CAPÍTULO 1. Preliminares

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1 CAPÍTULO 1 Preliminares En este capítulo se recopilan algunas definiciones y algunos resultados básicos que servirán de referencia en el desarrollo de los capítulos posteriores Se consideran aquí varios aspectos relacionados con matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales El orden en que se presentan los temas no corresponde al encontrado en la mayoría de textos utilizados en un primer curso de álgebra lineal (Grossman [5], Nakos y Yoyner [10], Strang [14] y otros) 11 Matrices Una matriz A de tamaño m n (o simplemente A m n) es un arreglo rectangular de escalares dispuestos en m filas ( líneas horizontales) y n columnas ( líneas verticales); el escalar que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por a ij o A ij y se llama elemento ij de la matriz A Para indicar dicho arreglo usualmente se escribe A = [a ij] m n, o en forma expandida 2 3 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (11) A = a m1 a m2 a mn Si A i denota la i-ésima fila de A y A j la j-ésima columna de A; esto es, A i = ˆ a i1 a i2 a in ; A j = 6 4 A = a 1j a 2j a mj entonces el arreglo (11) se puede representar por filas o por columnas como sigue: 2 A 1 3 A 2 7 A m 7 5 = ˆ A 1 A 2 A n Las matrices se denotan, como se ha sugerido, con letras mayúsculas A B C, etc El conjunto de todas las matrices m n con elementos reales se denotará por m n R) o simplemente m n Los elementos de n n se llaman matrices cuadradas de orden n; a la diagonal formada por los elementos a 11 a 22 a nn de una tal matriz A, se le llama diagonal principal de A A no ser de que se exprese lo contrario, todos los escalares serán números reales

2 11 Matrices Preliminares Toda matriz cuadrada A cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos (a ij = 0 para i = j i j = 1 2 n), se denomina matriz diagonal y usualmente se escribe A = diag a 11 a 22 a nn) Una matriz cuadrada se llamada triangular superior (inferior) si todos sus elementos abajo (arriba) de su diagonal principal son nulos La matriz diagonal de orden n, cuyos elementos en su diagonal principal son todos iguales a 1, se denomina matriz idéntica o matriz identidad de orden n; tal matriz se denota por I n (o simplemente I cuando no sea necesario especificar el orden) Una matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos nulos Una matriz nula será denotada por (o por m n cuando sea necesario especificar el tamaño de la matriz) Dos matrices A y B de igual tamaño m n son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son iguales Esto es, A ij = B ij ; i = 1 2 m j = 1 2 n La suma A + B de dos matrices A y B de tamaño m n, es la matriz m n tal que: A + B ij = A ij + B ij ; i = 1 2 m j = 1 2 n La multiplicación αa del número α por la matriz A de tamaño m n, es la matriz de tamaño m n, tal que: αa ij = α A ij ; i = 1 2 m j = 1 2 n El producto AB de la matriz A m s por la matriz B s n, es la matriz de tamaño m n, tal que: sx AB ij = A ik B kj A i B j ; i = 1 2 m j = 1 2 n k=1 111 Inversa de una matriz Sea A n n Si existe una matriz B n n tal que AB = I, se puede demostrar que BA = I y que B es única Cuando existe una matriz B tal que AB = I a B se le llama la matriz inversa de A y se le denota por A 1 Es este caso se dice que A es no singular o invertible; en caso contrario, se dice que A es no invertible o singular En el siguiente teorema se establecen algunas propiedades de la inversa de una matriz 11 Teorema Si A B n n son matrices invertibles y si α es un número no nulo, entonces: 1 La matriz A 1 es invertible y `A 1 1 = A 2 La matriz AB es invertible y AB) 1 = B 1 A 1 3 La matriz αa es invertible y αa) 1 = α 1 A Transpuesta de una matriz Sea A una matriz m n La matriz transpuesta de A es la matriz n m, denotada por A T, cuya i-ésima fila corresponde a la i-ésima columna de la matriz A Esto es, la transpuesta de A es la matriz A T tal que A T ij = A ji, para i = 1 2 m y j = 1 2 n Sea A una matriz cuadrada Si A T = A se dice que A es una matriz simétrica, y si A T = A se dice que A es una matriz antisimétrica En particular, las matrices diagonales son simétricas Las propiedades más relevantes de la transpocisión se dan en el siguiente teorema 12 Teorema Si A y B son matrices tales que las operaciones siguientes están bien definidas, entonces: 1 A T ) T = A 2 A T = B T si y sólo si A = B 3 Si A es una matriz diagonal, entonces A T = A 4 Si α β son números, entonces αa + βb) T = αa T + βb T 5 AB) T = B T A T 2

3 Preliminares 11 Matrices 6 Las matrices A T A y AA T son simétricas 7 Si A es invertible, entonces A T es invertible y A T ) 1 = A 1 ) T 113 Determinantes En este apartado se dan las definiciones de menor, cofactor, matriz de cofactores, matriz adjunta y determinante de una matriz cuadrada Además se presentan algunas propiedades del determinante En lo sucesivo, el determinante de una matriz A será denotado por A o por det A) Se define el determinante de una matriz de manera inductiva Para una matriz A 1 1, que consta de un sólo elemento; digamos A = [a], se define det A) = a El determinante de una matriz n n; n 2, se define en términos de determinantes de matrices n 1) n 1); para ello es necesario introducir los conceptos de menor y cofactor Sea A = [a ij] n n; el menor del elemento A ij se denota por m ij y se define como el determinante de la matriz que resulta al suprimir la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de A El cofactor del elemento A ij se denota por C ij y se define como C ij = 1) i+j m ij La matriz C, cuyos elementos son los cofactores C ij de A se denomina matriz de los cofactores de A La transpuesta de la matriz de cofactores C, se denomina adjunta de A y se denota por adj A), es decir, adj A) = C T El determinante de A se define entonces como el número nx det A) = A 1j C 1j En particular, si A = [a ij] 2 2 entonces det A) = a 11a 22 a 12a 21 j=1 En el siguiente teorema se dan expresiones para calcular el determinante de una matriz (cuadrada) en términos de sus cofactores Además, muestra que el valor del determinante no depende de la fila o columna a lo largo de la cual se haga la expansión Dicho teorema presenta también una forma para calcular la inversa de una matriz 13 Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n 1 Si C ij denota el cofactor del elemento A ij, entonces: nx a) det A) = A ij C ij para cada i = 1 2 n b) det A) = j=1 nx A ij C ij para cada j = 1 2 n i=1 2 Para cualquier matriz cuadrada A, se tiene que A adj A) = adj A) A = det A) I 3 La matriz A es invertible sii A = 0, en este caso se tiene que A 1 = det A)) 1 adj A) Las principales propiedades del determinante de una matriz se recogen en el teorema que sigue 14 Teorema Sean A B y C matrices cuadradas de orden n entonces: 1 A = A T 2 Si A tiene una fila nula, entonces A = 0 3

4 11 Matrices Preliminares 3 Si A y B son matrices que difieren únicamente en la k-ésima fila y si A k = α B k (con α = 0), entonces A = α B 4 Si α es un escalar, entonces αa = α n A 5 Si A, B y C difieren únicamente en la k-ésima fila y si C k = A k + B k, entonces C = A + B 6 Si A tiene dos filas iguales, entonces A = 0 7 Si B se obtiene al intercambiar dos filas de A, entonces B = A 8 El determinante de una matriz no cambia si los elementos de la i-ésima fila son multiplicados por un escalar α y los resultados son sumados a los correspondientes elementos de la k-ésima fila, para k = i 9 AB = A B Nota Por (1), cualquier proposición sobre A que sea verdadera en las filas de A es también verdadera para las columnas de A 114 Operaciones elementales Matrices elementales En este apartado se introducen las operaciones elementales y las correspondientes matrices elementales, que constituyen la herramienta básica para describir ciertos procesos de cálculo y para demostrar algunos resultados importantes del álgebra lineal relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales, con la inversa generalizada de una matriz y con diversas descomposiciones de una matriz Para un desarrollo detallado ver Espinosa y Marmolejo [6] 15 Definición (Operaciones y matrices elementales) Dada una matriz A, cada una de las siguientes operaciones es llamada una operación elemental en las filas (columnas) de A (i) El intercambio de dos filas (columnas) de A (ii) La multiplicación de los elementos de una fila (columna) de A por un escalar no nulo (iii) Reemplazar una fila (columna) de A, por la suma de ella y un múltiplo escalar no nulo de otra fila (columna) de dicha matriz Una matriz elemental por filas (columnas) es aquella que resulta de efectuar una operación elemental sobre las filas (columnas) de una matriz identidad 16 Teorema (Matrices elementales) 1 Cada matriz elemental es invertible Además, la inversa de cada matriz elemental es una matriz elemental 2 Sea A una matriz m n Si B es una matriz que resulta al efectuar una operación elemental sobre las filas de A y si E es la matriz elemental que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las filas de la matriz idéntica I m, entonces E A = B 3 Sea A una matriz m n Si B es una matriz que resulta al efectuar una operación elemental sobre las columnas de A y si E es la matriz elemental que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las columnas de la matriz idéntica I n, entonces A E = B 17 Definición (Forma escalonada reducida) Se dice que una matriz R tiene la forma escalonada reducida, si satisface las siguientes condiciones: (i) Si una fila de R es no nula, el primer elemento no nulo de dicha fila, de izquierda a derecha, es 1 (ii) Si las filas i e i + 1 de R son no nulas, el primer elemento no nulo de la fila i + 1 está a la derecha del primer elemento no nulo de la fila i (iii) Si una columna de R contiene el primer elemento no nulo de una fila de R los demás elementos de dicha columna son nulos (iv) Si R tiene filas nulas, éstas aparecen en la parte inferior de R El siguiente teorema relaciona los conceptos de matrices elementales y forma escalonada reducida para una matriz arbitraria 4

5 Preliminares 12 Espacios vectoriales 18 Teorema Para toda matriz A existe una única matriz R que tiene la forma escalonada reducida y un número finito de matrices elementales por filas E 1 E 2 E k tales que: E k E 2 E 1 A = R La matriz R mencionada en el teorema anterior se denomina la forma escalonada reducida de A 19 Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n 1 A es invertible sii la forma escalonada reducida de A es I n 2 A es invertible sii A se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales Los dos últimos teoremas dan lugar a un método para decidir cuándo una matriz cuadrada A es invertible y, simultáneamente, proveen un algoritmo para calcular su inversa El método consiste en lo siguiente: Forme la matriz [A I n] Seguidamente efectúe operaciones elementales sobre la filas de esta matriz hasta obtener su forma escalonada reducida; al final se obtiene una matriz que se representa como: [R P ]; donde R es la forma escalonada reducida de A Ahora: A es invertible sii R = I n Si A es invertible entonces A 1 = P 12 Espacios vectoriales El conjunto de matrices m n, junto con las operaciones suma de matrices y multiplicación de un escalar por una matriz, tiene una estructura algebraica denominada espacio vectorial Esta estructura es importante porque incluye otros conjuntos que se presentan frecuentemente en las matemáticas y sus aplicaciones 110 Definición Un espacio vectorial (real) es un conjunto V, cuyos elementos son llamados vectores, junto con dos operaciones: suma de vectores +) y multiplicación de un escalar por un vector ), que satisfacen las propiedades siguientes: (i) Si u V y v V, entonces u + v V (ii) Si u V y v V, entonces u + v = v + u (iii) Si u V, v V y w V, entonces u + v) + w = u + v + w) = u + v + w (iv) Existe un vector V tal que para todo u V, u + = + u = u (v) Si u V, entonces existe un vector u V tal que u + u) = u) + u = (vi) Si u V y α es un escalar, αu V (vii) Si u V y α β son escalares, entonces αβ)u = α βu) = β αu) (viii) Si u V y α β son escalares, entonces α + β)u = αu + βu (ix) Si u V y v V y α es un escalar, entonces α u + v) = αu + αv (x) Si u V, entonces 1u = u 111 Ejemplo Son espacios vectoriales: 1 V = R n = { x 1 x 2 x n) : x i R i = 1 2 n} con las operaciones definidas así: x 1 x 2 x n) + y 1 y 2 y n) = x 1 + y 1 x 2 + y 2 x n + y n) α x 1 x 2 x n) = αx 1 αx 2 αx n) 2 V = m n, el conjunto de matrices m n con las operaciones definidas en la sección 11 5

6 12 Espacios vectoriales Preliminares 3 V = F R R), el conjunto de funciones de R en R con las operaciones definidas así : f + g) t) = f t) + g t) t R αf) t) = αf t) t R 4 V = P n, el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n con las operaciones definidas en el ejemplo anterior Como se establece en la definición, un espacio vectorial (real) es un tripla que consta de un conjunto V y de dos operaciones con ciertas propiedades Cuando no haya lugar a confusión o cuando no sea necesario explicar las operaciones mencionadas, se hará referencia simplemente al espacio vectorial V 112 Definición Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V Se dice que un W es subespacio de V, si W junto con las operaciones definidas en V, es un espacio vectorial 113 Definición Sean V un espacio vectorial, v 0 un elemento de V y W es un subespacio de V El subconjunto determinado así: es denominado una variedad lineal de V L = {v V : v = v 0 + w para w W } El siguiente concepto es básico en el estudio de los espacios vectoriales En particular, servirá para caracterizar ciertos subespacios de un espacio vectorial 114 Definición Sean v 1 v 2 v n vectores de un espacio vectorial V Se dice que un vector v V es combinación lineal de los vectores v 1 v 2 v n, si existen escalares α 1 α 2 α n tales que: nx v = α 1v 1 + α 2v α nv n = α iv i 115 Teorema Sea W un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V Entonces, W es un subespacio de V sii W es cerrado bajo la operación suma de vectores y la multiplicación por un escalar, es decir, sii 1 Si u W y v W, entonces u + v W 2 Si u W y α R, entonces αu W 116 Teorema Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, entonces: 1 La intersección de U con W ; U W es un subespacio vectorial de V 2 La suma de U con W ; definida por es un subespacio vectorial de V i=1 U + W = {v V : v = u + w con u U y w W } 117 Teorema Sea C un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de C; es un subespacio de V W = {v V : v = kx α iv i; k N v i C y α i R i = 1 2 k} i=1 6

7 Preliminares 12 Espacios vectoriales Sea C un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V El subespacio de V de todas las combinaciones lineales de los vectores de C mencionado en el teorema anterior, es denominado el espacio generado por los vectores de C o simplemente, espacio generado por C Cuando C = {v 1 v 2 v n} (es finito), este espacio será denotado por v 1 v 2 v n o por gen{v 1 v 2 v n} Cuando consideramos un conjunto C de vectores de un espacio vectorial, es a veces importante determinar cuándo algún vector o algunos de los vectores de C se pueden expresar como combinaciones lineales de los restantes vectores en C Para ello, necesitamos de la definición de dependencia lineal de un conjunto de vectores y algunos resultados sobre ella 118 Definición (Independencia lineal) Sea C = {v 1 v 2 v n} un conjunto de vectores (distintos) de un espacio vectorial V Se dice que C es linealmente dependiente o que los vectores v 1 v 2 v n son linealmente dependientes, si existen escalares α 1 α 2 α n no todos nulos tales que: nx = α 1v 1 + α 2v α nv n = α iv i en caso contrario, se dice que C es linealmente independiente o que los vectores v 1 v 2 v n son linealmente independientes Es decir; C es linealmente independiente, si para todos los escalares α 1 α 2 α n; = P n i=1 αivi implica α 1 = α 2 = = α n = Teorema En un espacio vectorial V se tiene: 1 Todo conjunto que contenga el vector nulo, es linealmente dependiente 2 Todo conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente 3 Todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente, es linealmente independiente 4 Un conjunto de vectores C = {v 1 v 2 v n}, n 2 es linealmente dependiente sii uno de los vectores de C es combinación lineal de los restantes vectores de C 121 Bases y dimensión Dado un espacio vectorial V es útil determinar un subconjunto B de V que sea linealmente independiente y que genere al espacio V ; un tal conjunto B se denomina base de V Se dice que un espacio vectorial V es de dimensión finita, si existe un conjunto finito C de vectores de V, tal que el espacio generado por C en V En caso contrario, se dice que dicho espacio tiene dimensión infinita Ejemplos de éstos últimos son: el conjunto de funciones de R en R o el conjunto de todos los polinomios En lo que sigue, se consideran sólo espacios de dimensión finita 120 Definición (Base) Sea B un conjunto de vectores de un espacio vectorial V Se dice que B es una base de V si se tienen las dos condiciones: (i) El espacio generado por B es V (ii) El conjunto B es linealmente independiente Si un espacio vectorial V tiene una base B 1 = {v 1 v 2 v n} compuesta por un número ninito n de vectores, entonces se puede demostrar, que cualquier otra base B 2 de V tiene exactamente n elementos A dicho número común se le llama dimensión del espacio V y se escribe dim V = n El siguiente teorema resume algunos resultados importantes sobre espacios vectoriales (bases, conjuntos lienalmente independientes, conjuntos generadores, etc) 121 Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n 1 Si B = {v 1 v 2 v n} es un conjunto de n vectores de V entonces: a) B es una base de V sii B es linealmente independiente b) B es una base de V sii B genera a V 7 i=1

8 12 Espacios vectoriales Preliminares 2 Si C = {u 1 u 2 u r} es un conjunto linealmente independiente, entonces r n 3 Si C = {u 1 u 2 u r} es un conjunto linealmente independiente, con r < n, entonces existen n r vectores de V ; w 1 w 2 w n r, tales que B = {u 1 u 2 u r w 1 w n r} es una base de V 4 Si C = {u 1 u 2 u r} genera a V entonces r n 5 Si el conjunto C = {u 1 u 2 u r} genera a V y r > n, entonces existen n r vectores de C; denotados por w 1 w 2 w n r, tales que B = C \{w 1 w 2 w n r} es una base de V 6 Si W es un subespacio de V entonces dim W n Si dim W = n, entonces W = V 122 Teorema Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V entonces dim U + W ) = dim U + dim V dim U W ) 123 Nota En el teorema anterior si U W = { }, al espacio U + W de V se le denomina suma directa de U con W y se escribe U W en lugar de U + W En este caso, cada vector v U W se puede expresar de manera única como suma de un vector u U y un vector w W ; es decir existen vectores únicos u U y w W tales que v = u + w Además se tiene que U W = { } sii dim U + W ) = dim U + dim V 124 Teorema Si U es un subespacio de un espacio vectorial V, entonces existe un subespacio W de V tal que U W = V El subespacio W del teorema anterior no es necesariamente único y es llamado un complemento de U También se dice que U y W son subespacios complementarios 125 Definición Sea W un subespacio de un espacio vectorial V v 0 un vector en V y L la variedad L = {v V : v = v 0 + w w W } Si dim W = k entonces se dice que la variedad lineal L tiene dimensión k 122 Coordenadas El concepto de coordenadas de un vector respecto de una base es útil en el estudio de las transformaciones lineales Para introducir este concepto es necesario definir primero lo que es una base ordenada de un espacio vectorial V En la definición 120 era irrelevante en qué orden apareciera los elementos de una base Sin embargo, a partir de ahora el orden será importante 126 Definición (Base ordenada) Si v 1 v 2 v n es una sucesión finita de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V que generan a V, entonces se dice que B = {v 1 v 2 v n} es una base ordenada de V 127 Teorema Si B = {v 1 v 2 v n} es una base ordenada de V, entonces para cada vector v V existen escalares α 1 α 2 α n únicos tales que nx v = α 1v 1 + α 2v α nv n = α iv i 128 Definición Sea B = {v 1 v 2 v n} una base ordenada de un espacio vectorial V Sea v un vector de V y sean α 1 α 2 α n los escalares únicos tales que v = P n i=1 αivi, el vector (vector columna) de coordenadas de v respecto de la base ordenada B se denota por [v] B y se define así: 2 α 1 3 α 2 7 [v] B = α n 7 5 i=1

9 Preliminares 12 Espacios vectoriales Si u y v son dos vectores de V y si α es un escalar, entonces [αu] B = α [u] B y [u + v] B = [u] B + [v] B De otro lado, a cada vector n 1 (matriz n 1) c = [ α 1 α 2 α n] T le corresponde un único vector v de V tal que [v] B = c, a saber v = P n i=1 αivi Así, cada base ordenada B de V determina una correspondencia biunívoca, v [v] B, entre los espacios V y n 1, que preserva las suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector Más aún, preserva la independencia lineal; ésto es, el conjunto C = {u 1 u 2 u k} es un conjunto de vectores linealmente independientes de V sii el conjunto C = {[u 1] B [u 2] B [ u k] B} es un conjunto de vectores linealmente independientes de n 1 En el caso en que V = R n y B = {e 1 e 2 e n} sea la base canónica, es decir e 1 = ) e 2 = ) e n = ), la mencionada correspondencia está dada por 2 x 1 3 x 2 7 x = x 1 x 2 x n) [x] B = 6 4 En algunas situaciones resulta conveniente tener presente esta correspondencia, la cual se usa en este texto identificando a x con [x] B x n Producto interno Bases ortonormales En este apartado se consideran los conceptos de producto interno y de bases ortonormales, lo que será particularmente útiles en el capítulo 3 al tratar la diagonalización de matrices simétricas 129 Definición (Producto interno) Sea V un espacio vectorial Sean además u v y w vectores arbitrarios de V y α un escalar real Un producto interno en V es una función ; : V V R que satisface las propiedades: (i) u; v = v; u (ii) u; u 0 y u; u = 0 si y sólo si u = (iii) αu; v = α u; v (iv) u + v; w = u; w + v; w Observación Si B es una base ordenada de un espacio vectorial V, entonces la función ; : V V R definida por u; v = [u] T B [v] B es un producto interno En particular, si V = Rn y B es la base canónica de R n, se tiene que x; y = [x] T B [y] B = x1y1 + x2y2 + + xnyn donde x = x 1 x 2 x n) y y = y 1 y 2 y n) En lo que sigue se considera a R n con este producto interno (producto escalar) y a veces se escribe x y o x T y para indicar a x; y Si ; es un producto interno sobre un espacio vectorial V, la norma o longitud de un vector v de V se denota por v y se define así: v = p v; v Cuando v = 1, se dice que v es un vector unitario Nota En lo que resta de este texto, cuando se use la norma v de un vector v R n se estará haciendo referencia a la norma euclidiada, es decir, si v es el vector de componentes v = [ v 1 v 2 v n ] T, entonces q v = v1 2 + v v2 n 9

10 12 Espacios vectoriales Preliminares 130 Teorema (Desigualdad de Schwarz) Sea V un espacio vectorial con producto interno ; Para cada par de vectores u y v de V se satisface la desigualdad u; v u v Sean u y v vectores de un espacio vectorial V con producto interno ;, si u y v no son nulos, la medida del ángulo entre ellos se define como u; v θ = arc cos u v 131 Definición Sea V un espacio vectorial con producto interno ; : 1 Se dice que dos vectores u y v de V son ortogonales si u; v = 0 2 Se dice que un conjunto C = {v 1 v 2 v n} de vectores de V es ortogonal si v i; v j = 0 para i = j i j = 1 2 n 3 Se dice que un conjunto C = {v 1 v 2 v n} de vectores de V es ortonormal si C es ortogonal y cada vector de C es unitario, o sea si: ( 1 si i = j v i; v j = δ ij = ; i j = 1 2 n 0 si i = j 4 Se dice que dos conjuntos no vacíos, C 1 y C 2, de vectores son ortogonales, si para cada par de vectores u C 1 y v C 2 u; v = Teorema Sea V un espacio vectorial con producto interno ; Si C = {v 1 v 2 v n} es un conjunto ortogonal que no contiene al vector entonces C es linealmente independiente 133 Teorema (Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt) Sea W un subespacio no nulo de un espacio vectorial V de dimensión finita k con producto interno ; y sea B = {w 1 w 2 w k} una base de W Entonces C = {v 1 v 2 v k} es una base ortogonal de W y C = {v 1 v 2 v k} es una base ortonormal de W, donde: v 1 = w 1 v 2 = w2; v1 w 2 v 1; v 1 v1 v 3 = w3; v1 w3; v2 w 3 v1 v 1; v 1 v 2; v 2 v2 v k = k 1 X w k; v i w k vi v i; v i i=1 y donde v i = vi para i = 1 2 k v i 134 Teorema Sean v 1 v 2 v k vectores no nulos de un espacio vectorial V de dimensión n > k, con producto interno ; Si C 1 = {v 1 v 2 v k} es un conjunto ortogonal (respectivamente ortonormal), entonces existe un conjunto ortogonal (respectivamente ortonormal) C 2 = {w 1 w 2 w n k} de vectores de V tal que B = C 1 C 2 es una base ortogonal (ortonormal) de V Más aún, si U = v 1 v 2 v k y si W = w 1 w 2 w n k entonces V = U W y además, U y W son ortogonales 10

11 Preliminares 13 Transformaciones lineales 13 Transformaciones lineales En esta sección se consideran los aspectos más importantes sobre las transformaciones lineales En lo que sigue; U V y W denotarán espacios vectoriales 135 Definición Una función T : U V es una transformación lineal, si para cualquier para de vectores u 1 u 2 en U y todo escalar α se tiene que: (i) T u 1 + u 2) = T u 1) + T u 2) (ii) T αu 1) = αt u 1) 136 Ejemplo Algunos ejemplos de transformaciones lineales son: 1 Para cada U la función idéntica I : U U u I u) = u 2 Para cada matriz A m n la función A : R n R m definida por x y = Ax 137 Teorema Sean U y V espacios vectoriales, B = {u 1 u 2 u n} una base de U y T : U V es una transformación lineal Entonces T queda determinada por los vectores T u 1) T u 2) T u n) Asociados a toda transformación lineal hay dos subespacios importantes a saber; su núcleo y su imagen El primero de ellos corresponde a todos lo elementos del espacio U que son transformados en el elemento nulo del espacio V ; el segundo, corresponde a todos los elementos del espacio V que tienen al menos una preimagen en el espacio U En forma más precisa tenemos 138 Definición Sea T : U V es una transformación lineal 1 El núcleo de T se denota por N T ) y se define así: N T ) = {u U : T u) = 0} 2 La imagen de T se denota por Img T ) y se define así: Img T ) = {T u) : u U} 139 Definición Sea T : U V una transformación lineal 1 Se dice que T es inyectiva (biunívoca o uno a uno), si dos elementos distintos u 1 u 2 U, tienen imagen distinta Esto es, si y sólo si u 1 = u 2 implica T u 1) = T u 2); para todo u 1 u 2 U 2 Se dice que T es sobreyectiva (o simplemente sobre), si cada elemento del espacio V posee al menos una preimagen en U Esto es si y sólo si Para todo v V existe un u U tal que T u) = v El siguiente teorema resume algunos aspectos básicos de las transformaciones lineales 140 Teorema Sea B = {u 1 u 2 u n} un subconjunto de vectores de U y sea T : U V una transformación lineal: 1 N T ) es un subespacio vectorial de U 2 T es inyectiva sii N T ) = { } 3 Img T ) es un subespacio vectorial de V 4 Si B es una base de U, entonces {T u 1) T u 2) T u n)} genera al espacio Img T ) 5 Si T es inyectiva y B es linealmente independiente, entonces el conjunto {T u 1) T u 2) T u n)} es linealmente independiente en V 6 dim N T ) + dim Img T ) = dim U A la dimensión de N T ) se le llama nulidad de T y a la dimensión de Img T ) se llama rango de T 11

12 13 Transformaciones lineales Preliminares 131 Matriz de una transformación lineal referida a un par de bases ordenadas A cada transformación lineal se le puede asignar una matriz A la cual está determinada por las bases de los espacios vectoriales involucrados en dicha transformación Se verá en esta sección, que una tal asignación simplificará muchos cálculos Es decir, será más conveniente trabajar con la matriz asociada a una transformación lineal (referida a ciertas bases), que con la transformación lineal misma 141 Definición Sean U y V espacios vectoriales, T : U V una transformación lineal y sean B 1 = {u 1 u 2 u n} y B 2 = {v 1 v 2 v m} bases ordenadas de U y de V respectivamente La matriz de T referida a las bases B 1 y B 2 se denotará por [T ] B B 2 y corresponde a la matriz m n dada por: [T ] B B 2 = ˆ [T u 1)] B2 [T u 2)] B2 [T u n)] B2 142 Teorema Sean U y V espacios vectoriales, T : U V una transformación lineal y sean B 1 = {u 1 u 2 u n} y B 2 = {v 1 v 2 v m} bases ordenadas de U y de V respectivamente Para cada u U se tiene que: [T u)] B2 = [T ] B B 2 [u] B Nota Por el teorema anterior y por el teorema 137, la transformación lineal T queda completamente determinada por el conocimiento de las bases B 1 y B 2, y de la matriz [T ] B B álgebra de transformaciones lineales Inversa de una transformación lineal En esta sección se consideran las operaciones de suma, multiplicación por un escalar y composición entre transformaciones lineales Así mismo se abordará la relación existente entre las matrices asociadas correspondientes En este apartado U V y W denotan espacios vectoriales 143 Teorema Sean T : U V y S : U V transformaciones lineales y α un escalar Sean además B 1 y B 2 bases ordenadas de U y V respectivamente: 1 La función suma de T y S; T + S) : U V definida por T + S) u) = T u) + S u) es una transformación lineal Más aún [T + S] B B 2 = [T ] B B 2 + [S] B B 2 2 La función múltiplo escalar de T ; αt ) : U V definida por αt ) u) = αt u) es una transformación lineal Más aún [αt ] B B 2 = α [T ] B B 2 12

13 Preliminares 14 Espacios fundamentales de matrices Nota Sean U, V dos espacios vectoriales, se denota con L U V ) al conjunto de todas las transformaciones lineales entonces: 1 El conjunto L U V ) junto con las operaciones mencionadas en el teorema anterior es un espacio vectorial además, si dim U = n y dim V = m entonces dim L U V ) = m n 2 De la misma forma como una base B 1 de U determina la correspondencia biunívoca entre los espacios vectoriales V y m 1, dada por, v [v] B2 ; las bases B 1 y B 2 de U y V, determinan la correspondencia biunívoca entre los espacios L U V ) y m n, la cual está dada por T [T ] B B 2 Esta correspondencia preserva la suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector, tal como se establece en el teorema anterior En otras palabras, esta correspondencia es una transformación lineal 144 Teorema Sean T : U V y S : V W transformaciones lineales Entonces, la composición S T : U W es una transformación lineal Si además, B 1 B 2 y B 3 representan bases ordenadas para los espacios U V y W respectivamente, entonces se tiene que: [S T ] B B 3 = [S] B2 B 3 [T ] B B Teorema Si T : U V es una transformación lineal biyectiva, entonces la función inversa de T, T 1 : V U es una transformación lineal y la matriz [T ] B B 2 es invertible Además, 1 ˆT = ˆT 1 B2 B B B Matrices semejantes Cambio de baseo por gen{v 1 v 2 v n} Los conceptos de matrices semejantes y cambio de base serán particularmente útiles en el capítulo 4 para el estudio de los valores propios y los vectores propios de una transformación lineal 146 Definición [Matrices semejantes]sean A y B matrices cuadradas de orden n, se dice que A y B son semejantes, si existe una matriz invertible P tal que B = P 1 AP 147 Definición [Matriz cambio de base]sean B 1 y B 2 bases ordenadas del espacio vectorial U y sea I : U U la transformación lineal idéntica La matriz P = [I] B B 2 se denomina matriz de cambio de base de la base B 1 a la base B 2, (ésto debido a lo enunciado por el teorema 142, [u] B2 = [I] B B 2 [u] B ) 148 Teorema Sean T : U U una transformación lineal y B 1 y B 2 bases ordenadas de U 1 La matriz de cambio de base de la base B 1 a la base B 2 P = [I] B B 2, es invertible y su inversa es la matriz de cambio de base de la base B 2 a la base B 1 2 Las matrices A = [T ] B2 B 2 y B = [T ] B B son matrices semejantes, además se tiene [T ] B B = [I] 1 B B 2 [T ] B2 B 2 [I] B B 2 = P 1 [T ] B2 B 2 P 14 Espacios fundamentales de una matriz Rango de una matriz Sistemas de ecuaciones lineales En esta sección se consideran los llamados espacios fundamentales de una matriz A Dos de estos espacios son precisamente el núcleo y la imagen de la transformación lineal x y = Ax, los cuales están relacionados con el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales Ax = y El lector recordará de los resultados de un primer curso de álgebra lineal, que el espacio fila y es espacio columna de A tienen igual dimensión A ese número común se le denomina rango de A y se denota por ρ A) Sea A una matriz m n El subespacio de R n generado por las filas de A se denomina espacio fila de A y lo denotamos por F A); esto es, F A) = A 1 A 2 A m El subespacio de R m generado por las columnas de A se denomina espacio columna de A y lo denotamos por C A); esto es, C A) = A 1 A 2 A n El 13

14 14 Espacios fundamentales de matrices Preliminares espacio formado todas soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales Ax = se denomina espacio nulo de una matriz, esto es, el espacio nulo es el conjunto De otro lado, el subespacio de R n ; se denomina imagen de A N A) = {x R n : Ax = } Img A) = {Ax : x R n } 149 Teorema Para cualquier matriz A se tiene que = {y R m : y = Ax para algún x R n } dim F A) = dim C A) 150 Teorema Sea A una matriz arbitraria entonces: 1 F A) y N A) son ortogonales ésto es, sus elementos son ortogonales entre si 2 C A) y N A t ) son ortogonales ésto es, sus elementos son ortogonales entre si 151 Teorema Sean A y B matrices de tamaño adecuado, tales que las operaciones siguientes están definidas 1 C AB) C A) y F AB) F B) 2 Si P y Q son matrices invertibles de tamaño apropiado a) C A) = C AQ) b) F A) = F P A) 3 C A + B) C A) + C B) y F A + B) F A) + F B) 4 Para cualquier matriz A se tiene que: N A) = N A T A) Nota Según el inciso 2(b) del teorema anterior y según el teorema 18, si R es la forma escalonada reducida de la matriz A entonces F A) = F R) 152 Teorema Sea A una matriz m n La imagen de la transformación lineal A : R n R m, x y = Ax, es el espacio columna de A; esto es, Img A) = C A) = {Ax : x R n } Nota De acuerdo con el inciso (3) del teorema 140 y de acuerdo con los teoremas 149 y 152: si A es una matriz m n, entonces dim N A) + dim F A) = n Análogamente, puesto que F A t ) = C A), De otra parte, con base en la nota 123, dim N A T ) + dim C A) = m R n = F A) N A) y R m = C A) N A T ) es decir, los subespacios F A) y N A) de R n son complementarios Así mismo, los subespacios C A) y N A t ) de R m son complementarios Esto implica entonces, que cada x R n y cada y R m se pueden expresar en forma única así: x = f + n y y = c + u, donde f n c y u pertenecen a F A) N A) C A) y N A T ) respectivamente (ver figura 11) Nota Según las definiciones, el núcleo de la transformación lineal x y = Ax es el espacio nulo de A 14

15 Preliminares 14 Espacios fundamentales de matrices IR n IR m F(A) f x=f+n n N(A) (A) Ax=Af c y=c+u u T N(A ) Figura 1 1 Transformación lineal De otro lado, si definimos el rango de la matriz A, ρ A), como el rango de la transformación lineal x y = Ax, entonces se tiene que rango de A es la dimensión del espacio columna de A 153 Teorema Sea A una matriz m n entonces: 1 ρ A) es igual al número máximo de filas linealmente independientes de la matriz A 2 ρ A) es el número máximo de columnas linealmente independientes de la matriz A 3 ρ A) es el número de filas no nulas de la forma escalonada reducida de la matriz A 4 Para cualquier matriz A ρ A) = ρ A T ) = ρ AA T ) = ρ A T A) 5 Si A es una matriz m n y B es una matriz n k, entonces ρ AB) ρ A) y ρ AB) ρ B) 6 Si P es una matriz invertible m m y Q es una matriz invertible n n, entonces ρ A) = ρ P A) = ρ AQ) = ρ P AQ) 7 Si A y B son matrices m n, entonces ρ A + B) ρ A) + ρ B) 154 Teorema Sea A una matriz m n y sea y un vector m 1 1 El sistema de ecuaciones Ax = y tiene solución sii y C A) 2 El sistema de ecuaciones Ax = y tiene solución sii el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz aumentada del sistema [A y], es decir sii ρ A) = ρ [A y]) 3 Para el sistema de ecuaciones lineales Ax = y se da una y sólo una de las opciones siguientes: a) El sistema no tiene solución, en cuyo caso y / C A) b) El sistema tiene infinitas soluciones, en cuyo caso su conjunto solución es una variedad lineal de la forma S = {x p + x h : x h N A)} donde x p es una solución particular del sistema; ésto es, Ax p = y, además, dim N A) > 0 c) El sistema tiene una única solución En este caso se tiene que N A) = { } El teorema siguiente recoge, teóricamente, el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales 155 Teorema Sean A una matriz m n y y un vector n 1 Si P es una matriz invertible m m tal que P A = R, donde R es la forma escalonada reducida de A entonces Ax = y sii Rx = P y; esto es, los sistemas de ecuaciones lineales Ax = y y Rx = P y tienen el mismo conjunto solución En particular, si y = ; Ax = sii Rx = 156 Teorema (Resumen) Sea A una matriz cuadrada de orden n Las afirmaciones siguientes son equivalentes: 1 det A) = 0 2 A es invertible 3 La forma escalonada de A en I n 15

16 14 Espacios fundamentales de matrices Preliminares 4 Los vectores fila de A son linealmente independientes 5 El espacio fila de A es R n, es decir, F A) = R n 6 Los vectores columna de A son linealmente independientes 7 El espacio columna de A es R n, es decir, C A) = R n 8 El rango de la matriz A es n 9 N A) = { } 10 El sistema de ecuaciones lineales Ax = tiene la única solución x = 11 Para todo y R n, El sistema de ecuaciones lineales Ax = y tiene solución Por último, consideramos un método para calcular una base de cada uno de los espacios fundamentales de una matriz m n arbitraria A El método consiste en efectuar los pasos siguientes: Paso 1 Forme la matriz [A T I n] Paso 2 Efectúe operaciones elementales sobre las filas de la matriz anterior hasta obtener la forma escalonada reducida Al final se obtiene la matriz puede describir por bloques así: E r m P r n 5 donde r = ρ A) n r) m P n r) n Los vectores fila de la matriz E r m conforman una base para C A) y los vectores fila de la matriz P n r) n conforman una base para N A) Al llevar a cabo el paso 2 con la matriz [A I m] se obtienen sendas bases para C A T ) = F A) y N A T ) 16

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