Tema 5 Cosmología. Gravitación Universal

Transcripción

1 Tema 5 Cosmología Gravitación Universal Profesor.- Juan J. Sanmartín Roríguez Curso 01/013

2 Ley e la Gravitación Universal La gravea es una fuerza atractiva, y e acuero con la Tercera Ley e Newton, las os masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas. gravitatoria m G La gravea es relativamente ébil ebio al valor constante e la gravitación G, en uniaes métricas, 1 m tan pequeño e la G 6, N m Kg Por lo tanto, se requieren masas granes para poer sentir una fuerza apreciable, p.ej. La masa e la Tierra es 5,98x10 4 kg. A pesar e la masa grane e la Tierra, la fuerza gravitacional que sientes en la superficie e la Tierra, tú peso, es solamente unos cuentos cientos e Newtons.

3 Para el calculo e la fuerza gravitatoria e un objeto o persona sobre la superficie e un planeta, la istancia entre ambos cuerpos es el raio el planeta. gravitatoria G m1 m G planeta m R objeto/ persona planeta En el caso e un satélite girano alreeor el planeta, al raio el planeta tenemos que sumarle la altura, es ecir, =R planeta +h. gravitatoria G m1 m Y para el caso e os cuerpos celestes. planetam G ( R h) planeta satélite gravitatoria G m1 m G cuerpo1 cuerpo separa

4 Problema: Calcula la fuerza gravitatoria con la que la tierra atrae a una persona e 70 kg. e masa. Datos necesarios: TIERRA = 5,98x10 4 Kg ; R TIERRA =6400 Km. Cuiao con los atos!!. Tienen que estar en el S.I. gravitator ia G Tierra R m Tierra persona , , , ,7N uy parecio a si calculamos el peso por la fórmula e los temas anteriores. Peso m g 709,81 686,7N Es por lo que efinimos

5 Intensia e campo gravitatorio Si igualamos las os formas e calcular la atracción e un cuerpo por un planeta. gravitatoria Entonces se euce que: G planeta g m planeta G persona Peso Definimos entonces g como intensia e campo, que en la superficie terrestre será planeta planeta m persona g ,9810 g terrestre,6710 9,74 9, 81 m 6 6 6,410 s La iferencia está en la aproximación e las cantiaes.

6 Problema: El planeta ERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño. Daos los siguientes atos: ERCURIO =3, Kg.; D ERCURIO =4.879,4 km. Calcula: a. El peso e una persona e 87 kg. en la superficie e ercurio. b. Calcula la intensia e campo gravitatorio en la superficie e ercurio. c. Con que fuerza atraerá ercurio a un satélite e 400 kg. situao a 400 km. e altura.?. Calcula la intensia e campo gravitatorio a la altura el satélite. Apartao a).- ERCURIO ERCURIO 4879,4 km. rercurio 439,7 km, m gravitator ia G mercurio R m mercurio persona , ,6710 6,4410 Apartao b).- Para el cálculo e la intensia e campo, es ecir, para la g en ercurio 31,6N g G R mercurio mercurio ,3 10 6,6710 3,7 m 6 s,4410

7 Apartao c).- Ahora vamos a calcular la fuerza con que ercurio atrae al satélite, al ser la altura a la que orbita consierable frente al raio e ercurio tenemos que consierarla gravitator ia G m mercurio satélite ( Rmercurio hsatélite ) , , , ,6N Apartao ).- Y para finalizar calculamos la intensia e campo a esa altura g G mercurio ( Rmercurio hsatélite ) ,3 10 6,6710,73 m 6 5 s,

8 Porqué no se caen los Satélites? Hasta ahora vimos la fuerza con la que atrae un planeta a los cuerpos, en el caso e un satélite gravitatoria G m1 m planetam G ( R h) planeta satélite Tiene que haber una fuerza igual a esta que evite que el satélite caiga. Cuál es esta uerza? Para explicarlo nos tenemos que ir al Tema I - Cinemática

9 Os acoráis? ACELERACIÓN CENTRÍPETA En el.c.u. la velocia cambia e irección en caa instante, luego existe aceleración, la aceleración centrípeta. a c v R Cuano viajamos en un vehículo y toma una curva, la tenencia es a salirnos e la curva. La aceleración centrípeta lo impie al tirar e nosotros hacia entro e la curva. Para una misma velocia, cuanto mayor sea el raio e la curva, menor será la aceleración centrípeta. Tenemos una uerza centrípeta que evita que nos salgamos e la curva en contraposición con una uerza Centrífuga.

10 uerza Centrífuga La fuerza centrífuga () no es una fuerza propiamente tal, sino que es proucia por la inercia e los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos tienen a seguir una trayectoria tangencial a la curva que escriben. La fuerza centrífuga aumenta con el raio el giro (r) y con la masa (m) el cuerpo. centrífuga m cuerpo a centrífuga m cuerpo v giro R giro Y por lo tanto, la uerza Gravitatoria es contrarrestaa por esta uerza Centrífuga, e moo que al igualar ambas fuerzas. centrífuga gravitator ia Obtenemos lo siguiente

11 centrífuga vgiro planeta mcuerpo G Rgiro m cuerpo gravitatoria Como el Raio e Giro y la Distancia son iguales, obtenemos m cuerpo v giro G planeta m cuerpo Y eucimos Velocia Orbital v giro G planeta

12 Problema anterior: El planeta ERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño. Daos los siguientes atos: ERCURIO =3, Kg.; D ERCURIO =4.879,4 km. Calcula: a. El peso e una persona e 87 kg. en la superficie e ercurio. anterior b. Calcula la intensia e campo gravitatorio en la superficie e ercurio. anterior c. Con que fuerza atraerá ercurio a un satélite e 400 kg. situao a 400 km. e altura?. anterior. Calcula la intensia e campo gravitatorio a la altura el satélite. anterior e. Velocia e giro el satélite. gravitator ia G ( R mercurio mercurio m h satélite satélite ) m satélite ( R v mercurio giro h satélite ) centrífuga Entonces v giro G R mercurio mercurio h ,3 10 v giro,6710 m 100Km 784 6, s h 6 5

13 Problema: La Luna es el satélite natural e la Tierra. Conocieno los siguiente atos: LUNA =7,x10 Kg.; R LUNA = 1740 km. ; TIERRA =5,98x10 4 Kg.; D TIERRA-LUNA = km. Calcula: a. El peso e una persona e masa 80 Kg. en la superficie lunar. b. Calcula la intensia e campo gravitatorio en la superficie lunar. c. Con que fuerza atraerá la Tierra a la Luna y viceversa?.. Velocia e giro lunar. e. Tiempo que tara la Luna en ar una vuelta alreeor e la Tierra. Apartao a).- gravitator ia G luna m R luna persona 11 7, , , ,9N Apartao b).- g G R 7, 10 luna 11 6,6710 luna 1,59m 6 s 1,7410

14 Apartao c).- gravitator ia G Tierra Luna Tierra Luna gravitator ia 6, , ,8410 7, , N. Apartao ).- 4 Tierra 11 5,9810 v G m giro 6, , 8 3,8410 s Tierra Luna Apartao e).- Calculamos la longitu e la órbita e la luna L orbita 8 _ luna r 3,8410, m 9 6 Lorbita,4 10 6,3510 s. t perioo,3510 s. 7, 4 v s h giro 1019, h

15 Velocia e Escape La velocia e escape epene e la masa y el tamaño el cuerpo. Para la Tierra es cerca e 11 km/s. Cuano la velocia e escape es la velocia e la luz, el cuerpo central será un agujero negro. Es importante notar que ninguna e estas velociaes epene e la masa el cuerpo que está orbitano o escapano. 15

16 Ampliación - ovimiento Orbital La fuerza e gravea siempre hace que las cosas caigan. La pregunta es si la trayectoria e la caía coincie con cualquier superficie. La forma e la órbita epene e la velocia que el cuerpo tenga en un punto ao. Velociaes bajas recorrerán istancias menores, mientras que velociaes granes recorrerán istancias mayores. En estos casos se puee ecir que las trayectorias son cerraas. Sí la velocia es bastante grane (mayor o igual a la velocia e escape), la orbita será una hipérbola en lugar e una elipse y el cuerpo no regresará.

17 Leyes e Kepler

18 Gravitación 18

19 Explicación e las Leyes e Kepler Newton puo explicar matemáticamente (usano su calculo) que las órbitas e los planetas son elipses y obeecen las leyes e Kepler. El afirmo que estos mismo aplica a toos los cuerpos celestes. En particular, puo mostrar que el perioo y tamaño e una orbita están aos por: P 4 G( Sol Planeta ) a 3 Done P es el perioo, a es el semieje mayor y G es la constante gravitacional. Esta ley, la Tercera Ley e Kepler, se puee usar para encontrar la masa e cualquier cuerpo en el cual se puea meir la istancia y el perioo el cuerpo orbitano (iniciano con el sistema Tierra-Luna).

20 Cálculo e la asa e la Tierra Sabemos que el Sol está cerca e 400 veces mas lejos que la luna, y a la luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca e 1/400 UA y su perioo es cerca e 1/1 años. a P x10 6.5x10 6 Ya que hemos usao UA y años, la masa está aa en masas solares. Así que la Tierra es cerca e un millón e veces menos masiva que el Sol. Para poer saber cuantos kilogramos tiene, ebemos usar la forma e la Ley e Kepler aa por Newton y ponieno toas uniaes físicas [como P(sec), a (metros), G (uniaes mks).

21 Ejercicios - Ampliación Cuál sería el perioo orbital e la Tierra si la masa el Sol fuera 9 veces mayor? Discuta las implicaciones si esto fuera cierto Suponga que se escubrió un nuevo cometa y que las observaciones inican que su perioo es e 1000 años, A qué istancia (promeio) se encuentra el Sol?

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