DISEÑO DE UN CONTROLADOR DIFUSO PARA EL CONTROL DE TEMPERATURA DE UN HORNO ELECTRICO RESISTIVO MONOFASICO

Transcripción

1 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACION DISEÑO DE UN CONTROLADOR DIFUSO PARA EL CONTROL DE TEMPERATURA DE UN HORNO ELECTRICO RESISTIVO MONOFASICO AUTOR: ING. JULIO CESAR BORJAS CASTAÑEDA PERIODO DE EJECUCION 01 de enero del 2011 al al 31 de diciembre del 2011 (12 meses) RESOLUCION DE APROBACION RR N R CALLAO 2012

2 2 INDICE Resumen 4 I. INTRODUCCION Planteamiento del problema de investigación Objetivos y alcance de la investigación Objetivos Alcances Importancia y justificación de la investigación Formulación de la hipótesis 6 II. MARCO TEORICO Lógica difusa Sistemas de control difuso Conjuntos difusos Funciones de inclusión de conjuntos difusos Variables lingüísticas Particiones difusas Medidas difusas Operaciones difusas Inferencia difusa Principio de extensión Relación difusa Modus ponens y Modus tolens generalizado Implicación difusa Reglas difusas Dispositivos de inferencia difusa 27

3 Fusificador (Fuzzifier) Defusificador (Defuzzifier) Desarrollo de sistemas difusos Difusidad y probabilidad 32 III. MATERIALES Y METODOS Introducción al control difuso Control difuso Sistema de control difuso Parámetros de diseño de un controlador difuso Características del sistema Arquitectura del controlador difuso Algoritmo de inferencia difusa Implementación del algoritmo de inferencia Definición de las funciones de membrecía Fusificación de entradas Evaluación de reglas Proceso de defusificación 46 IV. 47 RESULTADOS V. DISCUSION Conclusiones Recomendaciones perspectivas y continuidad del trabajo 48 BIBLIOGRAFIA 49 APÉNDICE 50 ANEXO 51

4 4 RESUMEN En el presente trabajo se describen las características del controlador difuso diseñado e implementado con el objetivo de mantener un valor de temperatura más o menos constante dentro del ambiente de un horno eléctrico resistivo. Ello se logra controlando la cantidad de electricidad aplicada al banco de resistencia del que se compone el horno eléctrico. El controlador difuso se diseño sobre una arquitectura de hardware basada en el microcontrolador M68HC11E9.

5 5 I. 1.1 INTRODUCCIÓN PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACION El problema de controlar un proceso físico mecánico químico etc. El caso tradicional de control consiste en encontrar las ecuaciones dinámicas (ecuaciones deferenciales en la mayoría de los casos) que modelan el proceso; ya sea aplicando las leyes de Newton o las ecuaciones de Lagrange. Una vez encontrada las ecuaciones se determina la función de transferencia de la planta para luego aplicar una señal escalón. Prueba a que somete la planta para observar su condición de estabilidad. Muchos de estos modelos son aproximados en algunos casos y en otros casos cuando la planta no es lineal es muy difícil o imposible encontrar las ecuaciones diferenciales que rigen la dinámica del proceso. El problema se complica cuando la planta presenta varios grados de libertad. Ante este problema presentado es que se opta por la técnica de control difuso ya que su aplicación no necesita del conocimiento de la dinámica de la planta. La aplicación de la técnica de control difuso se basa en conocimientos de la experiencia y sus estrategias de control son lingüísticas. Se plantea resolver el problema de diseño del control de temperatura de un horno eléctrico monofásico utilizando las técnicas del control difuso. Ante estas exigencias requeridas para el diseño del controlador difuso para el control de temperatura de un horno eléctrico es que se plantea la problemática en forma de pregunta: Cómo el diseño del controlador difuso lograra el control de temperatura de un horno eléctrico resistivo monofásico? 1.2 OBJETIVOS Y ALCANCE DE LA INVESTIGACION OBJETIVOS a. Objetivo general El objetivo general del presente trabajo de investigación consiste en diseñar un controlador difuso para el control de temperatura de un horno.

6 6 b. Objetivo especifico Específicamente el objetivo del presente trabajo de investigación consiste en diseñar el controlador difuso para el control de temperatura de un horno resistivo de tipo monofásico ALCANCE El presente trabajo de investigación es de diseño aplicado al área de Ingeniería de Control específicamente aplicado al Control Difusos. 1.3 IMPORTANCIA Y JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION Es muy importante resolver problemas de este tipo ya que el diseño hará uso de las técnicas de Control Difuso. También es muy importante para la industria ya que muestran gran interés por estos desarrollos. Se justifica trabajos de este tipo ya que en el Instituto de Investigación de la FIEE no existen trabajos de este tipo. De tal manera que permitirá la apertura de diseños en este campo utilizando métodos más avanzados. Estas razones mencionadas hacen ver la importancia y la justificación del desarrollo del presente trabajo de investigación. 1.4 FORMULACION DE LA HIPOTESIS En función del planteamiento del problema de las interrogantes planteadas del problema de los antecedentes técnicos así como los objetivos generales y específicos que persigue el siguiente trabajo es que se plantea la siguiente hipótesis: El diseño de un controlador difuso lograra el control de la temperatura de un horno eléctrico resistivo monofásico. En este sentido las variables que se operan son las siguientes: Variables dependientes: Temperatura. Variables independientes: Potencia aplicada al horno

7 7 II. MARCO TEORICO 2.1 LOGICA DIFUSA La denominada lógica difusa (fuzzy logic) permite tratar información imprecisa tales como la estatura media temperatura baja o mucha fuerza en términos de conjuntos difusos (imprecisos en definitiva). Veremos que estos conjuntos difusos se combinan en reglas para definir acciones como por ejemplo si la temperatura es alta entonces enfría mucho. De esta manera los sistemas de control basados en lógica difusa combinan unas variables de entrada (definidas en términos de conjuntos difusos) por medio de grupos de reglas que producen uno o varios valores de salida. Los sistemas basados en lógica difusa pueden ser aplicados a similares problemas que las redes neuronales de modo que resultaran especialmente interesantes para problemas no lineales o no bien definidos. De la misma manera los sistemas difusos permiten modelar cualquier proceso no lineal y aprender de los datos haciendo uso de determinados algoritmos de aprendizaje (a veces tomados de otros campos como las propias redes neuronales o los algoritmos genéticos). No obstante a diferencia de los sistemas neuronales los basados en lógica difusa permiten utilizar fácilmente el conocimiento de los expertos en un tema bien directamente bien como punto de partida para una optimización automática al formalizar el conocimiento a veces ambiguo de un experto (o el sentido común) de una forma realizable. Además gracias a la simplicidad de los cálculos necesarios (sumas y comparaciones fundamentalmente) normalmente pueden realizarse en sistemas baratos y rápidos. Hablando ya en términos más rigurosos la teoría de conjuntos difusos parte de la teoría clásica de conjuntos añadiendo una función de pertenencia al conjunto definida esta como un número real entre 0 y 1. Así se introduce el concepto de conjunto o subconjunto difuso asociado a un determinado valor lingüístico definido por una palabrea adjetivo o etiqueta lingüística

8 8 A. Para cada conjunto o subconjunto difuso se define una función de pertenencia o inclusión ( ) que indica el grado en que la variable t está incluida en el concepto representado por la etiqueta A. como puede verse en la figura 1 para el valor lingüístico estatura_de_una_persona podrían definirse tres subconjuntos difusos cada uno identificado por una etiqueta { }. A (x) Figura 1. Ejemplo de conjunto difuso para la variable estatura Los conjuntos difusos permiten agrupar objetos o sucesos por el valor de una cierta magnitud; por ejemplo las personas pueden ser agrupadas por su estatura. Así definimos el conjunto clásico de las personas de estatura baja como las que miden menos de 1.65 metros resulta que alguien de 1.64 metros es bajo mientras que alguien de 1.66 no lo es; esta descripción que proporciona la teoría clásica de conjuntos no resulta satisfactoria ya que su estatura solo se diferencia en 2 cm. Veremos que una descripción en términos de conjuntos difusos resulta más adecuada en casos de este tipo por ejemplo podría introducirse los términos bajo medio y alto y definirse mediante funciones de pertenencia o inclusión que al variar de forma continua en el rango de 0 a1 (figura 1) nos indicarían si una persona es baja (valor entorno a 1 para etiqueta bajo) baja tirando a media (por ejemplo valor 0.6 para bajo y 0.4 para medio) claramente alta (por ejemplo valor 0.8 para alto) etc.

9 9 2.2 SISTEMAS DE CONTROL DIFUSO Hay que señalar que dentro de los sistemas difusos se incluyen diversas teorías como la teoría de conjuntos borrosos extensión de la teoría de conjuntos clásica o la lógica difusa que puede ser considerada una ampliación de las lógicas n-valuadas propuestas por Lukasiewiez en 1930 y que son a su vez extensión de la lógica trivaluada (verdadero falso e indeterminado). No obstante quizás la principal aplicación actual de la lógica difusa sean los sistemas de control basados en lógica difusa o sistemas de control difuso que utilizan las expresiones de la lógica difusa para formular reglas orientadas al control de sistemas. Dichos sistemas de control difuso pueden considerarse una extensión de los sistemas expertos pero superando los problemas prácticos que estaos presentan en el razonamiento en tiempo real causados por la explosión exponencial de la necesidad de cálculo requerida para el análisis lógico completo de las amplias bases de reglas que manejan. Adelantaremos que este control de sistemas puede ser realizado a diferentes niveles. En el nivel inferior un controlador difuso puede realizar el control en bucle cerrado de una determinada magnitud física del sistema con el fin de mantenerla en torno a un valor de referencia. A modo de ejemplo un controlador de este tipo puede decidir la potencia que se ha de suministrar al sistema de calefacción de una habitación para mantener la temperatura en un valor de referencia (por ejemplo 21 ºC) utilizando como información la temperatura actual en la habitación y en el exterior de la vivienda. Por otro lado aplicado a los niveles superiores de planificación un controlador puede aconsejar los grados de almacenamiento necesarios para mantener la producción prevista con los mínimos costes y teniendo en cuenta los datos históricos. Estos métodos de control pueden aplicarse también en brazos articulados y vehículos autónomos en los cuales los modelos matemáticos significativos son muy complejos.

10 10 En muchos de estos casos interesa combinar propiedades de un control basado en el modelo del sistema con el de reglas heurísticas las cuales pueden emplearse para seleccionar o ajustar automáticamente sus parámetros. Asimismo las técnicas de razonamiento aproximado resultan interesantes para los niveles superiores de control y planificación de robots cuando el entorno no es conocido en forma precisa. Para desarrollar estos sistemas de control se precisa de herramientas de diseño de controladores que faciliten la adquisición de conocimiento y el análisis del controlador resultante incluyendo las propiedades dinámicas de estabilidad y robustez. En caso contrario el diseño puede convertirse en un proceso muy tedioso y no garantizarse el comportamiento correcto del sistema de control. 2.3 CONJUNTOS DIFUSOS En los conjuntos clásicos algo está incluido completamente en le o no lo está en absoluto. Esta situación puede describirse asignando un 1 a todos los elementos incluidos en el conjunto y un 0 a los no incluidos. A la función que asigna estos valores la denominaremos función de inclusión o pertenencia (membership function). Veremos como los conjuntos difusos permiten describir el grado de pertenencia o inclusión de un objeto (o el valor de una variable) al concepto dado por la etiqueta que le da nombre asignando un numero real entre 0 y 1 (así por ejemplo una persona podrá ser medio baja o muy alta). Sea U un conjunto de objetos por ejemplo que se denominara universo de discurso. En termino matemáticos un conjunto difuso F en U queda caracterizado por una función de inclusión donde que toma valores en el rango [0 1] es decir ( ) representa el grado en el que : [0 1] pertenece al conjunto difuso F. ello representa la generalización del concepto clásico de conjunto (abrupto) en el que la

11 11 función de pertenencia toma solamente valores 0 o 1; por el contrario para uno borroso la función puede tomar también valores intermedios. A modo de ejemplo para el conjunto de las personas se pueden definir subconjuntos difusos en función de la edad. El subconjunto de los adultos puede definirse como se puede observar en la figura 2 asignando una función de inclusión abrupta para el conjunto clásico Figura 2. Funciones de inclusión de conjuntos clásicos (izquierda) y difuso (derecha) para edad adulta. Una persona de 25 años en términos clásicos habría que definirla como adulta o no adulta en términos difusos podría decirse que se incluye en aproximadamente un 0.5 (50%) al conjunto edad adulta Definido en términos difusos la función de inclusión de este conjunto toma valor entre 30 y 40 0 para los menores de 20 o para los mayores de 50 y valores intermedios entre 20 y 30 y entre 40 y 50 (figura 2). Dado un cierto conjunto difuso F se definen los siguientes términos. El conjunto soportado es el conjunto (clásico) de todos los valores de U para los que donde ( ) > 0. Los puntos de cruce son aquellos valores para los que donde ( ) 0.5. Se dice que un conjunto difuso es de tipo singleton si su conjunto soportado es de un solo valor (figura 3) Así mismo se denomina conjunto de un conjunto difuso F al conjunto clásico de todos los puntos u de U para los que se cumple donde ( )>.

12 12 Por otro lado se dice que un conjunto difuso esta normalizado si el máximo de su función de inclusión es 1; obviamente un conjunto difuso puede normalizarse multiplicando su función de inclusión por un coeficiente fijo para que sea de tipo normalizado. Figura 3. Términos relativos a los conjuntos difusos 2.4 FUNCIONES DE INCLUSION DE CONJUNTOS DIFUSOS La función de inclusión o pertenencia (membership function) de un conjunto difuso consiste en un conjunto de pares ordenados ( ) / si la variable es discreta o una función continúa si no lo es. Como ya se ha comentado el valor de ( ) indica el grado en que valor u de la variable U está incluida en el concepto representado por la etiqueta F. Para la definición de estas funciones de pertenencia se utilizan convencionalmente ciertas familias de formas estándar por coincidir con el significado lingüístico de las etiquetas más utilizadas. La más frecuentes son la función de tipo trapezoidal singleton triangular S exponencial y tipo que pasamos a describir. La función de tipo trapezoidal se define por cuatro puntos. Esta función es cero para valores menores de a y mayores de d vale uno entre b y c y toma valores en [0 1] entre a y b y entre c y d. se utiliza habitualmente en sistemas difusos sencillos

13 13 pues permite definir un conjunto difuso con pocos datos y calcular su valor de pertenencia con pocos cálculos. Se emplea especialmente en sistemas basados en microprocesador pues con similar formato pueden codificarse también funciones de tipo S función tipo triangular y singleton según se distribuyan los puntos de la figura (por ejemplo juntando b y c tenemos una triangular). Se define con: ( ; ) < > (1) Esta función resulta adecuada para modelar propiedades que comprenden un rango de valores (adulto normal adecuada ). Para modelar una función triangular se hace para una función tipo S (pero no suave) se hace función tipo singleton (figura 4). max( ) y para una Figura 4. Función de pertenencia de tipo trapezoidal La función de tipo singleton tiene valor 1 solo para un punto a y 0 para el resto. Se utiliza habitualmente en sistemas difusos simples para definir los conjuntos difusos de las particiones de las variables de salida pues permite simplificar los cálculos y requiere menos memoria para almacenar la base de reglas. Se define con: ( ; ) 1 0 (2)

14 14 Figura 5. Función de tipo singleton La función de tipo T (triangular) puede definirse como: ( ; ) 0 0 < > (3) Esta función es adecuada para modelar propiedades con un valor de inclusión distinto de cero para un rango de valores estrecho en torno a un punto b. Figura 6. Función de tipo T (triangular) La función de tipo S puede definirse como: ( ; ) < > (4)

15 15 Figura 7. Función de tipo S Esta función resulta adecuada para modelar propiedades como grande mucho positivo Se caracteriza por tener un valor de inclusión distinto de 0 para un rango de valores por encima de cierto punto a siendo 0 por debajo de a y 1 para valores mayores que c. su punto de cruce (valor 0.5) es ( + )/2; y entre los puntos a y c es de tipo cuadrático (suave). También se han utilizado funciones exponenciales para definir funciones de tipo S como: La función de tipo ( ; ) ( ; ) ( ) (5) puede definirse puede definirse de la forma siguiente: ( ; ) 1 ( ; ) (6) Esta función tiene forma de campana y resulta adecuada para los conjuntos definidos en tono a un valor c como medio normal cero Pueden definirse también utilizando expresiones analíticas exponenciales o cuadráticas como la bien conocida campana de Gauss. c b 2 c b 2 Figura 8. Función de pertenencia de tipo con forma de campana

16 VARIABLE LINGÜÍSTICA Se denomina variable lingüística a aquella que puede tomar por valor términos del lenguaje natural como mucho poco positivo negativo etc. que son las palabras que desempeñan el papel de etiquetas en un conjunto difuso. Aunque el objetivo principal de este concepto es expresar de manera formal el hecho de que pueden asignarse como valor de una variable palabras tomadas del lenguaje natural no obstante a una variable lingüística podrán asignarse también valores numéricos. Así en una expresión como la temperatura es fría la variable temperatura debe ser entendida como una variable lingüística pues se le asigna como valor el conjunto difuso fría pero además esta variable puede también tomar valores numéricos como la temperatura es 4ºC. En términos más formales una variable lingüística se define por una tupla (A T(A) U G M) donde A es el nombre de la variable T(A) es el conjunto de términos que nombran los valores x que puede tomar A valores que son conjuntos difusos en U; el conjunto de valores numéricos que puede tomar para una variable discreta o el rango de valores posibles para una continua es lo que se conoce como el universo de discurso de la variable x y se nombra como U; por último G es una regla sintáctica para la generación de los nombres de los valores de x y M es una regla semántica para asociar un significado a cada valor. El siguiente ejemplo permitirá comprender el sentido de estos términos formales. Temperatura puede considerarse como una variable lingüística de modo que A Temperatura. T(temperatura) es el conjunto de todos los términos que pueden hacer referencia a la temperatura como muy fría fría normal alta muy alta pero también agradable suave cortante etc. El universo de discurso U de esta variable va en general desde el cero absoluto al infinito pero en aplicaciones normales se suele

17 17 restringir al rango de temperaturas que pueden presentarse en ella (por ejemplo temperaturas entre 0º y 40ºC). 2.6 PARTICIONES DIFUSAS Dada una variable A definida en un rango entre y es posible establecer en ella diversas particiones. Se conoce por partición a un conjunto de los conjuntos difusos que se han definido para la variable A. una partición de A es uno de los subconjuntos que pueden formarse con los elementos/términos) de T(A). Así para la variable estatura una posible partición seria la correspondiente a la figura 1 con tres subconjuntos difusos cada uno identificado por una etiqueta { inclusión o pertenencia ( ) ( ) } y una función de ( ). Se dice que una partición es completa si para todos los valores posibles de U existe en la partición un conjunto con pertenencia no nula frente al total de los elementos de U. se dice que dos conjuntos difusos están solapados si su intersección es no nula; de este modo el solapamiento de un conjunto difuso es la relación del número de elementos que comparte con otros conjuntos de la misma partición respecto del número total de elementos que lo forman. Para la realización de controladores basados en lógica difusa se han de definir particiones de las variables a controlador. Normalmente se recomienda que estas particiones sean completas con un solapamiento del 20% al 50% y en número impar. Normalmente se emplean particiones de 3 o 7 conjuntos pues la complejidad no es excesiva y permiten una precisión suficiente en la descripción de los valores de la variable. Además se recomienda definir conjuntos de tipo T (triangulares) en torno a puntos singulares como el cero. Los nombres de los conjuntos difusos que forman una partición se suelen expresar en forma abreviada por sus iniciales; así una partición

18 18 como { se representa como { ñ } o en ingles { Large Negative Small Zero Positive Small Positive Large). ñ } } (Negative 2.7 MEDIDAS DIFUSAS Dado un conjunto difuso A se definen ciertas magnitudes medibles del conjunto que se conocen como medidas difusas. Una de las principales es la difusidad. Si llamamos C al conjunto discreto de los valores x en los que ( ) > 0 la difusidad indica la distancia de A al conjunto discreto C. en otras palabras la magnitud difusidad mide cual es el grado de difusidad de un conjunto. Por otro lado la distancia entre dos conjuntos difusos A y C se puede definir utilizando diversas medidas. Las más frecuentes son las siguientes: * Hamming * Euclidea * Minkowski ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / [1 ] Otra medida que puede definirse es la similitud la cual mide el parecido entre dos conjuntos y en su forma es una extensión de la distancia entre conjuntos. Por otra parte la entropía difusa nos informa sobre cuanta información aporta este conjunto a la descripción de la variable x. se define para un conjunto difuso A como: ( ) { ( ) ( ) + [1 ( )]log [1 ] ( )} (7) Por último el agrupamiento difuso o clustering es una técnica que se introduce para alcanzar una determinada representación de un espacio vectorial de vectores de entrada. Se basa en la medición de las distancias euclideas entre vectores y se utiliza para determinar las reglas difusas que describen un sistema desconocido o caja negra. Uno

19 19 de los métodos más conocidos para realizar el agrupamiento difuso es el método denominado de las k-medias (k-means) aunque existen muchas otras técnicas como las basadas en la entropía o bien en los métodos de minimización energética. 2.8 OPERACIONES DIFUSAS A los subconjuntos difusos se les puede aplicar determinados operadores o bien pueden realizarse operaciones entre ellos. Al aplicar un operador sobre un solo conjunto difuso se obtiene otro conjunto difuso; de la misma manera al combinar dos o más subconjuntos mediante alguna operación se obtendrá otro conjunto. Sean los subconjuntos borrosos identificados por las etiquetas A y B asociados a una variable lingüística x para ellos pueden definirse tres operaciones básicas: complemento unión e intersección. Estas operaciones básicas pueden expresarse de la siguiente manera en términos de las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos A y B (que coinciden con las operaciones del mismo nombre que se definen habitualmente para los conjuntos clásicos): * Complemento * Unión * Intersección ( )1 ( ) ( ) ( ) [ [ ( ) ( ) ( )] ( )] Es importante resaltar que el funcionamiento de estas operaciones básicas coincide con el de las correspondientes a la de la teoría clásica de conjuntos; de hecho la teoría de conjuntos difusos se reduce a la teoría clásica si reducimos la incertidumbre a 0 y admitimos solo los valores 0 y 1 para las funciones de pertenencia a un conjunto (0 no pertenece; 1 pertenece). Es decir la teoría clásica de conjuntos puede considerarse un caso particular de la difusa.

20 20 Además pueden definirse también otras operaciones como las que se muestran en la tabla de la figura 9. PROPIEDAD OPERACION IGUALDAD UNION INTERSECCION COMPLEMENTO NORMA CONCENTRACION ( ) ( ) ( ) min [ ( ) 1 ) ( )( ) ( )( DILATACION ( ) ( ) max [ ( )( RANGO ( )] ( ) ( )] ( ) ( ) max [ ( )] ) ( ). ( ) Figura 9. Operaciones entre conjuntos difusos Las funciones correspondientes a la definición de la unión y la intersección pueden generalizarse a condición de cumplir ciertas restricciones. Las funciones que cumplen estas condiciones se conocen respectivamente como Conorma Triangular (T-Conorma y Norma Triangular (T-Norma). Algunas de las más usadas son las siguientes: Conormas ( + + ( ) ) (1 + ) Normas ( ) ( ) (0 + 1) Como en la lógica clásica las conormas y normas cumplen las leyes de Morgan que las relacionan. Se puede demostrar además que las funciones MAX(.) y MIN(.) son las más restrictivas de todas las posibles.

21 21 Por otro lado las dos últimas operaciones de la tabla de la figura 9 (concentración y dilatación) se conocen como modificadores ya que permiten formalizar el tipo de modificadores aplicados sobre un mismo término en el lenguaje común como por ejemplo muy o más o menos. Por ejemplo para el conjunto borroso F en U F frio el conjunto muy frio puede definirse de la forma siguiente: ( ) ( ) (8) Ya que al calcular el cuadrado de un número entre 0 y 1 se obtiene un valor más pequeño con lo que esta operación causa una concentración de la función de pertenencia original (la hace más estrecha) lo que implica disponer de una función más exigente para decidir que un valor es frio representando así el termino muy frio. Por otra parte el conjunto más o menos frio puede definirse como ( ) ( ). (9) Pues al calcular la raíz cuadrada de un número entre 0 y 1 se obtiene un valor más grande es decir esta operación causa dilatación sobre la función de pertenencia de partida siendo de esta manera menos exigente para decidir si un valor corresponde a frio por lo que se tendría el término más o menos frio. 2.9 INFERENCIA DIFUSA También como en el caso de la lógica clásica la difusa se ocupa del razonamiento formal con proposiciones pero a diferencia de esta los valores de las proposiciones pueden tomar valores intermedios entre verdadero y falso. De la misma forma que se define un isomorfismo entre la lógica y la teoría de conjuntos difusos y de estas a su vez con un Algebra de Boole. De esta forma los conjuntos difusos también representan predicados en la lógica proposicional. El objeto de la lógica difusa es proporcionar soporte formal al razonamiento basado en el lenguaje natural

22 22 que se caracteriza por tratarse de un razonamiento tipo aproximado que hace uso de unas proposiciones que a su vez expresan información de carácter impreciso PRINCIPIO DE EXTENSION El principio de extensión permite convertir conceptos no difusos en difusos siendo además la base de la inferencia en los sistemas difusos. Sean U y V dos universos de discurso y f una función de U a V. en general para un conjunto difuso A en U el principio de extensión define un conjunto difuso B en V dado por ( ) Es decir donde ( )[ ( ) es el máximo de y suponemos que ( ) 0. definiremos ( )] (10) ( ) para todos los ( ) no es vacio. Si que cumplen que ( ) ( ) es vacio para algún RELACION DIFUSA Para dos universos de discurso U y V una relación difusa se define como un conjunto difuso R en el espacio U x V cuya función de inclusión de denota como. ( ) con Puede definirse también composición Sup-Star R para dos relaciones borrosas R y S en U x V y V x W respectivamente como otra relación difusa con la siguiente función de inclusión. ( ) Donde [ ( ) ( )] (11) y el operador * puede ser cualquier t-norma. En resumen la composición sup-star de dos relaciones borrosas RºS es un conjunto difuso en U x W. también es posible que S sea en de una relación simplemente un conjunto difuso en V en cuyo caso la expresión ( ) será simplemente ( ) y

23 23 ( ) será ( ). Veremos algo más adelante que la relación sup-star es uno de los principios básicos para el desarrollo de un sistema de inferencia difusa. Dependiendo de la elección particular para el operador * se pueden tener distintos casos particu7lares de relaciones difusas siendo otras de las más habituales la sup-min (operador MIN) y la sup-producto (operador producto) MODUS PONENS Y MODUS TOLENS GENERALIZADO Las reglas difusas son básicamente de tipo IF-THEN (si-entonces) y expresan una relación o proposición difusa. En lógica difusa el razonamiento no es preciso sino aproximado lo cual quiere decir que se puede inferir de una regla una conclusión aunque el antecedente (premisa) no se cumple plenamente. Existen dos métodos básicos de inferencia entre reglas o leyes de inferencia el modus ponens generalizado (GMP) y el modus tolens generalizado (GMT) que representan extensiones o generalizaciones del razonamiento clásico. El GMP se conoce como razonamiento directo y puede resumirse de la siguiente forma: (Conocimiento): si x es A entonces y es B (Hecho): x es A (Consecuencia): y es B Donde A A B y B son conjuntos difusos. Esta relación se expresa también como B A o R. Criterio Criterio 1 Criterio 2-1 Criterio 2-2 Criterio 3-1 Criterio 3-2 Criterio 4-1 Criterio 4-2 x es A x es A x es muy A x es muy A x es más o menos A x es más o menos A x no es A x no es A y es B y es B y es muy B y es B y es más o menos B y es B y es desconocido y no es B Figura 10. Criterios intuitivos para GMP

24 24 La tabla de la figura 10 muestra diversos criterios que pueden aplicarse para la selección del conjunto B de la consecuencia en función del conjunto difuso A empleado en el hecho. El modus ponens generalizado es equivalente al modus ponens clásico para el criterio 1 (es decir ambos coinciden si AA y BB ). por otra parte los criterios 1 a 32 están de acuerdo con el sentido común. Por último debe destacarse que aunque el criterio 4-2 no es válido en lógica formal el hecho es que se utiliza en el razonamiento común (muchas gente lo usa en la vida corriente). El GMT se conoce como razonamiento inverso y puede resumirse de la forma siguiente: (Conocimiento): si x es A entonces y es B (Hecho): y es B (Consecuencia): x es A Lo que se expresa como A B o R La tabla de la figura 11 muestra diversos criterios que pueden aplicarse para la selección del A de la consecuencia en función del conjunto difuso B utilizado en el hecho. El GMT generalizado es equivalente al modus tolens clásico para el criterio 5 (coincide si A no A y B no B); por su parte los criterios 5 a (-2 están de acuerdo con el sentido común. Finalmente hay que destacar como en el caso anterior que el criterio 8-2 no es válido en la lógica formal pero se utiliza en el razonamiento común. Criterio Criterio 5 Criterio 6 Criterio 7 Criterio 8-1 Criterio 8-2 y es B y no es A y no es muy B y no es más o menos B y es B y es B x es A x no es A x no es muy A x no es más o menos A x es desconocido x es A Figura 11. Criterios intuitivos para GMT IMPLICACION DIFUSA Si se definen dos conjuntos difusos A y B en U y V respectivamente una implicación difusa de A en B que se indica es una relación difusa en U x V que puede venir

25 25 definida por alguna de las siguientes funciones de inclusión empleadas en la literatura de lógica difusa: * Conjunción difusa * Disyunción difusa * Implicación material * calculo proposicional * Modus ponens generalizado * Modus tolens generalizado 2.10 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )+ ( ( ) )+ )+ ( ) ( ) ( ) ( ) sup { [01]/ ( ) inf { [01]/ ( ) ( )+ ( )} ( )} REGLAS DIFUSAS Las reglas difusas combinan uno o más conjuntos difusos de entrada llamados antecedentes o premisas y les asocian un conjunto difuso de salida llamado consecuente o consecuencia. Los conjuntos difusos de la premisa se asocian mediante conjuntivas lógicas como y o etc. Una regla típica de tipo IF-THEN para un sistema de control seria si error es positivo-pequeño y derivada-de-error es negativo-pequeño entonces acción es positiva-pequeña que se suele expresar abreviadamente mediante expresiones del tipo si E es PP y DE es NP entonces U es PP. Las reglas difusas permiten expresar el conocimiento que se dispone sobre la relación entre antecedentes y consecuentes. Para expresar este conocimiento de forma completa normalmente se precisa de varias reglas que se agrupan formando lo que se conoce como una base de reglas es decir el conjunto de reglas que expresan las relaciones conocidas entre antecedentes y consecuentes. La base de reglas se puede representar bien como una tabla de las reglas que la forman o bien como una memoria asociativa difusa o FAM (Fuzzy Associative Memory). Las FAM son matrices que representan la consecuencia de cada regla definida para cada

26 26 combinación de dos entradas. Las FAM permiten realizar una representación grafica clara de las relaciones entre dios variables lingüísticas de entrada y la variable lingüística de salida pero requiera que se indique explícitamente todas las reglas que se pueden formar con estas dos variables de entrada. Cuando el número de conjuntos de cada una de las particiones de entrada crece las FAM se hacen difícilmente manejables. Es posible también definir FAM de más de dos dimensiones pero su tamaño se hace rápidamente excesivo y son más difíciles aun de manejar. En su lugar se suele trabajar con variables FAM de dos dimensiones para si definir subconjuntos de reglas que asocien las entradas de dos en dos en la base de reglas generales. Formalmente una base de reglas difusas es una colección de reglas () : () con el formato (12) Este formato de reglas se conoce como difuso puro o de tipo Mamdani por el primero quien las propuso para realizar un controlador difuso que estabiliza un sistema en torno a su punto de trabajo. Otro formato frecuente para las reglas es el llamado de tipo Sugeno. En este caso la función de salida es una combinación lineal de las variables de entrada o en un caso más general una función genérica de las variables de entrada. () : ( ) (13) Si llamamos M al número de reglas IF-THEN de la bases de reglas entonces 1 2 en las ecuaciones anteriores. El vector x representa el conjunto de las entradas mientras que y es la salida del sistema difuso. Los sistemas difusos descritos con n entradas y una sola salida y se conocen como MISO (multiple input single output) mientras que los que tienen varias salidas (de 1 hasta k) se conocen como MIMO (multiple input multiple output). Para estos últimos sistemas se puede generalizar el formato anterior de las reglas o bien descomponerlo en k sistemas de tipo MISO.

27 DISPOSITIVOS DE INFERENCIA DIFUSA Se llaman dispositivos de inferencia difusa a los sistemas que interpretan las reglas de tipo IF-THEN de una base de reglas con el fin de obtener los valores de salida a partir de los actuales valores de las variables lingüísticas de entrada al sistema. En un sistema difuso las reglas se interpretan como una implicación difusa de en. Si llamamos A a la entrada en U del dispositivo de inferencia difusa cada regla l define un conjunto difuso en V utilizando la composición sup-star. ( ) [ ( ) ( )] (14) Para simplificar las ecuaciones llamaremos ecuación puede expresarse simplemente como mínimo: producto: aritmética: max-min: booleana: Goguen: ( ) min [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min [1 1 ( ) max{min [ ( ) max { 1 ( ) 1 ( )/ con lo que la. Las reglas de implicación son: ( )] ( )+ ( ) ( )] ( )] 1 ( )} ( ) ( )> ( )} ( ) ( ) Para concluir la salida final de un dispositivo de inferencia difusa puede consistir en: 1 2 * M conjuntos difusos cada uno de los cuales es el resultado de aplicar la entrada A a cada una de las M reglas de la base de reglas. * Un único conjunto difuso B que es la unuion de los M conjuntos difusos calculado según ( ) ( ) + + ( ) (15)

28 * M escalares si las reglas son del tipo Sugeno cada uno de los cuales es el resultado de aplicar la entrada A a cada una de las M reglas de la base de reglas FUSIFICADOR (FUZZIFIER) El fusificador establece una relación entre puntos de entrada no difusa al sistema ( ) y sus correspondientes conjuntos difusos A en U (las variables procedentes del exterior serán en general valores no difusos y habrá que fusificarlas previamente). Se pueden utilizar diversas estrategias de fusificación. a. Fusificador singleton. Es el método de falsificación más utilizado principalmente en sistemas de control y consiste en considerar los propios valores discretos como conjuntos difusos. De otra forma para cada valor de entrada x se define un conjunto A que lo soporta con función de pertenencia ( ) de modo que. ( ) 1 x x y ( ) 0 para todos los otros b. Fusificador no singleton. En este método de falsificación se utiliza una función exponencial del tipo siguiente ( ) [ ] (16) Función con forma de campana centrada en el valor x de entrada de anchura y amplitud a DEFUSIFICADOR (DEFUZZIFIER) El defusificador es la función que transforma un conjunto difuso en V normalmente salida de un dispositivo de inferencia difusa en un valor no difuso tarea se utilizan diversos métodos:. Para esta

29 29 a. Defusificador por máximo. Definido como arg ( )) ( (17) ( ) alcanza su valor máximo donde Es decir y es el punto de V en que ( ) está definido según la ecuación de salida. b. Defusificador por media de centros. Definido como ( Donde ( ) ) (18) representa el centro del conjunto difuso G (definido como el punto V ( ) alcanza su valor máximo). en el que c. Defusificador por centro de área. Definido como ( ( Donde ) ) ( ) (19) es el momento ( en torno al eje y del universo de discurso de la salida V) de la función de inclusión del conjunto difuso es el área. Estos métodos de defusificacion son los empleados para obtener el valor de salida no difusa de un dispositivo de inferencia difusa que utiliza reglas tipo Mamdani. Si las reglas utilizadas son del tipo Sugeno el valor de salida no difusa se obtiene como media ponderada de las salidas de cada regla de la base de reglas según Donde ( ( ( )) (20) ( )) es la salida de la regla l y el término y del producto respectivamente). Este valor ( ) se calcula las reglas del mínimo de la salida de una regla del tipo Sugeno se calcula frecuentemente como una combinación lineal de las entradas + (21)

30 DESARROLLO DE SISTEMAS DIFUSOS Tras describir el amplísimo abanico de posibilidades para los distintos aspectos de un sistema difuso expondremos algunas de las elecciones más comunes. La selección de los detalles concretos de implementación del sistema difuso dependerá de diversos condicionantes. Hablando en términos generales los principales son: * Eficiencia computacional. Para problemas complejos con muchas variables lingüísticas o muchas reglas o en realizaciones en microcontroladores de poca capacidad de cálculo y poca memoria resulta fundamental seleccionar métodos que no requieran muchos cálculos o mucha memoria. Así son preferibles en este caso funciones de inclusión triangulares o trapezoidales frente a las exponenciales y el cálculo de máximos frente a multiplicaciones. Además las funciones de inclusión de tipo singleton para la salida producen sistemas más simples aunque son más sensibles al ruido de las entradas. * Facilidad de adaptación. En aplicaciones en las que se requiera que el sistema pueda realizar aprendizaje puede ser necesario que la función de salida y f(x) sea derivable respecto de los parámetros que se han de ajustar. En este caso por el contrario son preferibles funciones de inclusión exponencial frente a las triangulares o trapezoidal y las multiplicaciones frente al cálculo de máximos. Opciones más habituales en el desarrollo de sistemas borrosos Expondremos a continuación alguna de las opciones más utilizadas para el desarrollo de sistemas difusos. a. Un sistema de lógica difusa con defusificador por media de centros implicación difusa por la regla del producto y fusificador singleton produce la siguiente función de salida:

31 31 ( ) Donde ( ) (22) ( ) es el centro del conjunto difuso ( en el punto V en que alcanza su máximo valor que se asume como ( ) 1 ). ( ) b. Un sistema de lógica difusa con defusificador por media de centros implicación difusa por la regla del mínimo y fusificador singleton produce la siguiente función de salida: ( ) ( Donde ( ) ) ( ( ) ) (23) es el centro del conjunto difuso. Como se ha indicado antes en aplicaciones en las que se requiera que el sistema posea capacidad de aprendizaje puede resultar necesario que la función de salida y f(x) sea derivable respecto de los parámetros que se han de ajustar. Una elección frecuente en este caso es el empleo de funciones de inclusión gausiana ( ) (24) c. Un sistema de lógica difusa con defusificador por media de centros implicación difusa por la regla del producto y fusificador singleton con funciones tipo gaussiano produce la siguiente función de salida: ( ) (25) Este sistema es uno de los más utilizados en sistemas con entrenamiento. Los parámetros de este sistema son restricciones: (0 1) y que suelen estar sometidos a ciertas > 0.

32 DIFUSIDAD Y PROBABILIDAD Se ha de evitar desde el principio confundir la función de pertenencia de un conjunto difuso con una función de densidad de probabilidad. Debe tenerse siempre presente que la función de pertenencia de un conjunto difuso indica hasta que punto cierto valor de una magnitud puede ser incluido en un conjunto difuso mientras que la probabilidad por su parte indica la frecuencia con los diversos valores de una magnitud se presentan. Explicándolo con el clásico ejemplo de la botella la función de pertenencia indica el grado en que podemos incluir una cierta botella dentro del conjunto de las botellas vacías y en el de las botellas llenas mientras que la probabilidad nos informa sobre cuantas botellas de las encontradas podremos incluir en cada uno de dichos conjuntos. Una probabilidad 0.33 de botellas vacías nos indica que de cada 100 botellas que tomemos 33 estarán vacías mientras que una pertenencia de 0.33 al conjunto de botellas vacías indicara que nuestra botella incluye un tercio de litro del liquido de que se trate (supuesta una botella de un litro de capacidad). Aunque muchas de las expresiones matemáticas de la lógica difusa son similares a otras del campo de la probabilidad su sentido es bien distinto. Las funciones de pertenencia a un conjunto son fijadas arbitrariamente por el observador indicando el significado que esta asigna a cada uno de las variables lingüísticas que definen los conjuntos. Por el contrario la probabilidad se determina por la observación de la ocurrencia de los valores de una magnitud en algunos casos se realiza la medida de esta probabilidad y en otros se supone un modelo y se comprueba su validez.

33 33 III. MATERIALES Y METODOS 3.1 INTRODUCCION AL CONTROL DIFUSO Un sistema difuso es un programa de computadora que se fundamenta en el uso de la Lógica Difusa mediante la cual se pueden construir modelos de razonamiento humano que reflejen el carácter vago ambiguo impreciso y cualitativo que este tiene; de forma que sin modelos matemáticos detallados se puedan implementar soluciones a problemas relativamente complejos o muy mal definidos como para admitir un tratamiento por métodos tradicionales problemática común cuando se requiere automatizar o controlar procesos relativamente complejos. Hoy en día existe un gran interés por parte de la industria hacia los denominados sistemas difusos. En los países occidentales este interés se enfoca principalmente en el campo del control difuso. Si bien las técnicas de control difuso son ya ampliamente conocidas y utilizadas en diversas áreas de aplicación en países desarrollados como Estados Unidos y Japón el conocimiento y más aun la aplicación de estas son casi conocidos en nuestro medio. El objetivo de este trabajo es el diseño de un sistema de control de temperatura para un horno monofásico resistivo usando las técnicas de control difuso. 3.2 CONTROL DIFUSO Durante los últimos años el control difuso se ha perfilado como una de las áreas de aplicación más activas y exitosas de la teoría de conjuntos difusos especialmente en el ámbito de los procesos industriales en donde los métodos convencionales de control muchas veces no son los más adecuados debido a que estos requieren un conocimiento estricto de las relaciones de entradas y salidas del proceso. La parte esencial de un controlador difuso es un conjunto de reglas de control lingüísticas relacionadas por los

34 34 conceptos de implicación difusa y de reglas de inferencia composicional. En esencia los controladores difusos proveen algoritmos que permiten convertir una estrategia de control lingüística basada en el conocimiento de la experiencia en una estrategia de control automático. 3.3 SISTEMA DE CONTROL DIFUSO En la siguiente figura se muestra la configuración básica de un sistema de control difuso el cual involucra cuatro componentes principales: una interface de fusificación una base de conocimientos una lógica de decisión y una interface de defusificación. BASE DE CONOCIMIENTOS INTERFASE DE FUSIFICACION INTERFASE DE DEFUSIFICACION DIFUSO LOGICA DE DECISION DIFUSO PROCESO Figura 12. Sistema de control difuso a. La interface de fusificación involucra las siguientes funciones: Medir los valores de la variable de entrada. Ejecutar la función de fusificación que convierte datos de entrada no difusos en variables lingüísticas las cuales constituyen los identificadores de los conjuntos difusos. b. La base de conocimientos está conformada por una base de datos y una base de reglas. La primera provee las definiciones requeridas para determinar las reglas de control lingüísticas y para la manipulación de datos difusos en el controlador. La

35 35 segunda caracteriza los objetivos de control por medio de un conjunto de reglas de condición en términos de la lógica difusa. c. La lógica de decisión es el núcleo del controlador. Tiene la capacidad de simular el modo de decisión humano basándose en conceptos difusos y la capacidad de inferir acciones de control difuso utilizando implicaciones difusas y reglas de inferencia en términos de la lógica difusa. d. La interface de defusificación ejecuta la función de defusificar la cual proporciona una acción de control no difusa a partir de una acción de control difusa inferida. 3.4 PARAMETROS DE DISEÑO DE UN CONTROLADOR DIFUSO Los principales parámetros de diseño de un controlador difuso son los siguientes: a. Fusificación y la interpretación de un operador de fusificación o fusificador. b. Base de datos: Discretizacción y normalización de los universos de discurso Partición difusa de los espacios de entrada y de salida. Integridad Elección de la función de membrecía para los conjuntos difusos c. Base de reglas: Elección de las variables de estado del proceso y de las variables de control. Origen y derivación de las reglas de control difusas. d. Lógica de toma de decisiones: Interpretación de las declaraciones de condición. Representación de un conjunto de reglas. Mecanismos de inferencia. e. Estrategias de defusificación y la interpretación de un operador defusificador.

36 CARACTERISTICAS DEL SISTEMA Las características más relevantes del sistema de control difuso implementado sobre la arquitectura de un microcontrolador comercial de 8 bits M68HC11E9 considerando como dominio de aplicación el control de temperatura de uhn horno eléctrico monofásico. El proceso es un pequeño horno resistivo al cual se energiza con 220 VAC60Hz de línea. Este horno tiene un termostato con el cual se establece diferentes valores de temperatura a alcanzar a diferencia de muchos hornos comerciales basados en termostatos que actúan como un relé ON/OFF es decir se está activando o desactivando el paso total de energía de línea. En este caso se pensó utilizar un controlador difuso para poder establecer cualquier temperatura dentro del rango de 0 a 100ºC e implementarlo sobre un microcontrolador para darle velocidad de respuesta y obtener un gran ahorro de energía al controlar la cantidad de energía necesaria para obtener la temperatura deseada. 3.6 ARQUITECTURA DEL CONTROLADOR DIFUSO A fin de evaluar la problemática de la implementación de este tipo de controlador en un horno comercial se desarrollo un prototipo que consta de un pequeño horno sobre el cual se hicieron las adaptaciones respectivas para poder medir la variable temperatura esta señal es leída y procesada por el controlador difuso que reside en la tarjeta electrónica de evaluación basada en el microcontrolador M68HC11E9 la señal de salida del controlador difuso indicara la cantidad de energía eléctrica necesaria para mantener el valor de temperatura deseada dentro del horno. La tarjeta electrónica en conjunto con con la programación tienen la opción de comunicarse con una PC vías interface RS232 para podere visualizar el comportamiento de las variables como también para cambiar algunos parámetros del proceso que se necesita hacerlo en línea.

37 37 En la figura siguiente se muestra la arquitectura del controlador difuso. Figura 13. Arquitectura del controlador difuso 3.7 ALGORITMO DE INFERENCIA DIFUSA El diagrama de bloques del algoritmo de inferencia difusa del controlador difuso implementado se muestra en la figura 14. Figura 14. Diagramas de bloques del controlador difuso

38 38 La ejecución del algoritmo es realizada de forma secuencial porque el tiempo requerido para la ejecución total del algoritmo es mucho menor que el tiempo requerido para la ejecución de la señal de actuación en el horno la cual garantiza que no se presenten desfases entre la señal de entrada y la señal de salida. El fusificador toma el valor actual del sensor de entrada los compara con las funciones de la entrada fusificada de las variables de entrada y almacena el valor de la entrada fusificada en una estructura de datos RAM. La máquina de inferencia difusa procesa una lista de reglas de la base de reglas difusas usando la información fusificada de las variables de entrada y produce una salida difusa también en memoria RAM (razonamiento difuso). El defusificador usa las salidas difusas obtenidas en la evaluación de reglas y las funciones de membrecía de los conjuntos difusos de las variables de salida para generar un valor único como salida del sistema. Se consideraron dos variables de entrada el error e de la temperatura actual respecto a un valor deseado y el gradiente ge de temperatura. Como variable de salida se tiene a la potencia eléctrica necesaria para mantener el horno en la temperatura deseada. En la figura 15 se muestra la integración del controlador difuso al proceso que se desea controlar. Señal actuadora ge Temperatura deseada + e CONTROLADOR DIFUSO HORNO Temperatura actual Figura 15. Integración del controlador difuso al proceso

39 39 La señal de salida es un pulso que esta sincronizado con la línea eléctrica y es aplicado a un TRIAC con un retardo necesario para aumentar o disminuir la cantidad de potencia suministrada al banco de resistencias del horno teniendo una escala o pasos de fase de 500 nanosegundos. Se utilizaron funciones de membrecía trapezoidales porque se adaptaron mejor al dominio discreto que nos proporciona el microcontrolador. Las funciones de membrecía fueron afinadas mediante ejercicios de prueba y error. Se consideraron 7 etiquetas para los términos de las variables de entrada (tanto para error y gradiente de error) y para la variable de salida (variación de la potencia total) y estas son: ñ ñ Todos ellos distribuidos en el dominio discreto que va del rango de 00 hasta 255 ($00 hasta $FF) tal como se muestra en la figura 16. Figura 16. Funciones de membrecía para las variables error y gradiente de error.

40 40 La estructura de reglas es del tipo SI-ENTONCES: Este algoritmo de inferencia difusa antes de su implementación fue simulado empleando el Toolbox Fuzzy Logic de Matlab. Considerando los mecanismos de inferencia de Mamdani y Sugeno y la tabla de base de reglas figura 17 se obtuvieron superficies de control como se muestran en las figuras 18 (a) y (b). e /ge NG NM NP CO PP PM PG NG NG NG NG NG NM NP CO NM NG NG NG NM NP CO PP NP NG NG NM NP CO PP PM CO NG NM NP CO PP PM PG PP NM NP CO PP PM PG PG PM NP CO PP PM PG PG PG PG CO PP PM PG PG PG PG Figura 17. Tabla de las bases de reglas Figura 18. Superficies de control de Mamdani (a) y Sugeno (b)

41 41 Ya que las salidas de la inferencia Sugeno son singletons se decide que la implementación del controlador difuso sea este el tipo de inferencia a emplear ya que reduce el tiempo de ocupación del controlador y simplifica el cálculo que requiere al emplearel método de Mamdani el cual emplea la función centroide mientras que Sugeno emplea la función promedio de pesos. 3.8 IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO DE INFERENCIA DEFINICION DE LAS FUNCIONES DE MEMBRECIA La figura 19 muestra la función de membrecía trapezoidal utilizada para las variables de entrada las cuales necesitan 4 bytes de memoria para representarla en la base de reglas difusas. Figura 19. Función de membrecía trapezoidal Considerando la figura anterior el primer byte almacena el puntio 1 y define el punto inicial de la izquierda de la base del trapezoide.

42 42 El segundo byte contiene el valor de la pendiente 1 que define la inclinación del lado izquierdo inclinado del trapezoide. El tercer byte almacena el punto 2 que define el final derecho de la cima del trapezoide. El cuarto byte almacena la pendiente 2 que define la inclinación del lado derecho del trapezoide. El eje horizontal es dividido en tres segmentos. Como se definen 7 termonos lingüísticos para cada entrada tenemos que definir 14 funciones de membrecía lo que se muestra en listado de la figura 20. Figura 20. Listado 1 de la definición de funciones de membrecía de las entradas FUSIFICACION DE ENTRADAS Una variable de entrada actual corresponde a una posición sobre el eje horizontal a la cual se le asigna un término en base a su valor con su correspondiente grado de membrecía. Una descripción detallada de esta subrutina (fusificación) se muestra en la figura 21 escrita en lenguaje ensamblador para el M68HC11.

43 43 Figura 21. Listado 2 de la rutina de fusificación de entradas

44 EVALUACION DE REGLAS La evaluación de reglas se lleva a cabo usando la información de los valores encontrados en la fusificación para luego producir salidas difusas las cuales se almacenan en la RAM. Así para nuestro sistema que posee una salida con 7 etiquetas lingüísticas existirá 7 salidas difusas. Figura 22. Listado 3 de la rutina de evaluación de reglas. Se usa una estructura de reglas relativamente simple para que se puedan soportar microcontroladores de 8 bits. El orden de estas reglas en este listado no afecta la

45 45 respuesta del sistema. Se supone que todas las reglas sin evaluadas simultáneamente aun cuando en un sistema basado en software estas son realmente procesadas en forma secuencial. La figura 22 contiene la rutina de evaluación de reglas. Las reglas son almacenadas en la base de reglas como punteros u offsets para las entradas difusas seguidas por punteros u offsets para salidas difusas para representar las reglas lingüísticas se usan dos formatos. El primer formato es para almacenar la información para los antecedentes y el segundo formato es para almacenar la información para el consecuente. Para ello se usa el bit más significativo (MSB) como un indicador así si el MSB 0 significa que se trata del antecedente de una regla y si el MSB 1 significa que se trata del consecuente. El final de la base de reglas es indicado por un byte #FF. Un sistema de control completo podría tener una lista de muchas reglas similares que juntas describen la respuesta del sistema de control. Los antecedentes son conectados por el operador and se sobreentiende que existe un operador or entre reglas sucesivas. La evaluación de reglas min-max es llevada a cabo inicialmente limpiando todas las salidas difusas poniéndose al inicio de la lista de reglas y procesando reglas sucesivamente según el siguiente algoritmo: encontrar el antecedente pequeño (min) de una regla y almacenar el resultado para cada consecuente de la regla a menos que la salida difusa del consecuente es realmente grande (max). Repetir hasta alcanzar un marcador de final de regla. Los resultados de la evaluación de reglas es una tabla de valores de salidas difusas en la RAM. Se puede pensar de las salidas difusas como los resultados intermedios considerando todas las reglas que gobiernan el sistema. Las salidas difusas necesitan aun ser procesadas para obtener un valor único como salida del sistema.

46 PROCESO DE DEFUSIFICACION La defusificación usa salidas fusificadas del paso de la evaluación de reglas y las funciones de membrecía de la variable de salida que están en la base de reglas para generar un único valor como salida del sistema que consiste de un valor de 8 bits el que constituirá la cantidad a aumentar o disminuir de la salida global y asi proporcionar la cantidad de energía necesaria para mantener la temperatura al valor deseado. Figura 23. Listado 4 para la rutina de defusificación.

47 47 Si consideramos un sistema tridimensional donde los ejes X e Y son determinadas por las variables de entrada entonces las salidas difusas constituyen una posición del eje Z. Tanto ( como ).. son valores de 8 bits y n es típicamente 8 o menos pero para nuestro caso es 7. Esto hace al numerador un valor de 19 bits y al denominador un valor de 11 bits. Porque el numerador y denominador no son valores independientes sabemos que el resultado es un valor de 8 bits. El listado 4 de la figura 23 muestra la rutina en lenguaje ensamblador para realizar la función del promedio de pesos defusificados. IV. RESULTADOS Los resultados experimentales muestran que el controlador difuso es robusto en los rangos de operación. La temperatura tiene buena respuesta en el estado transitorio y estacionario. El controlador también funciono bien a pesar de la presencia de perturbaciones y cambios de carga. V. DISCUSION Analizando los resultados de la simulación y considerando que las salidas de la inferencia Sugeno son singletons se decide que la implementación del controlador difuso sea basado en este tipo de inferencia ya que además reduce el tiempo d ocupación del controlador al simplificar el calculo que requiere el método de Mamdani