CÁLCULO III. Pablo Torres. Funciones definidas en R n. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario

Transcripción

1 CÁLCULO III Pablo Torres Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario Funciones definidas en R n.

2 INTRODUCCIÓN Sean n,m N y A R n. Una función f : A R m se denomina campo vectorial. En particular: m = 1 f : A R n R campo escalar. n = 1 f : A R R m función vectorial. n = m = 1 f : A R R función real.

3 GRÁFICA DE f Sea f : A R n R m un campo vectorial. Llamamos gráfica de f al conjunto G f = {(x,f (x) : x A} G f R n+m. m = 1. n = 1 funciones reales. n = 2, f : A R 2 R. z = f (x,y) R. G f = {(x,y,z) : (x,y) A, z = f (x,y)}. La gráfica de f es una superficie en R 3.

4 GRÁFICA DE FUNCIONES

5 GRÁFICA DE FUNCIONES

6 IMÁGENES DE FUNCIONES VECTORIALES

7 IMÁGENES DE FUNCIONES VECTORIALES

8 CONJUNTOS DE NIVEL Sean f : A R n R y k R. El conjunto de nivel k de f es C k = {x A : f (x) = k}. Si n = 2 C k se denomina curva de nivel. Si n = 3 C k se denomina superficie de nivel.

9 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE CAMPOS VECTORIALES Sean f : A R n R m, (A = Dom(f )), a A y b R n. Se dice que el límite de f cuando x tiende a a es b ssi ε > 0, δ > 0 tal que si x A y 0 < x a < δ entonces f (x) b < ε. Notación: lím f (x) = b. Observaciones: 1 x a y f (x) b son normas en R n y R m respectivamente. 2 lím f (x) = b ssi para todo entorno N b de b existe un entorno N a de a tal que si x N a A entonces f (x) N b. 3 Decimos el límite de f ya que, si existe un tal b, éste es único.

10 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE CAMPOS VECTORIALES PROPOSICIÓN Sea f : A R n R m un campo vectorial dado por f (x) = (f 1 (x),f 2 (x),...,f n (x)) con f i : A R campo escalar para todo i = 1,2,...,n. Entonces, 1 Si existe lím f (x) es único. 2 lím f (x) = b = (b 1,b 2,...,b m ) ssi lím f i (x) = b i i = 1,...,m. PROPOSICIÓN Sea f : A R n R m un campo vectorial. Luego, lím f (x) = b ssi lím f (x) b = 0. PROPOSICIÓN Sea f : A R n R m un campo vectorial. Si lím f (x) = b entonces f es acotada en un entorno de a.

11 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE CAMPOS VECTORIALES TEOREMA (ÁLGEBRA DE LOS LÍMITES) Sean f,g : A R n R m. Si lím f (x) = b f y lím g(x) = b g entonces, 1 lím (f + g)(x) = b f + b g. 2 lím λf (x) = λb f. 3 lím (f.g)(x) = b f b g. f 4 Si m = 1 y b g 0, lím g (x) = b f b g. 5 lím f (x) = b.

12 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE CAMPOS VECTORIALES TEOREMA (CARÁCTER LOCAL DEL LÍMITE) Sean f,g : A R n R m, a A, tales que existe r > 0 tal que f (x) = g(x) x B(a,r) \ {a} y x A. Luego, lím f (x) = b ssi lím g(x) = b. TEOREMA (INTERCALACIÓN PARA CAMPOS ESCALARES) Sean f,g,h : A R n R, a A, tales que existe r > 0 para el cual f (x) g(x) h(x) x B(a,r) \ {a} y x A. Luego, si lím f (x) = lím h(x) = L entonces lím g(x) = L.

13 CONTINUIDAD DE CAMPOS VECTORIALES Sea f : A R n R m un campo vectorial. Se dice que f es continuo en a A si f (x) = f (a). lím Si f es continuo en a, para todo a A, se dice que f es continuo. PROPOSICIÓN Sea f : A R n R m un campo vectorial dado por f (x) = (f 1 (x),f 2 (x),...,f n (x)) con f i : A R campo escalar para todo i = 1,2,...,n. Entonces, f es continuo en a ssi f i es continuo en a i = 1,...,m. TEOREMA Sean f,g : A R n R m y c R. Si f y g son continuos en a A entonces, 1 cf es continuo en a. 2 f + g es continuo en a. 3 f g es continuo en a 4 Si m = 1 y g no se anula en un entorno de a, entonces f g es continuo en a.

14 CONTINUIDAD DE CAMPOS VECTORIALES TEOREMA Sean f : A R n R m y g : B R m R k, tales que f (A) B. Si f es continua en a A y g son continua en b = f (a), entonces f g es continua en a.

15 DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES DE CAMPOS ESCALARES Sean v un versor de R n, f : A R n R un campo escalar y x Å. Si existe el siguiente límite f ( x + h v) f ( x) lím h 0 h se lo denomina derivada direccional de f en la dirección de v. Notación: D v f ( x), f ( x, v).

16 DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES DE CAMPOS ESCALARES Sean e i = (0,...,0, i 1,0,...,0) R n, f : A R n R y x Å. Si existe D ei f (x) = lím h 0 f ( x + h e i ) f ( x) h se denomina derivada parcial i-ésima de f en x. Notaciones: D ei f ( x) = D i f ( x) = f xi ( x) = f x i ( x). TEOREMA Sea f : A R 2 R tal que existan D 1 f, D 2 f, D 12 f y D 21 f en un conjunto abierto S. Si a S y D 12 f y D 21 f son continuas en a entonces D 12 f (a) = D 21 f (a).

17 DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS ESCALARES Sean f : A R n R, a Å. Luego, existe r > 0 tal que B(a,r) A. decimos que f es diferenciable en a si existen α = (α 1,...,α n ) R n y una función E(a, h) tales que v R n, v < r se verifica con lím E(a, v) = 0. v 0 f (a + v) f (a) = α v + v E(a, v) ( ) Si definimos T α : R n R : T α ( v) = α v, tenemos una transformación lineal llamada diferencial de f en a. La ecuación anterior ( ), válida para todo v tal que v < r, se denomina Fórmula de Taylor de primer orden para f (a + v). El error en la aproximación es ε = v E(a, v). lím v 0 ε v = 0.

18 DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS ESCALARES TEOREMA Sean f : A R n R diferenciable en a Å, con diferencial T α. Luego, existen todas las derivadas direccionales D u f (a) y resulta T α ( u) = D u f (a). Además, D u f (a) es una combinación lineal de las componentes de v. Más aún, D u f (a) = n k=1 D k f (a) u k. TEOREMA Si f : A R n R diferenciable en a Å entonces f es continua en a.

19 DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS ESCALARES TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE DE DIFERENCIABILIDAD) Si existen las derivadas parciales D 1 f,...,d n f en una cierta bola B(a,r) y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a. La continuidad de las derivadas parciales es condición suficiente pero no necesaria. { ) xy sen( 1 si (x,y) (0,0), f (x,y) = x 2 +y 2 0 si (x,y) = (0,0). Verificar que: 1 D 1 f (0,0) = D 0 f (0,0) = 0. 2 f es diferenciable en (0,0). 3 Ninguna de las derivadas parciales es continua en (0, 0). Sea f : A R n R y a Å tal que existen D i f (a) i = 1,...,n. Llamamos gradiente de f en a al vector f (a) = (D 1 f (a),d 2 f (a),...,d n f (a)).

20 REGLA DE LA CADENA Sean f : A R R n, t 0 Å. Decimos que r es derivable en t 0 si existe r(t 0 + h) r(t 0 ) lím h 0 h y notamoos a este límite r (t 0 ) = dr dt (t 0). r (t 0 ) = (r 1 (t 0),r 2 (t 0),...,r n(t 0 )) = n r i (t 0) e i. i=1 TEOREMA r es derivable en t 0 ssi r i es derivable en t 0 para todo i = 1,2,...,n. Sea r : [a,b] R n tal que las derivadas de r i son continuas (seccionalmente continuas) en [a,b], para todo i = 1,...,n. Llamamos curva regular (a trozos) a Γ = {r(t) : t [a,b]}. r se denomina parametrización de Γ.

21 REGLA DE LA CADENA TEOREMA (REGLA DE LA CADENA) Sea f un campo escalar definido en un conjunto abierto A de R n, y sea r : I A una función vectorial, con I intervalo cerrado. Sea g : I R : g(t) = f (r(t)). Sea t I tal que r (t) existe y f es diferenciable en r(t). Entonces, existe g (t) y se verifica g (t) = f (r(t)) r (t).

22 DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES DE CAMPOS VECTORIALES Sean v un versor de R n, f : A R n R m un campo vectorial y a Å. Si existe el siguiente límite lím h 0 f (a + h v) f (a), h se lo denomina derivada direccional de f en la dirección de v. f (a, v) es un vector de R m. f (a, v) existe ssi f k (a, v) existe para todo k = 1,...,m. f (a, v) = (f 1 (a, v),...,f n(a, v)) = m f k (a, v) e k. k=1

23 DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS VECTORIALES Sean f : A R n R m, a Å. Luego, existe r > 0 tal que B(a,r) A. decimos que f es diferenciable en a si existe una transformación lineal T a : R n R m y una función E(a,h) tales que v R n, v < r se verifica con lím v 0 E(a, v) = 0. f (a + v) f (a) = T a ( v) + v E(a, v) ( ) Si definimos T a es llamada diferencial de f en a. La ecuación anterior ( ), válida para todo v tal que v < r, se denomina Fórmula de Taylor de primer orden para f (a + v).

24 DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS VECTORIALES TEOREMA Sean f : A R n R m diferenciable en a Å, con diferencial T a. Luego, existen todas las derivadas direccionales f (a, v) y resulta T a ( v) = f (a, v). Además, si f = (f 1,...,f n ) y v = (v 1,...,v n ) se tiene, T a v = n k=1 ( f k (a) v) e k = ( f 1 (a) v,..., f n (a) v).

25 DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS VECTORIALES La ecuación T a ( v) = ( f 1 (a) v,..., f n (a) v) se puede escribir en forma matricial como T a ( v) = Df (a) v t, donde Df (a) es una matriz m n llamada matriz jacobiana de f en a. D 1 f 1 (a) D 2 f 1 (a)... D n f 1 (a) D 1 f 2 (a) D 2 f 2 (a)... D n f 2 (a) J f (a) = Df (a) =..... D 1 f m (a) D 2 f m (a)... D n f m (a) TEOREMA Si f es un campo vectorial diferenciable en a entonces f es continuo en a.

26 REGLA DE LA CADENA PARA CAMPOS VECTORIALES TEOREMA Sean f y g dos campos vectoriales tales que la función compuesta h = f g esté definida en un entorno del punto a. Supongamos que g es diferenciable en a con diferencial T g a. Sea g(a) = b y supongamos que f es diferenciable en b con diferencial T f b. Entonces, h es diferenciable en a y su diferencial es T h a = T f b Tg a.