Opción A Ejercicio 1.-
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- Encarnación Gutiérrez Fuentes
- hace 5 años
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1 Colegio Lux Mundi (Cajar-Granada) Examen Sepiembre de 009 Javier Cosillo Iciarra Opción A Ejercicio.- ['5 punos] Se considera la función f: [, + ) R definida por f ( x ) x -x+x. Deermina la asínoa de la gráfica Evidenemene, la función no iene asínoas vericales, ya que su dominio es [,+ ) Esudiemos la asínoa horizonal hacia la derecha, es decir, para x lim f(x) lim x -x +x + x + x + Luego, no hay asínoa horizonal para x Para x - la función no esá definida, por ano, no podemos calcular asínoas hacia la izquierda. La función puede ener una asínoa oblicua hacia la derecha: y mx + n f(x) x -x +x x +x x m lim lim Inde. lim lim x + x x + x x + x x + x ( x -x-x)( x -x +x) ( x -x +x) n lim f(x)-mx lim x -x +x-x lim x -x-x Inde. x + x + x + x -x-x -x -x lim lim lim lim x + x + x + x + x -x +x x -x +x x + -x -x lim lim - x + x+x x + x Luego la asínoa de la gráfica de la función es una asínoa oblicua hacia la derecha cuya ecuación es: yx- x Ejercicio. La curva y x divide el recángulo de vérices A(0,0), B(,0), C(,) y D (0,) en dos recinos a) [0 75 punos] Dibujar dichos recinos b) [ 75 punos] Hallar el área de cada uno de ellos. a) b) El área del recángulo compleo es A T base.alura. u El área desde el puno A(0,0) hasa el puno a, es el área bajo la reca y, menos el a área limiada por la parábola y el eje OX será: A a. - x dx 0 Para calcular el puno a, igualamos la ecuación de la reca DC (y ) a la de la parábola: x x x+, pueso que a es posiivo. Así:
2 Colegio Lux Mundi (Cajar-Granada) Examen Sepiembre de 009 Javier Cosillo Iciarra x x A (.) - x dx (.) - (.) (.) - - (.) - u A A +A A A - A - u Como T T Por ano: A u 6 - y A u Ejercicio. x+λy0 a) [ 75 punos] Discue según los valores λ el siguiene sisema: x+λzλ x+y+z b) [0 75 punos] Resuélvelo para λ0. x+λy 0 λ 0 x+λzλ A 0 λ A λ -6λ0 λ0 y λ6 x+ y+z a) Por ano: Si λ 0 y λ 6, r(a)r(a*) nº de incógnias, luego el sisema será COMPATIBLE DETERMINADO Si λ0, r(a); A* ;r(a*)r r r(a)r(a*)< nº de incógnias, luego el sisema será COMPATIBLE INDETERMINADO Si λ6, r(a); A* ;r(a*)r ; r(a*) r(a) r(a*), luego el sisema será INCOMPATIBLE b) λ 0 x 0 x 0 x0 x 0 z y+ y- y- x+y+z x+ y+z z Ejercicio 4. Considera el puno P(, 0, 0), la reca r definida por y z+ x- y la reca s definida - por x, y, z,,0 + λ -,, 0 a) [ 5 punos] Esudia la posición relaiva de r y s b) [ 5 punos] Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s
3 Colegio Lux Mundi (Cajar-Granada) Examen Sepiembre de 009 Javier Cosillo Iciarra y z+ A(,0,-) r:x- - d(,,-) a) B(,,0) s: ( x,y,z ) (,,0 λ )-,,0 + d'(-,,0) r d,d', las recas se cruzan o se corarán en un puno. Como - r d,d',ab r - 0 ; Como - cruzan (Adjun. ª F)4+(-)- 0 las recas se - b)si el plano Pasa por P, su puno base será dicho puno. Si es paralelo a r y s, los vecores direcores de las recas serán ambién los del plano: P(,0,0) x- - π ud(,,-) y 0 z+y+z+4(x-)4x+y+4z-40 vd'(-,,0) z - 0 Por ano: π x+y+z-0 Opción B Ejercicio [ 5 punos] De enre odos los recángulos cuya área mide 6 cm, deermina las dimensiones del que iene diagonal de menor longiud 6 El área de ese recángulo es: Ax.y6 y x Su diagonal, según el eorema de Piágoras esá dada por la expresión: x +6 4 x +6 dx+y x+ x+ x x x x Ya que x es un valor posiivo. Calculamos ahora la primera derivada de la función que hemos obenido y la igualamos a cero: x 4 x 4 x -x -6.x- x x x -6 d'(x) x +6 x +6 x +6 0 x x x 4 x. x Luego: x -6 0 x 6 x ± 6 ± 4, pero como x > 0 x+4 Para deerminar si enemos un valor máximo o mínimo para d, calculamos su derivada segunda:
4 Colegio Lux Mundi (Cajar-Granada) Examen Sepiembre de 009 Javier Cosillo Iciarra Como ' ' x.x. x +6 -( x -6 ).( x. x +6 ) 4 ' 4 ( x. x +6 ) 4 x -6 d''(x) 4 x. x +6 x x +6 4x. x +6 - x -6. x. x d''(4) > 0, para x+4, la diagonal del recángulo iene un valor 4 ( ) 6 mínimo. Para ese valor de x, y 4 ; luego el recángulo de área 6 que iene una 4 diagonal de menor longiud es un cuadrado de lado 4. Ejercicio. x f x. 4-9x ['5 punos] Sea f la función definida por 4 Halla la primiiva F de f que cumple F(0). (Sugerencia: Uiliza el cambio de variable x ) Calculamos la inegral indefinida de la función dada (conjuno de odas sus primiivas), uilizando el cambio de variable propueso: 4 4 x x d x 9 d d F( x) f(x) dx dx x dxdx xdx d ( - ) 9 d arcsen+k arcsen x +k Como: 6 F(x) arcsen x + Por ano: 6 F(0) F(0) arcsen 0 +k0+kþk Ejercicio ['5 punos] Sean las marices: A - -, B y C Deermina la mariz X que verifica AX B C (B es la mariz raspuesa de B) AX-B C AXC+B Si exise A - XA - C+B - A Exise A 0 - -
5 Colegio Lux Mundi (Cajar-Granada) Examen Sepiembre de 009 Javier Cosillo Iciarra A + A - - A adj( A ) A - - A + - A A + - A - - A adj A A adj A A ; B 0 - ( ) ( ) XA ( C+B ) X Luego: Ejercicio 4. x-y+0 y+0 Considera la reca r definida por y la reca s definida por x+y-z-0 x-z+0 a) [ 5 punos] Deermina la ecuación del plano que coniene a r y es paralelo a s b) [ puno] Exise algún plano que conenga a r y sea perpendicular a s?. Razona la respuesa.. Calculamos en primer lugar una deerminación lineal (vecor direcor y puno por el que pasa) de cada una de las recas. i j k x-y+0 Reca r: d - 0 i+j+k (,,) ; x0 y z A(0,,) x+y-z-0 - i j k y+0 Reca s: d' 0 0-4i-k (-4,0,-); y- ; z0 x- B(-,-,0) x-z a) Si el plano coniene a r, uno de sus vecores direcores será d (,, ) y su puno base, A0 (,, ). Si el plano es paralelo a s, el oro vecor direcor será d' ( 40,, ) Por ano, la ecuación del plano pedido es: x-0-4 π y- 0 -x-8(y-)+4(z-)+(y-)-x-6y+4z+00 z- - π x+ y- z- 5 0
6 Colegio Lux Mundi (Cajar-Granada) Examen Sepiembre de 009 Javier Cosillo Iciarra b) Para que conenga a r, debe formar pare del haz de planos que conienen a r: x-y++λ x+y-z- 0 Luego el plano sería de la forma: (+λ)x+(-+λ)y-λz+ -λ 0 y su vecor normal sería: n(+λ,-+λ,-λ) Para que sea perpendicular a s, el vecor normal del plano y el direcor de la reca, han de ser linealmene dependienes, es decir, 4 0 rango( d ', n) rango + λ + λ λ Para ello: λ 0 λ + λ + λ 4 4λ+ + λ 0 λ + λ λ Como los valores de λ son disinos, los dos deerminanes nunca podrán ser cero simuláneamene, luego el rango no podrá ser. Por ano d' y n son siempre linealmene independienes y no exise ningún plano que conenga a r y sea perpendicular a s
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