Suplente Junio de 2017 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A 17_mod4_EJERCICIO 1 (A) ( 5 putos) Ua empresa evasa y comercializa leche etera y leche desatada. El litro de leche etera evasado geera u beeficio diario a la empresa de 0 4 y el de leche desatada de 0 1. La tecología de la empresa impoe que el úmero de litros de leche etera que se evasa diariamete o supere el doble del úmero de litros de leche desatada. Además, la catidad máxima de leche que se puede evasar diariamete es u total de 3000 litros y solo se dispoe de 100 litros diarios de leche etera para evasar. Cuáto debe evasar de cada producto para obteer el beeficio máximo? A cuáto ascedería este beeficio? Ua empresa evasa y comercializa leche etera y leche desatada. El litro de leche etera evasado geera u beeficio diario a la empresa de 0 4 y el de leche desatada de 0 1. La tecología de la empresa impoe que el úmero de litros de leche etera que se evasa diariamete o supere el doble del úmero de litros de leche desatada. Además, la catidad máxima de leche que se puede evasar diariamete es u total de 3000 litros y solo se dispoe de 100 litros diarios de leche etera para evasar. Cuáto debe evasar de cada producto para obteer el beeficio máximo? A cuáto ascedería este beeficio? Es u problema de programació lieal. Sea x = º de litros de leche etera. Sea y = º de litros de leche desatada. De el º de litros de leche etera o supere el doble del º de litros de leche desatada x y. De la catidad máxima de leche que se puede evasar es u total de 3000 litros x + y De solo se dispoe de 100 litros diarios de leche etera para evasar x 100 De se evasa algú litro de leche etera y de leche desatada x 0, y 0. De la leche etera geera u beeficio diario a la empresa de 0 4 y el de leche desatada de 0 1, teemos la fució a optimizar es B(x,y) = F(x,y) = 0 4x + 0 1y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 0 4x + 0 1y. Restriccioes: x y; x + y 3000; x 100; x 0; y 0 Las desigualdades x y; x + y 3000; x 100; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x = y; x + y = 3000; x = 100; x 0; y 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x/; y = -x ; x = 100; x = 0; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, os fijamos e las desigualdades origiales, y determiamos el polígoo covexo cerrado; co el cual calcularemos los vértices A, B, C, y D de los cortes de las rectas que delimite el polígoo covexo cerrado. gjrubio@hotmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el vértice A(0,0). De y = x/ y x = 100, teemos y = 100/ = 600, y el vértice es B(100,600). De x = 100 e y = -x+3000, teemos y = = 1800, y el vértice es C(100,1800). De x = 0 e y = -x+3000, teemos y = 3000, y el vértice es D(0,3000). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,0), B(100,600), C(100,1800) y D(0,3000). Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = 0 4x + 0 1y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(100,600), C(100,1800) y D(0,3000). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. FA(0,0) = 0 4(0) + 0 1(0) = 0; FB(100,600) = 0 4(100) + 0 1(600) = 540; F C(100,1800) = 0 4(100) + 0 1(1800) = 660; FD(0,3000) = 0 4(0) + 0 1(3000) = 300. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 660 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(100,1800), por tato el máximo beeficio es de 660, y se obtiee evasado 100 litros de leche etera y 1800 litros de leche desatada. 17_mod4_EJERCICIO (A) E ua especie aimal la cotracció del iris, e décimas de milímetro, después de expoer el ojo a ua luz t si 0 t brillate durate u determiado tiempo, viee dada por f(t) = 4, dode t es el tiempo, e si t > t - 1 segudos, que trascurre desde que se cocetra la luz e el ojo. (1 puto) Estudie la cotiuidad y la derivabilidad de la fució f. (1 puto) Represete gráficamete la fució f, determiado los itervalos de crecimieto y decrecimieto y sus asítotas, e caso de que exista. c) (0 5 putos) Determie e qué istate se obtiee la máxima cotracció y su valor. E ua especie aimal la cotracció del iris, e décimas de milímetro, después de expoer el ojo a ua luz t si 0 t brillate durate u determiado tiempo, viee dada por f(t) = 4, dode t es el tiempo, e si t > t - 1 segudos, que trascurre desde que se cocetra la luz e el ojo. Estudie la cotiuidad y la derivabilidad de la fució f. Sabemos que si la fució f(t) = t es cotiua y derivable e todo R, e particular es cotiua e el itervalo cerrado [0,] y derivable e el abierto (0,). 4 Sabemos que si la fució f(t) = f(t) = es cotiua y derivable e todo R {1}, e particular es cotiua t - 1 e su domiio t >. Falta ver la cotiuidad y derivabilidad e t =. f(t) es cotiua e t = si f() = lim f(t) = lim f(t). t t + f() = lim f(t) = lim (t ) = = 4; lim f(t) = 4 lim t t t + t + t - 1 = 4-1 = 4. Como los tres valores so iguales la fució f es cotiua e t =. f(t) es derivable e t = si f ( - ) = f ( + ) (Vemos la cotiuidad de la derivad gjrubio@hotmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua t si 0 t t si 0 t < f(t) = 4 ; f '(t) = - 4 si t > si t > t - 1 (t - 1) f ( - ) = lim f (t) = lim (t) = () = 4. f (+ ) = lim f (x) = = = - 4 lim (t - 1) ( - 1). t t t + t + Como f ( - ) = 4 f ( + ) = - 4, la fució f o es derivable e t =. Represete gráficamete la fució f, determiado los itervalos de crecimieto y decrecimieto y sus asítotas, e caso de que exista. t si 0 t t si 0 t < f(t) = 4 ; f '(t) = - 4 si t > si t > t - 1 (t - 1) Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada f (x). Si 0 t, f(t) = t. Es u trozo de parábola co las ramas hacia arriba, pasa por (0,0) y (,4), y tiee abscisa del vértice e la solució de f (t) = 0 = t, de dode t = 0, y el vértice es V(0,0) Si 0 < t <, f (t) = t. De f (t) = 0, hemos visto t = 0 que sería u posible extremo relativo. Como f (1) = (1) = > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (0,). Si t >, f(t) = - 4 Como f (3) = (3-1) 4 t - 1, cuya gráfica es u trozo de hipérbola. Su derivada era f(t) = - 4. (t - 1) = -1 < 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ց ) e (,+ ). Por defiició t = es u máximo relativo, o derivable, que vale f() = () = 4. Para termiar de dibujar el trozo de hipérbola, veamos sus asítotas. 4 Para t >, teemos f(t) =, cuya gráfica es u hipérbola y tiee asítota vertical (úmero que aula el t - 1 deomiador, si está e el domiio) y asítota horizotal (e este caso e - ). De t - 1 = 0, teemos t = 1, que o está e el domiio x >, luego o tiee asítota vertical. Como lim f(t) = 4 lim t + t + t - 1 = 4/+ = 0+, la recta y = 0 es ua asítota horizotal e +. U esbozo de su gráfica es: c) Determie e qué istate se obtiee la máxima cotracció y su valor. Como hemos visto al esbozar la gráfica la máxima cotracció del iris se obtiee e el máximo relativo, o derivable, t = y valía f() = 4 décimas de milímetro. gjrubio@hotmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua 17_mod4_EJERCICIO 3 (A) E u departameto de ua Uiversidad hay 8 profesores y 14 profesoras. Se quiere costituir ua comisió formada por miembros del departameto, elegidos al azar. (0 75 putos) Cuál es la probabilidad de que sea profesoras? (1 puto) Calcule la probabilidad de que la comisió esté costituida por u profesor y ua profesora. c) (0 75 putos) Halle la probabilidad de que e la comisió o haya igua profesora. E u departameto de ua Uiversidad hay 8 profesores y 14 profesoras. Se quiere costituir ua comisió formada por miembros del departameto, elegidos al azar. Cuál es la probabilidad de que sea profesoras? Llamemos M1, M, H1 y H a los sucesos "primera elegida sea profesora, "seguda elegida sea profesora, "primer elegido sea profesor y "segudo elegido sea profesor, respectivamete Me está pidiedo p(que las dos sea profesoras) = p(m 1 M ) = p(m1) p(m M1) = = (8/) (7/1) = 4/ Calcule la probabilidad de que la comisió esté costituida por u profesor y ua profesora. Me está pidiedo p(u profesor y ua profesor = p(m 1 H ) + p(h 1 M ) = = p(m1) p(h M1) + p(h1) p(m H1) = (8/) (14/1) + (14/) (8/1) = 16/ c) Halle la probabilidad de que e la comisió o haya igua profesora. Me está pidiedo p(que los dos sea profesores) = p(h 1 H ) = p(h1) p(h H1) = = (14/) (13/1) = 91/ _mod4_EJERCICIO 4 (A) Se desea estimar la proporció de jóvees que ve ua serie de televisió. Para ello, se toma ua muestra aleatoria de 100 jóvees, de los que 36 ve la serie. (1 5 putos) Determie u itervalo de cofiaza, al 96 %, para la proporció de jóvees que ve la serie. (1 puto) Co el mismo ivel de cofiaza, si queremos que el error máximo sea iferior a 0 03, qué tamaño muestral míimo debemos tomar? Se desea estimar la proporció de jóvees que ve ua serie de televisió. Para ello, se toma ua muestra aleatoria de 100 jóvees, de los que 36 ve la serie. Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL pɵ sigue ua ormal N( pɵ pɵ qɵ, escribimos p N( pɵ pɵ qɵ, ) o p N( pɵ pɵ qɵ, ). ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode qɵ = 1- pɵ, y geeralmete Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ p ˆ - z ˆ 1 /.,p + z 1 /. α α I.C.(p) = = (b- dode z 1 - α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1 - α/) = 1 - α/. p(1 ˆ p) ˆ (z 1-α/ ).p.q ˆ ˆ El error cometido es E < z 1 α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es >. E gjrubio@hotmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua Determie u itervalo de cofiaza, al 96 %, para la proporció de jóvees que ve la serie. Datos del problema: = 100; p ɵ = 36/100 = 0 36, q ɵ = = 0 64, ivel de cofiaza = 96% = 0 96 = = 1 - α, de dode α = 0 04, co la cual α/ = 0 04/ = 0 0. De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = 0 98, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que la probabilidad 0 98 o viee, y que la probabilidad más próxima es , que correspode a z1-α/ = 05, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 /.,p + z 1 /. = 0'36 0'64 0'36 0'64 0'36 - ' 05,0'36 + ' 05 α α = = (0 616; ), para la proporció de jóvees que ve la serie. Co el mismo ivel de cofiaza, si queremos que el error máximo sea iferior a 0 03, qué tamaño muestral míimo debemos tomar? Datos del problema: p ɵ = 0 36, ˆq = 0 64, error = E 0 03, ivel de cofiaza el mismo 97%, al cual le correspodía u puto crítico z1 - α/ = 05. p(1 ˆ p) ˆ (z ˆ ˆ 1- α/) p q ('05) 0'36 0'64 De E = z 1 α /., teemos = = , por tato el tamaño E (0'03) míimo de los jóvees que hay que seleccioar es = OPCION B 17_mod4_EJERCICIO 1 (B) Sea las matrices A = 0 1-1, B = y C = (1 putos) Razoe cuáles de las siguietes operacioes so posibles: A B t B + 3C C B t A B + C (1 3 putos) Resuelva la ecuació matricial A B X = C Sea las matrices A =, B = y C =. x x 3 x (1 putos) Razoe cuáles de las siguietes operacioes so posibles: A B t B + 3C C B t A B + C Sabemos que para que se pueda multiplicar dos matrices, de izquierda a derecha, el úmero de columas de la primera tiee que coicidir co el úmero de filas de la seguda, y el producto tiee por filas las de la primera matriz y por columas la de la seguda matriz. Tambié sabemos que se puede sumar matrices del mismo orde. Ax3 B t x3, o se puede multiplicar por lo idicado ates. B 3x + 3C x, o se puede sumar por lo idicado ates, es decir o tiee el mismo orde. Cx B t x3, si se puede multiplicar por lo idicado ates, y el producto tiee de orde x3. Ax3 B 3x + Cx, si se puede sumar por lo idicado ates, pues el primer producto tiee de orde x. Resuelva la ecuació matricial A B X = C Llamamos D = A B = 0 1 = Como det(d) = D = = 3 - = 1 0, existe la matriz iversa 1 D-1 t = Adj((D) ). D De A B X = C, teemos D X = C. Multiplicado por la izquierda la expresió D X = C por la iversa D -1, teemos D -1 D X = D -1 C I X = D -1 C X = D -1 C gjrubio@hotmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua 1 Calculamos D -1 t 1 - = Adj((D) ) ; D = 1; D t = D -1 3 ; Adj(Dt ) = 1 D -1 t = Adj((D) ) = 1 = D La matriz es X = D -1 C = = , por tato la matriz iversa es 1 17_mod4_EJERCICIO (B) 1 si x 0 x - 4 Sea la fució f(x) = x + 3 si 0 < x < x + 1 si x (1 5 putos) Estudie la cotiuidad de la fució e su domiio y clasifique sus discotiuidades, e caso de que exista algua. (1 puto) Estudie la derivabilidad de la fució e su domiio. 1 si x 0 x - 4 Sea la fució f(x) = x + 3 si 0 < x < x + 1 si x Estudie la cotiuidad de la fució e su domiio y clasifique sus discotiuidades, e caso de que exista algua. La fució 1/(x 4) es cotiua y derivable e R {4}, e particular es cotiua e x 0, y derivable e x < 0. La fució x + 4 es cotiua y derivable e R, e particular es cotiua y derivable e 0 < x <. La fució x + 1 es cotiua y derivable e R, e particular es cotiua e x, y derivable e x >. Nos falta ver la cotiuidad e x = 0 y x = f(x) es cotiua e x = 0 si f(0) = lim f(x) = lim f(x). x 0 x f(0) = lim f(x) = lim x - 4 = 0-4 = -1/4 = - 0 5; x 0 x 0 lim f(x) = lim (x + 3) = (0) + 3 = 3, como lim f(x) = lim f(x) = 3, la fució o es cotiua e x 0+ x 0+ x 0 x 0+ x = 0, y por tato tampoco es derivable e x = 0. E x = 0 la fució f tiee u puto de discotiuidad ievitable de salto fiito, el salto es 3 5 = = 3 - (-0 5), es decir el valor absoluto de la diferecia de los limites laterales. f(x) es cotiua e x = si f() = lim f(x) = lim f(x). x x + lim f(x) = lim (x + 3) = ( + 3) = 5; x x f() = lim f(x) = lim (x + 1) = () + 1 = 5, como f() = lim f(x) = lim f(x) = 5, la fució es cotiua e x + x + x x + x = 5, y por tato la fució f es cotiua e R {0}. Estudie la derivabilidad de la fució e su domiio. Sólo os falta ver la derivabilidad e x =. (Estudiaremos la cotiuidad de la derivad f(x) es derivable e x = si lim f (x) = lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x x + gjrubio@hotmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua 1-1 si x 0 si x < 0 x - 4 (x - 4) f(x) = x + 3 si 0 < x < ; f '(x) = 1 si 0 < x <, x + 1 si x x si x > lim f (x) = lim (1) = 1; lim f (x) = lim (x) = () = 4, como lim f (x) = = 1 lim f (x) = 4, la fució x x x + x + x x + f o es derivable e x =, por tato f es derivable e R {0,}, y su derivada es: -1 si x < 0 (x - 4) f '(x) = 1 si 0 < x <. x si x > 17_mod4_EJERCICIO 3 (B) Los alumos que cursa ua asigatura debe realizar dos exámees: uo teórico y otro práctico. El 50 % de los alumos aprueba los dos exámees, el 6 % o aprueba iguo y el 0 % solo aprueba el teórico. Se elige u alumo al azar. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que apruebe al meos uo de los dos exámees? (1 5 putos) Si ha aprobado el teórico, cuál es la probabilidad de que o apruebe el exame práctico? Los alumos que cursa ua asigatura debe realizar dos exámees: uo teórico y otro práctico. El 50 % de los alumos aprueba los dos exámees, el 6 % o aprueba iguo y el 0 % solo aprueba el teórico. Se elige u alumo al azar. Cuál es la probabilidad de que apruebe al meos uo de los dos exámees? Llamemos A y B a los sucesos "aprobar el exame teórico y aprobar el exame práctico, respectivamete De, el 50 % de los alumos aprueba los dos exámees, teemos p(a y B) = p(a B) = 50% = 0 5. De, el 6 % o aprueba iguo, teemos p(oa y ob) = p(a C B C ) = 6% = De, el 0 % solo aprueba el teórico, teemos p(a y ob) = p(a B C ) = p(a) - p(a B) = 0% = 0, de dode p(a) = 0 + p(a B) = = 0 7. Me está pidiedo p(a ó B) = p(a B) = {++} = {++} = De p(a C B C ) = 0 06 = {Ley de Morga y cotrario} = p( (A B) C ) = 1 - p(a B), teemos que: p(a B) = = Si ha aprobado el teórico, cuál es la probabilidad de que o apruebe el exame práctico? Me está pidiedo p(o aprobar practico, sabiedo que ha aprobado el teórico) = p(ob/a) = C C p(b A) p(a B ) p(a) - p(a B) = p(b C /A) = = = = ( )/0 7 = / p(a) p(a) p(a) 17_mod4_EJERCICIO 4 (B) El peso de los paquetes de levadura de ua marca sigue ua ley Normal de desviació típica 0 3 g. Se desea costruir u itervalo de cofiaza, al 98 %, para estimar la media. Para ello, se toma ua muestra aleatoria de 9 paquetes. (1 5 putos) Qué amplitud tedrá dicho itervalo? (1 5 putos) Obtega el itervalo sabiedo que los pesos, e gramos, de los paquetes so: Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y gjrubio@hotmail.com 7

8 IES Fco Ayala de Graada Suplete Juio de 017 (Modelo 4) Germá-Jesús Rubio Lua geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 /,x + z1 / = (a, α α dode z1-α/ y zα/ = - z1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α/) = 1 - α/. Sabemos que la amplitud del I.C. es Amplitud = b a = = x + z 1 α / - x z 1 α / = x + z 1 α / -x + z1 α / = z1 α / z 1 α / Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = = (b - /, para el itervalo de la z 1- α/. E media, de dode el tamaño míimo de la muestra es =. El peso de los paquetes de levadura de ua marca sigue ua ley Normal de desviació típica 0 3 g. Se desea costruir u itervalo de cofiaza, al 98 %, para estimar la media. Para ello, se toma ua muestra aleatoria de 9 paquetes. Qué amplitud tedrá dicho itervalo? Datos del problema: = 9; ; = 0 3; ivel de cofiaza = 98% = 0 98 = 1 - α, de dode α = = 0 0, co la cual α/ = 0 0/ = De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 99 vemos que o viee, y la más próxima es que correspode a z1-α/ = 33, por tato la amplitud del itervalo de cofiaza pedido es: 0'3 Amplitud = z1 α / = '33 = 33/500 g = g x z 1 α /, x + z1 α / 48 1'96,48 + 1'96 I.C.(µ) = = = (47 0,48 98) Obtega el itervalo sabiedo que los pesos, e gramos, de los paquetes so: Datos del problema: = 9; x = ( )/9 = 46/5 0 98; = 0 3; ivel de cofiaza = 98% = 0 98, y hemos visto e el aparatado ( que su puto crítico z1-α/ = 33, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 0 '3 0 '3 I.C.(µ) = x z 1 α /, x + z1 α / = 9'98 '33,9'98 + '33 = 9 9 = (9 749,10 15) gramos. gjrubio@hotmail.com 8