# - + # x # - integrales definidas. 017 resuelve estas integrales definidas. b) 2 = b) = - = calcula las integrales definidas.

Transcripción

1 intgrls dfinids 7 rsulv sts intgrls dfinids. ) + ( ) d b) d + ) + + ( ) d b) d + ln ln + ln clcul ls intgrls dfinids. π ) ( sn ) d b) d ) ( sn ) d cos ( ) ( ) b) d ln + ln + ln 9 clcul, utilizndo intgrls, rimro, y licndo l fórmul dl ár dl triángulo, dsués, l ár comrndid ntr l función y + y los js d coordnds. Clculmos los corts d l rct con los js (, ) y (, ). b h Gométricmnt: A y + Ár d l función: + d + Hll, mdint intgrls, l ár dl triángulo dtrmindo or los untos (, 6), (, ) y (7, ). lic l fórmul dl ár d un triángulo r comrobr qu l rsultdo s l mismo. Pr clculr l ár did, l hllmos mdint l difrnci dl ár dl triángulo qu dtrminn los untos (, ) (, 6) y (7, ), mnos l ár dl triángulo qu dtrminn los untos (, ) (, 6) y (, )

2 Solucionrio 7 ( ) 7 + A d + 6 d Ár dl triángulo: b h A ( 7 ) clcul l ár dl rcinto limitdo or ls gráfics d ls funcions f ( ) 6 y g ( ). Clculmos los untos d cort d ls dos funcions. f( ) g( ) ( 6 )( ) + 8 A (( f ) g( )) d ( 8 ) d 6 Hll l ár d l rgión qu dlimitn ls gráfics d ls funcions y y. Clculmos los untos d cort d ls dos funcions. f( ) g( ) ( )( ) + A ( + ) d + ( + ) d Dtrmin l volumn dl curo d rvolución ngndrdo or l función f( ) n l intrvlo, l girr lrddor dl j. V d + / d + / / 7

3 intgrls dfinids 8 Dibuj ls gráfics d ls siguints funcions, y rzon or qué l intgrl dfinid d cd un n l intrvlo [, ] s nul. ) f( ) b) g( ) sn ) f ( ) b) g ( ) En mbos csos son funcions imrs, or lo qu l ár d l rgión corrsondint l intrvlo [, ], s igul qu l dl intrvlo [, ], ro l función tom signo contrrio, or lo qu un ár nul l otr. 9 clcul l intgrl dfinid rtir d su significdo gométrico. r r d L función s l smicircunfrnci d rdio r, or lo qu l intgrl s l ár dl smicírculo d rdio r. r r d r ls siguints figurs mustrn ls gráfics d ls funcions f, g y h. f ( ) g ( ) h ( ) 7

4 Solucionrio clcul: ) f( ) d b) g( ) d c) h( ) d ) Gométricmnt s l ár d dos triángulos con mism bs y ltur f( ) d d + d + 6 b) Gométricmnt s l ár d un trcio d bss 6 y, y ltur g( ) d ( + ) d + d + ( ) d c) Gométricmnt s l difrnci dl ár d dos triángulos. h ( ) d ( ) d ( ) d + ( )d considr l función y f ( ) dfinid r [, ] qu rc dibujd n l figur. y f ( ) clcul f( ) d. (Ctluñ. Año 6. Sri. Custión ) Gométricmnt s l ár d un trcio d bss y, y ltur : + f( ) d 7

5 Solucionrio comrub qu s ud licr l rgl d Brrow r clculr l siguint intgrl, y hll su vlor., Por sr f() continu n [,; ], odmos licr l Rgl d Brrow simr qu ist un rimitiv d l función: d dt t t + t + dt, F t dt dt, t t + ln t ln t ( ln ln + ln + ln + ) ln ( )( ) ln ( ) ( )( ) ( + ), d ln ln +,, d ln ln ln ln ln ( + ( + )( + ) ) ( + ) clcul ls siguints intgrls dfinids. ) ( + ) d i) d π/ b) sn d j) d 9 π c) + d ( ) k) cos d d) ) f) d l) ( d m) + d ( ) n) g) d h) ñ) ln π/ π/ / d o) d d sn d tg d d 7

6 intgrls dfinids ) ( d 6 6 / / b) snd cos c) 9 9 ( ) d) d ) ( f ) ( + ) d ln + ( 8ln + 6 ) ln + ln + 6 g) d ln + ln + + ln ln h) d ( ) d + ( ) d + ( ) d i) d ( ) d + j) d ( ) k) cos d sn + l) ln d ln ( + + ) m) d + n) ñ) o) / / sn d sn cos / / tg d ln cos ln ln / / d rcsn rc s n rc sn 7

7 Solucionrio clcul l vlor d l intgrl: ( ) / d (Etrmdur. Junio 7. Oción B. Ejrcicio ) ( ) / ( ) d / S f( ). clcúls f( ) ln d. (Cstill y Lón. Stimbr 6. Prub B. Problm ) d ln ln ln d + ln ln ln ln + 6 S l función con vlors rls f( ) (s considr solo l ríz ositiv). clcul: f( ) d (Asturis. Stimbr. Bloqu ) d ( ) 7 clculr: ( ) d (Glici. Stimbr 8. Bloqu. Oción ) ( ) d [( ) ] d ( ) ( + ) F u du d dv d v 8 clcul l intgrl dfinid π sn d (CstillL Mnch. Junio 8. Bloqu. Prgunt B) sn d sn cos d sn cos F. F snd u sn du cos d u cos du sn d dv d v dv d v sn d sn cos sn cos sn d + 7

8 intgrls dfinids 9 clcul l intgrl siguint: I d ( ) (Murci. Junio 6. Bloqu. Custión A) ( ) ( ) d + d F u du d dv d v F u du d dv d v ( + ) + d ( ) π/ sn 6 S l función f( ). clcul: ( ) cos f d (Asturis. Junio. Bloqu 6) / sn d ln cos cos / 6 clculr l vlor d l intgrl: I d (Murci. Junio. Bloqu. Custión ) ln d [ ] d ( ) ( ) F u du d dv d v 6 clcul d. (L Rioj. Stimbr. Proust B. Ejrcicio ) + d d d Hll ls siguints intgrls dfinids d funcions rcionls. ) d c) + + d ) d b) d d) d + + f) + d ( + ) 76

9 Solucionrio ) b) c) d) ) f ) 6 clculr: d + d + + d ln + ( ln ln ) ln + ln ln ln ln + d + ln + ln ln + ln d rctg + d rctg rctg + + d ( + ) d + ln ln + + ln ln ln+ ln ln (Mdrid. Stimbr 6. Oción A. Ejrcicio ) + d / + / + ln ln + ln ln ln ln ln rctg 6 clcul l siguint intgrl: + d (Murci. Stimbr 6. Bloqu. Custión A) + d / + + / + d + ln ln + + ln 66 clculr l vlor d l siguint intgrl dfinid: (Pís Vsco. Junio 6. Bloqu D. Custión D) + d ( + ) + ( + ) + + d ln ln + ln 8 9 d 77

10 intgrls dfinids 67 S l función f( ), clcul f( ) d. (Asturis. Junio 6. Bloqu 6) 68 clculr l intgrl: 6 6 d ln + 6ln + + 6ln 6 ln + d + + (Murci. Stimbr 7. Bloqu. Custión A) + d d S un númro ositivo mnor qu. clcul: (L Rioj. Junio 6. Proust A. Ejrcicio ) ln 6 ln + 6 ln ln d + 7 Hll los vlors d b r qu s cuml: ) b) b d ( + ) c) d b d + / + / 9 + / 9 d + ln + ln + ln 9 9 ln + ln + ln 9 9 ln ln + + ln ( b ) d d) ( b+ ) d ) b b b b b + d + ( ) + ( + ) d b b b b + ( + b 6 ) b 78

11 Solucionrio b) Si b : b b d ( ) d + ( ) d + b + b b b d + b b b+ 8 b b Si < b : b d ( ) d b b b b b d b b b b No tin solución n l intrvlo (, ]. c) + + ( b ) d b b+ 8 b No ist ningún vlor d b qu lo cuml. d) ( b+ ) d b + b+ 9 ( b+ ) d b+ 9 b 7 S I d. + ) Ers I licndo l cmbio d vribl t +. b) clcul l vlor d I. (Andlucí. Junio 6. Oción A. Ejrcicio ) ) b) d + t F t dt t t + dt d t t t dt t t dt t t + ( + ) 8 7 S I d. + ) Erésl licndo l cmbio d vribl + t. b) clcul I. (Andlucí. Stimbr. Oción B. Ejrcicio ) 79

12 intgrls dfinids ) b) 8 d + F ( t + ) dt t d t + dt + t 8 t ( t + ) dt t 7 clculr l intgrl: ln + dt t ln t t + + ln d (Murci. Junio 7. Bloqu. Custión A) ln d + ln ( + + ) 7 Hlld d. + (L Rioj. Junio 8. Proust A. Ejrcicio ) d t t dt + t t + dt d t F t t clculr l vlor d r qu l intgrl ntr y d l función s igul. (Cnris. Stimbr 7. Oción B. Custión ) d ( ) ( ) + ( ) + ( ) 76 S considr l función f( ) ( + ). Dtrminr l vlor dl rámtro tl qu: f d ( ) (Mdrid. Stimbr. Oción A. Ejrcicio ) d ( + ) ln + 7

13 Solucionrio 77 l función f :[, +`) R dfinid or: f( ) s continu n [, +`). clculr f( ) d. (Argón. Junio 6. Oción B. Custión ) Pr qu f ( ) s continu 8. 8 f( ) d 8 d + 8 si 8 si > 8 ( 8 ) d + + 6ln ln 6 + 6ln 6 ln + si < π 78 S: f( ) + cos si < π. clculr f( ) d. + b si π (Argón. Stimbr 7. Oción A. Custión ) f( ) d ( cos) d ( b) d sn > 79 Dd: f( ) si si sn + b 8 ( 7 + ) + + b b + b π hll f( ) d. (Cstill y Lón. Junio 8. Prub B. Problm ) f d sn d ( ) cos π 8 8 S f ( ) un función drivbl n (, ) y continu n [, ], tl qu f ( ) y f d '( ). utilizr l fórmul d intgrción or rts r hllr f( ) d. (Mdrid. Junio. Oción A. Ejrcicio ) f'( ) d f( ) f( ) d F u du d dv f'( ) v f( ) 8 7

14 intgrls dfinids f'( ) d f( ) f( ) d f ( ) f( ) d f( ) d f( ) d 8 S f : R R l función dd or f ( ) + b. Hll los vlors d y b sbindo 6 qu 6 f ( ) d y qu l ndint d l rct tngnt l gráfic d l función f n l unto d bscis vl. (Andlucí. Año 6. Modlo. Oción A. Ejrcicio ) Por sr l ndint d l rct tngnt igul n l unto d bscis, sbmos qu f'(). f' ( ) f' ( ) 6 6 Lugo l función s: f( ) + b f( ) d ( b) d + b + 6b b f( ) clculr un olinomio d trcr grdo ( ) + b + c + d sbindo qu vrific: Tin un máimo rltivo n. Tin un unto d inflión n l unto d coordnds (, ). S vrific: ( ) d (Mdrid. Junio. Oción A. Ejrcicio ) '( ) + b + c ''( ) 6 + b Ps or l unto (, ) ( ) d El unto (, ) s un unto d inflión ''( ) b b Tin un máimo n '( ) + c + + c ( ) d ( c ) d + + c + + Formmos un sistm con ls dos últims condicions: + c c 6 c + c Lugo, l olinomio s: ( ) c 7

15 Solucionrio 8 utilizndo l cálculo intgrl, hll l ár dl rcinto qu dlimitn ls rcts: y + 6 y clcul con l fórmul corrsondint l ár dl triángulo ntrior y comrub qu l rsultdo coincid con l obtnido ntriormnt. y + 6 Clculmos los untos d intrscción. y + 6 y y + 6 y + + ( 6 ) d Ár dl triángulo Mdint intgrls hll l ár dl triángulo dtrmindo or los untos (, ), (, ) y (, ). Clculmos ls rcts qu dtrminn los ldos dl triángulo. El ldo qu contin los vértics (, ) y (, ) stá n l rct y +. El ldo qu contin los vértics (, ) y (, ) stá n l rct y. El ldo qu contin los vértics (, ) y (, ) stá n l rct. Ár + + d 7

16 intgrls dfinids 8 obtén l ár dl rcinto qu dlimitn l rábol y + 9 y l j. Hllmos los untos d cort d l rábol y l j : ( 9 ) d utilizndo l cálculo intgrl, hll l ár dl sctor circulr qu form l circunfrnci + y con los smijs ositivos d coordnds. comrub qu st rsultdo coincid con l qu s obtin cundo s lic l fórmul d ár d un círculo. + y Ár rcsn + d Ár r 87 clcul un rimitiv d l función f( ). Dtrmin l intgrl f( ) d + d / d + / + ln ln + + k + L intgrl d no s ud clculr orqu l función no s continu n los trmos dl intrvlo, d hcho, si intntmos licr l rgl d Brrow obtndrímos: + + d ln ln ln ln ln + ln ` Lugo st intgrl no ist. 7

17 Solucionrio 88 Dtrmin l ár d l rgión limitd or l gráfic d l función f( ) ( ) ( + ) y l j n l intrvlo [, ]. f ( ) Hllmos los untos d cort d l función con l j. y ( ) ( + ) y El ár s: Ár ( ) ( + ) d + ( ) ( + ) d Hll l ár limitd or l gráfic d l función f( ) ln ( + ) y l j n l intrvlo [, ]. L función no cort l j n l intrvlo [, ] lugo, l ár n l intrvlo [, ] s l vlor d l siguint intgrl: ln ( + ) d ln ( + ) F u ln ( + ) du + d dv d v + ln ( + ) + rctg + k ln + rctg d 9 clcul l ár d l rgión limitd or l gráfic d l función f( ) l j y ls rcts y., (Cstill y Lón. Junio 7. Prub A. Problm ) L función f( ) cort l j únicmnt n l orign d coordnds. f( ) 7

18 intgrls dfinids Por tnto l ár buscd s: Ár d ln ln ln ln 9 clcul l ár limitd or l curv y +, l rct y y l rct. Prvimnt hz un squm dl rcinto cuy ár hy qu clculr. (L Rioj. Junio 7. Proust B. Ejrcicio ) y + Clculmos los untos d cort d l función con l rct y. y + y + Ár + d + + d ( t ) t dt + ( t ) t dt F + t d tdt t t t t t + t t clculr l ár dl rcinto limitdo or l curv d cución f( ) y ls rcts, y. (C. Vlncin. Junio 6. Ejrcicio A. Problm ) Clculmos los untos d cort d l curv f( ) y l j ( y ). y y + Escribimos l función vlor bsoluto como función dfinid trozos. si f( ) si < < si Ár + ( ) d ( ) d

19 Solucionrio 9 clcul l ár dtrmind or l función f( ) y ls rcts y, y. + + (Murci. Junio 6. Bloqu. Custión B) L función no cort y slvo n l unto d bscis. d + + / + + 9/ ln + 9 ln ln ln 7 + ln 9 Dd l función f( ), clcúls l ár d l rgión limitd or dich + gráfic y ls rcts y. (Cstill y Lón. Junio 6. Prub B. Problm ) Clculmos los untos d cort. y y + + Ár + d + d ln + + ln ln 9 π π clculr l ár ncrrd or l j y l función f ( ) cos ntr y. (Murci. Stimbr 7. Bloqu. Custión B) Clculmos los untos d cort d l función con l j. y cos y cos + n El ár s: / / Ár cos d + cos d cos+ sn / / + + cos sn + 96 Hll l ár d l rgión limitd or l gráfic d l función f( ) ( )( ), l j, l j y l rct. Hllmos los untos d cort d l función con l j. y ( )( ) y ( )( ) 77

20 intgrls dfinids Escribimos l función n form d función dfinid trozos. + si f( ) + si < < + si / / Ár ( + ) d + ( + ) d + ( + ) d / / S f : R R l función dfinid or f( ). ) Esboz l gráfic d f. b) clcul l ár dl rcinto limitdo or l gráfic d f y l j d bsciss. (Andlucí. Stimbr 7. Oción A. Ejrcicio ) ) f ( ) b) Clculmos los untos d cort. y y Escribimos l función como función dfinid trozos. si f( ) + si > Ár ( + ) d l rábol f ( ), su rct tngnt n y l j limitn un rcinto finito n l lno. Dibujr un squm d dicho rcinto y hllr su ár mdint cálculo intgrl. (Pís Vsco. Julio 7. Bloqu D. Problm D) 78

21 Solucionrio Clculmos l rct tngnt n. f () l rct s or l unto (, ). f' ( ) f' ( ) m. L rct tngnt n l unto (, ) s: y y m( ) y ( ) y y f ( ) Ár ( + ( )) d ( + ) d + 99 Hll l ár dl rcinto limitdo or l curv y, l j y l rct. Hllmos los untos d cort d l curv y con l j qu s l rct y. y y Ár + ( ) d ( ) d clcul l ár ncrrd or l función f( ) y los js. + (Murci. Junio 7. Bloqu. Custión B) Clculmos los untos d cort d l curv y con l j qu s l rct y. + y y + + d d ln + rc tg ln + ln 79

22 intgrls dfinids Hll l ár dl rcinto limitdo or l j y l gráfic d l función f( ) Clculmos los untos d cort d l función con l j ( 6 + 8) Ár ( 6 + 8) d + ( 6 + 8) d Dd l función: f( ) clculr l ár d l rgión cotd ncrrd + or su gráfic y l j. (Mdrid. Junio 7. Oción B. Ejrcicio ) Hllmos los untos d cort d l función con l j. + ± Ár 6 d + + d 8rc tg 6 6 S l función f ( ) sn. clculr l intgrl d st función ntr y su rimr cro ositivo. not: llmmos cros d un función qullos untos dond s nul. (Argón. Junio. Oción B. Custión ) Clculmos l rimr cro ositivo d l función f( ) sn sn k + El rimr cro ositivo s. / / / cos cos snd / cos sn + d + F u du d cos dv sn d v 76

23 Solucionrio un rábol cort l j n l orign y n l unto. Hll su cución, sbindo qu l rcinto dlimitdo or ll y l j tin dos unidds cudrds d ár. L rábol s d l form: f( ) + b + c Ps or l orign f () c Ps or l (, ) f () 9 +b b f( ) d ( ) d Hy dos solucions: f( ) 9 f( ) + 9 S considr, n l rimr cudrnt, l rgión R dl lno limitd or l j, l j, l rct y l curv: y + ) clculr rzondmnt l ár d l rgión R. b) Encontrr l vlor d α r qu l rct α divid l rgión R n dos rts A (izquird) y B (drch) tls qu l ár d A s l dobl qu l d B. (C. Vlncin. Junio 8. Bloqu. Problm ) ) L función y no cort l j y simr s ositiv. + Ár d rctg + 8 b) α α α 6 + d rctg rctg rctg α α tg Dibuj rzondmnt l rcinto limitdo or l curv y, l j y l rct rll l j qu s or l unto dond l curv tin su mínimo rltivo. clcul l ár d dicho rcinto. Clculmos l mínimo rltivo d y. y' ( + ) ( + ). Alcnz l mínimo rltivo n. 76

24 intgrls dfinids y Ár [ ] d ( ) + 7 Hll l ár limitd or l curv y, l j d bsciss y l rct, sindo l bscis dl unto máimo d l curv. (L Rioj. Stimbr 7. Proust B. Ejrcicio ) y y' ( ) y' ( ) ± L función lcnz un máimo n y un mínimo n. y L función cort l j d bsciss n. / Ár d / 8 clcul l ár dl rcinto limitdo or l curv: y sn π π y ls rcts: y rliz un dibujo roimdo dl rcinto. (Blrs. Junio 7. Oción B. Custión ) L función s un función imr lugo, l ár s: / / Ár ( sn ) d + cos 8 9 y sn y y 76

25 Solucionrio 9 S sb qu cirt función F ( ) vrific ls condicions siguints: F'( ) F() ) clcul F ( ). b) clcul l ár comrndid ntr F ( ) y l j dsd hst. (Ctluñ. Junio 8. Custión ) ) F'( ) F d ( ) + k F() + k k Por tnto: F( ) + b) L función F ( ) s simr ositiv lugo: Ár F( ) d + d Hll l cución d l rct tngnt l curv y 7 + n l unto d bscis. clcul l ár dl rcinto limitdo or s rct, l curv y l j. y' + y'( ) qu s l vlor d l ndint m. y( ) 6 L rct s or l unto (, 6). L rct tngnt l curv s: y y m( ) y 6 ( ) y + y + y 7 + Ár ( ) d ( ) d

26 intgrls dfinids rrsnt gráficmnt l figur ln limitd or l curv y, su rct tngnt n l orign d coordnds y l rct. clcul su ár. (Etrmdur. Stimbr 7. Oción A. Ejrcicio ) y y( ) y' 6 y' ( ) L rct tngnt n l orign s: y y m( ) y ( ) y y Ár d 8 8 clcul l ár dl rcinto limitdo or ls gráfics d ls funcions: y y + Hllmos los untos d cort. y y + Ár ( + ) d ( ) d Hálls l ár dl rcinto limitdo or l rábol y y l rct y. (Cstill y Lón. Junio 6. Prub A. Custión ) Hllmos los untos d cort. y + y Ár + + ( ) d Dtrmin l ár dl rcinto limitdo or l rct y y l curv y. Clculmos los untos d cort. y + y 76

27 Solucionrio Ár ( + ) d ( + ) d Hllr l ár dl rcinto limitdo or ls curvs d cucions: y y 6 (Cstill y Lón. Junio 7. Prub B. Custión ) Clculmos los untos d cort d ls dos curvs. y 6 + y 6 Ár ( + 6) d ( + ) d clcul l ár d l rgión dl lno ncrrd or ls gráfics d ls funcions: f ( ) g ( ) 6 + (Nvrr. Junio 7. Gruo. Oción D) Clculmos los untos d cort d ls gráfics d ls dos funcions. y 6+ 6 y 6+ Ár ( 6 + ) d ( 6) d Hll l ár dl rcinto limitdo or ls curvs: y y 6 Clculmos los untos d cort d ls dos curvs. y 6 y 6 Ár ( 6 + ) d ( ) d 76

28 intgrls dfinids 8 rrsnt gráficmnt l rcinto lno limitdo or ls rábols y y y clcul su ár. (Etrmdur. Junio 7. Oción A. Ejrcicio ) y y Clculmos los untos d cort d ls dos curvs. y y / / / / / Ár ( + ) d ( ) d [ ] / Esboz ls gráfics d ls rábols f ( ) y f ( ) +, sombrndo l rcinto crrdo qu dtrminn. clcul l ár d dicho rcinto. (CstillL Mnch. Stimbr 7. Bloqu. Prgunt B) y y Clculmos los untos d cort d ls dos curvs. y + y + Ár + [ ( ) d ( ) d ] 766

29 Solucionrio S P l rábol d cución y ( ) y s P l rábol d cución y ( ) ( ). Dibujr un squm gráfico dl rcinto finito dl lno limitdo or dichs rábols. Hllr l ár dl rcinto mdint cálculo intgrl. (Pís Vsco. Junio 7. Bloqu D. Problm D) y ( )( ) y ( ) Clculmos los untos d cort d ls dos curvs. y ( ) y ( )( ) Ár ( ) d ( + 8) d clcul l ár d l rgión dl lno ncrrd or ls gráfics d ls funcions f ( ) y g ( ). (Nvrr. Junio 6. Gruo. Oción D) Clculmos los untos d cort d ls dos curvs. f( ) f( ) g( ) g( ) Ár ( ) d + ( ) d ( ) d + + d ( ) Dds ls funcions f ( ) y g ( ), dtrmin l ár ncrrd or ls gráfics d mbs funcions ntr ls rcts y. (Argón. Stimbr 6. Oción A. Custión ) Clculmos los untos d cort d ls dos gráfics. f( ) f( ) g( ) g( ) Ár ( ) d 767

30 intgrls dfinids Sn f : R R y g : R R ls funcions dfinids mdint f ( ) + y g ( ) +. ) Esboz ls gráfics d f y g clculndo sus untos d cort. b) clcul l ár d cd uno d los dos rcintos limitdos ntr ls gráfics d f y g. (Andlucí. Junio 7. Oción A. Ejrcicio ) ) g() f () f( ) + f( ) g( ) + + g( ) + ( + ) ( + ) ( )( + ) b) Ár + + ( ) d Ár + + ( ) d 9 7 clcul l ár dl rcinto limitdo or ls curvs y y. Clculmos los untos d cort d ls dos curvs. y + y Ár ( + ) d + ( + ) d Hll los untos n qu s cortn ls funcions f ( ) y g ( ) y clcul l ár d l rgión dl lno ncrrd ntr sus gráfics. (Nvrr. Junio 8. Gruo. Oción D) 768

31 Solucionrio Clculmos los untos d cort d ls dos funcions. f( ) f( ) Ár ( ) d + ( ) d Dds ls curvs: clculr rzondmnt: y ( ) y ) Su unto d cort. b) El ár ncrrd or lls y l j. (C. Vlncin. Junio. Ejrcicio A. Problm ) ) Clculmos l unto d cort. y ( ) ( ) + 6 y ( )( + ) b) El j s l rct. Ár ( ) ( ) ( ) d ( + 6) d clcul l ár d l rgión limitd or ls curvs: y + + y + (Blrs. Junio 6. Oción B. Custión ) Hllmos los untos d cort d ls dos curvs y y + Ár ( ) d ( + ) d

32 intgrls dfinids 8 Hll l ár d l rgión limitd or l gráfic d l función f( ), l j y l rct y. Clculmos los untos d cort d l función f( ) y l rct y. f( ) 6 y Ár 6 ( ) 6 d Dtrmin l ár dl rcinto qu formn l cortrs ls curvs: 6 y y + 7 Clculmos los untos d cort d mbs curvs. 6 y y + 7 Como l función y 6 rsnt un discontinuidd n l cro, l único rcinto qu formn ls dos curvs stá ntr y. y + 7 y 6 Ár d 6ln ln ln 6ln Dds ls funcions f( ) y g( ) +, s id: ) Esboz sus gráfics y sombr l rcinto ncrrdo ntr lls. b) clcul l ár d dicho rcinto. (CstillL Mnch. Junio 7. Bloqu. Prgunt B) ) f( ) g( ) 77

33 Solucionrio b) Hllmos los untos d cort. y y + Ár + d ln + / ln + ln + + ln ln / Hllr l ár d l rgión cotd comrndid ntr l gráfic d l función f( ) y ls rcts y,. ( ) (Mdrid. Junio 6. Oción B. Ejrcicio ) y f( ) Hllmos los untos d cort. y ( ) y ( ) ( ) El rcinto stá situdo ntr ls bsciss y. Ár / ( ) d / 9 + Hllr l ár d l rgión cotd comrndid ntr ls gráfics d ls funcions y, y, y l j. + 6 (Cnris. Junio 7. Oción A. Custión ) 77

34 intgrls dfinids Hllmos los untos d cort. y + y ( )( + + 8) Ár + d Arc tg 6 ( ) Hll l ár d l rgión limitd or ls gráfics d ls funcions y, y, l j y ls rcts y. Hllmos los untos d cort. y y Ár + [ ] + [ ] d d + + clculr l ár ncrrd or ls funcions f( ) + ln y g( ) y ls rcts y. (Murci. Junio 8. Bloqu. Custión B) Clculmos los untos d cort or si lguno stuvir ntr y. y + ln + ln y Ár + ln d [ ln + ln ] ln + ln ln S l función f ( ). ) Su gráfic dtrmin con l j d bsciss un rcinto limitdo D. clcul su ár. b) l gráfic d l función g ( ) divid D n trs rts D, D y D. Hz un dibujo d los trs rcintos. c) clcul l ár dl rcinto D qu contin l unto,. (Asturis. Stimbr 7. Bloqu 6) ) Hllmos los untos d cort d l función f( ) con l j. y y Ár ( ) d + 77

35 Solucionrio b) g ( ) f ( ) c) Hllmos los untos d cort d mbs curvs. y y / Ár ( ) d / / / clcul l vlor d m r qu l ár dl rcinto limitdo or l rct y m y l curv y s unidds cudrds. (Glici. Junio 6. Bloqu. Oción ) Hllmos los untos d cort. y y m m m ( m) ± m Pr qu s form un rcinto dbn cortrs n más d un unto lugo, m >. m m Ár ( m) d + ( m ) d m m + m m m m m m m + m m m 77

36 intgrls dfinids 7 l curv y + y l rct qu s or los untos A(, ) y B(, ) limitn un rcinto finito n l lno. ) Trz un squm gráfico d dicho rcinto. b) Hll su ár. (Asturis. Stimbr 6. Bloqu 6) ) L rct qu s or stos dos untos s: y y y + g b) Ár ( + + ) d ( + ) d + 8 El ár dl rcinto limitdo or ls curvs d cucions y con >, s. clcul l vlor d. (Andlucí. Junio 6. Oción B. Ejrcicio ) y, Hllmos los untos d cort. y y Ár d 77

37 Solucionrio 9 l curv y, su rct tngnt n l unto y l j limitn n l rimr cudrnt un rcinto finito dl lno. Dibujr un squm gráfico d dicho rcinto y clculr su ár. (Pís Vsco. Junio 6. Bloqu D. Problm D) y' y' ( ) y( ) 8 L rct tngnt s: y y m( ) y 8 ( ) y 6 y 6 y / / Ár d + ( + 6) d / / rrsnt gráficmnt l figur ln limitd or l curv y, su rct tngnt n l unto (, ) y l j. clcul su ár. (Etrmdur. Junio 6. Rrtorio A. Ejrcicio ) y' y' () L rct tngnt n l unto s: y y m( ) y ( ) y y y Ár ( d

38 intgrls dfinids l rábol y, su rct tngnt n l unto y l j limitn un rcinto finito dl lno. Dibujr un squm d dicho rcinto y hllr su ár mdint l cálculo intgrl. (Pís Vsco. Julio 7. Bloqu D. Problm D) y( ) y' y' () L rct tngnt n l unto s: y y m( ) y ( ) y + y y Ár ( + ) d ( + ) d + + clcul l ár d l rgión limitd or l rábol y + y sus tngnts n los untos y. y( ) y( ) y' y' ( ) y' () Ls rcts tngnts son: y y m( ) y ( + ) y + y y m( ) y ( ) y + y + y + 776

39 Solucionrio Ár ( + + ) d + ( + ) d ) Hll l ár dlimitd or g ( ) + y h( ). b) D otr rsión ( ) tl qu l ár comrndid ntr l gráfic d y ( ) y l j, ntr los vlors y, coincid con l ár qu hs clculdo n l rtdo ntrior. Justific l rsust. (Cntbri. Junio. Bloqu. Oción A) ) Hllmos los untos d cort. y y Ár + + ( ) d b) Bst tomr un rct rll l j, y, d tl form qu: 9 9 ( ) 9 PREPARA TU SELECTIVIDAD S f : R R l función dfinid or f ( ). ) Justific qu l rct d cución y s l rct tngnt l gráfic d f n l unto d bscis. b) clcul l ár dl rcinto limitdo or l gráfic d f, l j d ordnds y l rct tngnt dl rtdo ntrior. (Andlucí. Junio 8. Oción B. Ejrcicio ) ) y, y' y' L rct tngnt n l unto, s: y y m y ( ) + y b) L rct tngnt y l curv s cortn n l unto,. Ár + + ( ) d + / / 777

40 intgrls dfinids Dd l función f ( ) + : ) Hllr l cución d l rct tngnt l gráfic d f n l unto d bscis. b) clculr l ár dl rcinto cotdo limitdo or l gráfic d f, l rct tngnt obtnid n l rtdo ) y l j. (Cnris. Junio 7. Oción B. Custión ) ) f ( ) f' ( ) f' ( ) L rct tngnt n l unto d bscis s: y y m y ( ) ( ) y 7 b) Ár ( + + 7) d ( 6 + 9) d ) Pr cd vlor d c >, clculr l ár d l rgión cotd ntr l gráfic d l función f ( ) c + c +, l j y ls rcts,. b) Hllr l vlor d c r l cul l ár obtnid n l rtdo ) s mínim. (Mdrid. Junio 8. Oción B. Ejrcicio ) ) Ár + + c + + c d c c c c c c c b) Qurmos minimizr l función gc ( ) + + c g'( c) c g c '( ) c c c t dt rzonr si r F( ) s stisfc qu lim F( ) lim F' ( ). (Argón. Stimbr 8. Bloqu. Oción B) t t dt lim F lim ( ) lim F'( ) lim 6 6 F( ) 778

41 Solucionrio Dd l función f (t) t + b (con y b constnts rls), s dfin + F( ) f() t dt. S id obtnr rzondmnt: + ) l intgrl f() t dt. b) l rsión d l drivd d F'( ) d l función F ( ). c) l rlción ntr los vlors y b r l qu s vrific: F''() (C. Vlncin. Stimbr 8. Bloqu. Problm ) ) t f() t dt ( t + b) dt + bt ( + ) ( + ) + b( + ) b + b b) F ( ) ( ) + + b ( + ) + b F b '( ) ( + ) + c) F'' ( ) ( + ) + b F'' ( ) + b 6 + b b 6 S R l rctángulo dl lno con vértics n los untos V (, ), V (, ), V (, 9) y V (, 9). Dmostrr qu r todo vlor d A l curv d cución y A + ( A) s or los vértics V y V y divid l rctángulo n dos rgions. clculr l ár d dichs rgions y ncontrr l vlor d A r qu l rgión situd or ncim d l curv tng un ár dobl qu l situd or dbjo d l curv. (Pís Vsco. Junio 8. Bloqu D. Problm D) y A + ( A) y( ) L curv s or l vértic V. y( ) 9A+ ( A) 9 L curv s or l vértic V. El ár dl rctángulo s: b h 9 7 El ár d l rt dl rctángulo qu qud bjo l curv s: Ár + + ( ( ) ) A ( A ) A A d 7 A si A 7 A 7 A > si A 7( A) 9 A 779

42 intgrls dfinids El ár d l rt dl rctángulo qu qud sobr l curv s: A si A Ár 7 A 8 A si A> Pr qu l rgión situd or ncim d l curv tng un ár dobl qu l qu stá or dbjo: A 9 A A 7 A 9 7 A 9 A 7 Dd l función g( ) si, clcul l ár d l rgión + si > dl lno limitd or ls gráfics d g( ) y h( ). (Glici. Stimbr 7. Bloqu. Oción ) h ( ) g ( ) Hllmos los untos d cort Ár ( + + ) d + ( + ) d En un lno, l trzdo d un crrtr discurr sgún l cución y, sindo un río l j. En l trrno ntr l río y l crrtr hy un inr. Si rsmos ls distncis n kilómtros, cuánto vl l inr si l hctár s g 6? (C. Vlncin. Junio. Ejrcicio A. Problm ) 78

43 Solucionrio Hllmos l cort d l crrtr con l río. y y El ár dl inr n km s: Ár El rcio dl inr s: 8 d km 78