DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

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Emilio Alcaraz Lagos
hace 5 años
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1 DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis =, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán. Intrprtción ométric d l drivd. s + P t A B + L rct scnt s, cort l curv =, n los puntos A P. Su pndint s: t PB AB Si l punto P s v crcndo l punto A, st conundirs con él, l rct scnt s, s trnsorm n l rct tnnt t l ánulo s trnsorm n l ánulo, s dcir, Cundo P A, qu s quivlnt dcir qu, l límit d l rct scnt s, s l rct tnnt t Pro cundo, t t qu s quivlnt lím t t Por tnto, t pndint d t t lím Qud probdo qu l drivd d un unción n un punto s l pndint d l rct tnnt n dico punto.

2 Drivds ltrls. Ls dinimos por ls siuints órmuls: Drivd por l drc: lím Drivd por l izquird: lím Pr qu un unción s drivbl n un punto tinn qu istir ls drivds ltrls sts sr iuls. Ejmplo : Hll l drivd d l unción n l punto Podmos suir los siuints psos: º. ; º.. º. º. lím lím lím 8 Ejmplo : Dd l unción, ll l cución d l rct tnnt n l punto d bscis =. L pndint d l rct tnnt s l vlor d l drivd: m lím lím lím lím Ls coordnds dl punto son: Pr =, = luo P, Aplicndo l órmul d l cución punto-pndint: m Función drivd. L drivd d un unción n un punto d bscis =, sin dico punto un númro rl, qu s l vlor d l drivd n dico punto. Tmbién podmos considrr un unción qu soci cd punto, l vlor d l drivd n s punto. Rcib l nombr d unción drivd o simplmnt drivd. lím

3 Drivción continuidd. Si un unción s drivbl n un punto, s continu n dico punto. Si l unción s continu no tin por qué sr drivbl. Ejmplo Vmos qu st unción s continu n = : si, s dcir, si si, s dcir, si Los límits ltrls son iuls. Y como, l unción s continu n Sin mbro no s drivbl n dico punto como vmos vr: Eistn ls drivds ltrls pro como no son iuls, l unción no s drivbl n l punto =. Drivds d oprcions con uncions. Aplicndo l dinición d drivd s obtinn ls siuints órmuls: Drivd d un sum o dirnci: Drivd d un producto:..... Drivd d un cocint:

4 Ejmplo : Sn ls uncions ; s dcir, Si summos ls uncions llmos l drivd d l sum, rsult: s dcir, rsultdo qu s l sum d ls drivds d ls uncions por sprdo. Drivd d un unción compust: Rl d l cdn. S l unción compust ] Tnindo n cunt qu. ] ] - ] ] - ]. ] ] - s dcir, l drivd d l composición d s l producto d l drivd d n l punto multiplicd por l drivd d n l punto. ]. Cálculo d drivds. Aplicndo l dinición, trvés dl límit, tnindo n cunt l rl d l cdn, s obtinn ls drivds d ls siuints uncions:

5 TIPO FUNCIÓN DERIVADA Tipo potncil. Ejmplos: ; ;. ;... ;. ; ; ; ;.. TIPO FUNCIÓN DERIVADA Tipo ríz cudrd Ejmplo: ; Tipo ponncil Ejmplos: ; TIPO FUNCIÓN DERIVADA ;. ;. L.. L.. L.. ;.. L. L

6 TIPO FUNCIÓN DERIVADA L L Tipo lorítmico. lo L. lo L Ejmplos: 6 L ; lo ;. L L lo ;.. L L. L TIPO FUNCIÓN DERIVADA Tipo sno sn cos sn cos. Ejmplos: sn ; cos. cos sn ; sn ; sn. sn sn. cos sn ; cos. cos sn ; sn ] ; sn. sn ] sn.cos.6 TIPO FUNCIÓN DERIVADA Tipo cosno cos sn cos sn. Ejmplos: cos ; sn. sn sn cos ; sn. sn 6

7 TIPO FUNCIÓN DERIVADA t t cos Tipo tnnt t. cos Ejmplos: t ; t ;. cos cos t t. t t. cos cos t ; TIPO FUNCIÓN DERIVADA ct sn Tipo cotnnt ct. sn Ejmplos:. sn sn ct ;. sn sn Funcions rco Ejmplos: ct ; TIPO FUNCIÓN DERIVADA rcsn rcsn. rcsn ; rccos rccos. rct. rct. rct ;. 7

8 Drivción lorítmic Si tnmos un unción d l orm F = tomrmos loritmos, plicmos sus propidds drivmos: ln ln F ln F ln F ln F F F ln F Ejmplo ln Hllr l drivd d l unción Srí un rror drivr como si us un unción potncil. Estmos n l cso d drivds dl tipo qu s rsulvn plicndo loritmos nprinos drivndo los dos mimbros d l prsión rsultnt, s dcir, Aplicndo loritmos, L L L. L Y drivndo los dos mimbros,. L. Dspjndo l drivd, L Y como s obtin inlmnt L L Ecución d l rct tnnt un curv n uno d sus puntos. Pr ll l cución d l rct tnnt l curv n l punto d bscis =, procdmos d l orm siuint: 8

9 Hllmos l vlor d l unción n dico punto, con lo qu obtnmos l punto por dond ps l rct tnnt:, Clculmos l pndint d l rct qu s l vlor d l drivd n l punto considrdo: m Aplicmos l órmul d l cución punto pndint m, s dcir, Ejmplo : Ecución d rct tnnt l curv, n l punto d bscis = Pr =,.. L rct ps por l punto, ; m. m, por tnto, m s l rct buscd. Ejrcicios rsultos.- Driv ls siuints uncions: ; b ; c.. b c.- Hll ls drivds d ls uncions siuints: L, cos sn cos L cos sn. ] sn.. 6 sn sn cos cos cos sn. sn cos cos snsn 9

10 .- Dmustr, plicndo l dinición, qu l drivd d un constnt s. S l unción constnt k Como l unción s constnt, k Entoncs, o k k.- Hll l drivd d l unción L Ants d drivr s convnint dsrrollr l prsión lorítmic: L Tnindo n cunt l loritmo d un cocint, L L Y or drivmos;.- Driv simpliic: Aplicndo l órmul d l drivd d un cocint, ] Driv simpliic:.. Rlizndo ls oprcions dl numrdor,

11 si 7.- S considr l unción si si Estudi si s drivbl n los puntos = = si si si Punto = : Ls drivds ltrls istn pro no son iuls luo l unción no s drivbl n dico punto. Punto = : Ocurr lo mismo, istn ls drivds ltrls pro no son iuls. L unción no s drivbl n =. 8.- Driv simpliic l unción L cos cos Ants d drivr dsrrollmos l loritmo: L cos cos cos L cos Y or drivmos: sn sn sn sn.. cos cos cos cos sn sn s dcir,. cos sn sn cos L L cos L cos cos. sn sn.cos sn sn cos cos cos 9.- Hll l pndint d l rct tnnt l curv n l punto d bscis =. Escrib l cución d dic rct. L pndint s l vlor d l drivd: Pndint: m. Ecución d l rct: m Ncsitmos ls coordnds dl punto: Pr =, 7 ; P, 7 L cución d l rct s, por tnto, 7

12 Drivds sucsivs Si drivmos l drivd d un unción, drivd primr, obtnmos un nuv unción qu s llm drivd sund, ''. Si volvmos drivr obtnmos l drivd trcr, '''. Si drivmos otr vz obtnmos l curt drivd ' v sí sucsivmnt. Ejmplo: Clcul ls drivds ª, ª, ª ª d: Drivd nésim En lunos csos, podmos ncontrr un órmul nrl pr culquir d ls drivds sucsivs pr tods lls. Est órmul rcib l nombr d drivd nésim, ' n. Ejmplo: Clcul l drivd nésim d:

13 Drivds d uncions implícits Un corrspondnci o un unción stá dinid n orm implícit cundo no prc dspjd l sino qu l rlción ntr vin dd por un cución d dos incónits cuo sundo mimbro s cro. Pr llr l drivd n orm implícit no s ncsrio dspjr. Bst drivr mimbro mimbro, utilizndo ls rls vists st or tnindo prsnt qu: '=. En nrl '. Por lo qu omitirmos ' djrmos '. Cundo ls uncions son más compljs vmos utilizr un rl pr cilitr l cálculo: Dirncil d un unción S un unción drivbl. Dirncil d un unción corrspondint l incrmnto d l vribl indpndint, s l producto '. S rprsnt por d.

14 L dirncil n un punto rprsnt l incrmnto d l ordnd d l tnnt, corrspondint un incrmnto d l vribl indpndint. Clculr l dirncil d ls uncions:

15 Ejrcicios propustos.- Driv ls siuints uncions: ; b : c.- Driv simpliic:.- Driv ls siuints uncions lorítmics: L ; L ; lo 6.- Driv simpliic: L sn sn.- Clcul: Drivd d n l punto d bscis = b Drivd d L n = c Drivd d cos n = 6.- Qué vlors n d tnr b pr qu l unción s drivbl n =? b si si 7.- Hll l cución d l rct tnnt l curv sn n l punto d bscis =. 8.- Driv l unción 9.- El spcio rcorrido por un móvil vin ddo por l unción s t t t dond s s mid n mtros t n sundos. Clcul l vlocidd n l instnt t = sundos..- Utilizndo l dinición d drivd, dmustr qu l drivd d s..- Di si l unción si s drivbl n =. - si.- Driv simpliic: L ; L ; sn ; rc sn m ; rc cos cos Sol. ; ; ; cos m m ;

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