CONTINUIDAD DEFINICIÓN CONTINUIDAD LATERAL. es continua en un punto. Una función. si:

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1 CONTINUIDAD DEFINICIÓN Una función 1) l a ) f (a) ) f ( a) a un punto a Si una función no cumple alguna de estas condiciones es discontinua en : a CONTINUIDAD LATERAL Ejemplo a por la izquierda f ( a) a por la izquierda ya que f () porque a por la derecha f ( a) Ejemplo a ; n embargo no 1 por la derecha ya que f ( 1) 1 porque 1 1 ; n embargo no a a por la izquierda y por la derecha, es decir, a f ( a) a 1 ya que f (1) 1 1

2 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Una función un intervalo ( a, b) cada uno de sus puntos. Una función un intervalo en a y por la izquierda en b. [ a, b] PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Si y g() ( f g)( ) Si ( f g)( ) Si además son funciones continuas en g( a), a a ( f / g)( ) a y a g() entonces: a f (a) ( a, b) entonces y además es continua por la derecha ( g f )( ) propiedad permite afirmar que las funciones compuestas son continuas en su dominio. a. Esta Las funciones polinómicas, racionales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en su dominio. TIPOS DE DISCONTINUIDADES Discontinuidad evitable Una función tiene una discontinuidad evitable en a : a a ò pero f ( a) a f ( a) f ( a) Discontinuidad inevitable Una función tiene una discontinuidad inevitable en a no eiste. En este caso pueden presentarse dos tuaciones: Discontinuidad de salto finito El no eiste porque los límites laterales son finitos pero distintos. a a a a l1 l pero l 1 l

3 Discontinuidad esencial El a no eiste porque uno o los dos límites laterales son infinitos o no eisten. En el caso de que uno o los dos límites laterales sean infinitos se llama discontinuidad de salto infinito o antótica (determina una asíntota vertical) Discontinuidad de salto infinito o antótica a a Discontinuidad de salto infinito o antótica Discontinuidad esencial (no antótica) a Ejemplos: Estudia la continuidad y clafica las discontinuidad de las guientes funciones 1) Dom( f ) { / 1 1 } {1, } { 1, } (es racional y las funciones racionales son continuas en su dominio) Claficación de discontinuidades ( 1)( 1) ( ) 1 ( 1)( ) f ( 1) no eiste ( 1 Dom( f )) ( 1) 1 ( )

4 f (1) 1 En 1 hay una discontinuidad evitable En hay una discontinuidad de salto infinito o antótica ) Dom y {,} 9 Dom y {,} 4 (, ) (,] Dom( f ) (,) (, ) Dom( f ) Dom( f ) {.} 9 y su dominio {, } por ser racional 9 (, ) (, ) ) f ( y su dominio {, } por ser racional 4 (, ) (, ) Tenemos que estudiar que ocurre en, y 9 ( ) ( ) 9 ( )( ) f ( ) no eiste ( Dom( f )) f ( ) () f no y en dicho punto presenta una discontinuidad evitable

5 no y en dicho punto presenta una discontinuidad de salto finito no y en dicho punto presenta una discontinuidad de salto infinito o antótica SOLUCIÓN {,, } En presenta una discontinuidad evitable En presenta una discontinuidad de salto finito En presenta una discontinuidad de salto infinito o antótica

6 Ejemplo: Determina los valores de a y b para que dominio. b e a sea continua en su Dom( y Dom( y b) b Dom( y e a) a 9) (, 1] Dom( f ( 1,) Dom( f ) [, ) Dom( f ) ) Dom( f ) Las funciones parciales son continuas en a,b por ser polinómicas y eponencial es continua en (, 1) ( 1, ) (, ) a, b Tenemos que hallar a y b para que también sea continua en 1 y 1 1 1) 1 ) f ( 1) ) 1 f ( 1) 1 f (1) 1 1 a b a b ( 1 1 b b a) 1 a f ( 1) ( 1) a( 1) 1 a 1) ) f () ) f () f () b 1 b b ( e 9) e 9 1 f () e 9 1 a b 1 Por tanto, a b 1 a 1 1 a 9 b 1 SOLUCIÓN a 9 y b 1