Repaso de Teoría de la Probabilidad
|
|
- Cristóbal Godoy Velázquez
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Repaso de Teoría de la Probabilidad Luis Mendo Tomás Escuela Politécnica Superior Universidad Autónoma de Madrid Febrero de Introducción Este documento contiene, de forma esquemática, los conceptos básicos sobre Teoría de la Probabilidad necesarios para la asignatura Comunicaciones Móviles. En este documento, las funciones de una variable discreta se denotan utilizando corchetes, y las de una variable continua utilizando paréntesis. Las variables aleatorias se denotan mediante letras mayúsculas en negrita. Los procesos estocásticos se denotan mediante letras minúsculas en negrita. Las probabilidades, esperanzas matemáticas y varianzas se escriben indicando su argumento entre corchetes. 2. Variables aleatorias Caracterización de una variable aleatoria discreta X se dene su función de probabilidad f X [n]: Para una variable aleatoria f X [n] = Pr[X = n]. (1) Para una variable aleatoria continua X se dene su función de distribución F X (x): F X (x) = Pr[X x]. (2) La derivada de F X (x), si existe, se denomina función de densidad de probabilidad de X, f X (x): df (X)(x) f X (x) =. (3) dx Habitualmente puede unicarse el tratamiento de ambos tipos de variables deniendo para el caso discreto una función de densidad de probabilidad formada por deltas de Dirac: f X (x) = n f X [n]δ(x n). (4) Mediana y percentil La mediana de X es el valor x 0,5 que verica Pr[X x 0,5 ] = 0,5. El percentil p es el valor x p tal que Pr[X x p ] = p. 1
2 Función de una variable aleatoria Si Y = g(x), f Y (y) puede calcularse a partir de f X (x) como n f X (x i ) f Y (y) = g (x i ), (5) i=1 donde x 1,..., x n son las soluciones de la ecuación y = g(x), y g (x) es la función derivada de g(x). Operador E o esperanza matemática La esperanza matemática o valor medio de X se dene como El operador E es lineal. E[X] = xf X (x)dx. (6) Media de una función de variable aleatoria E[g(X)] = g(x)f X (x)dx. (7) Varianza, desviación típica y coeciente de variación La varianza se dene como Sea η x = E[X]. Var[X] = E[(X η x ) 2 ] = E[X 2 ] η 2 x. (8) La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Se emplea habitualmente como medida de la dispersión de una variable aleatoria en torno a su media. El coeciente de variación se dene como la desviación típica entre la media. Es una medida normalizada de la dispersión. Caracterización de dos variables aleatorias Una pareja de variables aleatorias X e Y se caracteriza mediante su función de distribución conjunta, F X,Y (x, y): F X,Y (x, y) = Pr[X x, Y y]. (9) La función de densidad se dene como la siguiente derivada doble, si existe: f X,Y (x, y) = 2 F X,Y (x, y). (10) x y Dada una región D del plano, la probabilidad de que el punto (X, Y ) pertenezca a D se calcula como Pr[(X, Y ) D] = D f X,Y (x, y) dx dy. (11) 2
3 Probabilidad condicionada (o condicional) Dados dos sucesos A y B, la probabilidad de A condicionada a B, Pr[A B], se dene como Pr[A B] = Pr[A, B], (12) Pr[B] siendo Pr[A, B] la probabilidad de que ocurran simultáneamente A y B. Dada una variable X y un suceso A, la función de distribución de X condicionada a A viene dada por F X (x A) = Pr[X x A] = La función de densidad condicionada se dene como f X (x A) = Pr[X x, A]. (13) Pr[A] df (X)(x A). (14) dx Dadas dos variables X e Y, la función de densidad de X condicionada a Y viene dada por f X (x Y = y) = f X,Y (x, y). (15) f Y (y) Teorema de la probabilidad total Teorema de Bayes Pr[A] = f Y (y) = Pr[A X = x]f X (x)dx. (16) f Y (y X = x)f X (x)dx. (17) f X (x A) = Pr[A X = x]f X(x). Pr[A] (18) f X (x Y = y) = f Y (y X = x)f X (x). f Y (y) (19) Independencia e incorrelación Dos sucesos A y B son (estadísticamente) independientes si Pr[A, B] = Pr[A] Pr[B]. Dos variables X e Y son (estadísticamente) independientes si, para cualesquiera conjuntos C y D, Pr[X C, Y D] = Pr[X C] Pr[Y D]. Equivalentemente, X e Y son independientes si F X,Y (x, y) = F X (x)f Y (y), o bien si f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y). Si X e Y son independientes, también lo son g(x) y h(y ). Dos variables aleatorias X e Y son incorreladas si E[XY ] = E[X] E[Y ]. Si dos variables son independientes, son también incorreladas. Una función de dos variables aleatorias Si Z = g(x, Y ), F Z (z) = f X,Y (x, y)dx dy, D z (20) donde D z es la región del plano tal que g(x, y) z. 3
4 Dos funciones de dos variables aleatorias Si Z = g(x, Y ) y W = h(x, Y ), n f X,Y (x i, y i ) f Z,W (z, w) = J(x i, y i ), (21) i=1 donde (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) son las soluciones del sistema z = g(x), w = h(y), y J(x, y) es el determinante jacobiano de (z, w) respecto a (x, y): J(x, y) = z w x y z w y x. (22) Suma de variables aleatorias independientes o incorreladas La función de densidad de probabilidad de una suma de variables aleatorias independientes se obtiene como la convolución de las funciones de densidad individuales. La varianza de la suma de variables aleatorias incorreladas es igual a la suma de las varianzas. Algunas distribuciones Función de densidad de probabilidad gaussiana o normal de media η y desviación típica σ: f(x) = 1 σ (x η)2 e. 2π 2σ 2 (23) Función de densidad de probabilidad exponencial de parámetro c: f(x) = ce cx, para x 0. (24) El parámetro c representa el inverso del valor medio. La suma de los cuadrados de dos variables aleatorias gaussianas independientes de media nula y la misma varianza es una variable aleatoria exponencial. Función de densidad de probabilidad Rayleigh de parámetro b: f(x) = x b e x2 2b, para x 0. (25) El parámetro b representa la mitad del valor cuadrático medio: b = E[X 2 ]/2. La raíz cuadrada de una variable aleatoria exponencial es una variable Rayleigh. Variable aleatoria log-normal: es, por denición, aquélla cuyo logaritmo es una variable aleatoria gaussiana. Función de probabilidad de Poisson de parámetro a: El parámetro a representa el valor medio. a ak f[n] = e k!. (26) 4
5 Variables conjuntamente gaussianas Dadas n variables X 1,..., X n, éstas se denominan conjuntamente gaussianas si a 1 X 1 + +a n X n es gaussiana para cualesquiera a 1,..., a n. Si X 1,..., X n son conjuntamente gaussianas e incorreladas, son independientes. Teorema del límite central Bajo condiciones muy generales, la distribución de la suma de un gran número de variables aleatorias tiende a ser gaussiana. Una condición suciente es que las variables aleatorias sean independientes e idénticamente distribuidas con varianza nita. Ley de los grandes números y resultados relacionados Se realiza un experimento y se observa la ocurrencia o no de un suceso A, cuya probabilidad es p. Si el experimento se realiza n veces, y k denota el número de veces que ocurre A, la frecuencia relativa del suceso A, denida como k/n, tiende a p en el sentido siguiente: [ ] k Pr n p ɛ 1 para n (27) (versión débil de la ley de los grandes números). Sean n variables aleatorias X 1,..., X n independientes idénticamente distribuidas, con media η, desviación típica σ y coeciente de variación c = σ/µ. En estas condiciones, la variable suma n i=1 X i tiene coeciente de variación c/ n; y la variable promedio (o suma normalizada) 1/n n i=1 X i tiene desviación típica σ/ n. 3. Procesos estocásticos Caracterización de procesos estocásticos Para caracterizar un proceso estocástico x(t) debe conocerse la función de distribución conjunta de las variables aleatorias x(t 1 ),..., x(t n ), para todos los posibles t 1,..., t n y para todo n. Para caracterizar dos procesos estocásticos debe conocerse la función de distribución conjunta de las variables correspondientes a ambos. Un proceso x(t) es gaussiano si las variables x(t 1 ),..., x(t n ) son conjuntamente gaussianas para todos los posibles t 1,..., t n y para todo n. Autocorrelación y correlación cruzada Dado un proceso x(t) (en general complejo), su autocorrelación R x (t 1, t 2 ) se dene como E[x(t 1 )x (t 2 )]. Dados dos procesos x(t) e y(t), su correlación cruzada R x,y (t 1, t 2 ) se dene como E[x(t 1 )y (t 2 )]. 5
6 Estacionariedad en sentido amplio sentido amplio si Un proceso x(t) es estacionario en su media es independiente del tiempo t; y su autocorrelación depende sólo de la diferencia de tiempos τ = t 1 t 2. Para un proceso estacionario en sentido amplio, la autocorrelación se denota como R x (τ) = E[x(t + τ)x (t)]. Dos procesos son conjuntamente estacionarios en sentido amplio si cada uno de ellos es estacionario en sentido amplio; y su correlación cruzada depende sólo de la diferencia de tiempos. Espectro de potencia su espectro de potencia S x (f) como la transformada de Fourier de R x (τ). Dado x(t) estacionario en sentido amplio, se dene El valor cuadrático medio (potencia) de x(t) viene dado por E[ x(t) 2 ] = R x (0) = Sistemas lineales invariantes con entradas estocásticas S x (f)df. (28) Dado un sistema lineal invariante (determinista) con respuesta al impulso h(t), cuya entrada es un proceso estocástico en sentido amplio x(t), con autocorrelación R x (τ) y espectro de potencia S x (f), y cuya salida es y(t), se verica que los procesos de entrada y salida son conjuntamente estacionarios en sentido amplio, con Además, si x(t) es gaussiano, y(t) es gaussiano. E[y(t)] = E[x(t)] h(t) (29) R x,y (τ) = R x (τ) h ( τ) (30) R y (τ) = R x,y (τ) h (τ) (31) S x (f) = S y (f) H(f) 2. (32) Procesos puntuales Un proceso puntual es un conjunto de puntos aleatorios en el eje real. Proceso de Poisson que verica lo siguiente: Un proceso de Poisson de tasa λ es un proceso puntual El número de puntos en un intervalo (t 1, t 2 ) de longitud t = t 1 t 2 sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Dados dos intervalos disjuntos, los números de puntos que contienen son variables aleatorias independientes. Superposición de procesos puntuales Dados n procesos puntuales, su superposición se dene como un proceso puntual formado por la unión de todos los puntos pertenecientes a los n procesos. Teorema de Cinlar Bajo ciertas condiciones muy generales, la superposición de un gran número de procesos puntuales tiende a un proceso de Poisson. 6
Repaso de Estadística
Teoría de la Comunicación I.T.T. Sonido e Imagen 25 de febrero de 2008 Indice Teoría de la probabilidad 1 Teoría de la probabilidad 2 3 4 Espacio de probabilidad: (Ω, B, P) Espacio muestral (Ω) Espacio
Más detallesTema 4: Variable Aleatoria Bidimensional
Curso 2016-2017 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones
Más detallesProcesos estocásticos
Teoría de la comunicación Comunicaciones - U.A.H. Indice Probabilidad. Variables Aleatorias. Procesos Estocásticos. Comunicaciones - U.A.H. Probabilidad Probabilidad. Dado un experimento ε del tipo que
Más detallesEjercicios de Procesos Estocásticos
Ejercicios de Procesos Estocásticos Bernardo D Auria Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid GRUPO MAGISTRAL GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS AUDIOVISUALES Otros Ejemplo Considerar
Más detallesTema 4: Variables aleatorias multidimensionales
1 Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales En este tema: Distribución conjunta de probabilidad Probabilidad/densidad marginal Probabilidad/densidad condicionada Esperanza, varianza, desviación típica
Más detallesTema 6 - Introducción. Tema 5. Probabilidad Conceptos básicos. Interpretación y propiedades básicas Probabilidad condicional y reglas de cálculo.
Tema 6 - Introducción 1 Tema 5. Probabilidad Conceptos básicos. Interpretación y propiedades básicas Probabilidad condicional y reglas de cálculo. Generalización Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales
Más detallesTEORÍA DE LA COMUNICACIÓN TEMA 2 RUIDO EN LOS SISTEMA DE COMUNICACIONES. Variable aleatoria (Real)
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN TEMA 2 RUIDO EN LOS SISTEMA DE COMUNICACIONES Grado Ing Telemática (UC3M) Teoría de la Comunicación Variable Aleatoria / 26 Variable aleatoria (Real) Función que asigna un valor
Más detallesSEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO. E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicación Universidad de Valladolid.
SEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO. Marcos Martín Fernández E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicación Universidad de Valladolid. CONTENIDOS INDICE. DE FIGURAS VII 1. PROBABILIDAD. 1 2. VARIABLES ALEATORIAS.
Más detallesTema 4: Variables aleatorias multidimensionales
Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Distribución conjunta de probabilidad Probabilidad/densidad marginales y condicionadas Independencia
Más detallesPart I. Variables aleatorias unidimensionales. Estadística I. Mario Francisco. Definición de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas
Part I unidimensionales de s de s Definición Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral asociado Ω, una es cualquier función, X, X : Ω R que asocia a cada suceso elemental un número real, verificando
Más detallesRuido en los sistemas de comunicaciones
Capítulo 2 Ruido en los sistemas de comunicaciones Cuando una señal se transmite a través de un canal de comunicaciones hay dos tipos de imperfecciones que hacen que la señal recibida sea diferente de
Más detallesTema 3: Función de Variable Aleatoria y Teoremas Asintóticos
Tema 3: Función de Variable Aleatoria y Teoremas Asintóticos Curso 2016-2017 Contenido 1 Función de una Variable Aleatoria 2 Cálculo de la fdp 3 Generación de Números Aleatorios 4 Momentos de una Variable
Más detallesTema 7: Procesos Estoca sticos
Tema 7: Procesos Estoca sticos Teorı a de la Comunicacio n Curso 2007-2008 Contenido 1 Definición 2 Caracterización Estadística 3 Estadísticos 4 Estacionariedad 5 Ergodicidad 6 Densidad Espectral de Potencia
Más detallesDepartamento de Matemática Aplicada a la I.T.T.
Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Otoño 3 Duración: 3 horas FECHA: 9 de Enero de 4 Fecha publicación notas: 6--4 Fecha revisión
Más detallesVariables aleatorias
Variables aleatorias Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Estadística I curso 2008 2009 Una variable aleatoria es un valor numérico que se corresponde con
Más detallesExamen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación
Cuestiones Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 3 de Junio de 5 solución h 45m C (.5 puntos). Una multinacional realiza operaciones comerciales en 3 mercados (A, B y C). El % de
Más detallesVectores Aleatorios. Definición 1.1. Diremos que el par (X,Y) es un vector aleatorio si X e Y representan variables aleatorias
Universidad de Chile Facultad De Ciencias Físicas y Matemáticas MA3403 - Probabilidades y Estadística Prof. Auxiliar: Alberto Vera Azócar. albvera@ing.uchile.cl Vectores Aleatorios 1. Vectores Aleatorios
Más detallesMomentos de Funciones de Vectores Aleatorios
Capítulo 1 Momentos de Funciones de Vectores Aleatorios 1.1 Esperanza de Funciones de Vectores Aleatorios Definición 1.1 Sea X = (X 1,..., X n ) un vector aleatorio (absolutamente continuo o discreto)
Más detallesTema 2: Variables Aleatorias Unidimensionales
Tema 2: Variables Aleatorias Unidimensionales Teorı a de la Comunicacio n Curso 27-28 Contenido 1 Concepto de Variable Aleatoria 2 Función Distribución 3 Clasificación de Variables Aleatorias 4 Función
Más detalles3. Variables aleatorias
3. Variables aleatorias Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 3. Variables aleatorias Curso 2009-2010 1 / 33 Contenidos 1 Variables aleatorias y su distribución
Más detallesTEMA 5. PROCESOS ESTOCÁSTICOS.-CURSO 2017/18
TEMA 5. PROCESOS ESTOCÁSTICOS.-CURSO 2017/18 5.1. Concepto de proceso estocástico. Tipos de procesos. Realización de un proceso. 5.2. Características de un proceso estocástico. 5.3. Ejemplos de procesos
Más detallesExamen de Estadística
Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 6 de Mayo de 6 Cuestiones solución h 45m C (.5 puntos). Considera tres eventos A, B, C S tales que P (A) = P (B) =.5, P (A B) =.5, y P (C)
Más detallesTema 3: Funcio n de Variable Aleatoria
Tema 3: Funcio n de Variable Aleatoria Teorı a de la Comunicacio n Curso 2007-2008 Contenido 1 Función de una Variable Aleatoria 2 3 Cálculo de la fdp 4 Generación de Números Aleatorios 5 Momentos de una
Más detallesUnidad Temática 3: Probabilidad y Variables Aleatorias
Unidad Temática 3: Probabilidad y Variables Aleatorias 1) Qué entiende por probabilidad? Cómo lo relaciona con los Sistemas de Comunicaciones? Probabilidad - Definiciones Experimento aleatorio: Un experimento
Más detallesProcesos estocásticos
Procesos estocásticos Enrique Miranda Universidad of Oviedo Máster Universitario en Análisis de Datos para la Inteligencia de Negocios Contenidos del curso 1. Introducción. 2. Procesos a tiempo discreto:
Más detallesHoja 4 Variables aleatorias multidimensionales
Hoja 4 Variables aleatorias multidimensionales 1.- Estudiar si F (x, y) = 1, si x + 2y 1, 0, si x + 2y < 1, es una función de distribución en IR 2. 2.- Dada la variable aleatoria 2-dimensional (X, Y )
Más detallesCálculo de probabilidad. Tema 3: Variables aleatorias continuas
Cálculo de probabilidad Tema 3: Variables aleatorias continuas Guión Guión 3.1. La función de densidad de probabilidad Definición 3.1 Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω. Se dice
Más detallesDepartamento de Matemática Aplicada a la I.T.T.
Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Duración: horas Fecha: de Julio de Fecha publicación notas: -7- Fecha revisión examen: 8-7-
Más detallesDISTRIBUCIONES MULTIDIMENSIONALES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES MULTIDIMENSIONALES DE PROBABILIDAD FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ( CONJUNTA ) DE UN VECTOR ALEATORIO FUNCIÓN DE CUANTÍA ( CONJUNTA) DE VECTORES ALETORIOS DISCRETOS FUNCIÓN DE DENSIDAD (CONJUNTA)
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 5 Esperanza y momentos Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo PREST.
Más detallesEstadística. Tema 3. Esperanzas Esperanza. Propiedades Varianza y covarianza. Correlación
Estadística Tema 3 Esperanzas 31 Esperanza Propiedades 32 Varianza y covarianza Correlación 33 Esperanza y varianza condicional Predicción Objetivos 1 Medidas características distribución de VA 2 Media
Más detallesVECTORES ALEATORIOS Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.
1 Introducción VECTORES ALEATORIOS Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. Desde un punto de vista formal, los vectores aleatorios son la herramienta matemática adecuada para transportar
Más detallesVariables Aleatorias y Distribución de Probabilidades
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidades Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 27 de mayo de 2011 Tabla de Contenidos Variables
Más detallesDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD VARIABLE ALEATORIA Una variable x valuada numéricamente varía o cambia, dependiendo del resultado particular del experimento que se mida. Por ejemplo, suponga que se tira
Más detallesPart I. Momentos de una variable aleatoria. Esperanza y varianza. Modelos de Probabilidad. Mario Francisco. Esperanza de una variable aleatoria
una una típica Part I Momentos. Esperanza y varianza Esperanza una una típica Definición Sea X una discreta que toma los valores x i con probabilidades p i. Supuesto que i x i p i
Más detallesEstadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas
Estadística Tema 2 Variables Aleatorias 21 Funciones de distribución y probabilidad 22 Ejemplos distribuciones discretas y continuas 23 Distribuciones conjuntas y marginales 24 Ejemplos distribuciones
Más detallesTécnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I
Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo II Unidad 4. Probabilidad Conceptos básicos de probabilidad:
Más detallesSoluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación
Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación 7 de Septiembre, 25 Cuestiones 2 horas C. A partir de los procesos estocásticos X(t e Y (t incorrelados y de media cero, con funciones
Más detallesTema 4: VARIABLE ALEATORIA N-DIMENSIONAL
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA N-DIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación Despacho D04 caralb@tel.uva.es, jcasasec@tel.uva.es, http://www.lpi.tel.uva.es/sar Concepto
Más detallesTeoría Moderna de Decisión y Estimación, Notas Introductorias: Cálculo de probabilidades y
Profesores de TMDE Teoría Moderna de Decisión y Estimación, Notas Introductorias: Cálculo de probabilidades y estadística Monograph 9 de septiembre de 23 Springer Índice general. Variables aleatorias
Más detallesMaterial introductorio
Material introductorio Nombre del curso: Teoría Moderna de la Detección y Estimación Autores: Vanessa Gómez Verdejo Índice general. Variables aleatorias unidimensionales..................................
Más detallesVectores Aleatorios. Vectores Aleatorios. Vectores Discretos. Vectores Aleatorios Continuos
Definición Dado un espacio muestral S, diremos que X =(X 1, X 2,, X k ) es un vector aleatorio de dimension k si cada una de sus componentes es una variable aleatoria X i : S R, para i = 1, k. Notemos
Más detallesVariables aleatorias. Tema Introducción Variable aleatoria. Contenido
Tema 4 Variables aleatorias En este tema se introduce el concepto de variable aleatoria y se estudian los distintos tipos de variables aleatorias a un nivel muy general, lo que nos permitirá manejar los
Más detallesDepartamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación
Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS CONVOCATORIA: ENERO 22/23 FECHA: 9 de Enero de 23 Duración del examen: 3 horas Fecha publicación
Más detallesINGENIERO DE TELECOMUNICACION (Troncal) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales y de Telecomunicación 2543 TEORIA DE LA COMUNICACION
1. DATOS IDENTIFICATIVOS DE LA ASIGNATURA Título/s Centro Módulo / materia Código y denominación Créditos ECTS 6 Curso / Cuatrimestre Web Idioma de impartición Forma de impartición INGENIERO DE TELECOMUNICACION
Más detallesTransformaciones y esperanza
Capítulo 3 Transformaciones y esperanza 3.1. Introducción Por lo general estamos en condiciones de modelar un fenómeno en términos de una variable aleatoria X cuya función de distribución acumulada es
Más detallesMa34a Probabilidades y Procesos Estocásticos 21 de Noviembre, Resumen No. 3
Ma34a Probabilidades y Procesos Estocásticos 21 de Noviembre, 2004 Resumen No. 3 Prof. Cátedra: M. Kiwi Prof. Auxiliares: M. Soto, R. Cortez 1 Variables Aleatorias 1.1 Variables Aleatorias Absolutamente
Más detallesRepaso de conceptos de álgebra lineal
MÉTODOS AVANZADOS EN APRENDIZAJE ARTIFICIAL: TEORÍA Y APLICACIONES A PROBLEMAS DE PREDICCIÓN Manuel Sánchez-Montañés Luis Lago Ana González Escuela Politécnica Superior Universidad Autónoma de Madrid Repaso
Más detallesEstadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos
Estadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos Tema 5. Modelos probabiĺısticos Contenidos Variables aleatorias: concepto. Variables aleatorias discretas: Función de probabilidad y Función de distribución.
Más detallesVariables aleatorias unidimensionales
Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012 Outline Variable aleatoria 1 Variable aleatoria 2 3 4 Variable aleatoria Definición Las variables aleatorias son funciones cuyos valores dependen
Más detallesTEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.- CURSO 17/18
TEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.- CURSO 17/18 2.1. Concepto de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. 2.2. Variables aleatorias discretas. Diagrama de
Más detallesTema 6: Modelos de probabilidad.
Estadística 60 Tema 6: Modelos de probabilidad. 6.1 Modelos discretos. (a) Distribución uniforme discreta: La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta de parámetro n,que denoteramos
Más detallesEstadística Maestría en Finanzas Universidad del CEMA. Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri
Estadística 2011 Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri Clase 1 1. Las Definiciones de Probabilidad 2. Variables Aleatorias 3. Función de Densidad
Más detallesEstadística Descriptiva y Probabilidad FORMULARIO
Estadística Descriptiva y Probabilidad FORMULARIO Departament d Estadística i Investigació Operativa Universitat de València Angel Corberán Francisco Montes 2 3 Capítulo 1 Estadística Descriptiva 1.1.
Más detallesSEÑALES Y SISTEMAS Clase 5
SEÑALES Y SISTEMAS Clase 5 Carlos H. Muravchik 15 de Marzo de 2018 1 / 43 Habíamos visto: Repaso Probabilidades (sobrevuelo) Veremos: 1. Repaso Probabilidades 2. Repaso Variables aleatorias. Distribuciones.
Más detallesVariables aleatorias bidimensionales discretas
Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Área de Estadística VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Concepto: Sean X e Y variables aleatorias. Una variable aleatoria bidimensional (X,
Más detallesModelos de distribuciones discretas y continuas
Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Modelos de distribuciones discretas y continuas Estadística I curso 2008 2009 1. Distribuciones discretas Aquellas
Más detallesIntroducción al Diseño de Experimentos.
Introducción al Diseño de Experimentos www.academia.utp.ac.pa/humberto-alvarez Introducción Una población o universo es una colección o totalidad de posibles individuos, especímenes, objetos o medidas
Más detallesUnidad 1: Espacio de Probabilidad
Unidad 1: Espacio de Probabilidad 1.1 Espacios de Probabilidad. (1) Breve introducción histórica de las probabilidades (2) Diferencial entre modelos matemáticos deterministicos y probabilísticos (3) Identificar
Más detallesResumen de Probabilidad
Definiciones básicas * Probabilidad Resumen de Probabilidad Para calcular la probabilidad de un evento A: P (A) = N o decasosfavorables N o decasosposibles * Espacio muestral (Ω) Es el conjunto de TODOS
Más detallesDistribuciones de probabilidad más usuales
Tema 5 Distribuciones de probabilidad más usuales En este tema se estudiarán algunas de las distribuciones discretas y continuas más comunes, que se pueden aplicar a una gran diversidad de problemas y
Más detallesSEÑALES Y SISTEMAS Clase 17
SEÑALES Y SISEMAS Clase 17 Carlos H. Muravchik 17 de Mayo de 2018 1 / 27 Habíamos visto: ransformada de Fourier de iempo Discreto (FD) Propiedades Convolución Y se vienen: Correlación. Rayleigh-Parseval
Más detallesProcesos de Poisson. 21 de marzo, FaMAF 1 / 25
Procesos de Poisson FaMAF 21 de marzo, 2013 1 / 25 Distribución exponencial Definición Una v.a. X con función de densidad dada por f λ (x) = λ e λx, x > 0, para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial
Más detallesTEMA 3: Probabilidad. Modelos. Probabilidad
TEM 3: Probabilidad. Modelos Probabilidad Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz. Selección al azar de un
Más detallesEstadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos. Curso 2009/10
Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos Curso 2009/10 Tema 0. Repaso de conceptos básicos Contenidos Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad La distribución normal Muestras aleatorias,
Más detallesProcesos Estocásticos. Procesos Estocásticos. Procesos Estocásticos. 1 Introducción y conceptos básicos. Al final del tema el alumno será capaz de:
Procesos Estocásticos Procesos Estocásticos Referencias: Capítulo 8 de Introducción a los Sistemas de Comunicación. Stremler, C.G. (993 Estadísticos de un proceso estocástico Apuntes de la Universidad
Más detallesEstadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos
Estadística I Tema 5: Modelos probabiĺısticos Tema 5. Modelos probabiĺısticos Contenidos Variables aleatorias: concepto. Variables aleatorias discretas: Función de probabilidad y función de distribución.
Más detallesIntroducción a la Teoría de la Información
Introducción a la Teoría de la Información Entropía diferencial. Facultad de Ingeniería, UdelaR (Facultad de Ingeniería, UdelaR) Teoría de la Información 1 / 19 Definición Definición (Entropía diferencial)
Más detallesIntroducción al Tema 9
Tema 2. Análisis de datos univariantes. Tema 3. Análisis de datos bivariantes. Tema 4. Correlación y regresión. Tema 5. Series temporales y números índice. Introducción al Tema 9 Descripción de variables
Más detallesDepartamento de Matemática Aplicada a la I.T.T.
Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Primavera 15 FECHA: de Junio de 15 Fecha publicación notas: 11 de Junio de 15 Fecha revisión
Más detallesAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Introducción El comportamiento de una variable aleatoria queda
Más detallesProbabilidad y Procesos Aleatorios
y Dr. Héctor E. Poveda P. hector.poveda@utp.ac.pa www.hpoveda7.com.pa @hpoveda7 Plan del curso Probabilidad Múltiples 1. Probabilidad Espacios probabilísticos Probabilidad condicional 2. 3. Múltiples 4.
Más detallesTema 2: VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Tema 2: VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación Despacho 2D014 caralb@tel.uva.es, jcasasec@tel.uva.es, http://www.lpi.tel.uva.es/sar Concepto
Más detallesVariables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional
Variables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional FaMAF 17 de marzo, 2011 1 / 37 Poisson P(λ) Número de éxitos en una cantidad grande de ensayos independientes Rango: {0, 1, 2,... } = {0} N Función
Más detallesUNIDAD 3 Características de variables aleatorias uni y bidimensionales
Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA Ingenierías: Recursos Hídricos-Ambiental-Agrimensura TEORÍA Mg. Ing. Susana Vanlesberg Profesor Titular UNIDAD Características
Más detallesESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS TEMA 1 (20 puntos): RUBRICA La magnitud de temblores registrados en una región de América
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II CONTENIDOS BACHILLERATO
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II CONTENIDOS BACHILLERATO BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS Los contenidos de este bloque se desarrollan de forma simultánea al resto
Más detallesPROCESOS ALEATORIOS. Capítulo AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Capítulo 2 PROCESOS ALEATORIOS Los procesos aleatorios son importantes porque en casi todos los aspectos de la vida se presentan este tipo de situaciones en donde el comportamiento de un fenómeno o evento
Más detallesSumario Prólogo Unidad didáctica 1. Introducción a la estadística. Conceptos preliminares Objetivos de la Unidad...
ÍNDICE SISTEMÁTICO PÁGINA Sumario... 5 Prólogo... 7 Unidad didáctica 1. Introducción a la estadística. Conceptos preliminares... 9 Objetivos de la Unidad... 11 1. Población y muestra... 12 2. Parámetro
Más detallesCapítulo 5: Probabilidad e inferencia
Capítulo 5: Probabilidad e inferencia estadística (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia Contenidos Principios de la probabilidad Conceptos básicos
Más detallesSEÑALES Y SISTEMAS Clase 13
SEÑALES Y SISTEMAS Clase 13 Carlos H. Muravchik 19 de Abril de 2018 1 / 27 Habíamos visto: 1. Sistemas lineales con entradas aleatorias. 2. Introducción a la Transformada de Fourier Y se vienen: Repaso
Más detallesDistribución Gaussiana Multivariable
Distribución Gaussiana Multivariable Carlos Belaustegui Goitia, Juan Augusto Maya 8 de Agosto de Resumen En este documento presentamos la deducción de la expresión de la función densidad de probabilidad
Más detallesSistemas de Comunicaciones
Sistemas de Comunicaciones Tema 2: Señales aleatorias Grado en Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación Departamento de Ingeniería de Comunicaciones Universidad de Málaga Curso 202/203 Tema 2: Señales
Más detallesTema 2. Análisis de Sistemas en Tiempo Continuo. Indice:
Indice: 1. Clasificación de Sistemas en tiempo continuo Lineales y no Lineales Invariante y Variantes en el tiempo Causal y no Causal Estable e Inestables Con y sin Memoria 2. La Convolución La Integral
Más detallesPart VI. Distribuciones notables. Estadística I. Mario Francisco. Principales distribuciones unidimensionales. discretas. Principales distribuciones
Part VI notables El proceso de Bernoulli En cada observación se clasifica el elemento de la población en una de las dos posibles categorías, correspondientes a la ocurrencia o no de un suceso. Llamaremos
Más detallesUniversidad Nacional de La Plata
Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Agrarias y Forestales CÁLCULO ESTADÍSTICO STICO Y BIOMETRÍA CONTENIDOS UNIDAD 3: Introducción al Cálculo de Probabilidades. Experimento aleatorio.
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 4 Vectores aleatorios Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo PREST.
Más detalles9. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
9 DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 91 Derivadas parciales y direccionales de un campo escalar La noción de derivada intenta describir cómo resulta afectada una función y = f(x) por un cambio
Más detallesCapítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional
Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Cuando introducíamos el concepto de variable aleatoria unidimensional, decíamos que se pretendía modelizar los resultados de un experimento aleatorio en el
Más detallesCálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 1
08231. Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 1 Problema 1. Se eligen tres puntos A, B y C, al azar e independientemente, sobre una circunferencia. Determinar la distribución del valor
Más detalles2. VARIABLE ALEATORIA. Estadística I Dr. Francisco Rabadán Pérez
2. VARIABLE ALEATORIA Estadística I Dr. Francisco Rabadán Pérez Índice 1. Variable Aleatoria 2. Función de Distribución 3. Variable Aleatoria Discreta 4. Variable Aleatoria Continua 5. Esperanza Matemática
Más detallesTécnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I
Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo II Unidad 4. Probabilidad Conceptos básicos de probabilidad:
Más detallesVariables aleatorias. Descripción breve del tema. Objetivos. Descripción breve del tema. Tema 4
Descripción breve del tema Variables aleatorias Tema 4 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2 Objetivos Descripción breve
Más detalles