Notas sobre combinatoria y probabilidad [segunda parte]

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1 Notas sobre combinatoria y probabilidad [segunda parte] Tercer artículo de una serie dedicada a la estadística y su aplicación en las aulas, el texto es la segunda parte de un análisis acerca del uso de la combinatoria y la probabilidad en educación. Autor: Cecilia Casasbuenas y Virginia Cifuentes, asesoras especializadas en matemáticas de Fucai para los proyectos de la Fundación Promigas. A manera de introducción En general las personas tienen multitud de conceptos, no siempre acertados, y una intuición de tendencia mágica sobre situaciones probabilísticas. Provocar conflicto cognitivo frente a un evento aleatorio es una buena estrategia para elevar, a nivel consciente, nociones mal concebidas. Es así como, en situaciones donde los estudiantes intenten adivinar qué ocurrirá o cuál será el próximo resultado de un experimento aleatorio, la ocurrencia de un resultado inesperado sorprende y provoca en ellos una reflexión que los lleva a revisar las hipótesis que tenían antes del experimento para encontrar explicaciones a la novedad que presenta dicho resultado. Las primeras consideraciones matemáticas a propósito de los juegos de azar y de las apuestas surgieron en el siglo XVI con los algebristas del Renacimiento, Pacioli, Cardano y Tartaglia, pero fue Blas Pascal quién un siglo después formuló los principios del cálculo de probabilidades. Es famoso el llamado triángulo combinatorio de Pascal. La probabilidad es la rama de las matemáticas que desarrolla conceptos y métodos para manejar la incertidumbre o ausencia de seguridad, y para interpretar predicciones hechas sin certeza. La probabilidad nació en el juego y es jugando como mejor se desarrollan procesos probabilísticos y se aprende acerca de la probabilidad. Por dónde empezar Al abordar un experimento aleatorio que permita alcanzar cierto dominio en el campo de la probabilidad son fundamentales las respuestas a preguntas como: Cuántos son los resultados posibles? Son igualmente probables? Cuántos son los casos favorables para un determinado evento? 1

2 Tomemos un primer ejemplo: Cuántos resultados posibles se pueden obtener al lanzar dos monedas? S C Para diferenciarlas, las llamamos 1ª y 2ª Encontremos todos los casos posibles mediante una tabla: 1ª 2ª C S C CC CS S SC SS Cuál de los casos tiene más posibilidad de salir en un lanzamiento de las dos monedas? Cuáles resultados tendrían la misma posibilidad? Cuál resultado podría ganar en una apuesta? Pon a prueba tu elección, realiza 20 lanzamientos con las dos monedas. Utiliza una tabla como: Lanzamientos Resultado c Resultado s El lanzamiento 0 es un ejemplo de cómo utilizar las casillas, en una moneda salió cara y en la otra sello. 2

3 Qué relación encuentras entre el resultado escogido en la apuesta y los obtenidos en el juego? Si aumentas el número de lanzamientos qué se podría esperar? Veamos otro ejemplo tomado de la historia. Es muy conocida la obra La matemática de la herencia de Gregor Mendel, fraile agustino quien inició a mediados del siglo XIX el estudio de la herencia y de la genética en experimentos sobre el cruce de plantas con diferentes características. Su trabajo fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de la probabilidad a las Ciencias Naturales. Adaptamos una situación tomada de un texto escolar de Miguel de Guzmán para ilustrar lo anterior: Mendel escogió una planta que presentaba una variedad de flores rojas y otra que las presentaba blancas. Al cruzarlas obtuvo una nueva variedad de flores color rosa. Cuando estas plantas de color rosa se cruzaron entre sí aparecieron tres clases de plantas: una con flores rojas, otra con flores blancas y otra con flores rosas. La proporción viene a ser, 25% rojas, 25% blancas y 50% color rosa. ( ) Se puede pensar que el color viene determinado por un par de genes. Cada gen puede ser de dos tipos diferentes que llamaremos gen rojo, R, y gen blanco, B. Cuando los dos genes son RR entonces la flor es roja. Si los dos son BB, la flor es blanca. Si son uno R y otro B entonces la flor es de color rosa. ( ) Suponemos que los genes de la planta padre y de la planta madre se distribuyen con igual probabilidad, así: Madre Padre B R B BB BR R RB RR Se observa que los casos en que las plantas de flores color rosa, de la tercera generación BR o RB, son dos veces más que los casos BB, blancas, y dos veces más que los casos RR, rojas. Cómo es el número de casos de flores blancas, BB, y el número de casos de flores rojas, RR? 3

4 Encuentras alguna relación entre este experimento y el del lanzamiento de las dos monedas? Te atreves a conjeturar qué proporción de plantas de flores rojas, de flores blancas y de flores color rosa se obtendrán al cruzar plantas de flores rojas y plantas de flores color rosa? Nuevamente, una tabla es un gran recurso: Roja Rosa B R R RB RR R RB RR La proporción es ahora: 50% color rojo, 50% color rosa, 0% color blanco. Se puede establecer alguna relación entre el experimento del cruce de plantas y el del lanzamiento de las monedas? Diferentes tipos de experimentos Nosotros entenderemos por experimento un proceso en el cual intervienen: un observador, un conjunto de fenómenos que se analizan según un determinado criterio, y una observación que puede traducirse en una medida. Si los resultados no pueden predecirse con exactitud, se dice que el experimento es aleatorio. Perry C. Patricia & Otros. Matemáticas, azar, sociedad Eventos incompatibles, seguros, imposibles y posibles En la experiencia aleatoria de lanzar un dado, el universo de posibilidades o espacio muestral es el conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6 A cada evento relacionado con la experiencia de lanzar un dado le corresponde un subconjunto del espacio muestral indicado arriba. Los eventos: el número que sale es par y el número que sale es 3 son incompatibles, no pueden realizarse al mismo tiempo. Son mutuamente excluyentes. El evento: el número que sale está comprendido entre 1 y 6, es un evento seguro. 4

5 El evento: el número que sale es mayor que 10, es un evento imposible. El evento: el número que sale es 4 o 6, es un evento posible mas no seguro. Probabilidad de un evento Ley de Laplace Un evento A ligado a esta experiencia puede ser obtener 3, otro evento B puede ser obtener un número par. A cada uno de estos eventos está asociada una cierta probabilidad. Así la probabilidad del evento A es de uno entre seis: = La probabilidad del evento B es de tres entre seis: = o Cuál es ahora la probabilidad de obtener un número impar? Se puede decir que los eventos obtener un número impar y obtener un número par son equiprobables, tienen las mismas posibilidades de realizarse, su probabilidad es la misma: En el comportamiento de fenómenos aleatorios se diferencian dos tipos de distribución de frecuencias: la esperada o teórica y la experimental o empírica. Esto nos lleva a hablar de probabilidad teórica y probabilidad experimental. Expectativas frente a la resolución de problemas aleatorios Los alumnos involucrados en situaciones que plantean problemas de este tipo desarrollan destrezas y capacidades propias del pensamiento aleatorio, lo mismo que actitudes y valores para aplicarlos en la vida cotidiana. Reconocer fenómenos aleatorios en la vida cotidiana y relacionarlos con experimentos que tienen que ver con el cruce entre especies vegetales o especies animales. Identificar el conjunto de todos los eventos posibles y en él reconocer aquellos muy probables, los poco probables, los muy poco probables y los seguros. Formular y verificar conjeturas sobre el comportamiento de eventos aleatorios sencillos. 5

6 Planificar y realizar experiencias sencillas para estudiar el comportamiento de fenómenos de azar. Asignar probabilidades a los sucesos a partir de informaciones diversas (frecuencias, creencias, observaciones previas, etc.). Verificar que los datos obtenidos son tanto más fiables cuanto más numerosos sean los casos. Desarrollar curiosidad e interés por investigar fenómenos de azar en la vida cotidiana y detectar errores habituales en la interpretación de éstos. Manifestar valoración crítica por los usos de información probabilística en los medios de comunicación y rechazar los abusos de la misma. Para desplegar estrategias De los siguientes experimentos cuáles son aleatorios y cuáles no? Echar una moneda en una alcancía. De una producción de 1000 máquinas de afeitar escoger 250 y observar cuántas de ellas son defectuosas. Lanzar dos dados, uno verde y uno rojo, y anotar la suma de la pareja de resultados. Mezclar pintura blanca y pintura roja y observar el resultado. Para ganar hay que pensar: En una bolsa opaca hay 3 balotas verdes, 3 blancas y 3 rojas. Cuántas balotas se deben sacar, a la vez, para estar seguros de que, al menos, una de ellas es roja? Samuel dice que son 6 las balotas que deben sacarse estás de acuerdo con la respuesta de Samuel? Explica. Cuál es la probabilidad de sacar una balota blanca? 6

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