Fundamentos de Ciencias de la Computación

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1 Fundamentos de Ciencias de la Computación Clase 16: Problema de Primer Cuatrimestre de 2005 Departamento de Cs. e Ing. de la Computación Universidad Nacional del Sur Bahía Blanca, Argentina Un problema de decisión de especial importancia es el problema de detención de la máquina de Turing (Halting Problem) Problema de Detención de MT (The Halting Problem): Dada una MT T y una cadena α, existe un algoritmo para decidir si T se detendrá comenzando en el estado inicial con α en la cinta? Problema Insoluble! 1 2 Alan Turing, a fines de 1930, enunció demostró que este problema es. Teorema: El problema de de la máquina de Turing no es algorítmicamente soluble. y... # α #... MT T Algoritmo DetenciónMT Dato de Entrada: T, α Dato de Salida: Estado Comienzo... Devolver Estado con valor se detiene o cicla Fin Resultados auxiliares a utilizar: Si L es recursivo, entonces su complemento también lo es Turing ha demostrado que este algoritmo NO EXISTE 3 4 En un lenguaje de alto nivel (ej: Pascal) podríamos escribir un simulador de máquinas de Turing. Dada una MT T y una cadena α, podrán ocurrir tres situaciones 1. El cómputo de T es exitoso; el simulador dará como salida el resultado de la evaluación y se detendrá. 2. T no puede computar el valor para α, y se detendrá (ej: imprimiendo un mensaje). 3. T no se detiene y cicla. El simulador también lo hará. He aquí donde el problema de la detención se hace presente! Supongamos que el problema es soluble, y el procedimiento EjecYSiempreParar(P,E,Res) recibe una MT P y una entrada E, y simula P sobre E. Si P se detiene con la entrada E, devuelve Sí. Si P entra en ciclo infinito, retorna No. P es una descripción codificada de una Máquina de Turing 5 6

2 En particular, si la entrada es la misma descripción, es válido invocar a: EjecYSiempreParar(P,P,Res) En este caso nos dice si la MT P se detiene o no comenzando con la cadena P en la cinta. Consideremos el siguiente algoritmo, que cicla infinitamente en un caso en particular... Procedure Diagonal(X): EjecYSiempreParar(X,X,Res) El procedimiento Diagonal para sssi EjecYSiempreParar responde No (X cicla) El procedimiento Diagonal cicla infinitamente sssi EjecySiempreParar responde Si (X se detiene) 7 8 Procedure Diagonal(X): EjecYSiempreParar(X,X,Res) Diagonal se detiene si X cicla Diagonal cicla infinitamente si X se detiene 9 Qué pasa si ejecutamos Diagonal(Diagonal)? Procedure Diagonal(Diagonal): EjecYSiempreParar(Diagonal,Diagonal, Res) El procedimiento Diagonal para sssi EjecYSiempreParar responde No (Diagonal cicla) El procedimiento Diagonal cicla infinitamente sssi EjecySiempreParar responde Si (Diagonal se detiene) 10 Qué pasa si ejecutamos Diagonal(Diagonal)? Procedure Diagonal(Diagonal): EjecYSiempreParar(Diagonal,Diagonal, Res) Diagonal se detiene si Diagonal cicla Diagonal cicla si Diagonal se detiene Esto es absurdo, y proviene de asumir que existe el algoritmo para resolver el problema de la detención. Luego el problema de la detencion es. 11 Formalizando la intuición de Turing Sea el lenguaje H={ Mw la máquina de Turing M se detiene sobre el input w}. H es recursivo enumerable (pues la MUT justamente se detiene cuando w es aceptado por M). Será H recursivo? Si lo fuera, existiría una MT M 0 que decide si M se detiene al procesar w (esta máquina M 0 resolvería el problema de la detención). Si H es recursivo, ent. el lenguaje H 1 ={ M la MT M para sobre el input M} también lo es. 12

3 Si H 1 ={ M la máquina de Turing M para sobre el input M} es recursivo también lo es su complemento CH 1 (por teorema antes visto): CH 1 ={w o bien w no codifica una MT, o bien w=cod(m) tal que w L(M)}. Casualmente, el lenguaje CH 1 es análogo a nuestro procedimiento Diagonal, y el último paso de nuestra prueba.... Puede CH 1 ser recursivo? 13 Supongamos que hubiera solución para el problema de Puedo definir un lenguaje recursivo H={ Mw M para con input w}. El lenguaje H 1 H, con H 1 ={ M M para con input M} también sería recursivo... El complemento de H 1 es CH 1 = Σ* - H 1. CH 1 ={w o bien w no codifica una MT, o bien w=cod(m) tal que w L(M)}. Si H 1 es recursivo, entonces CH 1 debería serlo (por propiedad) 14 CH 1 ={w w no codifica una MT, o bien w=cod(m) tal que la MT M no se detiene con input w}. Puede CH 1 ser recursivo? Veamos que CH 1 no es recursivo, ni siquiera r.e.! Supongamos que M* es una MT que hace que CH 1 sea r.e. M* para si w CH 1, M* no necesariamente para si w CH 1 Entonces Cod(M*) CH 1? Cod(M*) CH 1? Por def. de CH 1, Cod(M*) CH 1 sssi M* no acepta Cod(M*). Por def. de r.e., si M* la aplicamos a Cod(M*), se tiene que Cod(M*) CH 1 sssi M* acepta Cod(M*). Este absurdo partió de suponer que M 0 existe. Luego M 0 no existe, y el problema de es Funciones Recursivas Parciales y Maq. de Turing Funciones Turing- Computable Problema de la Detención Funciones Recursivas Parciales Función de Inmortalidad (Ver Apunte) Existe un equivalente al problema de en todos los formalismos equivalentes mencionados en la teoría. 17 Reducibilidad: PD1 PD2 - Repaso Dados dos problemas de decisión PD1 y PD2, diremos que PD1 se reduce a PD2 si un algoritmo usado para solucionar PD2 puede usarse para construir la solución para PD1 (notación PD1 PD2). ***#...#*** PD1 PD2 ***#...#*** 18

4 Reducibilidad: PD1 PD2 - Repaso Formalmente: PD1 PD2 si MT M que toma como entrada una codificación de una instancia I 1 D 1 de PD1 y devuelve I 2 D 2, instancia de PD2, tq. si I 1 SI 1 ent. I 2 SI 2 y si I 1 NO 1 ent. I 2 NO 2 Teorema de Reducibilidad - Repaso Teorema: Sean PD1 y PD2 prob. de decisión: (1) Si PD1 PD2, y PD2 es soluble, ent. PD1 también es soluble. (2) Si PD1 PD2, y PD1 es, ent. PD2 también es. ***#I 1 #** ***#I 2 #** ***#R#** PD1 PD2 soluble soluble Corolario del Teorema Anterior Corolario: Sea PDet = problema de de la Máquina de Turing, y sea P i un problema de decisión arbitrario. Entonces si PDet P i, entonces el problema P i es. Este resultado será de utilidad para resolver distintos problemas de decisión. Prob. Detención con Cinta en Blanco P Blanco : Dada una MT T, existe un algoritmo para decidir si T se detiene comenzando con la cinta en blanco? T se detiene sobre la cinta en blanco?... # #... MT T Es este problema soluble? Prob. Detención con Cinta en Blanco Supongamos que es soluble... Dada esta situación: **#T#** Podemos decidir si se detiene sobre α Prob. Detención para Impresión P Print : existe un algoritmo para decidir si una MT T Print se detiene tras escribir s habiendo comenzado con una cadena α sobre la cinta? Probaremos que PDet P Print y por ser PDet, también lo es P Print **#T#α#** ***#T b #*** T T Absurdo, pues el problema de es Luego P Blanco es # α #... MT T Print... # s α #... T Print se detiene 24

5 Prob. Detención para Impresión Supongamos que es soluble... Dada esta situación: *#T#α#s#* *#T#α#* Podemos decidir si T se detiene tras escribir s, comenzando con α en la cinta *#T #α#s#* Absurdo, pues el problema de es Luego P Print es Síntesis demostración por reducibilidad Para demostrar que un problema es : 1. Suponer que el problema es soluble. 2. Tomar un problema que ya se conozca, o pueda demostrarse,, para plantear la reducción. 3. Es importante recordar que debe reducirse el problema elegido en el punto 2 al problema que supusimos soluble (demostración por el absurdo) 4. Demostrar la reducción. No olvidar la conclusión de la demostación. T hace lo mismo que T, pero imprime s antes de detenerse