Funciones de una variable (I)

Transcripción

1 Funciones de una variable (I) Sesión teórica 7 5 de octubre de 2010

2 1 Preliminares 2 Funciones polinómicas y racionales 3 Función exponencial y logarítmica 4 Funciones trigonométricas

3 Función Definición Llamaremos función real de una variable real a toda regla de asignación f entre subconjuntos X e Y de R de modo que a cada elemento x X le hace corresponder uno y sólo uno y = f (x) Y : f : X R R. X se denomina dominio de definición de f e Y es el codominio. Ejemplos: f (x) = 1 x, g(x) = x 1, función signo (sg(x)), 3 8 función valor absoluto.

4 Representación gráfica Definición Si f : X R R es una función real de una variable real, se define la gráfica de f de la siguiente manera: Graf (f ) = {(x, y) R 2 y = f (x), x X}.

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6 Función inyectiva Definición Una función f : X R R es inyectiva si, dados x x cualesquiera de X entonces f (x) f (x ). Gráficamente, una función es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a lo sumo una vez a la gráfica de la función. La función de la izquierda es inyectiva, mientras que la de la derecha no lo es.

7 Función inversa Si una función es inyectiva en un dominio X entonces, tomando Y = f (X), la función f : X Y es biyectiva, es decir, a cada elemento x de X le corresponde exactamente un elemento y de Y y viceversa. Entonces podemos definir la función: f 1 : Y X tal que, para cada y Y, f 1 (y) es aquel elemento x de X con f (x) = y. Se cumple que f 1 (f (x)) = x para todo x X y que f (f 1 (y)) = y para todo y Y.

8 Gráficamente: (y, x) Graf (f 1 ) (x, y) Graf (f ) Es decir: las gráficas de f y f 1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante:

9 1 Preliminares 2 Funciones polinómicas y racionales 3 Función exponencial y logarítmica 4 Funciones trigonométricas

10 Funciones polinómicas 1 Dominio: R. 2 Sus gráficas cortan al eje de abcisas, como máximo, en n puntos distintos (donde n es el grado del polinomio que define la función). 3 Cuestión: Demuestra que toda función polinómica de grado impar corta al eje de abcisas al menos una vez.

11 f (x) = (x + 1)(x 1)(x 2)(x 4)

12 f (x) = (x + 1)(x 2) 2 (x 4)

13 f (x) = (x + 1)(x 2 4x + 5x)(x 4)

14 Funciones racionales Las funciones racionales son aquellas que son cociente de dos polinomios: f (x) = p(x) q(x), 1 Dominio: {x R q(x) 0} p, q R[x]. 2 Cada cero de q (que no sea también cero de p) proporciona una asíntota vertical de la gráfica de f.

15 1 Preliminares 2 Funciones polinómicas y racionales 3 Función exponencial y logarítmica 4 Funciones trigonométricas

16 Función exp(x) (también denotada por e x ) Definición Dado x R cualquiera definimos: exp(x) = e x := lím (1 + x ) n. n n Definición Llamaremos número e al valor ( exp(1) = lím ) n. n n OBSERVACIÓN: e 2, es irracional.

17 Propiedades 1 exp(x) es siempre positiva y monótona creciente. 2 exp(0) = 1. 3 exp(x)exp(y) = exp(x + y). 4 exp( x) = 1 exp(x) exp(x) 5 exp(y) = exp(x y). 6 exp( p q ) = ep/q = q p para todo racional p/q. 7 exp(x) posee una asíntota horizontal (el eje de abcisas).

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19 Función logaritmo natural La función exp(x) es inyectiva, luego tiene función inversa. Definición El logaritmo natural, o neperiano, o de base e, denotado por log(x), se define como la función inversa de exp(x). log : R + R, y = log(x) x = exp(y)

20 Gráfica de log(x)

21 Propiedades 1 El dominio de log(x) es R +. 2 log(x) es estrictamente creciente. 3 El eje de ordenadas es una asíntota vertical. 4 log(1) = 0. 5 log(xy) = log(x) + log(y). 6 log(x/y) = log(x) log(y). 7 log(x α ) = αlog(x) para todo α Q.

22 Función exponencial Definición Dado a > 0 y x R se define a x := exp(x log(a)) = e x log(a) Propiedades: 1 a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 a x b x = (ab) x 4 a x /b x = (a/b) x 5 log(a x ) = x log(a) 6 (a x ) y = a xy 7 a p/q = q a p si p, q N

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24 Función logaritmo La función exponencial en base a 1 tiene inversa. Definición Si a > 0 y a 1, se define la función logaritmo en base a, y se denota por log a (x), como la función inversa de la exponencial a x. log a : R + R y = log a (x) a y = x Observación: log = log e.

25 Gráfica de log a (x)

26 Expresión de cualquier logaritmo en función del logaritmo natural y = log a (x) x = a y = e y log(a) log(x) = y log(a) y = log(x) log(a) Por tanto: La función logaritmo de base a 1 cualquiera puede obtenerse a partir del logaritmo neperiano: log a (x) = log(x) log(a).

27 1 Preliminares 2 Funciones polinómicas y racionales 3 Función exponencial y logarítmica 4 Funciones trigonométricas

28 Funciones seno y coseno Definición Dado un número real x, se definen cos(x) y sen(x) como las coordenadas del punto P de la circunferencia unidad tal que el área OPQ es x/2 o, equivalentemente, la longitud del arco de circunferencia que va de Q a P es x. NOTA: Se entenderá que, si x es positivo, el arco QP se recorre en sentido anti-horario y, si x es negativo, se recorre en sentido horario.

29 Propiedades 1 sen(x) y cos(x) son funciones periódicas de período 2π. 2 sen 2 (x) + cos 2 (x) = 1 3 sen( x) = sen(x), cos( x) = cos(x) 4 sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y) 5 cos(x + y) = cos(x) cos(y) sen(x) sen(y) 6 sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) 7 etc.

30 Tangente y cotangente A partir de las funciones seno y coseno se definen: tan(x) = sen(x) cos(x) cot(x) = cos(x) sen(x)

31 Gráficas

32 Funciones trigonométricas inversas

33 Funciones trigonométricas hiperbólicas Definición Hipérbola unidad: {(x, y) R 2 x 2 y 2 = 1}. (cosh(x), senh(x)) son las coordenadas del punto P de la hipérbola unidad tal que el área de la región OPQ es x/2.

34 Propiedades senh(x) = ex e x y cosh(x) = ex + e x 2 2 cosh 2 (x) senh 2 (x) = 1 cosh(x) senh(x) = e x cosh(x) + senh(x) = e x También pueden definirse la tangente y la cotangente hiperbólicas: tanh(x) = sinh(x) cosh(x) coth(x) = cosh(x) senh(x) para x 0

35 Gráficas

36 Funciones inversas de las hiperbólicas Inversa de sinh(x): Argumento del seno hiperbólico: arg senh(x) Inversa de cosh(x): Argumento del coseno hiperbólico: arg cosh(x) Inversa de tanh(x): Argumento de la tangente hiperbólica: arg tanh(x) Inversa de coth(x): Argumento de la cotangente hiperbólica: arg coth(x) Estas funciones admiten expresiones en términos de logaritmos (véanse los apuntes).