Álgebra. Ingeniería Industrial. Curso 2005/2006 Examen de Septiembre

Transcripción

1 Álger. Ingenierí Industril. Curso /6 Emen de Septiemre Ejercicio (I) (.) [ puntos Siendo que un de ls ríces cúics de w es z = i. Determinr el número complejo w epresr ls otrs dos ríces cúics de w en form eponencil. (II) Se B =,, con R T : R R un trnsformción linel + que verific T + = +, T T = = +, (.) [ punto Pror que B es se de R,prtodo R. (.) [ puntos Encontrr l mtriz A socid T. (.4) [ puntos Dd l mtriz, A = encontrr un se uns ecuciones implícits (cundo eistn) de los suespcios Col(A), Nul(A), Nul(A)+Col(A), Nul(A) Col(A). SOLUCIÓN: (I) (.) Puesto que un de ls ríces cúics de w es z = i, setienequew =( i) = i. Semos que ls otrs dos ríces cúics estrán en un circunferenci de módulo z tlquesus rgumentos difieren en π, por tnto, hllmos el módulo rgumento de z., Argumento: ϕ = rctg ( ), Módulo :. Puesto que z está en el curto cudrnte, se tiene que ϕ = π 4. Por tnto, ls otrs dos ríces cúics epresds en form eponencil son: z = e i( π 4 + π ) = e i π, z = π e i( + π ) = e i π.

2 (II) (.) Pr que tres vectores en R formen un se, st compror que son linelmente independientes. Equivlentemente, podemos compror que el determinnte formdo por dichos vectores es no nulo. + = + = = 6=. Oservr que se h desrrolldo el determinnte nterior por los elementos de l segund fil. (.) Pr determinr l mtriz A socid T plntemos un sistem vectoril, donde nuestrs incógnits serán ls columns de dich mtriz. Dicho sistem se otendrá de imponer ls condiciones T T + T = = = + +,, Oservr que dichs condiciones, teniendo en cuent que T es linel, se trducen en T (e )+ (+) T (e ) = +, T (e )+T (e )+T (e ) =, T (e )+T (e ) = + Restndo l primer ecución del sistem menos l tercer, otenemos directmente que T (e )= Sustituendo T (e ) en l tercer ecución, clculmos T (e ) T (e )= = Finlmente, de l segund ecución, T (e )= + =

3 Por tnto, l mtriz pedid viene dd por A =[T (e ) T (e ) T (e ) = (.4) Semos que el espcio column está generdo por ls columns de l mtriz A. Prhllr un se, vemos qué columns son linelmente independientes. Además, clculemos sus ecuciones implícits, Por tnto, un se del espcio column es B Col(A) =,, sus ecuciones implícits, =. Además, deducimos que uns ecuciones implícits del espcio nulo linelmente independientes son + =, =, De l resolución del sistem homogéneo ddo por ls dos ecuciones nteriores se otiene que Nul(A) =Gen. Por tnto, un se del espcio nulo, est dd por B Nul(A) =. Uns ecuciones implícits de Nul(A) Col(A) serán + =, + =, =, oequvlentemente, = = =. Luego, Nul(A) Col(A) ={}, no tiene se. Con respecto Nul(A) +Col(A) semos que Nul(A)+Col(A) =Gen,,, Puesto que los tres vectores son linelmente independientes, se tiene que Nul(A)+Col(A) =R, dichos vectores formrín un se de dicho suespcio. Se conclue que Nul(A)+Col(A), por tnto, no tiene ecuciones implícits.

4 ÁLGEBRA. INGENIERÍA INDUSTRIAL. CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE. CURSO -6. EJERCICIO RESUELTO. Ejercicio. Consideremos l mtriz con, R no nulos. (.) Clculr los utovlores de l mtriz A. (.) Pr = =determinr los utovlores de l mtriz A αa I deducir pr qué vlores de α R, lmtriza αa I no es invertile. (.) Pr = =clculr un mtriz ortogonl P un mtriz digonl D tles que A = PDP T. (.4) Pr = =clculr A n teniendo en cuent el prtdo nterior. (.) Pr = =hllr l mtriz de l proección ortogonl sore el espcio column de A. Solución. (.): Pr clculr el polinomio crcterístico desrrollmos el determinnte por los elementos de l primer column: λ λ λ λ = ( λ) λ λ λ λ λ n = ( λ) o ½ ¾ λ λ n = ( λ) on ( λ) o. Ahor es fácil scr los utovlores, pues el polinomio está fctorizdo. El primer polinomio tiene ríces ± el segundo tiene ls otrs dos ríces ±. (.): Semos, por ls propieddes que tienen los utovlores, que si λ es utovlor de A entonces λ αλ es utovlor de A αa I. Así pues st dr λ los vlores clculdos en el prtdo nterior: λ λ αλ 7 α α 7+α +α Un mtriz es invertile si sólo si no tiene l cero como utovlor. Luego A αa I no es invertile si α = ±7/, ±. (.): Los utovlores de A es este cso son σ (A) ={ 4, 4, (dole)}. Pr λ =se otienen los utovectores correspondientes en el núcleo de l mtriz A: v =, v =

5 Pr λ =4se otiene el utovector correspondiente en el núcleo de l mtriz A 4I: 6 6 v = Pr λ 4 = 4 se otiene el utovector correspondiente en el núcleo de l mtriz A +4I: 6 v 4 = 6 Pr que l invers de P se P T es necesrio ( suficiente) que sus columns formen un se ortonorml. Semos que utovlores distintos de un mtriz simétric le corresponden utovectores ortogonles. Así pues sólo tenemos que segurrnos de que los utovectores de un mismo utovlor sen ortogonles. En este cso tenemos que λ =es dole los dos utovectores que le hemos clculdo hn slido de mner nturl ortogonles (en el cso de que no huiese sido sí hrímos tenido que ortogonlizrlos). Por lo tnto nos st dividir cd uno de los vectores que hemos otenido por su norm de est mner conseguimos un se ortonorml de R 4 formd por utovectores de A. Ls mtrices P = D = 4 4 verificn que A = PDP T P T = P. (.4): PorelprtdonteriordeducimosqueA n = PD n P T. Sustituendo clculndo result 4 n 4 n A n = ( 4) n ( 4) n ( 4) n ( 4) n 4 n 4 n (.): Se ve simple vist que ls columns segund tercer de A son proporcionles. Lo mismo ocurre con ls columns primer curt. Por lo tnto Col (A) está generdo por ls dos primers columns de A. Se oserv tmién que dichos vectores son ortogonles. Por lo tnto tenemos que v =,v = formn un se ortonorml de Col (A). Lsoluciónes v T P Col(A) =[v,v v T =

6 Álger. Ingenierí Industril. Curso /6 Emen Finl de Sepiemre. 7 de Septiemre de 6. Ejercicio =. (.) [4 puntos Hllr un cmio de vriles ortogonl un trslción que lleve l cónic su ecución reducid. Escriir dich ecución determinr el tipo de cónic. (.) [4 puntos Considerndo su ecución reducid en coordends (, ), encuentr su elementos notles (focos, vértices, directriz, síntots, ejes, según el tipo de cónic de que se trte) en dichs coordends. Representr l cónic junto sus elementos notles en ls coordends (, ). (.) [ puntos Reducir sum de cudrdos en función de α R l siguiente form cudrátic Q(,,z) = α + z. (.) L mtriz simétric socid l prte cudrátic de l ecución es [ A = Autovlores de A. det(a λi) = λ λ = ( λ)( λ) 4 = λ + λ 6 = = λ = ± + 4 = { λ = λ =. Autovectores de A socidos λ =,(A I) =. [ [ 4 = = Nul(A I) = Gen {[ } Autovectores de A socidos λ =,(A + I) =. [ [ 4 = = Nul(A + I) = Gen {[ } Digonlizción ortogonl de A. Puesto que { v v = [ v, v = [ es un se ortonorml de R formd por utovectores de A l mtriz que tiene dichos vectores como vectores column es un mtriz de pso que digonliz A es un mtriz ortogonl P = P T, P = [ [,D = } { P = = P T AP = PD = P T AP = D. Notemos que l mtriz ortogonl P es l mtriz de un giro. Si huiérmos elegido uno de los uovectores con signo contrrio l mtriz no serí l mtriz de un giro sino l de un giro seguido de un simetrí il.

7 Cmio ortogonl de vriles. El cmio (ortogonl) de vriles socido l mtriz ortogonl que digonliz A es [ { = ( ) [ [ = P [ = [ = ( + ) Ecución trs el cmio ortogonl de vriles. Hciendo el cmio de vriles [ [ = P en l ecución de l cónic en coordends (,) [ [ A = otenemos l ecución de l cónic en coordends (, ) [ [ P T AP + 8 ( ) + 4 ( + ) + 44 = [ [ D = =. En est ecución no prece el término cruzdo. Trslción Ecución { reducid. Pr otener l ecución reducid tenemos que hcer un trslción = γ = pr elimr los términos de primer grdo que h, en γ nuestro cso sólo uno. Completndo cudrdos en en l ecución en (, ) tenemos = ( + ) + 44 = ( + ) + 44 = = = 6 = = siendo { = + =. Por tnto el cmio ortogonl de vriles ddo por [ = [ [ continución l trslción definid por { = + = l ecución de l cónic en coordends (, ) es con lo cul se trt de un hipérol. =

8 (.) Un vez hechos el cmio ortogonl de vriles l trslción hemos otenido l hipérol de ecución =. Los elementos notles, en coordends (, ), de dich hipérol son: Ejes de simetrí: el eje X es el eje focl (rect sore l que están los focos) el eje Y. Centro (de simetrí): el origen de coordends ( =, = ). Semiejes: = =. Vértices. Puntos de corte con el eje focl (eje de simetrí sore el que están los focos. = = = = = ± { V = (,) = (,), = V = (,) = (,). Focos. Son los dos puntos que están situdos sore el eje focl su distnci l centro es c = + =. Por tnto, son los puntos Asíntots = F = (c,) = (,) F = ( c,) = (,) ( )( + ) = = ± L gráfic de l hipérol de sus elementos notles en coordends (, ) es, por tnto 4 = = Y = V F c F X V

9 (.) Puesto que en l epresión de l form cudrátic no prece ningún cudrdo, lo primero que tenemos que hcer es trnsformr un producto cruzdo en un diferenci de cudrdos. [ = + z Q(,,z) = α + z = = ( + z) z = z z = = α( ( z) + z ) + ( + z )( z ) = = α z + αz + z = [ = ( + α ) ( α ) + αz z completndo cudrdos en = [ completndo cudrdos en z = ( α ) ( z α ) + ( α ) = z siendo = + α = ( + z) + α, z = z α = ( z) α. L relción entre ls vriles originles (,,z) ls vriles finles (,,z ) viene dd por l epresión mtricil z = / α/ / / α/ / donde pr definir l vrile podemos tomr como segund fil de l mtriz culquier que hg que l mtriz se l de un cmio de vriles, es decir, que teng invers. Por ejemplo podemos tomr = con lo cul z = / α/ / / α/ / z, det z / α/ / / α/ / =. 4