INTEGRALES MATEMÁTICAS aplicadas a las CC. SS. II Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

Transcripción

1 INTEGRLES MTEMÁTIS plicds ls. SS. II lfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

2 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN I) ONEPTO DE INTEGRL INDEFINID Dd f(x)x nos preguntmos qué función F(x) es tl que l derivrl nos d f(x)? lrmente es F(x)x, pero no sólo es sino tmién F(x)x, F(x)x 5,... y en generl F(x)x (siendo cte.). L notción que se sigue es: símolo integrl f(x) F(x) F'(x) f(x) integrndo primitiv de f(x) diferencil de x cte. de integrción Ejemplos: ) x x d) ) x e) c) x f) x Oservciones:. L cte. de integrción veces se omite pues se soreentiende. En cmio, dx no puede omitirse! Veremos más delnte que jueg un ppel fundmentl.. Evidentemente, en l práctic ls integrles no se resuelven por tnteo, como hemos hecho en el ejemplo nterior, sino plicndo técnics de integrción, cuyo prendizje dedicremos el resto del tem.. Más delnte veremos que est nuev operción sí definid, l integrción, tiene un grn utilidd (preferentemente el cálculo del áre jo un curv). Pero de momento nos centrremos en prender ls técnics ásics de integrción, ls cules se sn en l oservción siguiente:. Ddo que l integrción es l operción contrri de l derivción, l tl de integrles es prácticmente idéntic l de derivds, pero l revés: TBL DE INTEGRLES INMEDITS x k k x n x x (n -) n n f(x) g(x) f(x) ± ± g(x) 5 k f(x) k f(x) En est tl, k y n son números reles, y f(x) y g(x) funciones. NOT: Est es un sencíllisim tl formd por tn sólo 5 csos, que son los que entrn en los ejercicios de PEG. En relidd, ls tls de integrles inmedits suelen ser stnte más extenss. Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

3 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN Vmos justificr, por ejemplo, el cso de l integrl de un potenci (cso º; el resto se prorí igul): I n x n (n ) x n n x n 5. Los dos últimos csos son consecuenci de ls propieddes de l derivd: f(x) ± g(x) f(x) ± g(x) es decir, l integrl de l sum (diferenci) es l sum (diferenci) de ls integrles. k f(x) k f(x) es decir, ls constntes multiplictivs pueden entrr o slir de l integrl. L utilizción conjunt de ms propieddes, junto con el resto de l tl, nos permitirá resolver culquier integrl polinómic (que son ls que precen en l PEG). Pr ello, tendremos que extrer ls constntes multiplictivs del integrndo cundo conveng, como veremos en el siguiente ejercicio. Ejercicio : Utilizndo l tl, hllr ls siguientes integrles inmedits, y efectur l comproción:. x. x. x x ) x5 5 ) x ). 5t dt t 5 ) 5. x 6. x x ) x ) 7. t dt 8. x t ) - x ) 9. 5x - x 5 ) x 0. x 8 ) Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

4 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN. x x ) t. dt t 6 ). 6-6x ). 6 x x7 7 ) x 5. 5x 6. x 9 ) x5 ) x x x5 0 ) x ) 9. (x x) x x ) 0. (x ). x x x ) x ). (x ) x x ). (t ) dt t t ). (x ) x x ) 5. (x x ) x x x ) 6. (x ) x x ) 7. ( x ) dx x x ) 8. (x x 5) x x 5x ) Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

5 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN 9. (x ) x x 6x ) 0. ( x x) dx. x(x ) x x ) x x ). (x ). (x ) x 6x 9x ) 5 x x x ) 5. ( x x ) x x x ) 5. x(x ) 6. t(t ) dt x x ) t t ) 7. (x x ) x x x ) 8. x (x ) 6 x x ) 6 9. (x ) x x x ) 0. (x x) x x ). (t ) dt t t t ). (x x ) x x x ). (x ). (x ) x x ) x x ) Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

6 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN 5. ( x ) x x ) x 6. x ) 7. ( x 6x 5) x 5x x ) 8. x x 9. ( )( ) x x ( x) II) ONEPTO DE INTEGRL DEFINID DEF: f(x) áre del recinto limitdo por l curv f(x), el eje x, y ls rects verticles x y x Gráficmente, coincide con el áre del diujo : f(x) Signo de l integrl definid: Hy posiiliddes: f(x) undo l curv está por encim del eje x, el áre es positiv (lógico pues f(x)>0 en ese cso) Si l función está por dejo, entonces l integrl definid es negtiv (y que entonces f(x)<0) En este cso f(x) 0 0 L definición nterior puede entenderse intuitivmente si pensmos que f(x) dx representrí el áre de un rectángulo infinitesiml de ltur f(x) y nchur tn pequeñ como quermos dx, por lo que l integrl definid vendrí ser l sum de esos infinitos pequeños rectángulos. Pr un comprensión más riguros de este hecho, vése Internet. Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

7 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN ómo se clcul?: Medinte l REGL DE BRROW : se trt de hllr un primitiv F(x) medinte los procedimientos del prtdo nterior, y continución vlorrl entre los extremos y : f(x) dx F(x) f(x) dx F()-F() Ejemplos justifictivos: ) f(x) dx (ompruéese el resultdo gráficmente) ) yx- (x - ) dx (ompruéese que el áre del triángulo es efectivmente l clculd) c) y x 5 ( x 5 ) dx (ompruéese que coincide con el áre del trpecio, l cul vení dd por B h ) d) Un áre que sle "negtiv": ( x ) d x Isc Brrow (60-677), eminente mtemático inglés y profesor de Isc Newton en mridge. Vése l justificción de est regl, que se conoce como º Teorem fundmentl del cálculo integrl, en Internet. Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

8 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN e) y x ( x ) dx - (ompruéese que l sum de ls dos áres somreds, cd un con su signo, coincide con el resultdo) Nótese, por consiguiente, que l integrl definid tiene un utilísim plicción l cálculo de áres. Propieddes de l integrl definid: c ) Si c [,]: f f f Est propiedd nos será muy útil l hor de hllr el áre de un recinto c compuesto como sum de dos o más suáres. Su justificción es trivil, tnto gráficmente como plicndo l regl de Brrow. ) Ovio y fácil de pror. f 0 ) Puede demostrrse fácilmente plicndo l regl de Brrow. f f ) Es un consecuenci inmedit de un propiedd nálog de l integrl f ± g ± indefinid (en concreto, el cso º de l tl). f g 5) función impr 0 L interpretción gráfic es ovi: yx Ls dos áres somreds de l figur son igules pero de signo opuesto, por lo que su sum es cero. Por ejemplo, podemos concluir, sin necesidd de hcer l integrl, que: x 0 - omproémoslo, de tods forms, nlíticmente: Ejercicio : plicndo l regl de Brrow, clculr ls siguientes integrles definids:. x. x 0 7/) ) Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

9 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN. ( x ) -5/). ( x x ) ) 5. (Sin plicr Brrow) x 5 5 0) 6. ( x x ) 7/6) 0 7. ( x x 5) 8/) 8. (Sin plicr Brrow) x 0) 9. x ) III) ÁRE BJO f En cd uno de los tres csos vistos l comienzo del prtdo nterior hrá que proceder de form distint: ) f es positiv: f(x) f(x) dx (por l propi definición de l integrl definid) ) f es negtiv: f(x) Tenemos dos forms lterntivs de proceder: f(x) dx o ien: - f(x) dx Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

10 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN ) f es positiv y negtiv (se ltern): por l propiedd (pdo. II) x x T x f x f x f x NOT: En generl hrá que hllr los puntos en que f(x) cort l eje x (x y x en el ejemplo nterior) pues no semos de ntemno si f(x) cmi de signo. Tmién, veces conviene representr f(x), pues puede formr con respecto l eje x dos o más suáres (como ocurre en los ejercicios, 5 y 6). Ejercicio : Hllr, previ representción gráfic de l situción, el áre limitd por l práol yx -x y el eje x Nótese que en este ejemplo l integrl en sí result negtiv, pues l práol está por dejo del eje x, pero el vlor soluto l convierte en positiv, como dee ser por trtrse de un áre. Podrímos her otenido dich áre sin her hecho previmente l representción gráfic? L respuest es firmtiv. Piénsese cómo. Ejercicio : Hllr el áre del recinto limitdo por l gráfic de f(x)x -x, el eje x, y ls rects verticles x- y x. Explicr gráficmente l situción. Recordr que pr otener los puntos en que un función cort l eje x hy que resolver l ecución f(x)0 Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)

11 MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN Ejercicio 5: Diujr l rect y-x, y hllr: ) El áre del recinto limitdo por dich rect y los ejes de coordends. ) El áre del recinto limitdo por dich rect, el eje x y ls rects x y x Ejercicio 6: Hllr, sin previ representción gráfic, el áre limitd por l función yx -x -x y el eje x. Diújese, continución, l gráfic, pr explicr l situción. Ejercicio PEG: jun 009 ; sept 009 ; jun 008 ; sept 008 ; jun 007 ; sept 007 ; jun 006 ; sept 006 ; jun 005 ( VL. BS.); sept 005 ; jun 00 ; sept 00 gráfic función trozos continuidd áre Texto jo licenci rtive ommons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor (lfonsogonzlopez@yhoo.es)