OPCIÓN A. = en el punto ( ) b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función

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1 Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº Páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee..- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 4 primeros ejercicios se puntuarán sobre un máximo de,5 puntos, y el quinto ejercicio sobre un máximo de punto. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos. E.- Sean 4 A = 3 y B =. OPCIÓN A a) Estudiar si A y B tienen inversa y calcularla cuando sea posible. ( punto) b) Determinar X tal que AX = B + I siendo I =. (,5 puntos) E.- Determinar la recta rr que es paralela al plano π x y z = y que corta perpendicularx y+ 3 z mente a la recta s = = en el punto P(,, ). (,5 puntos) 4 E3.- a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente. ( punto) 6 4 b) Encontrar un intervalo en el que Px ( ) = x + x tenga al menos una raíz. (,5 puntos) E4.- a) Calcular la recta tangente a la curva f( x) 4e x, f (). ( punto) b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función 3 gx ( ) = x y la recta y = 4x. (,5 puntos) = en el punto ( ) E5.- Se lanzan dos dados (con forma cúbica) al aire. Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8? ( punto) MATEMÁTICAS II-Propuesta 3/7. Página de

2 OPCIÓN B E.- a) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro λ: x+ λy+ λz = x+ y+ z = x + y + 4z = b) Resolverlo para λ =. (,5 puntos) ( punto) E.- Dado el plano π 3x+ y+ z = y los puntos P(,,), Q(,, 3) que pertenecen al plano π, determinar la recta del plano π que pasa por el punto medio entre PyQ y es perpendicular a la recta que une estos puntos. (,5 puntos) E3.- a) Dado el polinomio mínimo relativo sea. b) Calcular lim xx ln xx. xx + 3 x 3x Px ( ) = + x+ C, hallar C para que el valor de Pxen ( ) su 3 (,5 puntos) ( punto) ( x ) si x E4.- Sea f( x) = a + ln x si x > a) Encontrar a para que la función sea continua. ( punto) b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f( x ) y las rectas x=, y =. (,5 puntos) E5.- La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es. Cuál es la probabilidad de sacar 3 caras en tres lanzamientos? ( punto) MATEMÁTICAS II-Propuesta 3/7. Página de

3 a) 4 E.- Sean A = 3 y B =. a) Estudiar si A y B tienen inversa y calcularla cuando sea posible. ( punto) b) Determinar X tal que AX = B + I siendo I =. (,5 puntos) Una matriz cuadrada M tiene inversa (es una matriz regular) si, y solo si, su determinante es distinto de cero, es decir, M, y su inversa, M, es: M = M Adj(Mt ) Comprobaremos que la matriz A es una matriz regular: A = 4 = 3 ( 4) = A Tiene inversa 3 Y su matriz inversa, A, es: A = ( 4 3 ) At = ( 4 3 ) Adj(At ) = ( 3 4 ) A = (3 4 ) A = ( 3 4 ) Por el contrario, la matriz B no tiene inversa, es una matriz no regular (o singular): B = = = B = No tiene inversa b) Para despejar la matriz X, multiplicamos por la matriz A a ambos miembros de la ecuación, por la izquierda: Teniendo en cuenta que A A = I: Por tanto: A A X = A ( B + I) I X = A ( B + I) X = A ( B + I) X = ( 3 4 ) [ ( ) + ( 4 )] = ( 3 ) [( ) + ( )] 3 4 = ( ) ( 3 6 ) X = ( 3 )

4 E.- Determinar la recta que es paralela al plano π x y z = y que corta perpendicularx y+ 3 z mente a la recta s = = en el punto P(,, ). (,5 puntos) 4 Se pide encontrar una recta r que sea paralela al plano π, perpendicular a la recta s y pase por P. Siendo v r el vector director de la recta r: El vector v r es perpendicular al vector normal al plano π, que es n π = (,, ). El vector v r es perpendicular al vector director de la recta s, que es v s = (,, 4). Por tanto, el vector v r puede obtenerse mediante el producto vectorial n π v s : v r n π } v v r v r = n π v s = i j k = (4 + ) i ( 4 + ) j + ( + ) k = 6 i + 3 j + 3 k s 4 v r = (6, 3, 3) v r = (,, ) Conocido el vector director de la recta r, y teniendo en cuenta ésta que pasa por el punto P(,, ): Estrategia de resolución alternativa: x = + λ r { y = + λ x = y + = z + z = + λ La recta r buscada puede definirse como la intersección de dos planos: Un plano π paralelo a π que pase por el punto P: Plano paralelo a π x y z = π x y z + D = Si pasa por P(,, ) ( ) ( ) + D = D = 5 Por tanto π x y z 5 = Un plano π perpendicular a s que pase por el punto P: Por tanto, la recta buscada es: Si π es perpendicular a s n π = v s = (,, 4) La ecuación del plano π es de la forma π x + y 4z + D = Si pasa por P(,, ) + ( ) 4 ( ) + D = D = 8 Por tanto π x + y 4z 8 = x y z 5 = r { x + y 4z 8 =

5 a) E3.- a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente. ( punto) 6 4 b) Encontrar un intervalo en el que Px ( ) = x + x tenga al menos una raíz. (,5 puntos) Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe un número c (a, b) tal que f(c) =. f(x) es continua en [a, b] } c (a, b) tal que f(c) = signo f(a) signo f(b) Consecuencia del teorema de Bolzano: Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo [a, b], siendo f(a) < g(a) y f(b) > g(b), entonces existe un número s (a, b) tal que f(s) = g(s). b) Para ello debemos encontrar un intervalo en el cual la función cambie de signo, por ejemplo: P() = < } Intervalo [, ] P() = + > Siendo P(x) continua en todo su dominio, también lo será en el intervalo [, ], y como el signo de P() es distinto del signo de P(), se satisfacen las hipótesis del teorema de Bolzano, por lo que ha de cumplirse la tesis: P(x) es continua en [, ] } c (, ) tal que f(c) = signo P() signo P() Es decir, hay un valor de x (, ) para el cual la función se anula, por lo que podemos asegurar que P(x) tiene al menos una raíz en dicho intervalo.

6 E4.- a) Calcular la recta tangente a la curva a) b) f( x) 4 x = e en el punto (, () ) f. ( punto) b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función gx ( ) 3 = x y la recta y 4 = x. (,5 puntos) Geométricamente, la derivada de una función en un punto determinado representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Así pues, comenzaremos por derivar f(x): f(x) = 4 e x f (x) = 4 e x Teniendo en cuenta que la recta tangente viene dada por la siguiente ecuación: Para x = : Por tanto, la recta buscada es: y f(x ) = f (x ) (x x ) y f() = f () (x ) Siendo f() = 4 y f (4) = 4 y 4 = 4 (x ) y = 4 x En primer lugar calculamos los puntos de corte entre ambas gráficas: g(x) = x 3 y = 4 x } x3 = 4 x x 3 4 x = x (x 4) { x = x = ± Realizamos un esbozo de la gráfica, para visualizar la región comprendida entre la curva y la recta: Como se pide el área comprendida entre la recta y = 4x y la gráfica de g(x) = x 3 únicamente en el primer cuadrante: A = [4x x 3 ] = [ 4 x x4 4 ] = ( ) () = = 8 4 A = 4 u

7 E5.- Se lanzan dos dados (con forma cúbica) al aire. Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8? ( punto) Las posibles combinaciones en las tiradas de los dos dados se recogen en la siguiente tabla: Es decir, existe un total de 36 casos posibles, de los cuales sólo son favorables cinco (aquellos que suman ocho): (, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, ) Por lo tanto, según la regla de Laplace, la probabilidad buscada es: P = número de casos favorables número de casos posibles P = 5 36 También llegamos al mismo resultado a partir de la definición de probabilidad total: P = P() P(6 ) + P(3) P(5 3) + P(4) P(4 4) + P(5) P(3 5) + P(6) P( 6) P = 5 36 Siendo: P() = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = Probabilidad de que salga, 3, 4, 5 o 6 en el primer dado 6 P(6 ) = Probabilidad de que salga un 6 en el segundo dado si ha salido un en el primero 6 P(5 3) = Probabilidad de que salga un 5 en el segundo dado si ha salido un 3 en el primero 6 P(4 4) = Probabilidad de que salga un 4 en el segundo dado si ha salido un 4 en el primero 6 P(3 5) = Probabilidad de que salga un 3 en el segundo dado si ha salido un 5 en el primero 6 P( 6) = Probabilidad de que salga un en el segundo dado si ha salido un 6 en el primero 6

8 E.- a) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro λ: x+ λy+ λz = x+ y+ z = x + y + 4z = b) Resolverlo para λ =. (,5 puntos) ( punto) Recurriremos al teorema de Rouché Frobenius para discutir el número de soluciones de este sistema. Para ello, comenzamos por definir la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada con los términos independientes: λ λ Matriz de los coeficientes M = ( ) 4 λ λ Matriz ampliada M = ( ) 4 A continuación evaluamos el rango de M, en función de los valores de λ para los que M = : λ λ M = = 4 + λ + λ λ 4λ = λ 4 Si M = λ = λ = Así pues, si λ, el rango de M es 3. Si λ =, el rango de M es, pues siempre existe al menos un determinante de orden no nulo en ella. Por tanto: Si λ, ran(m) = ran(m ) = 3, que coincide con el número n de incógnitas: Si λ SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Si λ =, ran(m) = ran(m ) =, pues en la matriz M aparecen dos filas idénticas: b) Resolverlo para λ =. ( punto) M = ( ) 4 Si λ = SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + y + z = Si λ = { x + y + z = x + y + 4z = Al haber dos ecuaciones idénticas en el sistema, podemos prescindir de una de ellas: x + y + z = { x + y + 4z =

9 De este modo el sistema queda con dos ecuaciones y tres incógnitas, por lo que trataremos una de ellas como parámetro. Haciendo z = μ: x + y = μ { x + y = 4μ Restando la primera ecuación a la segunda, obtenemos y:: y = 3μ Y sustituyendo y en cualquiera de las dos ecuaciones, despejamos x: En definitiva, las soluciones son: x + ( 3μ) = μ x = μ x = μ { y = 3μ z = μ

10 E.- Dado el plano π 3x+ y+ z = y los puntos P(,,), Q(,, 3) que pertenecen al plano π, determinar la recta del plano π que pasa por el punto medio entre PyQ y es perpendicular a la recta que une estos puntos. (,5 puntos) En primer lugar, determinamos el punto medio M entre P(,, ) y Q(,, 3): M = ( p x + q x, p y + q y Por otro lado, sabemos que la recta r buscada:, p z + q z ) = ( +,, 3 ) M = (,, ) Pertenece al plano π 3x + y + z =, por lo que su vector director v r es perpendicular al vector normal al plano n = (3,, ). Es perpendicular a la recta que une los puntos P y Q, por lo que su vector director v r es perpendicular al vector PQ = (,, 3) (,, ) = (,, 4). En consecuencia: v r n v r PQ } v r = n PQ = i j k 3 = ( 4 + ) i ( ) j + ( 6 ) k 4 = i + 4 j 8 k v r = (, 4, 8) (, 7, 4) Finalmente, la recta r cuyo vector director es v r = (, 7, 4) y que pasa por el punto M = (,, ) es: x = + λ r { y = 7λ z = + 4λ x = y 7 = y + 4

11 3 x 3x E3.- a) Dado el polinomio Px ( ) = + x+ C, hallar C para que el valor de Pxen ( ) su 3 mínimo relativo sea. (,5 puntos) b) Calcular lim xx ln xx. xx + ( punto) a) El punto x en el que se encuentra el mínimo relativo debe satisfacer las siguientes condiciones: P (x ) =, P (x ) > Por lo que el primer paso es obtener las derivadas primera y segunda de P(x): P (x) = x 3x +, P (x) = x 3 Igualando la primera derivada a cero determinamos los posibles valores de x en los cuales se pueden encontrar los extremos relativos del polinomio: x 3x + = x = 3 ± ( 3) 4 = 3 ± 9 8 = 3 ± = 3 ± { x = x = Ahora buscamos el valor que corresponde al mínimo, que será aquel para el cual la segunda derivada es positiva: P () = < Máximo P () = > Mínimo Luego el mínimo se encuentra en x =. Sabiendo que el valor de P(x ) es : P() = C = C = 3 b) ln x lim x +(x ln x) = [ ( )] = lim x + x = [ + ] L Hôpital lim x + x x = lim x + x = lim x +( x) = x

12 ( x ) si x E4.- Sea f( x) = a + ln x si x > a) Encontrar a para que la función sea continua. ( punto) b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f( x ) y las rectas x=, y =. (,5 puntos) a) El único posible punto de discontinuidad lo podemos encontrar en x =, por lo que para garantizar la continuidad de la función en este punto, debe cumplirse: Teniendo esto en cuenta: lim x f(x) = lim f(x) x + lim f(x) = f() } f(x) continua en x = x lim f(x) = lim (x x x ) = ( ) = lim x f(x) = lim (a + ln x) = a + ln = a + x Luego, para garantizar que ambos límites coincidan y, a su vez, la función adopte ese mismo valor en x =, debe cumplirse que: a = b) El área pedida es la que aparece sombreada en la siguiente figura: En el tramo que nos interesa, con x, la función implicada es la de f(x) = (x ). El área que está por debajo de esta gráfica, entre x = y x =, viene dada por la siguiente integral definida: (x ) dx = (x x + ) dx Luego el área entre la gráfica y la recta y =, entre x = y x =, es: A = dx (x x + ) dx = [x x3 3 + x x] = [ x3 3 + x ] = 3 + A = 3 u

13 E5.- La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es. Cuál es la probabilidad de sacar 3 caras en tres lanzamientos? ( punto) Llamaremos al suceso C = "sacar cara", y distinguiremos con los subíndices, y 3, las sucesivas tiradas de la moneda. Siendo la probabilidad de que salga cara en un lanzamiento P(C) =, la probabilidad de que salgan tres veces cara, en tres lanzamientos independientes, es: P total = P(C C C 3 ) = P(C ) P(C ) P(C 3 ) = P total = 8 Si definimos el espacio de posibilidades de las tres tiradas, comprobaremos que, efectivamente, sólo uno de los sucesos es favorable: Ω = {(CCC), (CCX), (CXC), (CXX), (XCC), (XCX), (XXC), (XXX)} #Ω = 8 Según la ley de Laplace P = Número de sucesos favorables Número de sucesos posibles P = 8