EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) 11 de febrero de 2009

Transcripción

1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 Sólo una respuesa a cada cuesión es correca. Respuesa correca:. punos. Respuesa incorreca: -. punos Respuesa en blanco: punos.- Sea ABC un riángulo esférico recángulo (A 9º). Se verifica: X a) B, C agudos b, c agudos. b) B, C agudos a obuso. c) B agudos, C obuso a agudo..- Sea A B C el riángulo esférico polar del ABC. Se verifica: a) a 8º - A. X b) A 8º - a. c) A 8º - A..- Sabiendo que el polinomio de MacLaurin de una ciera función f() es,! enonces, en : X a) es un infiniésimo equivalene a f(). b) es un infiniésimo equivalene a f().! c) f() es un infiniésimo..- Sea p() + el polinomio de MacLaurin de orden de la función f. Enonces: a) f iene un mínimo en. X b) f iene un máimo en. c) Ninguna de las dos aneriores. ( 5.- Sea la curva dada por las ecuaciones paraméricas para I. Si en el y y( puno P ( ), y( )) con I se verifica que ( ), y'( ), enonces podemos ( ' afirmar que: X a) La reca angene a la curva en P es una reca verical. dy b) En P la derivada vale. d c) Ese dao no es relevane para describir la curva. 6.- Si una función y f() es coninua en R y la reca y 5 es una asínoa horizonal cuando ±, enonces podemos afirmar que: a) 5 es una coa, o bien superior o bien inferior de los valores de la función. X b) La curva esá acoada superior e inferiormene pero no podemos inferir el valor de posibles coas de la función. c) Ese dao no apora ninguna información sobre si la curva esá o no acoada. 7.- La inegral impropia a) Γ (). b) Γ (). e d es convergene y su valor es: U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía

2 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 Γ() X c). 8.- La derivada de la función X a) b) c) ln( ). ln( ). ln(). 9.- Si A es una mariz y F() ln d es: A enonces 8 A vale: a). X b) 6. c)..- Todo sisema de ecuaciones lineales homogéneo cumple: a) Su mariz de los coeficienes iene inversa. b) Tiene solución única. X c) Es compaible. MATEMÁTICAS I PRIMER PARCIAL (Primera Pare) -II-9. Teoría. Conesar sólo a una de las dos pregunas siguienes: a) Dadas las ecuaciones paraméricas de una curva: () dy d y, deducir la epresión general para las derivadas:,. y y() d d dy d y () + sen Calcular dichas derivadas, para la curva concrea: d. d y() cos b) Definir coordenadas polares de un puno del plano. Razonar si son únicas. Deducir la relación que eise enre las coordenadas polares y las coordenadas caresianas recangulares de un puno. Si las coordenadas caresianas de un puno son P(, ) en el sisema de referencia R O,, y, calcular las coordenadas polares de P en el sisema de { } referencia polar R { O,o + } ( puno). Un avión pare de una ciudad A(Cádiz) hacia ora ciudad B(Brisol). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son: A (longiud: 6º O, laiud: 6º N) B (longiud: º 8 O, laiud: 5º 7 N) a) Calcular la disancia enre ambas ciudades d(a B). b) Sabiendo que las coordenadas geográficas de ora ciudad C(Oviedo) son (longiud: 5º 5 O, laiud: º N) y conocidas las disancias: d(a, C) 76.6 km, d(b, C) 9.9 km, hallar la disancia aproimada a la que pasa el avión de la ciudad C. U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía

3 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 Noa: omar, en ambos aparados, el radio de la esfera sobre la que realizar los cálculos R 67 km. (.5 punos). Dada la función f (), calcular su derivada f '(). (.5 punos) α. Dada la curva en coordenadas polares r e, con α <, se pide: a) El área de la región enre la curva y el eje OX. b) La longiud de la curva. (.75 punos) 5. a) En el siguiene sisema de ecuaciones mariciales formado por marices AX + Y I cuadradas de orden, se pide obener las marices X e Y: X + Y O Siendo I la mariz unidad de orden y la mariz nula de orden. b) Dada la ecuación maricial B (D + XA) BXA - C, donde las marices A, B, C y D son marices cuadradas inversibles, se pide obener la mariz X. ( puno) Final de esa primera pare: h 55m. Fecha publicación de noas: lunes de Febrero a las. h. Fecha de revisión de eamen: mares de Febrero a las.h. Primer parcial de Maemáicas I ª Pare (Con Derive) //9 Duración: h y m. 6. Calcular el polinomio de MacLaurin de grado res de la función sen(), con su π correspondiene reso de Lagrange. Acoar el error comeido en el cálculo de sen con el polinomio anerior. Hallar el grado del polinomio para que el error fuera menor que -5. (.5 punos) 7. Dada la curva dada por las ecuaciones paraméricas a) Hallar el campo de variación del parámero. b) Esudio de la eisencia de simerías. ( + y(, se pide: U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía

4 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 c) Hallar las asínoas de la curva. d) Hallar los punos críicos. e) Calcular los punos de angencia horizonal, verical y singulares. f) Esudio del crecimieno por ramas. (.5 punos) 8. Hallar el área limiada por las regiones: +y ; +y ; y ; y ( puno).- Un avión pare de una ciudad A(Cádiz) hacia ora ciudad B(Brisol). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son: A (longiud: 6º O, laiud: 6º N); B (longiud: º 8 O, laiud: 5º 7 N) a) Calcular la disancia enre ambas ciudades d(a B). b) Sabiendo que las coordenadas geográficas de ora ciudad C(Oviedo) son (longiud: 5º 5 O, laiud: º N) y conocidas las disancias: d(a, C) 76.6 km, d(b, C) 9.9 km, hallar la disancia aproimada a la que pasa el avión de la ciudad C. Noa: omar, en ambos aparados, el radio de la esfera sobre la que realizar los cálculos R 67 km. a) N Polo nore en N. En el riángulo ABN: b a A n B N 6º º 8 º a 9º - 5º 7 8º, b 9º - 6º 5º. G Teorema del coseno en ese riángulo: cos n cos a cos b + sen a sen b cos N n 5º 8.65 En unidades lineales: n l π 67 n g km. 6 b) Las disancias enre las ciudades d(a, C) y d(b, C) en unidades angulares son: d(a, C) lin 8 d(a, C) ang 6º π 67 d(c, B) lin 8 d(c, B) ang 8º 58.5 π 67 La disancia pedida es la alura h sobre el lado c (arco AB), del riángulo esférico de vérices A, B y C. Calculemos el ángulo en A: U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía

5 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 cos a cos b cos b + sen b sen b cos A A 5º 7 5. Dicha alura es un caeo en un riángulo esférico recángulo uno de cuyos ángulos es A y la hipoenusa es b: b Sen h sen b sen A.969 A h g º 5. (pues h ha de ser aguda por serlo su ángulo opueso A). 9º-h En unidades lineales: π 67 h g h km 8.- Dada la función f (), calcular su derivada f '(). f ( ) ' ( ) f '( ) α.- Dada la curva en coordenadas polares r e, con α <, se pide: a) El área de la región enre la curva y el eje OX. b) La longiud de la curva. a) α α α α A r d ( e ) d e d lím e d α α α α α k k ( ) b) α k lím e lím e k k k u α α α α α ( ) ( ) ( ) L r + r' d α e + e d α e d α lím e d α α k k α k k ( ) k u k lím e e líme 5.- a) En el siguiene sisema de ecuaciones mariciales formado por marices AX + Y I cuadradas de orden, se pide obener las marices X e Y: X + Y O Siendo I la mariz unidad de orden y la mariz nula de orden. b) Dada la ecuación maricial B (D + XA) BXA - C, donde las marices A, B, C y D son marices cuadradas inversibles, se pide obener la mariz X. a) Muliplicando la segunda ecuación por y resándola a la primera queda U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía 5

6 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 AX+6XI de donde (A-6I)X I quedando X (A-I) - Susiuyendo ahora en la segunda ecuación queda ((A-I) - )+Y despejando Y -(9/) (A-I) - b) Operando, BXA+BD -C+BXA por ano, BD+C BXA y despejando la mariz X X (/)B - (BD+C)A - 6. Calcular el polinomio de MacLaurin de grado res de la función sen(), con su correspondiene reso de Lagrange. Acoar el error comeido en el cálculo de π sen con el polinomio anerior. Hallar el grado del polinomio para que el error fuera menor que -5. Polinomio de MacLaurin TAYLOR(SIN( ),,, ) n+ n+ ) Resos de Lagrange: E() Rn() f (c) (n + )! d sen() 6sen() siendo R ( ) sen () 6sen(c) c [, ] d! Coa del error comeido: sen(π/) sen(π/) como la función es sen() el valor de para el que se obiene sen(π/) es π/ π/ π π π ma 6 ( ) π R 6 sen c sen.5 π c [,!! sen() ]. (el máimo se da en c π/) Para n obenemos 5 5 d sen() cos() siendo R n () sen() cos(c) c [,] d 5! sen() π c [, ] 5 π π π R n ma cos(c) 5!!.5-5 (el máimo se da en c ) Para n 5 6 d sen() 6sen() siendo d 6 R n 5() sen() 6sen(c) c [,] 6! U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía 6

7 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 sen() π c [, ] π π π R n 5 ma 6sen(c) π 6sen!!. -7 (el máimo se da en c π/) El grado del polinomio mínimo es n5 para garanizar un error inferior a -5 ( + 6. Dada la curva dada por las ecuaciones paraméricas y( a) Hallar el campo de variación del parámero. b) Esudio de la eisencia de simerías. c) Hallar las asínoas de la curva. d) Hallar los punos críicos. e) Calcular los punos de angencia horizonal, verical y singulares. f) Esudio del crecimieno por ramas., se pide: a) El campo de variación del parámero es R-{-,} b) Esudio de simerías: ( ( (, (, y(, luego no podemos apreciar ninguna simería respeco de OX, OY, Origen o bisecriz del primer cuadrane. c) Cálculo de asínoas: la curva solo puede ener asínoas para los valores del parámero donde, o bien (, o bien y ( no esán definida o cuando ±. Por lo ano, hemos de esudiar, usando límies, cómo se compora la curva cuando,-, ±,. Veamos que ocurre cuando : - lim, [, ± ] + Luego, la curva presena la asínoa verical Ahora esudiamos cómo se compora la curva cuando -: - lim, [±, ] - + Luego, en -, la curva presena la asínoa horizonal y Y hacemos lo mismo cuando ±, U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía 7

8 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 - lim, [-, ] lim, [, - ] + + Luego cuando ±, la curva puede presenar asínoas oblicuas. Aplicamos el procedimieno de cálculo de los coeficienes de las asínoas, en primer lugar cuando m lím y( ( lím + lím ( )( + n lím y( ( lím + + lím. + Luego y es una asínoa oblicua hacia + (observa que si ). Aplicamos el mismo procedimieno para - m lím y( ( lím + lím ( )( + n lím y( ( lím U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía lím. + Luego y es una asínoa oblicua ambién hacia - (si - - ). d) Cálculo de punos críicos: hallamos los valores de para los que las derivadas se anulan o no eisen. d - ( + ) +,, - d + ( + ) SOLVE( ( + ),, Real) ( se anula para - SOLVE(( + ),, Real) ( no eise para - SOLVE( +,, Real) False, es decir, y ( no se anula en ningún caso SOLVE(,, Real) y ( no eise para

9 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 Luego, los punos críicos de la curva (donde puede cambiar el senido del crecimieno) son : -, -, dy y'( e) Punos de angencia horizonal son aquellos donde d '( no hay pues y ( para odo. '( y'( dy y'( '( Punos de angencia verical son aquellos donde d '( y'( sólo hay uno el correspondiene a -, susiuyendo en las ecuaciones de la curva, se obiene: P 8, Punos singulares son aquellos donde y ( para odo. dy d y'( '( '( y'( no hay pues f) Crecimieno por ramas: Inervalo para (, ) ( ) P inicial P final Sg ( () Sg (y () dy y' ( Sg sg d ' ( +, 8, (-,-) 8, (-,) (-,) (-,) (,- ) (, ) (, ) (, ) + + decreciene + creciene + creciene decreciene U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía 9

10 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 8. Hallar el área limiada por las regiones: +y ; +y ; y ; y #: + y > #: + y < #: y < #: y > #5: + y > y > + y < y < #6: SOLVE( + y, y, [, y]) #7: [ y, y ] #8: SOLVE( + y, y, [, y]) #9: [ y, y ] U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía

11 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 #: SOLVE( + y, [y]) #: [y ( ( - )), y - ( ( - ))] #: SOLVE( + y, [y]) #: [y ( ( - )), y - ( ( - ))] #: ( - ( ( - ))) d + ( ( - )) d π #5: + U. D. de Maemáicas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Carografía