Unidad III Teoría de la Dualidad.

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María Mercedes Espinoza Pereyra
hace 5 años
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1 Curso de investigación de operaciones Unidad III Teoría de la Dualidad. III.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL La Teoría de la Dualidad es una de las herramientas que ha venido a proporcionar mayor potencia al desarrollo y a la aplicación de modelos de Programación Lineal. (J. L. Mora). Permite además agilizar el logro de soluciones óptimas, verifica ala adecuación del modelo respecto a la realidad que representa, constata la factibilidad del modelo con las restricciones estimadas y comprueba cuan viable resulta cierta solución. El problema de programación lineal primario expresado en forma matricial se visualiza a continuación de manera primaria y dual: PRIMO DUAL sujeto a: sujeto a: Tomando en cuenta que para toda Forma 1. Si el problema está expresado en forma canónica (que es el problema primario o primal), tenemos que: Max Z = C x s.a. Ax b 1

2 Se define el problema dual estructurado de la siguiente forma: PROBLEMA PRIMARIO Elemento Dimensión Elemento x Vector columna con n Vector de variables de elementos actividades primarias C b Vector renglón con n componentes Vector columna con m componentes Vector de precios unitarios del problema primario Vector de recursos disponibles del primario A Matriz de m x n Matriz de coeficientes tecnológicos z Escalar Función objetivo del primario PROBLEMA DUAL Elemento Dimensión Característica Y Vector columna con m componentes Transpuesta del vector C de n componentes Transpuesta del vector renglón b de m componentes Matriz transpuesta de A de n x m Vector de variables de actividades duales Vector de recursos disponibles dual Vector de precios unitarios del dual Matriz de coeficientes tecnológicos del problema dual 2

3 G Escalar Función objetivo dual Forma 2. Si en el problema primario se observan las restricciones de tipo: Mín Z = C x s.a. A x b Se puede reescribir de la forma: Max Z = - C x s.a. A x -b El problema dual queda: Forma 3. Si se observa que el problema primario está expresado: 3

4 Máx z = C x s.a. A x = b Que puede expresarse como: Max Z = C x s.a. A x b A x b ó Max Z = C x s.a. Ax b - A x -b El problema dual estará descrito por: para "y" sin restricción de signo. Si se aplica la definición de dualidad, asociado con el vector dual W, con las restricciones primarias A x b, y el vector dual V para -A x -b, se tiene: factorizando tenemos: 4

5 determinando a la resta de vectores duales (W-V) igual al vector Y, tenemos Y= W-V, para lo cual a. si W > V Y > 0 b. si W = V Y= 0 c. si W < V Y < 0 de donde sin restricción de signo para Y. Forma 4. Si el problema primario está expresado por: Max Z = C x s.a. A x b ó -A x -b En forma dual se tendrá: 5

6 III. 2 CORRESPONDENCIA PRIMAL-DUAL. Si se busca max Z = C x, se desprende la relación del problema primario y la correspondencia que hay con el dual. PRIMARIO Maximizar Minimizar Restricción i Restricción i = Restricción i Variable j 0 Variable j no restringida Variable j 0 DUAL Minimizar Maximizar Variable i 0 Variable i no restringida Variable i 0 Restricción j 0 Restricción j = Restricción j Tomando las consideraciones anteriores, en el problema primal, si el objetivo es: 6

7 Max Z =C x s.a. A x b los valores colocados en tablas, tendrán la forma: Z Variables originales Variables de holgura 1 -C A 1 b Se convertirá en la siguiente iteración: Z Variables originales Variables de holgura 1 0 El problema dual será: Con todo lo anterior, se resolverá el siguiente problema: Max Z = 7

8 Sujeto a las siguientes restricciones. TABLA I / SIMPLEX Entra Eo E1 E Sale Existen valores negativos en la base, (-2, -1), luego entonces, la función de optimalidad no se cumple, identificando que: seguidamente: Saldrá de la base, como se visualiza Resulta en el traslape de fila y columna ( 6 ), la conveniencia de hacerlo con coeficiente =1, multiplicando la fila E2 por 1/6, para tener la fila pivotal F.P. 1 1/3 0 1/6 4 Haciendo las operaciones de renglón, que nos dará la columna unitaria, con 3FP + E1, y 2FP + Eo, obtenemos la siguiente tabla TABLA II / SIMPLEX Entra 8

9 Z Eo 0 0-1/3 0 1/ /2 3 E1 E /3 0 1/6 4 Sale Tenemos una solución básica no óptima, no satisface la condición de optimalidad, existe aún, un valor negativo en la base (-1/3), para localizar quien sale de la base, hacemos Indica que sale de la base, para dar su lugar a, para hacer en el traslape de fila y columna (4), coeficiente igual a uno, para tener la nueva fila pivotal (FP), hacer ¼ E1.. Luego entonces tenemos que la fila pivotal será: 0 1 1/4-1/3 3/4 La columna unitaria se genera, efectuando -1/3FP + E2, y 1/3FP + Eo, los valores que dan origen están en la tabla siguiente. TABLA III / SIMPLEX Z Eo / /4 E /4-1/8 3/4 E /12 5/24 15/4 Se observa que se cumple con la condición de optimalidad 0, y que el vector de soluciones óptimas contiene elementos mayores iguales que cero, que satisface el conjunto de restricciones a las que está sujeta la función objetivo, por lo tanto tenemos la solución por el método simplex dada por: 9

10 Con = = 8.25 Ahora, el problema dual estará descrito por: La relación del problema primo con el problema dual es: La solución óptima del primo = Solución óptima del dual Max z = Mín G De donde es la solución óptima dual. La solución óptima del primo tiene, en las variables Para las variables de holgura 10

11 Tomando en consideración, que por cada, existe una variable Dual, que quiere decir. Para esto tenemos que: SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL PROBLEMA PRIMAL SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL PROBLEMA DUAL III. 3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LAS VARIABLES DUAL. La solución óptima de las variables dual, observadas en el ejemplo anterior (III.2), donde 11

12 III. 2 CORRESPONDENCIA PRIMAL-DUAL. Si se busca max Z = C x, se desprende la relación del problema primario y la correspondencia que hay con el dual. PRIMARIO Maximizar Minimizar Restricción i Restricción i = Restricción i Variable j 0 Variable j no restringida Variable j 0 DUAL Minimizar Maximizar Variable i 0 Variable i no restringida Variable i 0 Restricción j 0 Restricción j = Restricción j Tomando las consideraciones anteriores, en el problema primal, si el objetivo es: Max Z =C x s.a. A x b los valores colocados en tablas, tendrán la forma: Z Variables originales Variables de holgura 1 -C A 1 b 12

13 Se convertirá en la siguiente iteración: Z Variables originales Variables de holgura 1 0 El problema dual será: Con todo lo anterior, se resolverá el siguiente problema: Max Z = Sujeto a las siguientes restricciones. TABLA I / SIMPLEX Entra Eo

14 E1 E Sale Existen valores negativos en la base, (-2, -1), luego entonces, la función de optimalidad no se cumple, identificando que: seguidamente: Saldrá de la base, como se visualiza Resulta en el traslape de fila y columna ( 6 ), la conveniencia de hacerlo con coeficiente =1, multiplicando la fila E2 por 1/6, para tener la fila pivotal F.P. 1 1/3 0 1/6 4 Haciendo las operaciones de renglón, que nos dará la columna unitaria, con 3FP + E1, y 2FP + Eo, obtenemos la siguiente tabla TABLA II / SIMPLEX Entra Z Eo 0 0-1/3 0 1/ /2 3 E1 E /3 0 1/6 4 Sale Tenemos una solución básica no óptima, no satisface la condición de optimalidad, existe aún, un valor negativo en la base (-1/3), para localizar quien sale de la base, hacemos 14

15 Indica que sale de la base, para dar su lugar a, para hacer en el traslape de fila y columna (4), coeficiente igual a uno, para tener la nueva fila pivotal (FP), hacer ¼ E1.. Luego entonces tenemos que la fila pivotal será: 0 1 1/4-1/3 3/4 La columna unitaria se genera, efectuando -1/3FP + E2, y 1/3FP + Eo, los valores que dan origen están en la tabla siguiente. TABLA III / SIMPLEX Z Eo / /4 E /4-1/8 3/4 E /12 5/24 15/4 Se observa que se cumple con la condición de optimalidad 0, y que el vector de soluciones óptimas contiene elementos mayores iguales que cero, que satisface el conjunto de restricciones a las que está sujeta la función objetivo, por lo tanto tenemos la solución por el método simplex dada por: Con = = 8.25 Ahora, el problema dual estará descrito por: 15

16 La relación del problema primo con el problema dual es: La solución óptima del primo = Solución óptima del dual Max z = Mín G De donde es la solución óptima dual. La solución óptima del primo tiene, en las variables Para las variables de holgura Tomando en consideración, que por cada, existe una variable Dual, que quiere decir. Para esto tenemos que: SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL PROBLEMA PRIMAL PROBLEMA DUAL 16

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