IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 1 Junio) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 1_A 3x - y - z 3 Sea el sistema: x - z 1 y - z 0. OPCIÓN A (0 5 putos) Expréselo e forma matricial. (0 5 putos) La matriz de los coeficietes posee iversa? Justifique la respuesta. c) ( putos) Resuélvalo y clasifíquelo e cuato al úmero de solucioes. Solució 3x - y - z 3 Sea el sistema: x - z 1. y - z 0 Expréselo e forma matricial x 3 El sistema e forma matricial es y 1, dode la matriz de los coeficietes del sistema 0-1 z * es A y la matriz ampliada A ; y segú el teorema de Rouche, el sistema tiee solució si y solo si rago(a) rago(a*). La matriz de los coeficietes posee iversa? Justifique la respuesta Adjutos Como A C 3 + C seguda 1 (-1) ( ) 0, A o tiee matriz iversa fila c) Resuélvalo y clasifíquelo e cuato al úmero de solucioes Adjutos E A, como A C 3 + C seguda 1 (-1) ( ) 0, rago(a) < fila E A como 1 0 0, teemos rago(a) 0 E , como , por teer dos columas iguales, rago(a*) * A Como, rago(a) rago(a * ) < º de icógitas, por el Teorema de Rouche el sistema es compatible e idetermiado y tiee ifiitas solucioes. Como el rago es, teemos ecuacioes co 3 icógitas. Tomamos la seguda y la tercera, pues co ellas hemos formado el meor de orde dos distito de cero. x - z 1 y - z 0. Tomado y R, teemos - z 0, de dode z. Etrado e la primera: x - () 1 x 1 + Solució (x,y,z) (1 +,, ) co R. 3x-y-z 3 Cambio x - z 1 Tambié se puede hacer por Gauss; x - z 0 F 1 por F 3x-y-z 3F - F 1(-3) y - z 0 y -z 0 x - z 1 x - z 1 -y+z 0 -y+z 0, Tomado y R, teemos - z 0, de dode z. Etrado y -z 0 F 3+ F 0 0 germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua e la primera: x - () 1 x 1 + Solució (x,y,z) (1 +,,) co R. EJERCICIO _A Las gaacias de ua empresa, e milloes de pesetas, se ajusta a la fució f(x) 50x-100 x+5, dode x represeta los años de vida de la empresa, cuado x 0. ( putos) Represete gráficamete la fució y f(x), para x (-,+), idicado: domiio, corte co los ejes, asítotas, crecimieto y decrecimieto. (0 5 putos) A partir de qué año la empresa deja de teer pérdidas? c) (0 5 putos) A medida que trascurre el tiempo, está itados sus beeficios? E caso afirmativo, cuál es su límite? Solució Las gaacias de ua empresa, e milloes de pesetas, se ajusta a la fució f(x) 50x-100 x+5, dode x represeta los años de vida de la empresa, cuado x 0. Represete gráficamete la fució y f(x), para x (-,+), idicado: domiio, corte co los ejes, asítotas, crecimieto y decrecimieto. Teemos f(x) 50x-100, cuya gráfica es ua hipérbola y sabemos tiee ua A.V. y ua A.H. x+5 Domiio R - {x+50} R - {-5/}. Cortes co los ejes: Para x 0, f(0) -100/5-0. Puto (0,-0). Para f(x) 0, 50x 100 0, de dode x 100/50. Puto (,0). Asítotas: El úmero que aula el deomiador (x+5 0) es x -5/, y como recta x -5/ es ua A.V. de f,. 50x-100 Como (50x/x) x x+5 x x5/ 50x-100 x+5 (50/) 5, la recta y 5 es ua A.H. e ±. x (-5)/0 - +, la 50x-100 De (f(x) - A.H.) - (5/) x x x+5 0-, teemos que f está por debajo de la A.H. y 5 e +. La mootoía es el estudio de la primera derivad f (x). f(x) 50x-100 x+5 ; f (x) 50(x+5) - (50x-100) 450 (x+5) (x+5) De f (x) 0, teemos 450 0, lo cual es absurdo luego o tiee extremos relativos. Como f (0) 450/5 18 > 0, la fució f(x) es estrictamete creciete e su domiio Teiedo e cueta lo aterior, u esbozo de la gráfica de f es: germa.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua A partir de qué año la empresa deja de teer pérdidas? La fució está defiida para x 0, y observado la gráfica, vemos que empieza a estar por ecima del eje de abscisas OX e x, es decir a partir del segudo año la empresa deja de teer pérdidas. c) A medida que trascurre el tiempo, está itados sus beeficios? E caso afirmativo, cuál es su límite? Observado la gráfica, vemos que los beeficios está itados porque f(x) o supera la A.H. y 5, es decir las gaacias está itadas a 5 milloes de pesetas. EJERCICIO 3_A Parte I Ua caja cotiee diez torillos, de los que dos so defectuosos. (1 puto) Si vamos extrayedo torillos, uo tras otro, hasta localizar los dos defectuosos, cuál es la probabilidad de ecesitar exactamete tres extraccioes para localizarlos? (1 puto) Si extraemos solo dos torillos, y el segudo ha resultado ser defectuoso, cuál es la probabilidad de que el primero tambié lo haya sido? Solució Ua caja cotiee diez torillos, de los que dos so defectuosos. Si vamos extrayedo torillos, uo tras otro, hasta localizar los dos defectuosos, cuál es la probabilidad de ecesitar exactamete tres extraccioes para localizarlos? Llamemos D i y D i C, a los sucesos siguietes, sacar torillo defectuoso e la extracció úmero i y o sacar torillo defectuoso e la extracció úmero i, respectivamete. Datos del problema p(d 1 ) /10; p(d /D 1 ) 1/9; p(d 3 /(D 1 D ) ) 0 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). p(localizar los torillos defectuosos e tres extraccioes) p(d 1 ) p(d /D 1 ) p(d 3 C /(D 1 D ) ) + p(d 1 ) p(d C /D 1 ) p(d 3 /(D 1 D C ) ) + p(d 1 C ) p(d /D 1 C ) p(d 3 /(D 1 C D ) ) (/10) (1/9) (1) + (/10) (8/9) (1/8) + (8/10) (/9) (1/8) 1/ Si extraemos solo dos torillos, y el segudo ha resultado ser defectuoso, cuál es la probabilidad de que el primero tambié lo haya sido? Utilizamos el apartado ( y parte del diagrama de árbol germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Utilizado la fórmula de Bayes y el Teorema de la probabilidad Total p(d1 D ) p(1º defectuoso sabiedo que la º ha sido defectuoso) p(d 1 /D ) p(d ) p(d ) p(d /D ) 1 1 C C p(d ) p(d /D ) + p(d ) p(d /D ) (/10) (1/9) (/10) (1/9) + (8/10) (/9) 1/ EJERCICIO 3_A Parte II ( putos) Segú u estudio sociológico, el gasto mesual de los jóvees españoles durate los fies de semaa se distribuye segú ua ley ormal de media 5000 pts. y desviació típica 3000 pts. Tomamos, al azar, ua muestra de 36 jóvees. Cuál es la probabilidad de que esta muestra tega u gasto medio compredido etre 3800 pts. y 600 pts? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(, ) o X N(, ) Trabajamos e ua ormal N(0,1), para lo cual teemos que tipificar la variable e la distribució muestral de medias, es decir Z X / Segú u estudio sociológico, el gasto mesual de los jóvees españoles durate los fies de semaa se distribuye segú ua ley ormal de media 5000 pts. y desviació típica 3000 pts. Tomamos, al azar, ua muestra de 36 jóvees. Cuál es la probabilidad de que esta muestra tega u gasto medio compredido etre 3800 pts. y 600 pts? Datos del problema: Distribució de la població N(;) N(5000; 3000); 5000; 3000; La distribució de las medias muestrales es X N( ; ) N(5000 ; 36 ) N(5000;500). Me está pidiedo la probabilidad p(3800 X 600) Luego p(3800 X 600) {tipificamos} p( Z ) p(- 4 Z 4) p(z 4) - p(z - 4) p(z 4) (1 - p(z 4)) p(z 4) - 1 {Mirado e la tabla} OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (3 putos) Cierta sala de espectáculos tiee ua capacidad máxima de 1500 persoas, etre adultos y iños; el úmero de iños asistetes o puede superar los 600. El precio de la etrada a ua sesió de u adulto es de 800 pts, mietras que la de u iño es de u 40% meos. El úmero de adultos o puede superar al doble del úmero de iños. Cumpliedo las codicioes ateriores, cuál es la catidad máxima que se puede recaudar por la veta de etradas? Cuátas de las etradas será de iños? germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Solució Cierta sala de espectáculos tiee ua capacidad máxima de 1500 persoas, etre adultos y iños; el úmero de iños asistetes o puede superar los 600. El precio de la etrada a ua sesió de u adulto es de 800 pts, mietras que la de u iño es de u 40% meos. El úmero de adultos o puede superar al doble del úmero de iños. Cumpliedo las codicioes ateriores, cuál es la catidad máxima que se puede recaudar por la veta de etradas? Cuátas de las etradas será de iños? x Número de adultos. y Número de iños. Fució Objetivo F(x,y) 800x + (800 40%de 800)y 800x + (800 30)y 800x + 480y. (la etrada a ua sesió de u adulto es de 800 pts, mietras que la de u iño es de u 40% meos). Restriccioes: De capacidad máxima de 1500 persoas x + y 1500 El úmero de iños asistetes o puede superar los 600 y 600. El úmero de adultos o puede superar al doble del úmero de iños. x y. Al espectáculo va algú adulto y algú iño x 0, y 0. Las desigualdades x + y 1500; y 600; x y; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, x + y 1500; y 600; x y; x 0; y 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y -x ; y 600; y x/; x 0; y 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo itado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x 0 e y 0, teemos el puto de corte es A(0,0) De y x/ e y -x+1500, teemos x/ -x+1500 x -x x 3000 x 1000 e y 500, luego el puto de corte es B(1000,500) De y -x+1500 e y 600, teemos -x x, luego el puto de corte es C(900,600). De y 600 y x 0, teemos el puto de corte es D(0,600) Vemos que el polígoo tiee por vértices los putos: A(0,0), B(1000,500), C(900,600) y D(0,600). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) 800x + 480y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(1000,500), C(900,600) y D(0,600). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) 800(0) + 480(0) 0; F(1000,500) 800(1000) + 480(500) ; germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua F(900,600) 800(900) + 480(600) ; F(0,600) 800(0) + 480(600) Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(1000,500), es decir el máximo igreso es de pts. y se alcaza vediedo 500 etradas para iños. EJERCICIO _B ax - si x - Dada la fució f(x) a si - < x (a R). x si x > (1 puto) Calcule el valor de a para que f sea cotiua e x -. (1 puto) Estudie la cotiuidad y la derivabilidad de f cuado a. c) (1 puto) Dibuje la gráfica de la fució que se obtiee cuado a. Solució Se cosidera la siguiete fució: f(x) ax - si x - a si - < x x si x > Calcule el valor de a para que f sea cotiua e x -. (a R). Sabemos que si ua fució es derivable es cotiua, pero si o es cotiua tampoco es derivable. ax - es cotiua y derivable e R, e particular e x < -. a es cotiua y derivable e R, e particular e - < x <. x es cotiua y derivable e R, e particular e x >. Veamos la cotiuidad de f e x -. f(x) x (ax - ) 4a - ; f(x) es cotiua e x - si f(-) f(-) x f(x) x f(x) x x f(x). x ( a, por tato f(x) es cotiua e x -1, si 4a - a, de dode a /3. Estudie la cotiuidad y la derivabilidad de f cuado a. x - si x - 4x si x - Para a, teemos f(x) si - < x ; f (x) 0 si - < x ; x si x > 1 si x > Sabemos que si ua fució es derivable es cotiua, pero si o es cotiua tampoco es derivable. x - es cotiua y derivable e R, e particular e x < -. es cotiua y derivable e R, e particular e - < x <. x es cotiua y derivable e R, e particular e x >. Veamos la cotiuidad y derivabilidad de f e x -. f(x) x (x - ) 8 6; f(x) es cotiua e x - si f(-) f(-) x f(x) x f(x) x x tampoco es derivable e x -. f(x). x (), como los resultados o so iguales f(x) o es cotiua e x - y por tato Veamos la cotiuidad y derivabilidad de f e x. f(x) es cotiua e x si f() f(x) f(x). f() x f(x) x f(x) x x () ; x x (x), como los resultados so iguales f(x) es cotiua e x. x - si x - f(x) si - < x ; f (x) x si x > 4x si x - 0 si - < x ; 1 si x > germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua f(x) es derivable e x si f (x) x x (0) 0; x f (x) x f (x) x x. Recapitulado f es cotiua e R {-}, y derivable e R {-,}. c) Dibuje la gráfica de la fució que se obtiee cuado a. f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x (1) 1. Como los resultados coicide, f(x) o es derivable e x - si x - f(x) si - < x ; x si x > La gráfica de x - (x -) es u trozo de parábola, co las ramas hacia arriba (), pues el º que multiplica a x es positivo, abscisa del vértice e (x - ) 0 4x, de dode x 0, luego vértice e V(0,-), que o está e x -. Los putos de corte so (0,-) y (±1,0), que tampoco está e (x -). La gráfica de (- < x -) es u segmeto paralelo al eje OX. La gráfica de x (x > ) es ua semirrecta, y co dos valores es suficiete para dibujarla, el (*,) y el (4,4). Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica es: EJERCICIO 3_B Parte I Dispoemos de tres dados, uo de los cuales está trucado. La probabilidad de sacar 5 co el dado trucado es 0 5, siedo los otros resultados equiprobables. Se elige u dado al azar y se realiza u lazamieto co él. (1 puto) Determie la probabilidad de obteer u. (1 puto) Dado que ha salido u, cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el dado trucado? Solució Dispoemos de tres dados, uo de los cuales está trucado. La probabilidad de sacar 5 co el dado trucado es 0 5, siedo los otros resultados equiprobables. Se elige u dado al azar y se realiza u lazamieto co él. Determie la probabilidad de obteer u. Llamemos D 1, D, D T,, T y 5 T, a los sucesos siguietes, lazar dado 1, lazar dado, lazar dado trucada, salir e dado ormal, salir e dado trucado y salir 5 e dado trucado, respectivamete. Datos del problema p (D 1 ) p(d ) p(d T ) 1/3, p() 1/6, p(5 T ) 0 5. E dado trucado p(1 T ) + p( T ) + p(3 T ) + p(4 T ) + p(5 T ) + p(1 T ) 1 x + x + x + x x 1, de dode 5x x x 0 75/ Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). germa.jss@gmail.com 7

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo 1 Juio) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua Aplicado el Teorema de la probabilidad Total p(obteer u ) p(d 1 ) p(/d 1 ) + p(d ) p(/d ) + p(d T ) p( T /D T ) (1/3) (1/6) + (1/3) (1/6) + (1/3) (0 15) 9/ Dado que ha salido u, cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el dado trucado? Aplicado la Fórmula de Bayes p(dt ) p(d T ) p( T /D T ) p(d T /) p() p() (1/3) (0'15) (9/180) 9/ EJERCICIO 3_B Parte II Sabiedo que la variaza de ua ley ormal es 16, determie el ivel de cofiaza co el que puede decirse que su media está compredida etre 6 y 8 8, si se toma ua muestra aleatoria de tamaño 36 de esa ley ormal, cuya media muestral es 7 5. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(, ) o X N(, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. () x z 1 /,x z1 / (a, dode z 1-α/ y z α/ - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) 1 - / Tambié sabemos que la media es x (a + /, el error máximo de la estimació es E z1 /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a z1 / E, de dode E (b /, z 1- /. z 1- /. por tato el tamaño míimo de la muestra es. E b - a Sabiedo que la variaza de ua ley ormal es 16, determie el ivel de cofiaza co el que puede decirse que su media está compredida etre 6 y 8 8, si se toma ua muestra aleatoria de tamaño 36 de esa ley ormal, cuya media muestral es 7 5. Datos del problema: Itervalo (a, (6, 8 8), 16, 4, 36, x De la amplitud del itervalo es b a z1 /, teemos que (8 8 6 ) z1 /, es decir 36 z 1-α/ (15 6) / y mirado e las tablas vemos que p(z 1 95) 1 - / , por lo tato teemos que ( ) 0 051, luego el ivel de cofiaza pedido es %. germa.jss@gmail.com 8