MATEMÁTICAS II 2011 OPCIÓN A

Transcripción

1 MTEMÁTICS II OPCIÓN Ejrcicio : Una vnana normanda consis n un rcángulo coronado con un smicírculo. D nr odas las vnanas normandas d prímro m, halla las dimnsions dl marco d la d ára máima. Solución: El ára dl rcángulo s as por alura. Como hmos llamado a la as "" a la alura "" noncs: Ára dl rcángulo = r El ára dl smicírculo s sindo r. Por ano: Ára dl smicírculo = En conscuncia, l ára d la vnana srá: Ára vnana = Dado qu l prímro d la vnana s:

2 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] Prímro vnana = Saindo qu l prímro ha d sr igual a m, onmos: Dspjando: Qurmos uscar la vnana d ára máima prímro, para llo, ndrmos qu maimizar la función ára d la vnana (v). Como ésa saa n función d las varials, susiuirmos l valor d ndrmos la función v dpndin sólo d la varial. ) ( v v ) ( v Drivando rspco d igualando a cro: ) ( v Onmos ahora la sgunda drivada comproamos l signo: ) ( v La sgunda drivada, indpndinmn dl valor d, srá simpr ngaiva. En conscuncia, podmos dcir qu onmos la vnana d máima ára para:. Las dimnsions dl marco srán por ano:, m m

3 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Calculmos ahora l radio l prímro d la smicircunfrncia: r m, P m - hora lo rsolvrmos con Wiris: Figura. Enlac con l jrcicio rsulo n la W: Ejrcicio : Calcula l valor d >, saindo qu l ára d la rgión comprndida nr la curva la rca s d unidads cuadradas. Solución: La rca, al sr >, s ncunra n l primr cuadran pasa por l puno (, ). La c urva s una paráola qu no oma valors ngaivos. Vamos dond s coran:

4 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] El ára s / u.c. Por ano: d d Onmos la siguin cuación: u l u.l.= unidads d longiud. - hora lo rsolvrmos con Wiris: Figura. Enlac con l jrcicio rsulo n la W: Ejrcicio : Considra las marics: B

5 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño a) Ha algún valor d para l qu no inn invrsa? ) Para, rsulv la cuación maricial. B X Solución: parado a). Samos qu si l drminan d la mariz s nulo, la mariz no admi invrsa. Enoncs, vamos para qu valors d l drminan s cro. Esa cuación no in solución ral para lugo sa mariz ndrá invrsa para cualquir valor d. parado ). Para rsolvr la cuación B X dspjarmos X: B X B I X I B X En conscuncia, para onmos:. Calculmos la invrsa d sa mariz.. Mariz adjuna:. dj Por ano: Como dj

6 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS]. B X - hora lo rsolvrmos con Wiris: Figura. Enlac con l jrcicio rsulo n la W: 6

7 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Ejrcicio : Dados los punos (,, ), B(,, ) P(, -, ) la rca r dfinida por. z a) Halla los punos d la rca r cua disancia al puno P s d unidads. ) Calcula l ára dl riángulo BP. Solución: parado a). Sa X un puno cualquira d la rca r. Samos qu la disancia d X, P XP Considrando la rca r hacindo ndrmos z =. Por ano, l puno srá X,,. Dado qu la d X, P XP. Elvando amos mimros al cuadrado nmos: 9 6 Por ano, onmos dos punos: Para X,, ; X,,. parado ). B P Ára dl riángulo =. B,,,, P,,,, 7

8 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] B P i j k j k,, i B P. El ára dl riángulo srá: B P unidads d suprfici. - hora lo rsolvrmos con Wiris: Figura. Enlac con l jrcicio rsulo n la W:

9 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño OPCIÓN B Ejrcicio : :, Sa f la función dfinida por: ln a f ( ) ln Dond ln dnoa la función logarimo npriano. si si a) Calcula los valors d a para qu f sa drival n l inrvalo,. ) Para a = halla los rmos asoluos d f (ascisas dond s oinn valors qu alcanzan). Solución: parado a). Para qu la función sa drival in qu sr coninua n qu ocurrir para qu la función sa coninua n =., n,. Vamos qu in f ln a ln a ln a lim f lim lim f lim ln ln Para qu f sa una función coninua n = d cumplirs: lim f lim f f Por ano, ln a ln ln ln a a con lo qu onmos una primra rlación nr a. Por oro lado, como f ha d sr drival n odo l inrvalo lo s n los inrvalos onmos:,, 9

10 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] f ( ) si si Nos rsa vr qu condicions s inn qu cumplir para qu la función sa drival n l puno =. lim f lim lim f lim Como lim f lim f con lo qu onmos la sgunda rlación qu admás nos proporciona l valor d. Calculmos l valor d a: a a a parado ). Para a =, la función quda d la siguin manra: f ( ) ln ln si si sindo la función drivada: f ( ) si si Tnmos qu sudiar los rmos asoluos ano n los límis dl inrvalo como n los valors d qu anuln la primra drivada. f En =, f f ln. La función in un mínimo asoluo. En =, f ln. Por ano, n l puno (, ) ha un mínimo asoluo. En, f ln ln ln.

11 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño En =, f ln ln. Como ln l máimo asoluo s alcanza n l puno, ln. - hora lo rsolvrmos con Wiris: Figura. Enlac con l jrcicio rsulo n la W:

12 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] Ejrcicio : Sa f :, la función dfinida por f ln, dond ln dnoa la función logarimo npriano. Drmina la primiiva d f cua gráfica pasa por l puno P(, ). Solución: Calculmos las primiivas d la función: ln ln u du d d d dv v d ln d ln d ln C ln C Las primiivas d f() son: F( ) ln C Enconrmos la primiiva qu pasa por l puno P(, ). F () ln C C C Lugo la función primiiva qu pasa por l puno P(, ) srá: F ( ) ln - hora lo rsolvrmos con Wiris: Figura 6. Enlac con l jrcicio rsulo n la W:

13 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Ejrcicio : Dadas las marics z X a) Calcula l rango d sgún los difrns valors d. ) Razona para qué valors d l sisma homogéno X = in más d una solución. Solución: parado a). Si l drminan d la mariz s disino d cro, l rango d la mariz sría. Calculmos noncs l drminan d : Enoncs 9 Para l drminan d s disino d cro, por ano, l rango d la mariz srá. Para = onmos cuo rango srá dos puso qu in mnors d ordn dos disinos d cro como por jmplo. Para = onmos cuo rango srá dos puso qu in mnors d ordn dos disinos d cro como por jmplo. parado ).

14 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] Si l drminan d la mariz s disino d cro, l sisma homogéno X = ndría una única solución qu s la rivial, s dcir, =, =, z =. Si l drminan d la mariz s igual a cro, l sisma homogéno X = ndría más d una solución, por ano, para = = l sisma ndría más d una solución. - hora lo rsolvrmos con Wiris: Figura 7. Enlac con l jrcicio rsulo n la W:

15 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Ejrcicio : z Dados l puno P(,, -) la rca r d cuacions z a) Halla la cuación dl plano qu conin a r pasa por P. ) Halla la cuación d la rca connida n l plano d cuación + z =, qu s prpndicular a r pasa por P. Solución: parado a). Un plano quda drminado por un puno vcor normal o por un puno dos vcors indpndins. Tnmos qu la rca n forma vcorial srá, hacindo z,,,,, z. El puno d la rca r srá (,, ) l vcor dircor u,,. D sa manra, nmos qu l vcor P,,,,. Por ano, l plano qudará drminado por l dx, u, P, la rca r d coordnadas (,, z). d z X, u, P z z z. z sindo X un puno gnérico d En conscuncia, l plano s + z =. parado ). Drminarmos la rca, qu llamarmos s, saindo qu pasa por P(,, -) qu ndrá un vcor dircor v = (a,, c). La rca s, n forma vcorial, srá a,, c,, z,. La rca s sá n l plano + z =, por ano, = -z, lugo: c c v a, c,. c

16 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] Como r s son rcas prpndiculars, sus vcors dircors amién lo son l produco scalar d sos vcors srá cro. Enoncs:,,. a, c c a c u. v, c a c, por ano, v = (c, -c, c). Considrando c =, su vcor dircor sría v = (, siguin: - hora lo rsolvrmos con Wiris:,,,, z. Figura. -, ) la rca s, n forma vcorial, srá la Enlac con l jrcicio rsulo n la W: 6