2. ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

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1 ARÍCULOS DE ESADÍSICA cmaación y edicción de clases y tests de emtacines aa ls niveles de significación (htt://lins.nci.nih.gv/brb- Aayls.html). REFERENCIAS Affymetix Statistical algithms descitin dcment (MAS v5.0). Benjamini, Y., and Hchbeg, Y Cntlling the false discvey ate: a actical and wefl aach t mltile testing, Jnal f the Ryal Statistical Sciety, B, 57: Dbin, B., Hadin, J., Hawkins, D., and Rcke, D A vaiance-stabilizing tansfmatin f gene-exessin micaay data, Biinfmatics, 18:105S- 110S. Hadin, J Micaay data fm a statistician s int f view, SAS, 42:4-13. Haingtn, C.A., Rsenw, C. and Retief, J Mniting gene exessin sing DNA micaays, Cent inin in Micbilgy, 3: Lckhat, D., Dng, H., Byne, M., Fllettie, M., Gall, M., Chee, M., Mittmann, M., Wang, C., Kbayashi, M., Htn, H., and Bwn, E Exessin mniting by hybidizatin t high-density ligncletide aays, Nate Bitechnlgy, 14: Schena, M., Shaln, D., Davis, R., and Bwn, P Qantitative mniting f gene exessin attens with a cmlementay DNA micaay, Science, 270: Stey, J A diect aach t false discvey ates, Jnal f the Ryal Statistical Sciety, B, 64: ARÍCULOS DE INVESIGACIÓN OPERAIVA MÁQUINAS DE VECOR DE APOYO: PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN MAEMÁICA EN CLASIFICACIÓN Emili Caizsa y Belén Matín-Baagán Dt. Estadística e Investigación Oeativa. Univesidad de Sevilla 1. Intdcción En la última década, la caacidad de almacenamient de infmación digital se ha dlicad cada neve meses. Cece, tant, a na velcidad my sei a la evista la ley de Me aa el cecimient de la caacidad de cálcl, [18, 25], vcand la aaición de las denminadas fsas de dats, [18]: dats qe sn almacenads y descansan en az, sin qe nadie ls eclame ls ecede. La cnstatación de la existencia de tales fsas de dats, y la cnsigiente édida de tnidades de avance en el cncimient de negci, está vcand n enme inteés el desall de técnicas qe, cmlementand a las eviamente existentes, emitan btene infmación descncida y tencialmente útil de dats vinientes de cams tan divess cm la Biinfmática (exesión genética, ), gestión de clientes (fga de clientes, análisis de la cesta de la cma, ), la banca (valación de iesg en cédits, detección de s fadlent de tajetas de cédit, ), Intenet (clasificación de áginas web, filtad de ce indesead, ), [1, 2, 3, 16, 19, 20, 22, 35]. Hablams, sand na denminación de mda en ls medis científics, y, en aticla, en las líneas editiales de algnas de las evistas de más alt índice de imact en nesta áea de cncimient, de la 15

2 Mineía de Dats. Las efeencias [2, 8, 22, 23, 34] eden sevi de intdcción al tema. Examinand, ejeml, las distintas cines del sftwae de códig abiet Weka, [33], descit en [34], se bseva qe n de ls ilaes de la Mineía de Dats, anqe bastante antei a ésta, es la Clasificación. Encntams jnt a cedimients bien cncids en la cmnidad estadística, cm la egesión lgística, ls ábles de clasificación, ls mdels bayesians las edes de nenas atificiales, ts más ecientes, cm el qe ns ca en estas líneas: las Máqinas de Vect de Ay (en inglés, St Vect Machines), qe ha saltad del mnd del Aendizaje Estadístic, [12, 31, 32] al de las alicacines asand el de la Pgamación Matemática. Véase [4, 5, 6, 11, 26, 27, 29, 30, 36] aa ts métds de clasificación qe, cm las Máqinas de Vect de Ay, san técnicas avanzadas de Pgamación Matemática. 2. El blema de clasificación enems n cnjnt de bjets Ω. Cada bjet Ω tiene ds cmnentes = ( x, c ), dnde x eesenta el vect de vaiables edictas, y c C es la clase a la qe etenece. P simlicidad en la exsición, sndems el C = 1, 1. cas binai, { } Se disne de n cnjnt n vací de bjets I Ω, la mesta de aendizaje. El bjetiv es edeci, a ati de I, la clase v c a la qe etenece n bjet v Ω cnciend sl x v. Paa ell se bscan ω, β, se cnstye la fnción de evalación f, f( x) = ω x+ β, (1) y cn ésta, la egla lineal de clasificación qe clasifica en el g 1 a aqells x cn f( x ) > 0 y en el g -1 a ls x cn f( x ) < 0. Ls x cn f( x ) = 0 seán clasificads sigiend algna egla edeteminada. La imea egnta qe ns hacems es si existen n ω, β tales qe la cesndiente egla lineal clasifiqe cectamente el 100% de ls individs de I, ( ω β) 0. y x I + > (2) Cand el sistema (2) sea factible, diems qe I es seaable linealmente. Es fácil cmba (sand, ejeml, esltads básics de dalidad en Pgamación Lineal), qe la seaabilidad lineal de I es eqivalente a qe ls ciees cnvexs de ls cnjnts { x : I, c = 1}, { x : I, c = 1} sean disjnts. Esta cndición ede cmbase nméicamente en tiem linómic en el cadinal de I y la dimensión de ls dats El cas seaable. Calqie ( ω, β ) slción de (2) satisface qe ω 0. En aticla, ( ω, β ) genea n hielan, { x : ω x+ β = 0}, de md qe el semiesaci { x : ω x+ β > 0} cntiene al cnjnt { x : I, c = 1}, y el semiesaci { x : ω x+ β < 0} cntiene al cnjnt { x : I, c = 1}. Cand I es linealmente seaable, el sistema (2) tiene infinitas slcines, qe genean infinits hielans distints. Cóm elegims na de estas slcines? La calidad de la clasificación, sbe la mesta de aendizaje, es idéntica: tdas clasifican cectamente el 100% de I. Sin embag, n tdas aecen igalmente aznables. En la Figa 1 dems ve ds hielans qe seaan ls gs de I (cícls y cadads). Intitivamente, dems ensa qe el hielan eesentad n taz ges es más cnveniente qe el de taz fin. En aticla, este últim asigna al bjet eesentad cn? la clase cadad, cand aece mch más vesímil qe etenezca a la clase de ls cícls. 16

3 Figa 1. Ds eglas qe clasifican igal de bien? Figa 2. Máxim magen (nma l 2 ) El ejeml antei ns indica intitivamente la cnveniencia de elegi n hielan qe esté alejad de las ds clases. Las Máqinas de Vect de Ay se basan ecisamente en este incii, cm a cntinación se descibe. Se fija na nma g en aa medi las distancias (salmente la eclídea). Paa n bjet I, la distancia ente x y el semiesaci en el qe qedaá clasificad incectamente viene dada y ( ω x + β) ρ ( ω, β) = max, 0, (3) ω e.g. [7], dnde g. g denta la nma dal a Se define el magen en la mesta de aendizaje I cm el mínim ρ : I ρ ( ω, β) = min ρ ( ω, β). (4) I El clasificad bscad es aqél qe n sól clasifiqe cectamente a tds ls bjets de I, sin qe tenga magen máxim. Geméticamente, la búsqeda del clasificad de máxim magen ede vese cm n blema de Lcalización, [8], es el blema es eqivalente a cnsti la banda de máxima ancha (las distancias medidas cn la nma g ) qe deja n g a cada lad, cm se mesta en las Figas (2)-(3). Figa 3. Máxim magen (nma l ) Usand la hmgeneidad de la fnción magen, el blema de maximización del magen ede se fmlad cm el sigiente blema cnvex cn esticcines lineales: min s.a.: ω y ( ω x + β) 1 I ω, β. (5) Si, aa medi las distancias hems sad, cm en el ejeml de la Figa 3, na nma g liédica, (i.e., cya bla nidad es n lied) s dal g también es liédica, y tant (5) ede efmlase cm n blema de Pgamación Lineal, eslble, incls aa gandes bases de dats, cn timizades cmeciales cm CPLEX, [21]. El cas más estdiad en la liteata, n es, sin embag, el qe tiene cm g na nma liédica, sin la eclídea. Entnces (5) es eqivalente al 17

4 sigiente blema cadátic cnvex cn esticcines lineales: min s.a.: ωω y ( ω x + β) 1 I ω, β, qe ede eslvese, ejeml, sand lans de cte, [28] El cas n seaable. (6) En la Sección 2.1 hems sest qe I ea linealmente seaable. Si n es el cas, el blema (5) es infactible, l qe deben alicase enfqes altenativs. Un de ests enfqes cnsiste en alica a ls dats, cm ecesamient, na tansfmación φ : F, dnde F es n esaci vectial de may dimensión (siblemente infinita), de manea qe, en el nev esaci, la mesta de aendizaje ˆ I = {( φ( x ), c ) : I} sea linealmente seaable, [10, 14, 15, 17, 24]. Cnsegid est, se bscan ω F, β, y se cnstye la egla de clasificación, qe estaía basada en la fnción f, f( x) = ωφ( x) + β, (7) qe asigna, cm es habital, al g 1 si f( x ) > 0, y al g -1 si f( x ) < 0. Esta egla es lineal sbe ls dats tansfmads, e n lineal en el esaci iginal. El blema de maximización del magen es min ω s.a.: y ( ωφ( x ) + β) 1 I (8) ω F, β. Paa el cas en qe g sea liédica y F tenga dimensión gande (e finita), (8) se escibe cm n blema lineal de gan tamañ, aa cya eslción sn esecialmente cnvenientes técnicas de geneación de clmnas, emitiend al mism tiem hace selección atmática de vaiables, [10]. Si, en cambi, sams la nma eclídea aa medi las distancias en el esaci tansfmad, (8) es n blema cadátic cnvex cy dal es 1 v v v max Iλ 2, v Iλ λ y y φ( x ) φ( x ) s.a.: Iy λ = 0 λ 0, I (9) Definiend el núcle K :( x, y) φ( x) φ( y), (9) se cnviete en 1 v v v max Iλ 2, v Iλ λ y y K( x, x ) s.a.: Iy λ = 0 λ 0, I. (10) Paa de eslve (10), ni siqiea es necesai cnce φ, sin n algitm de evalación del núcle K qe indce. El blema de maximización esltante es cóncav cadátic, cn tantas vaiables cm elements en I, y cn na única esticción, lineal, jnt a las de n negatividad. La dimensión de este blema es, tant, indeendiente de la dimensión de ls dats del blema iginal y de la dimensión de F. Est hace de (10) na fmlación esecialmente atactiva en alicacines cn n demasiads dats, e de alta dimensinalidad, cm las de, ejeml, [16, 35]. Paa más detalles, véase, ejeml [13, 24]. Una estategia altenativa (y a veces cmlementaia) aa abda el cas n seaable, es la qe se basa en la maximización del magen débil, [12, 13, 24], en la qe, atiend del blema infactible (6), se etban ss esticcines aa hacel factible, intdciend na enalización en el bjetiv aa cntla la etbación intdcida. Así se btiene el blema (sieme factible) min ωω+ C( ξ ) ( ) s.a.: y ω x + β + ξ 1, I I ω, β, ξ, (11) 18

5 dnde g denta la nma l y C>0 es na cnstante qe se sa aa eqiliba la etbación ξ y el magen en ls nts cectamente clasificads, salmente elegida técnicas de validación czada. eminams el análisis cmentand qe, en na gan vaiedad de alicacines, la imtancia del e cmetid al clasifica incectamente n bjet deende fetemente del g al qe éste etenece: ls cstes asciads a ls falss sitivs y a ls falss negativs eden se my distints, y, cm en el cas del diagnstic de enfemedades, ede se difícil cantifica esa imtancia asignand cstes. En tal cas dems lantea el blema bibjetiv de maximización simltánea del magen en cada n de ls ds gs. Cm se eba en [9], aa el cas eclíde, las slcines eficientes esltan se hielans aalels a la slción del blema de máxim magen clásic (8). Fijand el ω btenid al eslve (8), y dejand vaia β, se btienen las distintas slcines eficientes, qe dan distints niveles de cmmis ente ls falss sitivs y ls falss negativs sbe la mesta de aendizaje I. Est se ilsta en la Figa 4, en la qe aaecen en línea gesa ls distints cmmiss así btenids ente falss sitivs y falss negativs en I, siend ésts na gía a ls qe btendíams sbe Ω, eesentads en taz fin. Figa 4. Clasificades eficientes 3. Cnclsines La cnstcción de eglas de clasificación basadas en la maximización del magen está mstand se extadinaiamente eficaz en divess cams alicads de la Mineía de Dats. A esa de ls gandes avances btenids en ls últims añs, sn aún mchs ls asects (de mdelad, de ti nméic, algítmic) exla. Cn estas líneas eseams habe desetad la cisidad na técnica de la qe n hems exlicad ni el igen de s exótic nmbe ( ciet, el témin inglés St Vect Machines n debe tadcise cm Aye las máqinas vectiales! ), qe gza de ceciente acetación ente ls sais de la Mineía de Dats, y, eseems qe cada vez más, de ls estadístics y ls investigades de eacines esañles. Agadecimients El tabaj ha sid acialmente sbvencinad el Ministei de Ciencia y ecnlgía, a tavés de ls yects BFM C02-02 y BFM E, y el Plan Andalz de Investigación, yect FQM-329 Refeencias [1] Alexe, S., Blackstne, E., Hamme, P., Ishwaan, H., Lae, M. y Pthie Snade, C.E. Cnay isk edictin by lgical analysis f data. Annals f Oeatins Reseach, 119:15-42, [2] Ate, C. he big (data) dig. OR/MS day, Febay [3] Ate, C., Li, B., Pednalt, E.P.D. y Smyth, P. Bsiness alicatins f Data Mining. Cmmnicatins f the ACM, 45:49-53, [4] Bennet, K.P. y Mangasaian, O.L. Rbst linea gamming disciminatin f tw linealy inseaable sets. Otimizatin Methds and Sftwae, 1:23-24, [5] Badley, P., Mangasaian, O. y Msicant, D. Otimizatin methds in massive datasets. En Abell, J., Padals, P.M., and Resende, M.G.C., 19

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