el test bilateral. Para docimar la hipótesis podemos usar el test t: t = estimador puntual valor hipotético error estándar del estimador El estimador puntual de β es b, el valor hipotético es 0. El error estándar de b es: EE( b) = ˆ σ i ( ) El estadístico para docimar la hipótesis acerca de la pendiente de la población es: b 0 t = ~ t( n ) EE( b)

16 Revisemos la salida de SPSS: Coeficientes(a) Modelo Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizados t Sig. Intervalo de confianza para B al 9% B Error típ. Beta Límite inferior Límite superior (Constante) Test a Variable dependiente: Test Verificando supuestos en la Regresión lineal simple. Eamine el gráfico de dispersión de versus para decidir si el modelo lineal parece razonable. Se asume que la respuesta Y es Normal con media E(Y) = α + β desviación estándar σ. El modelo que describe la respuesta Y es: Para cada, Y es N(E(Y), σ ) donde E(Y) = α + β Y = α + β + ε. Los ε's son los verdaderos términos de error (que no observamos). Estos errores se suponen normales con media cero desviación estándar σ. No podemos "ver" estos errores pero tenemos una estimación de ellos mediante los residuos.. Eamine los residuos para verificar los supuestos acerca del término del error. Los residuos deben ser una muestra aleatoria de una población normal con media 0 desviación estándar σ. Cuando eamine los residuos verifique: a) que provienen de una muestra aleatoria: Grafique los residuos versus. El supuesto de que provienen de una muestra aleatoria será razonable si el gráfico muestra los puntos al azar, sin una forma definida. A veces es posible detectar falta de independencia cuando los datos recogidos en el tiempo. Para verificar este supuesto grafique los residuos versus el tiempo los puntos no deben mostrar una distribución definida. b) Normalidad Para verificar normalidad haga el histograma de los residuos, este debería aparecer como normal sin valores etremos si tenemos un número grande de observaciones. En el caso de tener pocas observaciones puede hacer un gráfico de tallo hoja verificar que no haa observaciones etremas.

17 c) desviación estándar común (que no depende de ) El gráfico de los residuos versus, debe tener aproimadamente una banda del mismo ancho. El gráfico de abajo muestra evidencia de que la variabilidad en la respuesta tiende a aumentar cuando aumenta. Ejemplo: Se conduce un eperimento en sujetos para analizar si la dosis de cierta droga (en ml) está relacionada con el tiempo de reacción a un estímulo en segundos. Droga (ml),0,,0,,0,,0,,0,,0, Tiempo (segs),0 0,,,,,,,0,7,0,,9 Gráfico de dispersión del tiempo de reacción a estímulo versus dosis de droga: Tiempo de reacción (seg) Dosis de droga (ml) Modelo Regresión Residual Total ANOVA b Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Sig a a. Variables predictoras: (Constante), Dosis de droga (ml) b. Variable dependiente: Tiempo de reacción (seg) 7

18 .... Unstandardized Residual Dosis de droga (ml) Unstandardized Residual Stem-and-Leaf Plot Frequenc Stem & Leaf Stem width: Each leaf: case(s) Notas: - La asociación entre una variable eplicativa una variable respuesta, aunque sea mu fuerte, no es por sí sola evidencia de que los cambios en causan cambios en. - Un coeficiente de correlación es el resumen de la relación presente en un gráfico de dispersión. Conviene, pues, asegurarse mirando este gráfico que el coeficiente es un buen resumen del mismo. Tratar de interpretar un coeficiente de correlación sin haber visto previamente el gráfico de las variables puede ser mu peligroso (Peña, Romo, p.9). - Como hemos visto el coeficiente de correlación es un resumen del gráfico de dispersión entre dos variables. La recta de regresión es otra manera de resumir esta información, su parámetro fundamental, la pendiente, está relacionado con el coeficiente de correlación por la ecuación: sy b= r. La diferencia entre regresión correlación es que en el cálculo de s la correlación ambas variables se tratan simétricamente, mientras que en la regresión, no. En regresión se trata de prever la variable respuesta en función de los valores de la variable eplicativa. En consecuencia, si cambiamos el papel de las variables cambiará también la ecuación de regresión, porque la recta se adaptará a las unidades de la variable que se desea predecir (Peña, Romo, p.).

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