EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 2006

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1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 MATEMÁTICAS I Eamen del º PARCIAL 8 de febrero de 006 Sólo una respuesa a cada cuesión es correca. Respuesa correca: 0. punos. Respuesa incorreca: -0. punos Respuesa en blanco: 0 punos.- En cualquier riángulo esférico ABC se verifica: a) b y B son ambos agudos o ambos obusos. b) A+B+C<80º. X c) a+b+c<60º..- El polo Nore y dos ciudades A y B siuadas sobre el mismo paralelo: X a) No deerminan un riángulo esférico. b) Deerminan un riángulo esférico recángulo. c) Deerminan un riángulo esférico isósceles..- Sea yf() una función que cumple las hipóesis de la fórmula de MacLaurin y es al que f(0)0, f (0), f (0)0, f (0)6, f IV (0)0. Enonces, la fórmula de MacLaurin para n y >0 es: iv f (c) 4 X a) f() + +, 0< c< 4! v f (c) b) f() + +, 0< c<! iv f (c) 4 c) f() + +, 0< c< 4! () sen(4) 4.- Dada la curva en paraméricas:. El periodo de esa curva es: y() () π a) 4 b) π X c) π. (), 0, y().- Dada la curva en paraméricas: [ ) la curva es: a) y b) y. 7 X c) y para Señalar la inegral convergene: d a) 0 d X b).. Una ecuación en eplícias de Unidad docene de Maemáicas

2 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 d c) La inegral e d: 0 X a) Es convergene y vale. b) Es convergene y vale 0. c) Es divergene. sen 8.- Sea F() d, enonces: sen( ) sen X a) F'() + ( ) b) F'() + sen( ) sen c) F'() 9.- Las marices AA y A A son: X a) Marices siméricas. b) Marices regulares. c) Marices orogonales. 0.- Si A es una mariz regular, se verifica: X a) ( AA ) ( A ) A b) ( AA ) A ( A ) c) ( AA ) ( AA )... Resolver el riángulo esférico al que: A 68º 9 07, B 74º 07, a º 4 08 (,7 punos) Solución: a) Por el eorema del seno: sen a sen b b 4º 08' 6.7' ' sen b sen A sen B b º '.' ' A < B a < b, luego ambos valores de b son válidos. ª solución: A, B, a y b 4º 08' 6.7' ' c, C? Aplicando las analogías de Neper: A B A + B a + b + c c a b g g g g A + B A B c º '7'' c 4º 0' 4'' y luego eorema del eno para obener C : c a b c a b + sena senb C C sena senb C 8º 4.9 Unidad docene de Maemáicas

3 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 ª solución: A, B, a y b º '.' ' c, C? Aplicando las analogías de Neper: A B A + B a + b + c c a b g g g g.0484 A + B A B c 86º '.' ' c 7º ' 44.6' ' y luego eorema del eno para obener C : c a b c a b + sena senb C C sena senb C 70º a) Calcular las marices cuadradas de orden, X e Y, que saisfacen las ecuaciones siguienes: X + Y B X - Y C b) Si X e Y son las marices aneriores, calcular, en función de B y C, la mariz Z definida por: Z (X + Y) X (X + Y)(Y) ( puno) Solución: a) Muliplicando la primera ecuación por y sumando las ecuaciones 4X + Y B X Y C X B + C X B + C Muliplicando la segunda ecuación por - y sumando las ecuaciones X + Y B - X + 4Y C Y B C Y B C b) Z ( X + Y) X ( X + Y)( Y) ( X + Y)( X Y) 4 B + X C+ B Y C B + X C B + 4 Y C ( BC).. TEORÍA: elegir una de las dos opciones siguienes y conesar los aparados de la opción elegida. Opción A: i. Conocido el eorema del eno de un riángulo esférico, demosrar el eorema del eno para los ángulos de un riángulo esférico. Unidad docene de Maemáicas

4 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 ii. Dada una función y f() derivable hasa el orden n inclusive en un enorno de un puno a R, deducir la epresión del polinomio de Taylor de grado n, T n [f,a]. Opción B: i. Dadas unas ecuaciones paraméricas ( ), I, de una y y( ) dy rama y f() de una curva, hallar una epresión para. d ii. Definir mariz inversa de una mariz cuadrada, enunciar 4 propiedades y demosrar una de ellas. ( puno) 4.- Dada la función f(), se pide: + a) Fórmula de MacLaurin de grado 4 de f(). b) Dar un valor aproimado de. uilizando el polinomio de MacLaurin obenido en el aparado anerior. c) Acoar el error comeido en dicha aproimación. (. punos) Solución: a) Fórmula de MacLaurin de grado 4 de f() Fórmula de MacLaurin Polinomio de MacLaurin + Reso de Lagrange Cálculo del polinomio de MacLaurin 4 Taylor,,0,4 + se obiene Cálculo del reso de Lagrange d 94SIGN ( + ) d + ( + ) NOTA: El significado de SIGN(+) se puede obener en la ayuda de Derive: SIGN() se simplifica al signo de. Cuando es posiivo, SIGN() se simplifica a. Si es negaivo, SIGN() se simplifica a -. SIGN(0) se simplifica a más/menos. No aparece si se iene la precaución de definir el dominio de (> -) Fórmula de MacLaurin: c [0,] ! ( c + ) b) Dar un valor aproimado de, uilizando el polinomio de MacLaurin obenido en el aparado anerior. Se calcula el valor de al que f(), +. se resuelve con Derive obeniéndose Unidad docene de Maemáicas 4

5 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 Se susiuye ese valor en el polinomio c) Acoar el error comeido en dicha aproimación E ma 94 c [, ] ( c + )! La gráfica de es d d + 94SIGN( + ) ( + ) Al ser una función esricamene decreciene en el inervalo esudiado, iene su máimo en ma c [, ] 94 ( c + ) 94 + por lo ano E 94 +! Unidad docene de Maemáicas

6 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 () +.- Dada la curva, se pide esudiar: y() + a) Dominio b) Simerías c) Core con los ejes d) Asínoas e) Punos críi. Punos de angencia horizonal y verical. Punos singulares. f) Esudio del crecimieno por ramas g) Dibujo de la curva indicando cada rama. Noa: Epresar las definiciones necesarias para realizar los cálculos. (. punos) Solución: #:, Dominio: #: SOLVE( - +, ) #: - #4: SOLVE( +,, Real) #: false Dominio R menos -, Simerías - (-) #6:, (-) - (-) + (-) + #7:, Observamos que () cambia de epresión. Luego NO HAY SIMETRÍAS. Cores con los ejes: SOLVE,, Real #8: - + #9: ± 0 Si 0, enonces 0. Calculamos y 0 #0: 0 + #: 0 Puno de core es (0,0). Calculamos cuando y 0, pero la única solución es 0, coincide con el resulado anerior. Unidad docene de Maemáicas 6

7 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 Si ±, enonces 0 y calculamos y. Puno de core Q(0, ). Luego hay dos punos de cores con los ejes. Asínoas: Horizonal: si, enonces y ce. Miramos el Dominio. lim #: #: lim #4: #: - Se calcula y cuando - (-) #6: (-) + 4 #7: Asínoa Horizonal : y 4/ Se iene oro valor, para ese valor ambién lim #8: #9: lim #0: #: Se calcula y cuando #: + #: Asínoa horizonal: y / A. Vericales no hay. A. Oblicuas no hay. Punos críi: ya sabemos dos -,. Calculamos para que la derivada primera de e y sean cero. d #4: d - + ( + + ) #: ( - ) ( + - ) Unidad docene de Maemáicas 7

8 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 ( + + ) #6: SOLVE,, Real ( - ) ( + - ) #7: ± Derivada primera de y: d #8: d + #9: ( + ) SOLVE,, Real #0: ( + ) #: ± 0 Tenemos oro puno críico cuando 0. Si 0, enonces 0 e y 0 Punos de angencia horizonal: `() 0 e y'() 0. La derivada primera nunca se hace cero, luego No Hay Punos de angencia verical: `() 0 e y'() 0. Eso sucede si 0 ( + + ) #: ( - ) ( + - ) ( ) #: ( - 0) ( ) #4: Puno de angene horizonal: (0,0) Puno singular si `() 0 e y'() 0. Si, enonces '() 0 e y'() 0 #: lim, #6: [0, ] Puno singular: (0,) #7: lim, #8: [0, ] Ramas - < < -- 0< < > y> 4/ Decr -+<<0 - < < 0 4/ > y >0 Decr Unidad docene de Maemáicas 8

9 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 0< <- 0< < 0< y< / Crec +<< > >0 / < y < Decr Represenación Gráfica: Inroducir la curva y poner en valor mínimo un valor alo, y en valor máimo -. A coninuación inroducir de nuevo la curva y poner como valor mínimo - y como valor máimo 0 Así con odas las ramas. #9:, Hallar: α a) Longiud oal de la curva, dada en coordenadas polares, r sen. b) Área de la superficie de revolución obenida al girar, alrededor del eje de abscisas, la curva de ecuaciones paraméricas: () e π para y() e sen 0,. y c) Área limiada por la elipse +. a b (. punos) Solución: a) #: r SIN π #: POLAR_ARC_LENGTH SIN,, 0, π #: Unidad docene de Maemáicas 9

10 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I 8 de febrero de 006 b) #4: () e SIN() #: y() e COS() π/ #6: π y() ('() + y'() ) d 0 π π e 4 π #7: - c) y #: + a b y #: SOLVE +, y, Real a b b b #: y - (a - ) y (a - ) a a b #4: (a - ) d a -a #: π a b a Unidad docene de Maemáicas 0