TRABAJO DE SEPTIEMBRE Matemáticas 1º Bachillerato
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- Esperanza Río Carrizo
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1 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO TRABAJO DE SEPTIEMBRE Matemáticas º Bachillerato. Página
2 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO BLOQUE I: CÁLCULO TEMA (UNIDAD DIDÁCTICA 9): Propiedades globales de las funciones. Justifica si las siguientes gráficas corresponden a funciones. f() g() h() i() j() k(). Determina el dominio de las siguientes funciones. a) ( ) f 7 b) f ( ) f ( ) 7 + d) f ( ) e) f ( ) + f) f ( ) + + g) f ( ) h) f ( ) 5 i) f ( ) + j) f ( ) log( 4) k) f ( ) cos( ) l) f ( ) ln 6 0 n) f ( ) m) f ( ) ln 4 p) f ( ) tg q) f ( ) s) f ( ) t) o) f ( ) 5 r) f ( ) + u) f ( ) f ( ) ln Página
3 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO. Dadas las siguientes funciones indica: Dominio, recorrido, máimos y mínimos, simetría y crecimiento y decrecimiento. Página
4 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 4. Estudia la simetría de las siguientes funciones: a) f ( ) b) f ( ) f ( ) d) f ( ) 4 e) f ( ) f) f ( ) 4 + g) f ( ) h) f ( ) 5. Dadas las funciones f ( ) + y a) ( f + g)(5) b) ( f g)( ) f () g d) ( f g)() g ( ), calcula: 6. Dadas las siguientes funciones a) f o g b) g o h f ( ), h o f d) g o f g ( ), h( ) calcula: e) h o g 7. Comprueba con las funciones f ( ) + y g ( ) que la composición de funciones no es conmutativa. Calcula el dominio de g o f. 8. Calcula la función inversa de las siguientes funciones: a) y + 5 y b) y d) y f o g y Página 4
5 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 9. Dibuja las funciones inversas de las siguientes gráficas de funciones: Página 5
6 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO TEMA (UNIDAD DIDÁCTICA 0): Funciones elementales. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) b) y + 4 y d) y y +. Escribe la epresión algebraica de las funciones representadas, y calcula su pendiente y su ordenada en el origen.. Halla los vértices y los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas. a) y + b) y + y 4. Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas indicando el vértice y los cortes con los ejes. a) y 8 b) y + y d) y + 5. Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas y relaciona la abertura de las ramas de cada parábola con el coeficiente de. a) y b) y 4 y d) y Página 6
7 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 6. Relaciona cada gráfica con su epresión algebraica. a) b) y + y + d) y + + y + 7. Observa la gráfica de la función 9 y. a) Representa las siguientes funciones: y b) y y d) y + e) y f) y Página 7
8 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 8. Ayúdate de la calculadora para representar las funciones y, y A partir de la gráfica de la función y log, eplica cómo harías la representación gráfica de las siguientes funciones: a) y log b) y log log y 0. Representa y describe las características de las siguientes funciones. a) + < f ( ) 5 b) < f ( ) 6 + > 6 < f ( ) + d) f ( ) 0 0 < 4 > 4. Observa la gráfica de la función y 6 y realiza la gráfica de y 6. Página 8
9 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO TEMA (UNIDAD DIDÁCTICA ): Límites de funciones. Continuidad. Halla los siguientes ites: a) ( + ) 4 e + b) d) ( + + 7) e) (6 + ) f) ( + 4 ) g) j) m) ( ) p) s) ( + ) v) h) k) i) l) + n) ( + + 4) q) t) w) + o) r) + u) ) Halla los siguientes ites: a) + 6 d) 4 + g) j) m) b) e) h) k) f) ( )( + ) ( + )( + ) i) l) Halla los siguientes ites: ) 4 0 ) ) 4 Página 9
10 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 4) 0 + 5) + 6) + + 7) 0) ) 9 8) ) 4) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( 4 + ) 6) ( 9 7 ) ) ( ) 0 4. Calcular: a) f ( ), siendo f ( ) > b)... < f ( ), siendo f ( ) > 5. De la siguiente función se pide: f (), f (), f ( ), f ( ) > f ( ) Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) y + Página 0
11 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO + b) y + y 4 + d) y 4 7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:... < a) f ( ) > b) f ( ) ; si 0 ; si > 0 ; si f ( ) ; si > d) 4 ; si < f ( ) ; si 4 ; si > 8. Sea a un número real y f una función definida por: + a ; si 0 f ( ) Determina el valor de a de modo que f sea continua 5 ; si > 0 en Sean a y b números reales y f una función definida por: ; si < f ( ) a + b ; si. Determina el valor de a y b de modo que f ; si > sea continua en y. 0. Determina las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones. a) 6 y + b) + y + y d) 4 y 5 e) y + + Página
12 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO. Calcula el dominio, el recorrido, los puntos de corte, el crecimiento y decrecimiento, los máimos y mínimos absolutos y relativos, f(0), f(-), f ( ), f ( ), f ( ) y f ( ) : Hallar los siguientes ites de las funciones siguientes: f ( ), f ( ), f ( ) y f ( ) + + Página
13 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO TEMA 4 (UNIDAD DIDÁCTICA ): Introducción a las derivadas. Dada la función f() 4, deducir razonadamente f '(5).. Halla, utilizando la definición, la derivada de la función f ( ) en el punto +. Comprueba aplicando las reglas de derivación que tu resultado es correcto.. Aplicando la definición demuestra que la función f ( ) no es derivable en. Da también un razonamiento gráfico. a, si 4. Dada la función f ( ) /( a), si > a) Para qué valores del parámetro a es continua? b) Para qué valores de a es derivable? 5 + sen si 0 5. Dada la función f ( ) + a + b si > 0 a) Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f ()? b) Determina a y b para que f() sea derivable en 0. cos 6. Calcula, simplificando el resultado, la derivada de la función: f ( ) ln. + cos 7. Deriva y simplifica: a) y ( + 5) b) y ( 5 ) 8. Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale cero. ln( ) 9. Deriva: a) f ( ) ln( 4) b) f ( ) ( )ln( ) f ( ) 0. Deriva: a) y b) + + e y e y e d) y +. Si ( ) f + y g ( ) sen halla la derivada de las funciones F ( ) f ( g( )) y G ( ) g( f ( )), aplicando la regla de la cadena.. Halla la ecuación de la recta tangente a f ( ) en el punto. Representa gráficamente la curva y la tangente Halla la ecuación de la recta tangente a f ( ) en el punto de abscisa Halla los puntos de la curva y en los que su tangente tiene pendiente. Halla la ecuación de esas tangentes La derivada de orden n de f ( ) es: (a) +n n nl (b) n ( L) ( 7. Halla la derivada n-ésima de f ( ) ln. n + ( L ) n Página
14 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO e, para 0 8. La función f ( ), en el punto 0 es: +, para > 0 a) Derivable pero no continua. b) Continua pero no derivable. Continua y derivable. sen( ) si 0 9. Dada la función: f ( ) a si > 0 Eisten valores de a para los cuales f sea derivable en toda la recta real? + a + b si < 0. La función f ( ) es derivable en si: si a) b a b) Sólo si a y b 4 Ninguna de las anteriores.. La derivada de la función f ( ) 5 se anula en al menos un punto del intervalo a) (, 5) b) [5, 0] Ninguna de las anteriores.. Dada f ( ), los valores de f () y f () son, respectivamente: ( ) a) y 4 b) y 4 y /4. La ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa es: + 5 a) y b) y + y Deriva: a) y b) y y e d) y e e) y ( + ) e e e e 5. Deriva: a) y b) y y d) y e) y e f) y e e + 6. Halla la derivada de las siguientes funciones: 5 a) f ( ) ( 4 + 7) 4 b) f ( ) 4 4 f ( ) d) y 5 e) y ( ) 5 7. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos): 7 a) y log(4 + ) b) y log( 5) ( ) log f ( ) log f d) ( ) 8. Deriva: cos a) f ( ) e ; b) e) f ( ) sen f ( ) cos e ; f ( ) cos ; f ( ) cos ; d) Página 4
15 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 9. Deriva y simplifica cuando sea posible: a) y b) y y d) 5 y e) y Deriva y simplifica: 4 + a) y b) y 4 y ( + 5) d) y 7. Deriva y simplifica: + a) y b) y y. Deriva: a) y b) y + y e d) 5 y e e) y ( + ) e +. Deriva: e a) y b) y e e y + d) e y e) y e f) y e 4. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos): a) log( 7 y + ) b) y log( + 4) y log( 5) d) y log(5 ) e) y log( 5) f) ( log( 5) ) y g) y log h) log( ) y log 5. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos): a) y ln( + ) b) ln( y + ) y ln( + ) d) y ln( + ) e) y ( ) ) ln( + 6. Deriva y simplifica a) y ln b) y ln y ln( ) d) y ln ( ) ln 7. Deriva y simplifica a) ln y ln b) y y ln 8. Deriva: a) y sen 5cos b) y sen y cos sen d) y cos sen 9. Deriva: a) y cos 4 b) y sen5 y sen ( ) d) cos y Página 5
16 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 40. Deriva: a) y b) sen y cos cos y sen 4. Deriva: a) y e sen b) y cose y e cos 4. Deriva: a) y sen(ln ) b) y cos(ln ) y cos d) y sen 4. Deriva: a) y tag ( ) b) d) tag ( ) y tag ( ) y tag ( ) y e) y ( tag ( ) ) 44. Deriva: a) y arcsen b) y arcsen ( + ) y arccos d) y arccose e) y arctag( + ) f) y arctag( ) 45. Miscelánea de derivadas ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) 4) f ( ) ( 5 + )( + ) 5) f ( ) ) ( 5 ) f ( ) 7) f ( ) 8) f ( ) 9) f ( ) ) f ( ) + ) f ( ) ) f ( ) 5 5 ) f ( ) ( ) ( 4) 4) f ( ) 5) f ( ) ( ) 4 6) 4 7) ( ) ( ) 4 f ( ) 0) ( ) ( 4) + 4 ( ) 5 f 8) f ) f ( ) ) ) ( ) ln( + ) 7) ) + + f ( ) 9) f ( ) f ( ) e 5 + f 4) f ( ) ln 5) f ( ) sen 6) f ( ) sen + f ( ) sen 8) f ( ) cos 9) f ( ) arcsen 0) f ( ) arctg( ) e e f ( ) ) f ( ) ) f ( ) e 4) f ( ) log(5 ) Página 6
17 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 5) f ( ) ln 6) ( ) f ( ) log(5) 7) f ( ) cos 4 8) f ( ) sen ( ) 9) f ( ) tg( ) 40) f ( ) sen(ln ) cos 4) f ( ) arctg( ) 4) f ( ) e 4) 45) f ( ) ln 46) f ( ) f aecsen ( ) 44) f ( ) sen(ln ) Página 7
18 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO TEMA 5 (UNIDAD DIDÁCTICA ):Aplicaciones de las derivadas. Halla una función de la forma f ( ) a + b + c sabiendo que pasa por el punto ( 0, ) y tiene su máimo en (, ).. En qué puntos no son derivables las siguientes funciones? a) f ( ) + + b) f ( ) ( )( + 5) + k <. Para qué valores de k es derivable la función f ( ) en el punto -? k + < 4. Para qué valores de k es derivable la función f ( ) en el punto -? Dada la función f ( ), + k > a) Determinar k para que f() sea continua en. b) Es la función f() para el valor de k calculado, derivable en? 6. Halla los coeficientes a, b y c de la función f ( ) a + b + c sabiendo que corta al eje OY en el punto (0, 4) y que la recta y es tangente a ella en el punto (, ). 7. De una función f : [0,5] se sabe que f() 6 y que su función derivada está dada 5 si 0 < < por f '( ). Calcula la ecuación de la recta si < 5 tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. 8. Se sabe que la función definida por + c si < < 0 f ( ) si 0 < es derivable en el intervalo (, ). a) Determina el valor de la constante c. b) Calcula la función derivada f. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y. Página 8
19 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO 9. Resuelve las siguientes cuestiones: a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y que es paralela a la recta 4 + y + 0. b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y que pasan por el punto (, 0). 0. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función representada en la figura en el intervalo [ 0, 5 ].. La gráfica de una función es la de la figura: Estudia la continuidad y derivabilidad de la función. La gráfica de la función derivada de f() es la siguiente. Eplica cómo será f().. Estudia el crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones: Página 9
20 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO a. y + + b. + y c. + y d. y Realiza un estudio completo de las siguientes funciones: a. y b. 5 + y c. y d. + 5 y 4 e. y ( ) f. y + Página 0
21 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO TEMA 6 (UNIDAD DIDÁCTICA 4): Introducción a las integrales y sus aplicaciones. Halla las siguientes integrales: 5 ) d ) d sen + cos ) d 4) e d 5) d 6) 5 5 tg d cos + 7) d 8) d ) d 0) + 4 sen cos d ) d e ) d ) + d + + e 4) d + e 0 5) ( + ) 5d 6) 4 d cos(ln ) 7) d 8) tg ( + ) d 9) d 0) arctg( + ) d ) ln d ) ln( + ) d ) ( + ) e d 4) arctgd 5) e d 6) d + 7) d + 5 8) d ) d 0) + 6 d ) + d ) + 4 d ) d + ( ) 4) d + 4 5) 5 + d 6) +d 7) d + 8) d 9) 9 d 40) d + + 4) d + ( + ) 4) d 5 + 4) d 44) e cos d Página
22 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO BLOQUE II: GEOMETRÍA TEMA 7 (UNIDAD DIDÁCTICA 4 ): Trigonometría I TEMA 8 (UNIDAD DIDÁCTICA 5): Trigonometría II. Demuestra las siguientes identidades: a) + sec α + senα senα b) ( cosα)(cosec α + cot gα) senα cot gα + cot gβ tg ( α + β ) cot gα cot gβ d) sec α (cos α ) + tg α 0 e) tg α cot g( α ) + 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos sen b) + sen ( sen + cos ) cot g cos d) sen + cos e) cos sen cos f) cos sen g) 4 4 cos sen. Resolver el triángulo ABC en los siguientes casos: a) a, b, c 7. b) a 9, b, C 50º. a 40, b 0, C 00º. d) c 9, A 4º, B 56º. e) a, b 0, B 54º. f) a, b 40, B 54º. g) a, b 9, B 54º. Página
23 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO TEMA 9 (UNIDAD DIDÁCTICA 7): Geometría analítica en el plano. Calcular u r v r en los casos siguientes: r a) u r, v, α π rad 5 4 r r π b) u, v, α rad r r u, v, α 40º. Calcular el ángulo que forman u r r y v en los siguientes casos: r r r r a) u, v 4, u v 4 r r r r b) u, v, u v. Determinar el ángulo que forman las siguientes parejas de vectores: r r a) u (, ) y v (4,) r r b) u (,) y v (, 4) 4. Sean u r r y v dos vectores de módulos y 4 respectivamente y de producto escolar -, calcular los siguientes productos: r r r a) u ( u v) r r r v b) ( u + v)(v 4u) r r ( u v) 5. En R se dan los puntos A(,), B(0,), C(5,). a) Determina para que AB y AC sean perpendiculares. b) Determina para que el ángulo en el vértice A sea 60º. 6. Se consideran los puntos A(,), B(5,0), C(-, -) a) Calcula las longitudes de los lados del triángulo ABC. b) Calcula los ángulos del triángulo. 7. Escribe todas las ecuaciones de la recta: a) + y + 0 b) que pasa por P(,) y Q(0,4) que pasa por A(,-) y m. 8. Hallar A, sabiendo que AB r (,4) y B(5,-6). 9. Hallar un punto y un vector director de las siguientes rectas: + y + a) 5 b) + y 7 0 y 5 Página
24 Trabajo de Verano 04 º BACHILLERATO d) α y α 0. Determina el ángulo determinado por las rectas: a) + y 5 0 y y y 5 0 b) y + 5. Dada la recta r : y + 4 0, halla las ecuaciones de una recta paralela y otra perpendicular a r que pasan por P(,). Halla la ecuación de la recta que pasa por A(-,) y es paralela al eje OY.. Calcular m y n para que las rectas + y 0 y + my + n 0 sean a) paralelas, b) perpendiculares, coincidentes. 4. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 5 y 8 y 4 + 9y 7 y es perpendicular a la bisectriz del segundo cuadrante. Página 4
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