4. Mapas de fases órbitas propiedades básicas puntos críticos nodos puntos silla focos centros aproximación lineal, ecuaciones exactos

Transcripción

1 4 Mapas de fases Los sistemas de ecuaciones no lineales no se pueden resolver, salvo contadas ecepciones Pero para los sistemas autónomos en el plano, es decir, para los sistemas de la forma [S] '= f(,) '= g(,) es posible obtener las principales propiedades de sus soluciones a partir de su dibujo o, con más precisión, del dibujo de las proecciones (llamadas órbitas) de estas soluciones sobre el plano o plano de fases (para dimensiones maores las cosas se complican notablemente pueden aparecer las llamadas soluciones caóticas) Este capítulo está dedicado a describir las diferentes técnicas destinadas a dibujar el conjunto de las órbitas de un sistema dado de la forma [S] sobre el plano de fases (su mapa de fases) En la sección 4 se estudian las propiedades básicas de las soluciones órbitas de estos sistemas autónomos Se introduce la ecuación diferencial de las órbitas (que a veces es resoluble da la epresión de dichas órbitas) el campo vectorial v tangente a las órbitas (que siempre nos audará al pintar los mapas) Se llaman puntos críticos de un mapa de fases a las proecciones de las soluciones constantes del sistema obtenidas haciendo f=g =0 La sección 4 clasifica estos puntos en diferentes tipos (nodos, puntos silla, focos, centros,) de acuerdo con la forma de las órbitas a su alrededor Esta forma será en casi todos los casos similar a la de la aproimación lineal, sistema lineal (de órbitas fácilmente dibujables una vez hallados sus autovalores) obtenido despreciando los términos no lineales en el desarrollo de Talor en torno al punto crítico del sistema inicial [S] Las únicas ecepciones se darán, tal vez, si la matriz de la aproimación lineal tiene autovalores imaginarios puros (centros) o si algun λ=0 (puntos no elementales) En la sección se estudiarán además las propiedades particulares que poseen los mapas de fases de los sistemas que provienen de ecuaciones autónomas de segundo orden " =g(,') En diversos ejemplos se mostrará como organizar adecuadamente toda la información anterior para dibujar las órbitas de sistemas concretos (clasificar los puntos críticos, intentar hallar las órbitas, localizar las curvas de pendiente horizontal vertical, determinar los valores del campo adecuados ) Un tipo particular de sistemas [S] que poseen varias propiedades adicionales que facilitan el dibujo de su mapa de fases son los eactos (aquellos con f +g 0 ), tratados en la sección 43 Para ellos siempre se podrá hallar la epresión de sus órbitas sus puntos críticos sólo podrán ser puntos silla o centros (lo que evita las dudas de la última situación) En el caso particular de las ecuaciones eactas " = g() veremos que podemos dibujar su mapa de fases a partir, simplemente, del conocimiento de la llamada función potencial En la sección 44 daremos algunas otras ideas sobre cómo abordar el problema de ver si en el sistema no lineal sigue o no siendo un centro un punto crítico cua aproimación lineal lo sea (análisis de simetrías utilización de coordenadas polares) 6

2 4 Sistemas de dos ecuaciones autónomas '= f(,) Sea el sistema [S] { '= g(,), es decir, ' = f(), con = f = f g Suponemos que f g sus derivadas parciales son continuas en todo R Sabemos que entonces eiste una única solución de [S] que satisface cualquier par de datos iniciales (t o )= o, (t o )= o (es decir (t o )= o ) Los siguientes resultados, semejantes a los de las autónomas de primer orden, se prueban fácilmente: Teor Si f( o, o )=g( o, o )=0 entonces (t) o o Si (t) = ( (t) (t) ) es solución (constante o de equilibrio) de [S] es solución de [S] c R entonces (t+c) = ( (t+c) (t+c) ) es también solución de [S] Cada solución (t) de [S] es una curva en el espacio t, pero también podemos mirarla como una curva en el plano (que llamaremos plano de fases) descrita paramétricamente en función de t Esta segunda curva, a la que llamaremos órbita de la solución, es la proección de la primera sobre el plano de fases El objetivo de este capítulo es representar lo más aproimadamente posible el conjunto de órbitas de [S], es decir, el mapa de fases de [S] Comencemos con un ejemplo: Sea { '= '= La solución que cumple (0) = la que satisface (0) = 0 (es decir, "+ = 0 ) es (t) sen t es (t) = ( cos t) Estas soluciones describen en el espacio la recta la hélice del dibujo superior, sus proecciones sobre son el punto la circunferencia del inferior [a un punto del mapa de fases, proección de solución constante, se le llama punto crítico o punto singular] Obtenemos las mismas órbitas si dibujamos en cada caso la curva trazada, al aumentar el parámetro t, por el punto de coordenadas =(t), =(t) La flecha nos orienta la órbita, indicando el sentido en que se recorre Imponiendo ahora (π)= 0 obtenemos (t)= ( sent cost ) t = ( sen(t-π) ) cos(t-π) La órbita de esta solución (cua gráfica en el espacio es una traslación paralela al eje t de la hélice anterior) es la misma circunferencia de antes, si bien sus puntos son alcanzados para diferentes valores de t Esta situación se da en t=π,3π, cualquier sistema autónomo (pero no en un sistema cualquiera) por eso tiene sentido dibujar su mapa de fases: si = (t), = (t) son las ecuaciones de una órbita, otra parametrización de la misma órbita es = (t+c), = (t+c) para cualquier c (aunque para un mismo t se obtengan valores de e diferentes) Dicho de otra forma: como las traslaciones de una solución hacia adelante hacia atrás son también soluciones, las proecciones de todas estas curvas del espacio son la misma órbita t=0,π, Normalmente no conoceremos las soluciones del sistema [S] Para dibujar su mapa de fases trataremos de buscar información a partir de las propias funciones f g Intentemos primero hallar eplícitamente las órbitas de [S] Eliminando la t del sistema obtenemos la ecuación diferencial de las órbitas: [o] d d = g(,) f(,) (pues d d = d dt dt d, cuando lo permite el teorema de la función inversa) Las curvas integrales de [o], quizás resoluble por los métodos de la sección dibujables por los de la, serán las órbitas de [S] ( al revés: una ecuación como [o] se puede mirar como un sistema usar las ideas de esta sección para trazar sus curvas integrales) Como se ha eliminado la t, si dibujamos las órbitas sólo a partir de [o] éstas carecerán en principio de sentido de recorrido, pero pronto veremos como orientarlas 6

3 Una información parecida a la que nos proporciona el campo de direcciones de [o] se obtiene tratando el campo vectorial v que en cada punto del plano viene dado por v(,) = ( f(,) ) g(,) [que coincide con ' ', vector tangente a la órbita en el punto (,) ] Por tanto, las órbitas de [S] serán curvas tangentes a ( recorridas en el sentido que indican) los vectores del campo v (como se ve, este campo sólo se anula en los puntos críticos) Generalmente usaremos el campo v para completar otras informaciones, pero aunque fallen todas las demás técnicas del capítulo siempre podremos dibujar algunos vectores de v hacernos una idea del mapa de fases Ej Repasemos lo visto con un ejemplo poco práctico por ser el sistema resoluble: { '= '= d, d =, v(,) = El origen es el único punto crítico Algunos vectores de v (pintados con el mismo módulo pues nos interesa su dirección sentido) son los del dibujo de la izquierda Podemos también resolver la ecuación [o] : = [c ln ], o sea, = c e / Con ello completamos el mapa de fases de la derecha Cada órbita nos da los valores que toman la la de la solución de la que es proección, pero no nos dice en qué instante t los toman Por ejemplo, la (t) de la solución con (0)=0, (0)= es 0 para todo t podemos afirmar que la (t)=9 para un t >0, pero sólo podemos hallar este t calculando (t) ( (t) pues si tendiese a un valor constante a se tendría, como en las autónomas de primer orden, que (t) 0, (t) a sería solución de equilibrio, lo que es imposible por no eistir más puntos críticos) Tampoco podemos saber si esta (t) está definida para todo t 0 Pero resolviendo se tiene (t)=/( t), que eplota en t= (sin embargo la solución (t)=e t, (t)=0, con otra órbita recta similar a la anterior, está definida para todo valor de t ) t Demostremos otras propiedades generales de las órbitas: Teor Por cada punto del plano de fases pasa una única órbita de [S] Si una órbita se corta a sí misma corresponde a una solución periódica dicha órbita es una curva cerrada simple - (las órbitas no pueden cruzarse unas a otras, ni a sí mismas; NO sólo pueden ser de 3 tipos: puntos críticos, curvas cerradas simples arcos simples (asociadas a soluciones constantes, SI periódicas no periódicas); varias órbitas pueden confluir en un punto crítico, lo que no viola la unicidad: corresponderán a soluciones que tienden a la solución constante cuando t tiende a + o, pero que no la alcanzan en tiempo finito) Dado un o, sea (t) la solución con (0)= o Si para otra *(t) su órbita pasa por el mismo punto, debe ser *(t*)= o para algún t* Como *(t+t*) es también solución toma en t=0 el mismo valor que (t) es, por unicidad, (t)=*(t+t*), o sea, (t t*)=*(t) t Por tanto, *(t) es trasladada de (t) sus órbitas coinciden Sea (t) solución no constante Si su órbita se corta a sí misma ello significa que eiste un primer T>0 en el que vuelve a ser (T)=(0) Utilizando la unicidad en t=0 se tiene que para todo t es (t+t)=(t) la solución es T-periódica su órbita se repite cada T unidades de tiempo, formando una curva cerrada simple Hemos visto que la órbita de un sistema autónomo que pasa por un punto o del plano no depende del t o en el que la solución (t) de la que es proección satisface (t o )= o (es decir, que la evolución del sistema es independiente del momento en que empecemos a contar el tiempo, como era de esperar al no depender f g de t ) Para un sistema no autónomo esto no es cierto, no tiene sentido hablar de su mapa de fases 63

4 4 Clasificación de puntos críticos La mejor información sobre un mapa de fases nos la dará el conocimiento de la forma de sus órbitas cerca de un punto crítico Tratamos primero los sistemas lineales (siempre resolubles) después los no lineales Sea: [L] '= a+b { '= c+d, o sea, '= A, con =, A = ( a b c d ) L L Supondremos A 0 (con lo que = 0 será el único punto crítico de [L] λ=0 no será autovalor) Clasificamos el origen según los autovalores λ λ de la matriz A : Si λ λ son reales distintos La solución general es: (t) = c e λ t v + c e λ t v, v i vector propio asociado a λ i Llamemos L L a las rectas que contienen a v v Cada L i está formada por tres órbitas (obtenidas haciendo la otra c i =0 ): el punto crítico dos semirrectas orientadas según sea el signo del λ i El vector unitario tangente a las órbitas [ t = '(t) / '(t) ] es: nodo estable λ <λ <0 L L c t = λ e λ t v +c λ e λ t v [c λ e λ t v +c λ e λ t v +c c λ λ e (λ +λ )t v v ] / Si λ <λ <0, todas las soluciones tienden a 0 el vector t v / v (si c 0 ) cuando t Todas las órbitas (menos dos) entran en el origen con la pendiente dada por el vector propio asociado al λ más cercano a 0 el punto crítico se llama nodo estable Si λ >λ >0, se tiene la misma situación cambiando + por el origen se llama nodo inestable Si λ <0<λ, las órbitas sobre L se aproiman al origen se alejan sobre L Las demás tienden asintóticamente a L o L según tienda t a + ó adoptando la forma hiperbólica del dibujo de la derecha tenemos un punto silla Si λ es doble A es diagonal la solución es: (t) = c c e λt Entonces, si λ<0 (λ>0) para cada par de constantes nos acercamos (alejamos) a 0 según una recta diferente se dice que el punto es un nodo estelar estable (inestable) Si A no es diagonal la solución general es (t) = [c w +(c t+c )v ]e λt con v único vector propio asociado a λ Si c =0 estamos sobre la recta L generada por v Se puede ver, calculando el t, que todas las demás órbitas entran en el origen siendo tangentes a una u otra de las semirrectas que forman L Si λ<0 (λ>0) sobre cada órbita nos acercamos (alejamos) al punto crítico, que se llama nodo de una tangente estable (inestable) En los dos casos las órbitas pueden ser como en el dibujo pequeño (esto se precisa fácilmente mirando al campo v) L estable λ<0 λ doble < 0, A diagonal nodo estelar estable L nodos de una tangente λ doble, A no diagonal L nodo inestable λ >λ >0 punto silla λ <0<λ λ doble > 0, A diagonal nodo estelar inestable inestable λ>0 L 64

5 Si los autovalores son complejos λ=p±qi, la solución es (t) = ( c cosqt+c senqt ) c 3 cosqt+c 4 senqt con las c i constantes reales de las cuales sólo dos son arbitrarias Si p=0, todas las soluciones son periódicas las órbitas son curvas cerradas rodeando el origen, que se llama centro (el sentido de giro lo da el campo v ) e pt Si p<0, la eponencial decreciente obliga a las órbitas a cerrarse en espiral cuando t hacia el origen, que se llama foco estable Si p>0, las espirales corresponden a soluciones que se alejan del punto crítico que es un foco inestable La forma de las espirales podría ser también la del dibujo pequeño (como siempre esto se precisará a la vista del campo v ) foco estable λ =p±qi, p<0 centro λ =±qi (o bien ) foco inestable λ =p±qi, p>0 Trazar las órbitas de estos sistemas lineales es mu sencillo con la clasificación anterior: bastará (para nodos sillas) con dibujar las semirrectas órbitas orientadas precisar el campo v sobre algunas rectas que pasen por el origen (son isoclinas de [o] d/d = (c+d)/(a+b), ecuación homogénea), por ejemplo, sobre los ejes, o sobre las rectas que nos proporcionen pendiente horizontal o vertical Con esto (también en caso de centro o foco) basta para pintar el mapa de fases en todo el plano Aunque, por ser [o] homogénea, sabemos que las órbitas son siempre calculables, normalmente no merecerá la pena hacer este cálculo A pesar de su facilidad, la teoría de mapas de fases no es de especial interés para los sistemas lineales, pues podemos hallar sus soluciones Pero la gran importancia de lo anterior es que nos permitirá deducir la forma de las órbitas cerca de los puntos críticos de los no lineales Pero antes de hacer esto, dibujemos dos mapas de fases de lineales para ir practicando dando algunos nombres: Ej { '=3 '= λ=, λ= : punto silla Completamos esta información con el campo v : v es vertical ( ' =0) si = 3 horizontal ( ' =0) si = Sobre los ejes: v(,0) = 3, v(0,) = A las órbitas que entran salen de un punto silla se les llama separatrices, nombre natural, pues 'separan' comportamiento de las soluciones totalmente distintos Por ejemplo, en este caso tenemos que las soluciones cuas órbitas parten por debajo de = cumplen que su (t) cuando t, mientras que (t) si parten por encima de la separtriz (sobre ella (t)0 ) Y algo análogo sucede con la otra separtriz =/ Del mapa de fases (sin resolver el sistema) podríamos deducir también, por ejemplo, que la solución que cumple el dato inicial (7) =, (7) =0 va a satisfacer que tanto su como su tienden hacia cuando t tienden hacia cuando t : basta observar la forma de su órbita [Resolviendo [o] se obtiene: ( ) ( ) =C, órbitas de aspecto hiperbólico, pero que no son hipérbolas] Los sistemas que se han visto son homogéneos Si ha términos no homogéneos (constantes para ser autónoma) A 0 seguirá habiendo un punto crítico o, que con u= o se trasladaría al origen manteniendo la matriz A, con lo que, para analizarlo, basta hallar sus autovalores Las isoclinas serán las rectas que pasen por o : Ej { '= '= El punto crítico es ahora = = Como A = ( 0), con λ=±i, es un foco inestable v es vertical si = horizontal si = Además: v(,) = ( ), v(,3 ) = ( ) 3 [O, si se prefiere, es el mapa de fases de '= A trasladado al punto] 65

6 '= f(,) Consideremos a el sistema no lineal [S] { '= g(,) sea o = o o punto crítico Desarrollando por Talor f g en torno a o llevando luego este punto al origen con el cambio u= o, v= o (o lo que es lo equivalente, haciendo primero el cambio desarrollando después en u=v=0) se tiene: u' = f (o,o)u + f (o,o)v + R f (u,v) v' = g ( o, o )u + g ( o, o )v + R g (u,v) con R f, R g = o( u +v ) si u,v0 Como R f R g son pequeños es de esperar que (cerca del origen que es ahora punto crítico) sean similares las órbitas de este sistema las de la aproimación lineal obtenida ignorando los términos no lineales El siguiente teorema precisará que esto es cierto si el sistema lineal es de cualquiera de los tipos clasificados anteriormente, salvo en el caso de los centros Llamemos [L] al sistema u' = Mu, con u = u f v M = ( o, o ) f ( o, o ) g ( o, o ) g ( o, o ) Suponemos que M 0 Diremos entonces que o es punto crítico elemental de [S] Del teorema de la función implícita se deduce entonces que o es aislado (ha un entorno de o en el no ha más puntos críticos; un punto con M =0 puede no ser aislado si lo es no se parece al origen de [L], no aislado) Teor Si el origen es nodo, punto silla o foco de [L] entonces o es un punto crítico del mismo tipo de [S], con la misma estabilidad Si el origen es nodo estelar o de una tangente de [L] las funciones f g tienen derivadas parciales de segundo orden continuas entonces o es nodo del mismo tipo ( estabilidad) del sistema no lineal [S] Las órbitas rectas que en los nodos puntos sillas de [L] llegan o salen del origen se deforman, en general, en curvas de [S] que llegan o salen de o, pero manteniendo la tangencia dada por los vectores propios de [L] Si el origen es centro de la aproimación lineal las funciones f g son analíticas entonces o es o un centro, o un foco estable o un foco inestable en el sistema no lineal - La demostración del teorema es complicada no la damos No es etraño que sean los centros los únicos puntos críticos elementales que no se conservan pues los pequeños términos no lineales pueden hacer que las órbitas dejen de cerrarse sobre sí mismas De otra forma: una pequeña perturbación puede apartar los λ = ±qi del eje imaginario Por la misma razón podría pensarse que también puede separa dos λ iguales, pero si f g son regulares esto no sucede (si no lo son puede cambiar el nodo en uno de otro tipo o en un foco) Así pues, analizando sistemas lineales sabemos, casi siempre, cómo son las órbitas de uno no lineal en un entorno de cada punto crítico (lejos de él serán totalmente diferentes de las del lineal) Este es el paso principal hacia el dibujo del mapa de fases de [S] En muchos problemas físicos, además, precisamente lo que se busca es el comportamiento de sus soluciones cerca de las de equilibrio Para ver en cada caso cómo se deforman las órbitas de la aproimación lineal en el no lineal (por ejemplo, el sentido en el que se doblan las separatrices de un punto silla) obtener datos sobre el mapa global habrá que utilizar el campo v ( las órbitas en aproimación lineal sistema no lineal el caso ecepcional de que sean calculables) En los ejemplos iremos viendo cómo organizar este trabajo Es fácil etraer de este teorema conclusiones sobre la estabilidad de las soluciones de equilibrio, mu parecidas a las vistas para las ecuaciones autónomas de primer orden El significado geométrico sobre el plano de fases de esta estabilidad es claro: o es estable si las órbitas que parten suficientemente cerca no se salen de cualquier círculo de radio prefijado Es asintóticamente estable si además tienden a o cuando t Teor Si los autovalores de M tienen Reλ<0, o es solución de equilibrio asintóticamente estable de [S] Si alguno de los autovalores tiene parte real positiva, o es inestable Como siempre queda la duda de qué pasa si Reλ=0 (para un punto con un λ=0 otro λ>0 se prueba que es inestable, aunque esto no se deduzca del teorema ) La inestabilidad de algunas soluciones no constantes es clara a la vista de un mapa de fases: si las órbitas se alejan, también lo hacen las soluciones de las que son proección Pero la estabilidad no se ve en el dibujo: órbitas próimas pueden corresponder a soluciones mu diferentes (por ejemplo las órbitas de un sistema lineal con un punto silla se pegan entre sí sin embargo todas las soluciones son inestables) v u 66

7 Ej 3 { '=8 ' = (8 3 )=0 = Î es punto silla con λ=8 0 4 La M = f f g g, λ= 6 0 es un foco inestable ( λ=±i 43 ) Completamos esta información local con el campo v (a que las órbitas no son calculables) Nos ocuparemos siempre de saber dónde el campo es horizontal vertical En este caso en =, 8=, respectivamente Ej 4 Precisar cómo se deforman las separatrices será otro de nuestros objetivos Miramos el campo sobre las rectas que indica la aproimación lineal En nuestro caso son precisamente los ejes: v(,0) = 4 3, v(0,) = 6 Del dibujo de estos vectores deducimos que la separatriz estable se deforma ( la inestable tiene la forma = en cada punto es: Más sitios habituales donde hallar el campo son los ejes (es mu fácil sustituir = 0 ó = 0 ) Para este ejemplo a lo hemos hecho También se suele evaluar v en rectas que pasan por los puntos críticos (pues no es raro que adopten formas sencillas, teniendo en cuenta que en los puntos críticos es donde se anulan tanto f como g ) Por último, se pueden dar valores sueltos del campo en zonas en las que haa pocos datos Así, en este caso: v(,4) = ( ) , v(,) = (4 )( 6 ) 5, v(, ) = 4 ( 6) Los vectores dibujados nos precisan también el sentido en el que se abren las espirales del foco con toda esta información tenemos que el mapa de fases es más o menos el del dibujo No sabemos resolver el sistema, pero tenemos a la vista propiedades esenciales de las soluciones (por ejemplo, que las soluciones constantes son inestables, lo que estaba claro desde que hallamos los λ de la aproimación lineal) { '=( ) '=( ) ( 0 ) Puntos críticos: λ=,( ) λ=, La aproimación lineal en cada uno: : punto silla λ= doble es un nodo estelar inestable Acudimos ahora al campo v (la ecuación diferencial de la órbitas es separable, pero su solución es poco manejable): v es vertical si =0 o si = ( la recta = es órbita recta (más eactamente: está formada por tres órbitas)) v es horizontal si =0, = ( = órbita) Además: v(,)=( ) 0 v(,0)=( ) 3 v(,3)= ( = órbita), v(, )= +, v(0,)=( 0 ), v(3,)=( 3) 9, v(,3)=( ), v(3,4)= 4 6 (se curva), v(3, )=( 9),, v(4,3)= 6 4 Ecepcionalmente, la separatriz = del punto silla del sistema lineal se conserva, aunque la otra se deforma Algunas propiedades de las soluciones que se deducen del mapa de fases: el segmento que une los puntos críticos corresponde a una solución definida para todo t (pues está acotada); esta solución es inestable, pues mientras ella tiende a 0 la de algunas cercanas ( la de otras) tiende a ; no podemos saber si todas las soluciones no acotadas están o no definidas para todo t (ni si, por ejemplo, la solución con (0)=, ()= es o no estable), pues no sabemos hallar la solución general, pero sí podemos hallar soluciones asociadas a órbitas sencillas Por ejemplo, para los últimos datos la órbita es =, que llevada la primera ecuación nos da ' = 4, (0)= = e t, = (definida t ) La solución con (0)=(0)=3 = ' = ( ), sin embargo, eplota en tiempo finito (por la potencia ; podríamos hallarla sin dificultad) 67

8 Ej '= ( ) { '= (3 ) Puede describir la evolución de la población de dos especies en competición [En ausencia de la otra especie cada una de ellas sigue una ecuación logística además la presencia de cada una influe negativamente en el crecimiento de la otra (términos en de cada ecuación); dibujamos sólo en el primer cuadrante, que es donde las órbitas tienen sentido para este modelo] =0 =0,3 ( )=0 { = =, =0, 0, 0 0, 3, 0 puntos críticos ( 6 3) ( 0 ) ( ) Analizando la aproimación lineal ( 3 ) nodo I : λ=, 0 nodo E : λ=, 3 nodo E : λ=, λ= ±,( ± ) (captura la tangencia) ; λ=3, 0 (tangencia) ; λ= 3, 0 (tangencia) ; λ=, 0 punto silla en cada punto se tiene: v es vertical si =0 o si = ( =0 órbita) v es horizontal si =0, =3 ( =0 órbita) v(,3)= ( Damos valores ) a v sobre las rectas que contienen puntos críticos: + 6, v(,)= ( + ), v(,)=( ), v(,)=( ) 3 Si los datos iniciales están por encima de la separatriz estable del punto silla, la especie tiende hacia su tope logístico la se etingue; lo contrario sucede si están por debajo Si los términos de competición (los a ) fuesen más pequeños las dos especies podrían coeistir (los nodos estables se vuelven sillas pasa a eistir un nodo estable en,>0 hacia el que tienden todas las soluciones del primer cuadrante; esto sucede, por ejemplo, en el sistema ' = ( /), ' = (3 ), para el que =, = es nodo estable) Las únicas soluciones calculables serían las asociadas a =0 o a =0, es decir, a la ausencia de una de las dos especies Aparece entonces la ecuación logística cuas soluciones son coherentes con las órbitas sobre los ejes Un ejemplo con punto no elemental (como no disponemos de teoría para ver como son las órbitas cerca del punto, nos tendremos que basar en la ecuación de sus órbitas en el campo v ): Ej 6 { '=3 '=4 4 Único punto crítico: Por tanto es un punto no elemental La ecuación [o]: d d = 4 4 es resoluble (homogénea o Bernouilli) 3 = 4 +C 8/3 (si C=0 se tienen las rectas =± ) Mejor que dibujar estas curvas, trazamos algunas isoclinas, que son (ecuación homogénea) rectas =m pasando por el origen La pendiente de las órbitas sobre ellas es: K=(4m 4)/ 3m Para m = 0, ±/, ±, ±, ±4 es K =, ±, 0, ±, ±5, que son las dibujadas Para orientar las órbitas vemos que v(0,) es un vector vertical apuntando hacia arriba (lo que además nos da las órbitas verticales no recogidas en la solución) Aparecen conjuntos de órbitas (llamadas elípticas) que salen llegan al punto crítico, situación que no se da en los elementales [Los puntos no elementales aislados son o centros o focos o ha en torno suo sectores formados por órbitas elípticas, parabólicas (como las de un nodo o las demás del ejemplo) o hiperbólicas (como las de un punto silla)] Obtengamos alguna conclusión sobre las soluciones: el origen es inestable; la solución con (0)=, (0)= (de órbita = ) no está definida para todo t>0, pues para ella ' =6, ' =3 ; la solución que cumple (0)=, (0)=0 sí lo está por ser acotada (no es calculable), pero no sabemos si es estable (su diferencia con las soluciones cercanas tiende a 0 si t, pero esto no basta en sistemas para garantizar la estabilidad) 68

9 Todo lo dicho hasta ahora sobre sistemas autónomos se puede, desde luego, aplicar al caso particular de las ecuaciones autónomas (cuo mapa de fases es el del sistema equivalente): Sea [e] " = g(,'), o escrita en forma de sistema: [SE] { '= v v' = g(,v) (utilizamos la variable v porque en muchos problemas físicos representa una velocidad) La matriz de la aproimación lineal es aquí M = ( 0 ) g g v La ecuación de las órbitas el campo v tienen la forma: [o], evaluada en cada punto crítico d = g(,v), v(,v) = v ( g(,v) ) v dv Algunas propiedades particulares de los mapas de fases de ecuaciones se deducen inmediatamente: Los puntos críticos de [e] están sobre el eje v=0 [ las de esos puntos son los ceros de g(,0) ] Las órbitas se dirigen hacia la derecha en el semiplano superior hacia la izquierda en el inferior Las órbitas que cortan el eje v=0 lo hacen perpendicularmente Las ecuaciones no poseen nodos estelares Un vector propio asociado a un autovalor λ es λ Los dos ejemplos siguientes de ecuaciones pueden describir sistemas físicos Interpretaremos sus órbitas: Ej 7 "+a'+ =0, con a 0 [ sistema muelle-masa con rozamiento (si a>0 ) ] Esta ecuación lineal es fácilmente resoluble, pero también lo es dibujar el mapa de fases de: { '=v v'= av El único punto crítico es el origen a Los λ son las raíces de λ +aλ+ = 0 : λ= a± a Por tanto: Si a=0, el origen es un centro ( λ=±i el sistema es lineal) Si 0<a<, es un foco estable (autovalores complejos con Reλ<0 ) Si a=, es un nodo de una tangente estable (con λ= doble) Si a>, es un nodo estable ( λ = a a < < λ = a + a < 0 ) Estos datos alguna información adicional más (por ejemplo, el campo v sobre el eje =0 los puntos en que este campo es horizontal = av ) nos bastan para dibujar los mapas de fases Como en todo sistema lineal se pueden hallar las órbitas, pero son complicadas nos dicen poco Un pequeño dato adicional se deduce de: d v d = v +av+ v 3 = 0 v = [ a± a ] (órbitas rectas) (No ha verdaderos puntos de infleión en las órbitas; se ve que esto ocurre para todo sistema lineal) a=<a< a= a> En todos los casos el origen representa la solución trivial asociada a la situación estable de la masa en =0 (posición de equilibrio) sin velocidad inicial Si a=0 (si no ha rozamiento), cada órbita no trivial describe un movimiento oscilatorio no amortiguado en torno a =0 : si inicialmente, por ejemplo, la masa está en el origen con una velocidad v>0, a partir de entonces aumenta hasta su valor máimo en el instante en que v se hace 0 ; disminue después la (la v en valor absoluto pasa por un máimo luego decrece cuando el movimiento se opone a la fuerza de recuperación del muelle); avanza después hacia =0 a donde llega con la misma velocidad inicial repite el movimiento indefinidamente Si 0<a< (rozamiento escaso), pasa infinitas veces por =0, pero la amplitud de la oscilación va decreciendo hacia 0 con el tiempo Si a (fuerte rozamiento), las órbitas describen movimientos que tienden hacia el equilibrio, pero (el rozamiento es maor) no son posibles las oscilaciones Dependiendo de su posición velocidad iniciales, o la masa tiende indefinidamente hacia la posición de equilibrio sin llegar a superarla, o la cruza una única vez 69

10 Ej 8 "= +3 4' En forma de sistema: { '=v v'= +3 4v M = Evaluando esta aproimación lineal en los dos puntos críticos que ha se tiene: ( 3-4) Puede describir el movimiento de una partícula sobre el eje de las, sometido a una fuerza que sólo depende de su posición [ F()= +3 ] con un rozamiento proporcional a su velocidad [ 4' ] λ =, 3 nodo E λ = ± 7 silla El campo es horizontal sobre la parábola v = 4 ( +3) Valores interesantes de v (rectas que contienen puntos críticos puntos sobre rectas del nodo lineal): v( 3,v) = v(0,v) = v 4, v( 4,) = 3 3 0, v( 4,3) = ( 8), v(, ) =, v(, 3) = ( 0) Los últimos v dicen como se deforman las rectas del nodo Evaluando v sobre las separatrices de la silla lineal [ v(,λ) ] se ve, tras unos cálculos, que se deforman de la manera dibujada completamos el mapa de fases Interpretemos alguna órbita El sentido de las fuerzas sigue el esquema: 3 0 (por eso el primer punto es estable el segundo inestable) Supongamos la partícula inicialmente entre 3 0 discutamos su movimiento para diferentes velocidades vo iniciales Si vo<0 tiende hacia el equilibrio estable (llega a superarlo una vez o no, dependiendo de la magnitud de vo ) Si vo>0 pequeño, no puede superar la fuerza que se le opone, llega a un máimo después regresa acercándose indefinidamente a 3 Si vo>0 gordo consigue cruzar =0, audado por la fuerza, tiende a ( en tiempo finito?) mientras aumenta su velocidad Si vo>0 es tal que estamos sobre la separatriz del punto silla tenemos un movimiento imposible en la práctica: acercarse sin cesar al equilibrio inestable El problema para esta ecuación de órbitas no calculables es que es imposible precisar eactamente este último vo (lo que sería importante porque para valores superiores e inferiores de la velocidad los movimientos son radicalmente diferentes): 3 Ej 9 Discutamos, según los valores de b, la estabilidad de la solución =0 de la ecuación "=b '+(') Como asegura el teorema, la estabilidad de una solución constante hereda, salvo ecepciones, la de su aproimación lineal, dada por la parte real de sus autovalores En nuestro caso tenemos: { '=v 0 b, aproimación lineal en el origen λ +λ b = 0 λ = ± +b v'=b v+v Por tanto, si b>0 el origen es inestable, pues eiste λ>0 ( el otro es <0 ; se trata de un punto silla) Si b<0, los dos autovalores tienen parte real negativa, con lo que =0 es asintóticamente estable (de hecho, si b< es un foco E, si b= es un nodo de una tangente E si <b<0 es un nodo E) [Que conste que el criterio de Routh-Hurwitz aplicado a λ +aλ+b = 0 dice que sus raíces tienen Reλ<0 si sólo si ambos coeficientes son estrictamente positivos] Si b=0 aparece un λ=0 el teorema no nos dice nada Intentamos verlo haciendo el dibujo de sus órbitas: Para { '=v v'= v+v toda la recta v =0 está formada por puntos críticos (no elementales, claro) dv Pero sus órbitas son mu sencillas: d = v v = +Ce De ellas ( del sentido de las ecuaciones: hacia la derecha arriba, hacia la izquierda abajo) se deduce el dibujo de su mapa de fases Y como se puede observar en él, el origen es punto crítico estable no asintóticamente (las órbitas que parten lo suficientemente cerca no se salen de un entorno, pero no tienden [salvo ] hacia el punto) v= v=0 70

11 43 Sistemas ecuaciones eactos Un sistema del tipo [S] { ' = f(,) '= g(,) se llama eacto si f (,)+g (,) 0 (suponemos f g funciones de clase en todo R como hicimos en la sección 4) Si [S] es eacto, la ecuación diferencial de sus órbitas [o] d d = g(,) f(,), es decir, g(,) f(,) d d = 0 es también eacta, por tanto resoluble: eiste H(,) tal que f = H g = H, las órbitas de [S] vienen dadas por H(,) = C Además se tiene el siguiente resultado sobre sus puntos críticos: Teor Los puntos críticos elementales de un sistema eacto sólo pueden ser centros o puntos silla - Como f +g 0, los λ de la matriz de la aproimación lineal M = ( f f ) g g en cualquier punto o crítico o vienen dados por λ + M =0, con lo que o bien (si M <0 ) tiene dos raíces reales de distinto signo o es un punto silla (tanto del sistema lineal como del no lineal) o bien (si M >0 ) las raíces son imaginarias puras se tiene un centro en la aproimación lineal Además es fácil ver, por ser H continua, que H(,)=H( o, o ) contiene además del punto o todas las órbitas que tienden a dicho punto cuando t tiende a + o, con lo que el sistema [S] no puede tener focos (pues sería H cte M 0 en todo un entorno el punto no sería aislado) los centros del lineal lo son también en el no lineal Ej { '= '= + Es eacto: f+g= + 0 H = +, H = H(,) = = C son las órbitas Puntos críticos:, 0 /4 [ λ=± : sillas] ( /) [ λ=±i/ ) : centro, también del no lineal] Dibujar todas las curvas H=C es complicado pero para C=0 tenemos dos sencillas =0 =( ) (cada una de ellas formada por cinco órbitas distintas, entre ellas todas las separatrices) El campo v es horizontal sobre = vertical en la órbita =0 en la recta =/ Podemos dibujar a las órbitas, si bien aún no están orientadas Para ello basta dar un único valor a v o hallar algún vector propio de los puntos sillas Ej Dibujemos el mapa de fases de { '= '= estudiemos si es periódica la solución con (0)=(0)= M = Puntos críticos: = =0 = =0, es silla [ λ=±, 0 ] es centro del lineal Como f+g = + 0, el sistema es eacto el centro se conserva Las órbitas son: H =, H = 3 + = C El campo v es horizontal sobre = vertical en = Las separatrices (curvas por (0,0) C=0 ) vienen dadas por: = 0 = ± 3, definidas sólo para 3/ (para =3/ se juntan en = ) Como la órbita que pasa por (,) está fuera del lazo que forma la separatriz, la solución de la que es proección no es periódica [Como siempre, la información que se obtiene de la aproimación lineal es sólo local: en un entorno del centro ha seguro órbitas cerradas, pero lejos de él dejarán normalmente de serlo, como en este ejemplo ( el anterior)] 7

12 Caso particular son las ecuaciones eactas: " = g() '=v v' = g() [o] v dv d = g() Sus órbitas vienen dadas por: H(,v) = v g()d = C, o sea, v + V() = C, si V()= g()d (si la ecuación describe el movimiento (sin rozamiento) sobre el eje de una partícula sometida a una fuerza que sólo depende de su posición, H es la energía total, v / es la cinética V() es la potencial) A la vista de la solución está claro que las órbitas son simétricas respecto al eje que la órbita u órbitas asociadas a cada valor de C son curvas definidas en los intervalos del eje para los que V() C que cortan dicho eje en los tales que V()=C Con esto el teorema siguiente podremos dibujar el mapa de fases conociendo simplemente la gráfica de la función potencial V() Teor Si V tiene un mínimo en o entonces o = o 0 es un centro del mapa de fases Si V tiene un máimo, o es un punto silla - Si V tiene un etremo en o entonces V'( o )= g( o )=0 o es punto crítico La ecuación de autovalores en ese punto es λ +V"( o )=0 por tanto se trata de un centro si V"( o )>0 (mínimo de V ) o de un punto silla si V"( o )<0 (máimo de V ) [El teorema es válido también aunque o sea no elemental ( V"( o )=0 )] Ej 3 "= V() = Usando sólo la gráfica de V() del dibujo superior deducimos el mapa de fases del inferior: como V posee un máimo en = un mínimo en = el mapa de fases tiene el punto silla el centro dibujados abajo Dibujamos ahora diferentes rectas V=C las órbitas asociadas: v /+V()=C Para C=0, V() 0 si 0 3 ( la órbita, que es una curva simétrica definida en ese intervalo que corta v=0 en sus etremos, se trata de una curva cerrada rodeando al mínimo) o si 3 (la órbita sólo corta v=0 en = 3 por tanto es abierta) Similares son las dos órbitas dibujadas para un C<0 La V=C que pasa por el máimo de V nos da una curva del mapa de fases que corta v=0 en dos puntos uno de los cuales es el punto silla (nos proporciona, pues, cuatro órbitas: el punto, la órbita que sale entra en él las separatrices de la izquierda) Para un C maor se tiene la otra órbita La orientación es la de toda ecuación (hacia la derecha arriba, hacia la izquierda abajo) Como para una ecuación eacta podemos escribir las órbitas: v = ± C V() = d dt se podría dar su solución general haciendo la integral ±, d C V() - v V() = t+ K, pero esto casi nunca es posible Por ejemplo, en este caso ± [ 3 3 +C] / d = t+ K, resulta ser una integral elíptica no calculable [En un sistema autónomo cualquiera para hallar la solución general habría que hallar la epresión de sus órbitas, despejar de ellas la la, llevarlas a las ecuaciones del sistema e integrar las ecuaciones resultantes (!!)] Ej 4 " = Sus órbitas son = v C v = ± C+ Sin puntos críticos Puede describir, para >0, el movimiento bajo un campo gravitatorio en unidades adecuadas La interpretación física del mapa es sencilla: Si (0) = (por ejemplo), '(0) = vo vo<, la partícula cae al origen; vo= es la llamada velocidad de escape: para velocidades iniciales maores que ella la partícula se aleja del origen indefinidamente (a una velocidad que tiende a cte) Determinemos el tiempo T que tardaría una partícula, inicialmente en reposo en =, en llegar hasta el origen: Su órbita [ v(=)=0 ] es la de C= Así pues: T = T 0 dt = 0 d v C= C= C=0 = [ + arctan ]0 = π 7

13 44 Centro o foco? Ya vimos en la sección 4 que el único caso en que no basta el estudio de la aproimación lineal para clasificar un punto crítico elemental o de un sistema no lineal '= f(,) [S] { '= g(,) es el caso en que el lineal posea un centro, a que entonces el punto de [S] puede también ser un centro o bien ser un foco estable o inestable Tratamos en la sección anterior una situación en la que el centro del lineal se conservaba: si [S] era eacto En esta sección veremos otras técnicas para atacar el problema También se conservará un centro si las órbitas de [S] poseen simetría respecto a alguna recta que pase por o (las órbitas en torno a un centro pueden ser asimétricas ha puntos críticos con simetría especular (los focos, claramente no la tienen) que no son centros, pero si un punto con esta simetría es o centro o foco, necesariamente será centro) El análisis de las simetrías se podrá hacer a la vista de las propias órbitas, en el caso ecepcional de que la ecuación diferencial de las órbitas sea resoluble, o a partir del propio campo v Un ejemplo de esto último lo da el siguiente teorema: Teor Si o es punto crítico de [S], la aproimación lineal posee un centro o bien a] o está sobre el eje, f(, ) = f(,), g(, ) = g(,), o bien b] o está sobre el eje, f(,) = f(,), g(,) = g(,), entonces es un centro del sistema no lineal [S] Las hipótesis sobre f g aseguran en el caso a] que las órbitas son simétricas respecto a =0 en el b] que lo son respecto a =0 ( que se recorren en sentidos opuestos a cada lado del eje, como debe ocurrir en un centro) De ello se deduce el resultado Observemos que en el caso particular de las ecuaciones las condiciones sobre la f se satisfacen automáticamente a] (,) (,) (, ) (,) b] Ej " = sen(+['] ), es decir, { '=v v ' =sen(+v Clasifiquemos sus puntos críticos ) 0 cos(+v ) vcos(+v ) kπ Estos resultan ser ( 0), con aproimación lineal ( 0 ( ) ) k 0 Por tanto, si k es par se tratan de puntos silla si k es impar son centros de la aproimación lineal Como f es impar g es par en v, son también centros del sistema no lineal Ej "= 3 (') Ej 3 { '=v v ' = 3 v ± silla ( λ=± ) ( 0) Los centros se conservan, pues también se cumple el apartado a] del teorema Pero aquí no era necesario, pues podemos hallar sus órbitas eplícitamente: dv 3 = v + (Bernouilli) v d v = Ce + comprobar su simetría respecto de ambos ejes Con las órbitas podemos hacer un preciso mapa de fases La separatriz (C= ) corta =0, además de en =0, en los tales que e = ( ±6 con ordenador) para C> todas las órbitas son cerradas (si C=0 circular) El campo es horizontal sobre +v = sobre =0 ( vertical como en toda ecuación sobre =0 ) Así se genera el dibujo de la portada de los apuntes { '=( ) '=( ) Sus puntos críticos son punto silla centros del lineal centro de la aproimación lineal Podríamos trasladar éste al origen haciendo u =, v = e intentar aplicar el teorema, pero el sistema en uv que resulta no satisface ninguna de las dos parejas de condiciones Pero podemos calcular las órbitas (ecuación separable) obtener: ln +ln =C Como esta epresión no varía al cambiar los papeles de e las órbitas son simétricas respecto a la recta =, con lo que el centro lo sigue siendo en el no lineal [Este sistema es, para unos parámetros mu concretos, el de Lotka-Volterra que rige la evolución de la población de dos especies animales en relación predador-presa] 73

14 En algunas ocasiones podremos precisar que el centro se transforma en un foco estable o inestable analizando el sistema escrito en coordenadas polares (aunque en la maoría de los casos aparezca un sistema más complicado que el inicial) Derivando las relaciones = r cosθ, = r senθ se obtiene r 'cosθ θ'rsenθ = f(rcosθ,rsenθ) r'senθ+θ'rcosθ = g(rcosθ,rsenθ) r' = cosθ f(rcosθ,rsenθ) + senθ g(rcosθ,rsenθ ) θ' = [cosθ g(rcosθ,rsenθ) senθ f(rcosθ,rsenθ)] r En vez de seguir con resultados generales pasamos a analizar un ejemplo concreto: Ej 4 { '=a +3 '=+a+ + 3 Clasifiquemos el origen para todo valor de a La matriz de la aproimación lineal a a tiene por autovalores λ=a±i, con lo que: si a<0 es foco estable, si a>0 es foco inestable si a=0 es centro del lineal Ya que el sistema no es eacto ni simétrico hacemos el trabajo de pasar a polares, obteniendo: { r'=ar+r3 θ '=+r a<0 r cosθ senθ a 0 Por suerte hemos obtenido una sencilla ecuación independiente de θ para la r fácil de dibujar Como crece la distancia al origen con t podemos asegurar t para a=0 que el origen, que no sabíamos si era centro o foco, es un foco inestable Utilicemos la epresión en polares para dibujar el mapa de fases para un valor de a concreto: a= La ecuación autónoma r' = r+r 3 tiene entonces la única solución de equilibrio r= en r>0 (además tiene la r=0 que nos da otra vez el punto crítico la r= carece de sentido en coordenadas polares) Para r= se tiene θ'=+senθ/>0 Eiste por tanto '<0 '>0 una órbita (la circunferencia unidad) tal que r= para todo t tal que su θ crece con el tiempo [a una órbita cerrada aislada como esta se le llama ciclo límite] Como se ve en la ecuación autónoma el resto de las órbitas tienden hacia ella cuando t θ'<0 Podemos también asegurar que no ha más puntos críticos que el origen (es difícil verlo con la epresión cartesiana) pues no tiene otras soluciones r' =θ '=0 (para una solución constante tanto la r como la θ deben permanecer constantes) Dibujando además la curva de puntos con ' =0 θ ' =0 ( =( 3 )/ =, respectivamente) se puede a dar el mapa de fases Es fácil precisar qué soluciones del sistema θ'<0 están definidas para todo t : las periódicas asociadas al ciclo límite las asociadas a las órbitas contenidas en su interior, por estar acotadas; llegan a infinito en tiempo finito aquellas cua proección cae fuera del ciclo límite, pues lo hace su distancia al origen, como se ve con facilidad a partir de la ecuación para r' r t 74