Aplicaciones de la integral definida

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1 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Aplicciones de l integrl definid Por: Sndr Elvi Pérez L integrl tiene vris plicciones en diferentes áres del conocimiento. En este curso se nlizrán sus funciones desde el punto de vist geométrico. Entre ells revisrás: ) El áre jo l curv. ) El áre de un región entre dos curvs. c) L longitud de rco. Áre jo l curv Oserv ls gráfics que se muestrn en ls figurs y : 7 y x Figur. Gráfic de l función constnte = 5. Figur. Gráfic de correspondiente x = 5.

2 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Ahor clcul el áre limitd por l función = 5, l rect x = 5 y los ejes coordendos. L región solicitd se muestr en l figur. Figur. Áre formd por ls rects f(x) = 5 y x = 5 y los ejes coordendos. En este cso oserv que l figur geométric que se form es un cudrdo, sí que podrís determinr su áre l multiplicr sus ldos. De est form: El áre jo l curv = 5 será: Áre = ldo ldo = 5 5 = 5u Importnte: En el ejemplo nterior ls funciones integrr se presentn tl como El cálculo de áres de figurs geométrics conocids como triángulos o cudrdos (como el del ejemplo) puede relizrse medinte l plicción de fórmuls geométrics. L integrl definid tmién puede plicrse pr determinr el áre de regiones en el plno medinte el uso del teorem fundmentl del cálculo. Oserv cómo se resuelve el ejemplo nterior plicndo l integrl definid.

3 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Recuerd que el teorem fundmentl del cálculo dice que: [ F( x) ] dx = = F( ) F( ) Pr el ejemplo nterior: El límite inferior está representdo por el primer límite es l rect x = El límite superior está representdo por el segundo límite está definido por l rect =, deido que = 5, deido que x = 5 Figur. Gráfic del áre formd por ls rects f(x) = 5, x = 5, x = y eje de ls x. Sustituyendo l función y los límites en l integrl: 5 5dx = Resolviendo l integrl: 5 5dx = 5x Sustituyendo los límites: 5 5 [ 5x] = [ 5(5) ] [ 5() ] = 5 5dx = = 5u Oserv que el vlor otenido por el método geométrico y por medio de l integrl definid es el mismo. Además, l relizrse l integrl con respecto l vrile independiente (x), los límites de l integrl ( y ) tmién deen considerrse con respecto l dirección horizontl. Recuerd que ls áres se deen expresr en uniddes cudrds. Pr qué utilizs el cálculo integrl si con geometrí puedes determinr un áre jo un curv? Con ls técnics geométrics es posile determinr el áre de muchs figurs como los polígonos, y medinte técnics de proximción es fctile clculr proximciones de áres jo curvs, pero el cálculo integrl permite determinr áres jo curvs con precisión, plicndo el teorem fundmentl del cálculo como se mostró en el ejemplo nterior.

4 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Ejemplo Clcul el áre limitd por l función ( x) = x + x x + Solución f, ls rects x = y = x y el eje de ls x. Antes de inicir el cálculo del áre solicitd, es muy recomendle trzr ls gráfics en cuestión pr tener en clro cuál es l región de l que se dese ser su superficie. Un vez construid l gráfic, se integr l función dejo, y que hí se encuentr l superficie solicitd, tomndo en cuent los límites estlecidos (en este cso ls rects verticles en zul). Sustituyendo l función y los límites en l integrl: ( x + x x + ) dx = Resolviendo l integrl: x x x ( x + x x + ) dx = + + x Sustituyendo los límites: ( x + x x + ) x dx = x + x + x Figur 5. Gráfic del áre limitd por l función = x + x x +, ls rects x = y x = y el eje de ls x. x x + x + x 9 6 = = u Ejemplo Clcul el áre jo l curv de l siguiente función. En este cso el áre está limitd por l gráfic de l función y su intersección con el eje de ls x. Sustituyendo l función y los límites en l integrl: ( x x ) dx = Resolviendo l integrl: x ( x x) dx = x

5 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Sustituyendo los límites: ( x x) x x x dx = x = [ ] = u Figur 6. Gráfic del áre limitd por l función x x = con el eje de ls x. Oserv que el resultdo que se otuvo fue negtivo. Este signo indic que el áre clculd se encuentr dejo del eje de ls x, sin emrgo dees recordr que no existen áres negtivs y, por lo tnto, el áre jo l curv de f = ( x) = x x u Ejemplo = x Clcul el áre jo l curv de l siguiente función ( x) f en el intervlo [,8] se divide en dos áres, l primer se encuentr por encim del eje de ls x y l segund por jo del eje de ls x, por lo que será necesrio clculr ls dos áres por seprdo. En este cso el áre que está limitd por l gráfic de l función en el intervlo [,8]. 5

6 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre El áre A se encuentr entre y, es decir, en el intervlo [,]. Clculndo A : x x dx = x = [ ] = El áre A se encuentr entre y 8 es decir en el intervlo [,8]. Figur 7. Gráfic del áre limitd por l función = x en el intervlo [,8]. Clculndo A : 8 x x = dx x 8 = = 6 = x Pr clculr el áre jo l curv de ( x) f en el intervlo [,8] A totl = A + A 6 96 A totl = + = = u, se sumrán ls dos áres. Oserv que el resultdo de A es negtivo deido que el áre que está jo l curv se encuentr dejo del eje de ls x, sin emrgo, como no existen áres negtivs, l sumrls se hce positiv. L integrl definid permite encontrr un áre formd por l curv gráfic de l función, el eje que se esté tomndo como referenci (vrile independiente) y los límites en los que se requier encontrr el áre. 6

7 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Qué represent un áre jo l curv? En el curso de Cálculo Diferencil estudiste que l velocidd es l vrición del desplzmiento con respecto l tiempo. Así por ejemplo, si tienes un función de posición s( t) = t + t en donde l posición está expresd en metros y el tiempo en segundos, l velocidd se d por l función v ( t) = s ( t) = t + en m/s, esto es, l velocidd es l primer derivd de l función de posición. Si se otiene el áre jo l curv de ( t) = t + v [, ] en el intervlo de. Clculndo el áre jo l curv: ( t + ) dt = [ t + t] = [ ] [ ] = Oserv que l integrr l función otienes l función de posición del móvil y el áre jo l curv represent l distnci recorrid en metros en el primer segundo. Interesnte, no crees? Figur 8. Gráfic del áre limitd por l función v( t) = t + [, ] en el intervlo de. El áre jo l curv de culquier función represent l función originl evlud en un intervlo específico. 7

8 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Áre de un región entre dos curvs En lguns ocsiones es necesrio clculr el áre entre dos curvs. Oserv ls gráfics que se muestrn en ls figurs 9 y. Figur 9. Gráfic del áre limitd por l función f(x) en el intervlo [-,]. Figur. Gráfic del áre limitd por l función g(x) en el intervlo [-,]. Cómo podrís otener el áre entre ls dos curvs? Figur. Gráfic del áre limitd por l función f(x) y g(x) en el intervlo [-,]. 8

9 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Oserv que si l áre jo l curv de f(x) le rests el áre jo l curv de l segund función g(x), otendrás el áre de l región entre ls dos curvs. Figur. Gráfic del áre limitd por l función f(x) y g(x) en el intervlo [-,] (verde). A prtir de l considerción de que el áre entre ls curvs f (x) y g (x) se puede otener restndo ls áres individules (especificds y delimitds decudmente), es posile plicr el teorem fundmentl del cálculo pr determinr su vlor como sigue: Áre entre curvs = [ g( x)] dx Pr plicr est relción, es necesrio identificr cuál de ls curvs ps rri de l otr y ést restrle l que se encuentr jo. En cso de que no se tome est considerción, el resultdo otenido será un áre del mismo vlor, pero negtiv. Por lo tnto, pr poder clculr el áre de un región entre dos curvs, plic: Áre entre curvs = [ g( x)] dx Donde y son los límites de l región. 9

10 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Ejemplo f y g x) = x Clcul el áre de l región que está cotd por ls curvs ( x) = x + ( en el intervlo [, ]. Recuerd que es recomendle relizr ls gráfics pr poder determinr l región que se requiere. Pr otener el áre de l región entre ls dos curvs utilizs: Áre entre curvs = [ g( x)] dx Sustituyendo ls funciones: ( x + ) ( x) dx = ( x + + x) dx Figur. Gráfic de práol g( x) =. = x + y l rect x Integrndo: ( x + + x) Sustituyendo vlores: x x dx = + x + x x 6 6 ( x + + x) dx = + x + = [ ] = u f y g x) = x Por lo tnto, el áre de l región cotd por ls curvs ( x) = x + [,] es 6 Áre entre curvs = u ( en el intervlo En lguns ocsiones, cundo ls curvs se interceptn (cruzn), l región que se requiere determinr es el áre limitd por dichs intersecciones. Estos puntos de intersección se pueden determinr lgericmente o por medios gráficos. L sugerenci es que se trcen ls gráfics y si ls intersecciones coinciden con vlores enteros, se consideren estos límites pr l integrl definid. En cso de que ls intersecciones no coincidn con vlores enteros, es necesrio que se relice el cálculo lgerico. Ejemplo 5 Encuentr el áre de l región que está formd por ls curvs = y g( x) = x x Oserv que en este cso, gráficmente se pueden determinr los puntos de intersección prtir de ls gráfics (puntos en zul). Los vlores de x de estos puntos de intersección son los límites de l integrl definid.

11 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Pr otener el áre de l región entre ls dos curvs utiliz: Áre entre curvs = [ g( x)] dx Sustituyendo ls funciones: ( x ) ( x) dx = ( x + x) dx = x Figur. Gráfic de l práol y l rect g( x) = x puntos de intersección x = - y x =. Integrndo: ( x + x) Sustituyendo vlores: x x dx = x + x x 7 9 ( x + x) dx = x + = = u 6 Por lo tnto, el áre de l región que se encuentr formd por ls curvs = y g x) = x x 9 u (, es Oserv que ls intersecciones se pueden determinr gráficmente, pero tmién se pueden determinr de form lgeric. Esto se reliz igulndo ls dos ecuciones = x y g( x) = x y encontrndo ls soluciones, de l ecución resultnte. Pr el ejemplo nterior, tienes: Igulndo ls dos ecuciones: x = x Igulndo cero: x Fctorizndo: x = ( x )( x + ) = x = x = Oserv que los vlores otenidos lgericmente corresponden con los vlores en x de ls intersecciones de ls gráfics.

12 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Longitud de rco L longitud de rco yud determinr l longitud de l función en un intervlo determindo. Pr ello utilizs l siguiente fórmul: Longitud de rco = + [ f ( x) ] dx Oserv l siguiente gráfic L longitud que tiene l función intervlo [,] f x) = x ( en el de l figur. Puede determinrse plicndo el teorem de Pitágors, deido que l longitud de rco pedid corresponde con l hipotenus de un triángulo rectángulo, cuyos ctetos son igules.7. Así, plicndo el teorem de Pitágors: Figur 5. Gráfic de l función intervlo [,]. f x) = x ( en el h = c + c ( ) + ( ) = = u h =

13 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Comprue el mismo ejemplo utilizndo el cálculo integrl con l fórmul de longitud de rco. Pr determinr l longitud que tiene l función = xen el intervlo de[,] por medio de l fórmul de longitud de rco: Longitud de rco = + [ f ( x) ] dx Oserv que l fórmul requiere l derivd de l función, por lo tnto: si = xentonces f ( x) = [ f ( x) ] = ( ) = y Figur 6. Gráfic de l longitud de rco de l función = x en el intervlo [, ]. Sustituyendo en l fórmul l derivd y los límites de l integrl: =, =, [ f ( x) ] Longitud de rco = + dx = Integrndo: [ ] Longitud de rco = dx = x Sustituyendo vlores: dx [ ( ) ] ( ) [ ] u Longitud de rco = = = Oserv que plicndo los dos métodos se otuvieron los vlores de l longitud de l gráfic en el intervlo solicitdo. Se puede entonces plicr el teorem de Pitágors pr clculr l longitud de culquier rco? L respuest es no, y que el teorem de Pitágors sólo es útil cundo se nlizn triángulos rectángulos. En cmio, l fórmul de longitud de rco del cálculo integrl se puede plicr pr culquier tipo de curv, como lo muestrn los siguientes ejemplos.

14 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Ejemplo 6 Determin l longitud de rco de = x en el intervlo de [,] En este cso, si = x, entonces f ( x) = x y [ f ( x) ] = x = 9x Figur 7. Gráfic de l función = x en el intervlo de [,]. Sustituyendo en l fórmul l derivd y los límites de l integrl: =, = [ f ( x) ] 9x Longitud de rco = + 9xdx = ( + 9x) dx = Integrndo: Longitud de rco = 9 Sustituyendo vlores: ( + 9x) dx = ( + 9x) 9dx = 9 ( + 9x) ( + 9 ) x = 7 ( 9 ) ( + 9( ) ( + 9( ) + x Longitud de rco = ( + 9x) dx = = ( ) ( 9) Longitud de rco = 9x + dx == = 6..7 = [ ] [ ] u Oserv que con los dos métodos otuviste los vlores de l longitud de l gráfic. =

15 MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Recuerd que el cálculo integrl permite relizr los cálculos de funciones que no son tn sencills de determinr utilizndo l geometrí o trigonometrí. Biilogrfí Leithold, L. (987). El Cálculo con Geometrí Anlític (5ª. ed.; J. C. Veg, Trd.). México: Hrl. Purcell, E. J. & Vrerg, D. (). Cálculo Diferencil e Integrl (6ª. ed.; E. de Oteyz, Trd.). México: Prentice Hll. Smith, R. T. & Minton, R. B. (). Cálculo Tomo (H. A. Cstillo y G. A. Villmizr, Trds.). México: McGrw-Hill. Stewrt, J., Redlin, L. & Wtson, S. (). Precálculo. Mtemátics pr el cálculo (ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trds.). México: Interncionl Thomson Editores. 5