Para cada una de ellas, halla el valor de la suma de sus infinitos términos. =, es decir, S =

Transcripción

1 UNIDAD 7: Límits d funcions ACTIVIDADES INICIALES-PÁG. 7. Dadas las sucsions: a,,,,... 8 b,,, 7, Para cada una d llas, halla l valor d la suma d sus infinitos términos. Las rspustas a los apartados son: a La sucsión,,,,... s una progrsión gométrica d razón r <. 8 La suma d sus infinitos, S, términos s S a, s dcir, S. r b La sucsión,,, 7, s una progrsión gométrica d razón r >. La suma d n términos S n, vin dada por la prsión n n S n. El valor dl it d la prsión antrior cuando n tind a n. n s, s dcir: n r a S n, s dcir, r. Dada la función a f f, halla: b f c f Los its pdidos son: a f. b f. c f.

2 En l gráfico pudn vrs los rsultados antriors. ACTIVIDADES d RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-PÁG. 87. Lntjas y garbanzos. En un pusto dl mrcado tin sacos d garbanzos y uno d lntjas. Un clint s llva una cirta cantidad d garbanzos; dspués, otro clint s llva l dobl d garbanzos qu l clint antrior, qudándos sólo l saco d lntjas. El vnddor sólo vnd sacos compltos. Sabindo qu los difrnts sacos son d, 8,,, y kg, d cuántos kilogramos s l asco d lntjas? Sumando los kilos d todos los sacos, obtnmos kg. Como un clint s llva cirta cantidad y otro s llva l dobl d sa cantidad qudan do sólo l saco d lntjas, ntoncs al quitar a kg, l saco d lntjas db qudar un númro qu s múltiplo d, sto s cumpl con:. Un clint llva kg n los sacos d 8 kg y kg y l otro clint s llva kg n los sacos d kg, kg y kg. El saco d lntjas pso kg.. Trs cartas. D una baraja spañola d cartas, tramos y las colocamos n una fila horizontal. Las cartas vrifican las condicions siguints: a la drcha dl caballo hay o dos sotas; a la izquirda d la sota, hay o sotas; a la izquirda d un oro, hay una o dos copas; y a la drcha d d una copa, hay una o dos copas. D qué trs caratas s trata? El caballo y las sotas las sñalarmos con C S S. Para qu s vrifiqun las condicions han d sr: C c S o S c Por tanto, las cartas son: Caballo d copas Sota d oros Sota d copas.. Primas. Dos amigos, Pdro y Luisa, s ncuntran una tard y Pdro l dic a Luisa: «Ayr stuv con mis trs primas». Luisa l prgunta: «qué dad tinn?», a lo qu Pdro contsta: «l producto d sus dads s y la suma d las mismas s l dobl d tu dad». Luisa dijo qu con stos datos no podía sabr las dads. Pdro añadió: «yo soy por lo mnos un año más jovn qu la más vija». Por supusto, Luisa conoc la dad d Pdro. Cuáls son las dads d las primas d Pdro y cuál s la dad d Luisa? Dscomponmos n factors, obtnmos 7.

3 Las posibls dads d las trs primas son: Prima Prima Prima Suma Luisa Una vz hcha la tabla con todas las posibilidads, obsrvamos qu hay un rsultado suma rptido, por tanto ahí stá la razón d qu Luisa l dijra a Pdro qu con sos datos no podía sabr las dads. La dad d Luisa s d años. Luisa sab la dad d Pdro. Si Pdro hubira tnido 8 años o mnos, no qudaría claro, por tanto Pdro ha d tnr años y las primas 7, 7 y años. ACTIVIDADES d NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG. 88. Calcula los siguints its: cos a b ln c. Calculamos its n la Vista Cálculo Simbólico CAS mdiant los comandos Límit, LimitSuprior y LímtInfrior como s ha indicado n l tto y obtnmos: a cos 8 b ln no ist c.

4 Obsrvamos qu n l it it no ist, ya qu ln ln y no aparc la solución. Esto s dbido a qu st ln. Podmos vr la situación antrior n la gráfica d la función f y d su asíntota. ln 7

5 . Halla, mdiant la gráfica corrspondint, los its: ; y. Calculamos its n la Vista Cálculo Simbólico CAS mdiant los comandos Límit, LimitSuprior y LímtInfrior como s ha indicado n l tto y obtnmos: Todo lo antrior pud vrs n la rprsntación gráfica d la función y f, así como las asíntotas 8

6 ACTIVIDADES d NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG. 8. Calcula los siguints its: a lim b lim sn En la imagn podmos vr l rsultado d stos its hchos con las opcions dl mnú Análisis d Wiris.. Halla las asíntotas d la función f ln Mdiant Wiris obtnmos las asíntotas d sta función qu podmos vr n la gráfica d la misma. La asíntota s

7 ACTIVIDADES FINALES-PÁG.. En cada una d las gráficas d las siguints funcions, halla los its y valors pdidos: f - f f f f f f f f g g g g g g g g g Las rspustas para la función y f son: f - - f - f f no ist f - f f f Las rspustas para la función y g son: f - g g no ist g no ist g g g g g g. Rprsnta gráficamnt funcions qu satisfagan las siguints condicions: a f, f, f, f, f. b g, g, g, g, g, f.

8 c h -, h, h, h, h. Las gráficas qu cumpln las condicions dl nunciado son: a f, f, f, f, f. b g, g, g, g, g, f. c h -,

9 h, h, h, h.. Eplica l significado d las prsions qu sigun y raliza la rprsntación gráfica adcuada: a b c A continuación aparc l significado d los its y las rprsntacions gráficas pdidas. a Podmos consguir qu l valor sa tan grand como quramos dando a valors suficintmnt pquños. Estos valors d pudn sr tanto positivos como ngativos. Con más prcisión, podmos dcir qu dado un númro K, tan grand como quramos, podmos ncontrar un númro h, tan pquño como sa ncsario, tal qu si < h, ntoncs > K. Gométricamnt, la gráfica d la función f tin como asíntota vrtical la rcta.

10 b Podmos consguir qu l valor suficintmnt grands. sté tan próimo a como quramos dando a valors Con más prcisión, dado ε > podmos ncontrar un númro h tal qu si > h, ntoncs < ε. Gométricamnt, la gráfica d la función f tin como asíntota horizontal la rcta y. c Podmos consguir qu l valor como sa ncsario. sa tan grand como quramos sin más qu tomar tan grand Con más prcisión, dado un númro K, tan grand como quramos, podmos ncontrar un númro h, tan pquño como sa ncsario, tal qu si > h, ntoncs > K. Gométricamnt, la gráfica d la función f tin asíntota oblicua d cuación y.. Dtrmina las asíntotas vrticals d las funcions:

11 a π f b f ln c f tg Dbmos buscar los valors finitos d a tals qu a f ± a En st caso hay dos asíntotas vrticals, las rctas - y. b La función logaritmo npriano tind a cuando la prsión s anula, por tanto, la rcta s la asuntota vrtical. c La función trigonométrica tangnt, f tg s hac infinita n los puntos cuyas abscisas son múltiplos d π/. Para la función dl nunciado, las rctas k π, con k Z, con asíntotas vrticals.. Calcula las asíntotas horizontals d las funcions: a f b f ln c Dbmos calcular, n cada caso, f y f. f a. La rcta y s la asíntota horizontal. b ln ln ln. La rcta y s la asíntota horizontal. c. La rcta y s la asíntota horizontal. Encuntra las cuacions d las asíntotas oblicuas d las funcions: a f b f c f Dbmos dtrminar, n cada caso, los parámtros m y n d la cuación y m n, hallando los its: f m y n [ f m] a m y n. La asíntota s la rcta y. b m y n.

12 La asíntota s la rcta y. c m y n. La asíntota s la rcta y. 7. Calcula l it d las funcions f y g cuando,,, y. f g Rprsnta gráficamnt los rsultados. Para la función f los its buscados son: Como, la función y f tin una asíntota horizontal d cuación y. Como y, la función y f tin una asíntota vrtical d cuación. Como, la función y f tin una asíntota horizontal d cuación y. Todos los rsultados antriors pudn vrs n la gráfica d la función.

13 Para la función g los its buscados son: Como, la función y g tin una asíntota horizontal d cuación y. Como y, la función y f tin una asíntota vrtical d cuación. Como, la función y g tin una asíntota horizontal d cuación y. Todos los rsultados antriors pudn vrs n la gráfica d la función.

14 ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 8. Calcula los siguints its: a b c d 8 f g f h i j k l m n ñ o p q Los its qudan: a Es una indtrminación dl tipo, nos qudamos con l término principal d cada polinomio y hallamos l it rsultant: b Procdmos como n l antrior: c Procdmos como n los dos antriors: d Es una indtrminación dl tipo, factorizamos los polinomios, simplificamos y hallamos l it: 8 Procdmos como n l apartado antrior: 7

15 f Primro s una indtrminación dl tipo, factorizando y simplificando, pasa a sr dl tipo k : no ist, ya qu s cumpl: y g Es una indtrminación dl tipo, multiplicamos y dividimos por la prsión conjugada dl dnominador, opramos y hallamos l it: h Procdmos como n l apartado antrior: i Procdmos como n l caso antrior: 7 j Es una indtrminación dl tipo k y l valor dl it s: k Es una indtrminación dl tipo k y l valor dl it no ist ya qu s cumpl: y l Es una indtrminación dl tipo k y l valor dl it s: m Es una indtrminación dl tipo, multiplicamos y dividimos por la prsión conjugada. Opramos y la prsión rsultant pasa a sr una indtrminación dl tipo, qu ya s ha rsulto con antrioridad: El valor dl it s: 8

16 8 n Procdmos como n l apartado antrior:. ñ Procdmos como n l caso antrior: o Es una indtrminación dl tipo.. p Es una indtrminación dl tipo. q Es una indtrminación dl tipo Calcula los siguints its: a i b f j c [ ] g k

17 d h l. Rsolvindo los its, obtnmos: a Es una indtrminación. Si opramos las fraccions s convirt n una indtrminación dl tipo. Factorizamos, simplificamos y hallamos l it rsultant. b Es una indtrminación dl tipo. c Es una indtrminación dl tipo. Multiplicando y dividindo por la prsión conjugada s transforma n otra dl tipo, qu rsolvmos. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d Es una indtrminación. Factorizando y simplificando pasa a sr dl tipo k, postriormnt calculamos l it. Es una indtrminación dl tipo. f Hallamos los its d la bas y dl ponnt d la potncia: ya qu s cumpl: 7

18 y g Es una indtrminación dl tipo. Oprando pasa a sr dl tipo. Calculamos ésta última. 7 h Es una indtrminación dl tipo. i Es una indtrminación. Opramos n la prsión y calculamos l it: j Es una indtrminación dl tipo. Multiplicamos y dividimos por la prsión conjugada dl numrador, opramos y simplificamos, volvindo a calcular l it d la prsión rsultant. k Es una indtrminación dl tipo. l Es una indtrminación dl tipo. Multiplicamos y dividimos por las prsions conjugadas dl numrador y dnominador, opramos y simplificamos, volvindo a calcular l it d la prsión rsultant. 7

19 8.. Calcula, utilizando infinitésimos quivalnts, los siguints its: sn a c sn cos b tg d ln f cos sn Utilizando los infinitésimos quivalnts corrspondints a cada caso, obtnmos: a sn sn b tg c cos d ln [ ] ln ln ln f cos sn 8. Calcula los siguints its: a b c Los its qudan: a Es una indtrminación dl tipo. 7

20 b Hallamos los its d la bas y dl ponnt d la potncia. y, ya qu s cumpl: c Hallamos los its d la bas y dl ponnt d la potncia. y, ya qu s cumpl:. Los habitants d una pquña ciudad industrial dcidn ponr n marcha un plan d dscontaminación d los acuífros d sus alrddors, cuyo cost, n uros, por habitant y año vin dado por la función:, C,, Cuánto dinro por habitant habrá qu invrtir los primros años? En cuántos años l cost por habitant srá mnor d uros? Cuál srá l cost a largo plazo, por habitant y año, dl plan d dscontaminación? El cost n l momnto d ponr n marcha l plan, t srá:, C uros,,, El cost n l primr año, t srá:,, C, 7 uros,,, El cost n l sgundo año, t srá:,, C, uros,,, El cost n l trcr año, t srá:,, C 7, 7 uros,,, 7

21 El cost va disminuyndo con l paso dl timpo y para sabr n cuántos años l cost por habitant srá mnor d uros, rsolvmos la incuación C <. Oprando, obtnmos:, C < <, <,,,,,, <,, <,, >, > >, Dbn pasar años para qu l cost por habitant sa mnor d uros. Pud comprobars qu s así calculando l valor dl cost n l décimo año:, C, uros,,, Para dtrminar l cost a largo plazo calculamos l it C : C,,,,,,,, uros. Vmos qu a largo plazo l cost por habitant y año va a sr d uros. También pud comprobars n la gráfica d la función. 7

22 ACTIVIDADES ACCESO UNIVERSIDAD-PÁG.. Dtrmina, n cada caso, qué valor db tomar k k para qu s cumplan las igualdads siguints: k a a El valor dl it s: k Si k, ntoncs k -. b El valor dl it s: b k k k k. k k k k k k k k k k c π Imponmos qu la solución sa : k, ntoncs k -. c El valor dl it s: k π k k π π π k π k π Si, ntoncs k. π. El númro d plantas, P, d una spci qu ha colonizado la ladra d una montaña, a lo largo dl timpo, t, vin dado por la función: t P t, dond t. t a Cuál s l númro d plantas inicial? Y dspués d años? b D qué forma afctará l paso dl timpo a dicha población? a El númro d plantas inicial s: P. Dspués d años l númro d plantas srá: P. b Con l paso dl timpo s cumplirá: 7

23 t t t t t t La población s stabilizará n plantas con l paso dl timpo. Pud obsrvars n la gráfica.. Compruba qu los rsultados d los its qu sigun son corrctos. a [ ln ln ] b [ ln ln ] a Hallamos l it: [ ln ln ] ln ln ln Hmos intrcambiado l it con la función logaritmo npriano al sr ésta una función continua. b Hallamos l it [ ln ln ] ln ln ln ln ln Hmos intrcambiado l it con la función logaritmo npriano al sr ésta una función continua.. Cuántas asíntotas oblicuas pud tnr una función racional? Cuántas horizontals? Cuántas vrticals? Encuntra las asíntotas d las funcions: a f b g Las rspustas son: 7

24 Una función racional pud tnr como máimo asíntotas oblicuas corrspondints a los its cuando y. Una función racional pud tnr como máimo asíntotas horizontals corrspondints a los its cuando y. Una función racional pud tnr tantas asíntotas vrticals como cros dl dnominador qu no lo san dl numrador. a Las asíntotas d la función f son: La rcta ya qu s cumpl: ±. La rcta y ya qu s cumpln los its: y ± ± b Las asíntotas d la función g son: La rcta -, ya qu: y La rcta y -, ya qu: b ± g m Lím ± ± m ± [ g ] ±. Estudia los siguints its sgún los valors dl parámtro a: a b [ a ] a 8 a Hallamos l it: Sa L a 8 8 a a 8 Si a, ntoncs L 8 / Si a, ntoncs L b La solución quda: 77

25 Si a, ntoncs [ ]. Si a >, ntoncs: [ ] a a a a a a a a si a si a > si < a <. Halla los its: a 8 b ln ln 7 ln c 7 El rsultado d los its s: 8 8 a b ln ln 7 ln ln ln ln 7 ln ln ln 7 ln ln 7 ln ln ln 7 ln ln 7 ln ln 7 ln c 7. En una ciudad s raliza un cnso y s dscubr qu l númro d habitants, P t, n millons vin dado por la función: t t P t t sindo t l númro d años transcurridos dsd qu s raliza l cnso. a Cuántos habitants hay cuando s raliza l cnso? b Cuántos habitants habrá dntro d años? Y d años? c Como voluciona la población con l paso dl timpo. a Cuando s raliza l cnso hay P millón d habitants. 78

26 b Dntro d años habrá P, 78 millons d habitants. Dntro d años habrá P millons d habitants. c Con l paso dl timpo la población d la ciudad acabará sindo: t t P t t t t t t t t El rsultado pud obsrvars n la gráfica. t t millón d habitants. 8. Una mprsa produc tarjtas d sonido para ordnadors n grands cantidads. Atndindo a divrsos factors, la producción d tarjtas tin un cost total, n uros, d C. a Encuntra la prsión d la función C m qu nos da l prcio unitario mdio d una tarjta al fabricar unidads. b Calcula C m, C m y C m. A qué s dbido qu haya tanta difrncia ntr un cost y otro? c Calcula C m y da una intrprtación conómica dl rsultado. a El prcio unitario mdio, C m, al fabricar unidads s: C C m, con > b Los valors pdidos son: C m uros. C m uros. 7

27 C m uros. La difrncia d prcios s dbida al valor tan alto, uros, qu tin los costs fijos. c Cuando l númro d tarjtas fabricadas s hac indfinido s obtin: C m uros. Para un gran númro d tarjtas fabricadas l prcio mínimo srá d uros. Véas l gráfico d la función. 8

28 PROYECTO DE INVESTIGACIÓN-PÁG. Parábolas y rctas Qurmos invstigar posibls patrons qu aparcn cuando s studia la intrscción d funcions polinómicas con funcions linals.. Considramos las funcions cuadráticas d prsión y p q cuyas gráficas son parábolas d vértic V p, q y las funcions linals y m y n. a Sa la parábola y y las rctas y y. Utilizando mdios tcnológicos, hallamos las cuatro intrsccions P, P, P, P, qu pudn vrs n l dibujo. Llamamos,, y a las abscisas d stas intrsccions n l ordn n l qu aparcn, d izquirda a drcha, sobr l j OX. Calculamos los valors d las prsions: D ; D y V D D. b Considra otras parábolas d la forma y k p q, con k >, qu tngan l vértic n l primr cuadrant, cuando s cortan con las rctas y y. Cominza studiando los casos n los qu k. c Invstiga lo qu sucd para cualquir valor d k y para cualquir posición dl vértic. Si cambiamos las rctas, qué rsultados obtnmos? d Encontrarmos rsultados similars para funcions polinómicas d grado trs? Y para funcions polinómicas d grado suprior?. a Las intrsccions son los puntos d la parábola y con las rctas y y, son los puntos: y,; y 8,7 P y y,; y,7 P y y 8 y,7; y,,7; y, P P Los valors pdidos son: D,7,,; D,,7, y V,,. En las imágns qu sigun pudn vrs las cuatro intrsccions: P,;,7; P,7;,; P,7;, y P,; 8,7 8

29 Admás aparcn dibujados los puntos A,; ; B,7; ; C,7; y D,; sobr l j OX, qu tinn las mismas abscisas qu los puntos intrscción En l rcuadro d la Vista Algbraica aparcn calculadas las prsions: D,; D, y V D D,,. También pudn vrs, sobr l j OX, los sgmntos a AB y b CD, d mdidas, y, rspctivamnt. El valor V s l valor absoluto d la difrncia d las pndints d la rctas y y. b Analizamos las situacions para parábolas d la prsión y p q, con p y q positivos y las rctas y y. Trabajando n l programa GoGbra, cramos dos dslizadors dnominados p y q. Introducimos la función f p q y obsrvamos qu al variar los valors d p y q, s dcir, la posición dl vértic d la parábola, l valor d V s mantin fijo n. En las imágns pudn vrs los casos d los vértics V, y V, 8

30 8

31 c Introducimos un nuvo dslizador k y lo hacmos variar, obsrvando los rsultados. m n En la imagn pud vrs l valor V, qu s l rsultado d oprar V,. k, Obtnmos otros valors d V hacindo cambios n los trs dslizadors. Para cambiar las rctas, cramos dos nuvos dslizadors llamados m y n introducimos las funcions g m y h n. También podmos analizar las intrsccions d rctas qu no pasan por l orign, s dcir, funcions d la forma g m m y h n n. Variamos todos los dslizadors y obsrvamos qu, n las situacions qu haya intrsccions, l valor m n buscado s V. k El hcho d obtnr l valor antrior lo podmos ncontrar n l razonaminto qu sigu. San y a b, con a, y m m y n n las cuacions d una parábola y dos rctas qu s cortan n cuatro puntos. Hallamos las abscisas d sos cuatro puntos: 8

32 y y a b m m c a b c m m a b m c m Si llamamos y a las solucions d la cuación antrior, una d las rlacions d Cardano pud prsars n la forma: b m a y y a b n n c a b c n n a b n c n Si llamamos y a las solucions d la cuación antrior, una d las rlacions d Cardano pud prsars n la forma: b n a El valor buscado V srá: b n b m n m V a a a El valor antrior dpnd d las pndints d las rctas, m y n, y dl coficint a dl término d la parábola. d Vamos qué ocurr cuando cortamos la curva cúbica d cuación f con las rctas g y h. En las imágns qu sigun pudn vrs las intrsccions dnominadas P, P, P y P, admás dl orign d coordnadas y n la Vista Algbraica sus coordnadas. Pudn vrs los puntos proycción d los puntos antriors sobr l j OX: A, C, D y F, con sus coordnadas n la Vista Algbraica. Hallamos las difrncias: D C A, D F D, V D D,, 8

33 Vamos qué ocurr cuando cortamos la curva cúbica d cuación f - con las rctas g y h. En las imágns qu sigun pudn vrs las intrsccions dnominadas P, P, P, P, P y P, y n la Vista Algbraica sus coordnadas. Pudn vrs los puntos proycción d los puntos antriors sobr l j OX: A, C, D, F, G y H, con sus coordnadas n la Vista Algbraica. Hallamos las difrncias: D B C, D D C,8 D H G, V D D D,,8, 8

34 87

35 El hcho d obtnr l valor antrior, V, lo podmos ncontrar n l razonaminto qu sigu. San y a b c d, con a, y m m y n n las cuacions d una cúbica y dos rctas qu s cortan n sis. Hallamos las abscisas d sos sis puntos: m m d c b a m m y d c b a y m d m c b a Las solucions, y cumpln una d las rlacions d Cardano qu pud prsars n la forma: a b n n d c b a n n y d c b a y n d n c b a Las solucions, y cumpln una d las rlacions d Cardano qu pud prsars n la forma: a b El valor buscado V srá: V a b a b a b a b El valor antrior simpr s nulo. Los mismo ocurr para funcions polinómicas d grado suprior. 88